4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå (slumpmässgt) försök ett värde ett tervall. Ex. Lägde hos e 5-årg ma. Ex. Dameter hos e producerad kula tll ett kullager Ex 3. Resstase ett motståd X sägs då vara e kotuerlg slumpvarabel
4..3 Normalfördelge Ex. Lägde hos 00 st 5-årga mä. (Smulerade värde). Klass frekves relatv frekves relatv frekvesdestet 60-70 9 0.9 0.09 70-80 6 0.6 0.06 80-90 3 0.3 0.03 90-00 0. 0.0 00-0 0.0 0.00 00 relatv frekvesdestet relatv frekves/klassbredd
4..3 Normalfördelge Hstogram of Lägd Hstogram of Lägd 35 0.035 30 0.030 5 0.05 Frequecy 0 5 Desty 0.00 0.05 0 0.00 5 0.005 0 65 75 85 Lägd 95 05 0.000 65 75 85 Lägd 95 05 Area(0.0) 00. Låt X Lägde hos e slumpmässgt vald 5-årg ma. P(90 < X 00) 0. (Mtab)
4..3 Normalfördelge Hstogram of Lägd Hstogram of Lägd 0.06 0.05 0.05 0.04 Desty 0.04 0.03 0.0 Desty 0.03 0.0 0.0 0.0 0.00 5 60 68 76 Lägd 84 9 00 08 0.00 53 6 7 80 Lägd 89 98 07 6 Lägde hos 000 mä Lägde hos 0000 mä (Mtab)
4..3 Normalfördelge Hstogram of Lägd Normal Hstogram of Lägd Normal 0.05 0.05 0.04 0.04 Desty 0.03 0.0 Desty 0.03 0.0 f(x) 0.0 0.0 0.00 53 6 7 80 Lägd 89 98 07 6 0.00 53 6 7 80 Lägd 89 98 07 6 f(x) kallas frekvesfukto (desty fucto) 00 P(90 < X 00) f x dd 90 (Mtab)
4..3 Normalfördelge Hstogram of Lägd Normal Hstogram of Lägd Normal 00 00 Cumulatve Percet 80 60 40 Cumulatve Percet 80 60 40 F(x) 0 0 0 53 6 7 80 Lägd 89 98 07 6 0 53 6 7 80 Lägd 89 98 07 6 F(x)P(X x) kallas för fördelgsfukto äve här. (Mtab)
4..3 Normalfördelge E valgt (och aturlgt) förekommade kotuerlg fördelg är ormalfördelge. Dess frekvesfukto f(x) är klockformad och beskrvs av två parametrar, ämlge µ vätevärdet och σ varase. Beteckas N(µ, σ ) Ata u att lägde X är N(8,9 )-fördelad. P(90 < X 00) P(X 00) - P(X 90) P(X 90) (Mtab)
4..3 Normalfördelge När är datat ormalfördelat? E bedömg ka göras med hstogram, ormal probablty plot och ormalty test. Percet 99.9 99 95 90 80 70 60 50 40 30 0 0 5 0. 40 50 60 Probablty Plot of Lägd Normal - 95% CI 70 80 Lägd 90 00 0 0 Mea 8.5 StDev 9.489 N 00 AD 0.47 P-Value 0.749 Om p-value<0.05 har ma statstska belägg för att säga att data te kommer frå e ormalfördelg. Ett p-value >0.05 behöver emellertd te betyda att data är ormalfördelat! (Mtab)
4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Hur påverkas vätevärde och varas om data skalas om? E(k X)k E(X)k m V(k X)k V(X)k s Det ebär att stadardavvkelse blr k s Ex. Skala om lägdera tll meter frå cm. Multplcera med k/00 (Mtab)
4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Vad blr vätevärde och varas är ma summerar flera slumpvarabler? Låt X, X,, X p vara oberoede slumpvarabler med vätevärde µ, µ,, µ p och stadardavvkelser σ, σ,, σ p. E( V( p p X ) X ) p p µ σ µ σ + µ + σ + + µ p + + σ p
4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Ex. Summa av 0 tärgskast upprepade 000 gåger. Probablty 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0.08 0.06 0.04 0.0 0.00 Ett tärgskast 3 4 Atal prckar 5 6 Ma ka vsa att vätevärde och varas för ett kast är 3.5 respektve.9. Det betyder att summa av 0 kast bör ha vätevärde 35, varas 9. och stadardavvkelse 5.4.
4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Ex. Summa av 0 tärgskast upprepade 000 gåger. Frequecy 90 80 70 60 50 40 Hstogram of sum Normal Mea 35.05 StDev 5.444 N 000 Som ser påmer hstogrammet om frekvesfuktoe för e ormalfördelad varabel 30 0 0 0 0 5 30 35 sum 40 45 50 (Mtab)
Vad blr vätevärde och varas för medelvärdet av flera slumpvarabler?? Låt X, X,, X vara oberoede slumpvarabler med vätevärde µ, µ,, µ och stadardavvkelser σ, σ,, σ. X ) V( V(X) X ) E( E(X) + σ + + σ σ σ + µ + + µ µ µ 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer
I praktke tar v medelvärdet av upprepade mätgar dvs slumpvarablera har samma vätevärde och varas. X V X V X E X E σ + σ + + σ σ σ µ + µ µ + µ + µ ) ( ) ( ) ( ) ( 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer
4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Om våra slumpvarabler X, X,, X är oberoede och ormalfördelade slumpvarabler blr medelvärdet (och summa) ormalfördelad. Äve om de te är ormalfördelade kommer medelvärdet (och summa) approxmatvt att vara ormalfördelad. Detta approxmatva resultat följer av cetrala gräsvärdessatse. σ X är (approxmatvt) N( µ, X är (approxmatvt) N(µ, σ ) )
4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Cetrala gräsvärdessatse medför bl.a. att proportoer kommer att approxmatvt vara ormalfördelade. För bomalfördelge gäller: Låt A betecka e hädelse vd ett slumpmässgt försök. Upprepa försöket oberoede gåger. Vd varje upprepg träffar A med saolkhete p.
4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Atalet gåger, X, som A träffar vd stycke försök är då bomalfördelat. X ka ses som summa av st slumpvarabler som atar värdet om A träffar och värdet 0 om A te träffar. Varje såda slumpvarabel har vätevärde p och varas p(-p) varför X får vätevärde p och varas p(-p). CGS säger då att X är approxmatvt N(p, p(-p))
4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer I praktke käer v te värdet på p uta v måste uppskatta det. E rmlg och bra uppskattg är X/, dvs adele gåger som A träffar vd stycke upprepade försök. V fer då att proportoe X/ är approxmatvt N(p, p(-p)/) Ex. Atag att felkvote vd e tllverkgsprocess är 0.03 och att v kotrollerar 00 st leveraser om 000 tllverkade eheter. (Mtab)