MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Relevanta dokument
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

Kompletterande kurslitteratur om serier

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp,

Finansiell ekonomi Föreläsning 3

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl

Finansiell ekonomi Föreläsning 2

Kombinatorik: snabbgenomgång av teorin kap. 1-3

Funktionsteori Datorlaboration 1

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet Passagesannolikheter Passagetider...

Inklusion och exklusion Dennie G 2003

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Artificiell intelligens Probabilistisk logik

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

Multiplikationsprincipen

TENTAMEN. Datum: 11 feb 2019 Skrivtid 8:00-12:00. Examinator: Armin Halilovic Jourhavande lärare: Armin Halilovic tel

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

( ) ( ) Kap Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Bilaga 6.1 Låt oss studera ett generellt andra ordningens tidsdiskreta system

ESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING.

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

Datum: 11 feb Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Uppgift. Uppgift 2 2. Uppgift. Beräkna.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Kap.7 uppgifter ur äldre upplaga

Återanvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING.

101. och sista termen 1

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Tentamen i matematisk statistik

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.

INGENJÖRSMATEMATISK FORMELSAMLING

Föreläsning G04: Surveymetodik

Grundläggande matematisk statistik

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Lösningsförslag

Genom att använda geometrin i figuren ovan kan vi även ta fram uttryck för hur storleken på bilden, h, beror på storleken på objektet, h.

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:

Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex

1. Test av anpassning.

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Föreläsning 10: Kombinatorik

6 Strukturer hos tidsdiskreta system

Utvärdering av tidigarelagd start av prismätningar i nya radio- och TV-butiker

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

A.Uppgifter om stödmottagare. B.Uppgifter om kontaktpersonen. C.Sammanfattning av projektet. C.1.Projektet genomfördes under perioden

Hamnbanan Göteborg Dubbelspår Eriksbergsmotet - Pölsebobangården

K3 Om andra ordningens predikatlogik

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Introduktion till statistik för statsvetare

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

ICKE KONVENTIONELLT AVFALL

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

Andra ordningens lineära differensekvationer

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Angående kapacitans och induktans i luftledningar

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Transkript:

MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 1 / 20 G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 2 / 20 Mägde Det eklaste sättet att beskiva e mägd ä att äka upp elemete i mägde, tex. A = {2, 4, 5, 8} och B = {4, 5,... 2004}. Ma skive x A om x ä ett elemet i A och x / A om x ite ä det, så att tex. 2 A, 375 B me 6 / A och 3 / B. Mägdea {2, 3, 2} och {3, 2} ä desamma eftesom de iehålle samma elemet och uppepiga och odige ite ha ågo betydelse. Ofta ages mägde som de elemet i e mägd A som ha e viss egeskap P, dvs. B = { x A : Px } dä Px fö vaje x A atige ä sat elle falskt. Tex. ä { x R : x 4 } mägde av alla eella tal som ä mide elle lika med 4. = {} ä de tomma mägde som ite ha åga elemet alls. A B = { x : x A elle x B } A B = { x : x A och x B } A \ B = { x : x A och x / B } A B om x B fö alla x A A c = Ω \ A ifall A Ω och det ä klat vad Ω ä. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 3 / 20 Satslogik Om a och b ä satse elle påståede som ka vaa saa elle falska, me ite ågotig mitt emella, så gälle satse a & b ä sa då a och b ä saa, satse a b ä sa då a elle b ä sa och också då både a och b ä saa. satse!a ä sa då a ite ä sa, dvs. falsk. satse a b ä sa då!a b ä sa, dvs. då atige b ä sa elle a ä falsk. I matematisk logik aväds valige istället fö &, istället fö och istället fö! och a b ä e fökotig av a b & b a. Implikatioe Obsevea att implikatioe a b som logisk sats ite alltid motsvaa vad ma i dagligt tal mea med e implikatio, dvs. av a följe b eftesom a b ä sa då a ä falsk och de ite ödvädigtvis ha ågot med osakssambad att göa. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 4 / 20

Pedikatlogik Pedikatlogike ä e utvidgig av satslogike så att ma föutom satse ha vaiable x, y,... och pedikat P, Q,... elle hu ma u vill betecka dem. Pedikate ha ett ädligt atal agumet, tex. Px, Qx, y, osv. och ett pedikat uta agumet ä e sats. Föutom de opeatioe!, &, och som fis i satslogike aväde pedikatlogike all- och existeskvatoea och som uttycke fö alla och det existea. Föutom pedikat ka ma också aväda fuktioe vas väde hö till det omåde som behadlas domai of discouse. E fuktio med oll agumet ä då e kostat. Fuktioe och kostate ka också uttyckas med hjälp av pedikat, me det bli lätt oödigt klumpigt. Opeatoodig Om ma ite vill aväda paetese, som atuligtvis ha högsta pioitet, ka ma utyttja att de logiska opeatoea valigtvis evalueas i följade odig: Föst!, seda och, seda & och och till sist. Peaos axiom och de atuliga tale Vi ha e kostat o det fösta talet, uspuglige 1, u ofta 0, e fuktio Sx successo, dvs. följade tal och ett pedikat Lx, y med två agumet som uttycke att x och y ä lika som hä skivs i fome x == y. De två fösta axiome ä P1 x!sx == o det fösta talet följe ite efte ågot tal P2 x ysx == Sy x == y om de följade tale ä lika ä tale lika Det tedje axiomet ä egetlige ett axiomschema elle oädligt måga axiom eftesom det skall gälla fö alla pedikat P: P3 Po & xpx PSx xpx iduktiospicipe Eftesom P3 egetlige säge vad som gälle fö alla pedikat, P ä det hä fåga om ada odiges pedikatkalkyl. Obsevea också att P3 säge att de atuliga tale ä pecis {o, So, SSo,...} och ite ågot mea. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 5 / 20 G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 6 / 20 Iduktiospicipe Om P ä ett påståede som fö alla 0 atige ä sat elle falskt så att P 0 ä sat Pk + 1 ä sat ifall Pk ä sat dvs. Pk Pk + 1 då k 0 så ä P sat fö alla 0. Katesisk podukt De katesiska podukte X Y av två mägde X och Y bestå av alla odade pa a, b elle [a, b] dä a X och b Y, dvs. X Y = { [a, b] : a X och b Y }. Det fis olika sätt att defiiea paet [a, b] edast med hjälp av mägdteoetiska beteckiga och ett ofta avät sätt ä att säga att [a, b] ä mägde {{a}, {a, b}}. Relatioe E elatio mella mägdea X och Y elle i X om Y = X ä e delmägd av de katesiska podukte X Y. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 7 / 20 G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 8 / 20

Vad ä e gaf? E gaf bestå av e mägd ode och e mägd båga mella odea, tex. såhä: 4 3 I e iktad gaf ha vaje båge e statpukt och e slutpukt, meda ma i e icke iktad gaf ite gö skillad mella stat och slutpukte. E iktad gaf ka ekelt beskivas som ett odat pa [V, E] V som vetex, E som edge dä V ä e mägd valigtvis ädlig och ite tom och E V V, dvs. E ä e elatio i V. E icke iktad gaf ka beskivas som ett odat pa [V, E] dä V ä e mägd ige valigtvis ädlig och ite tom och E { {a, b} : a V, b V }. E icke iktad gaf ka föstås? också beskivas som e iktad gaf dä elatioe E ä symmetisk, dvs. [a, b] E [b, a] E. Obsevea att med igedea av dessa defiitioe ka ma ha flea båga mella samma ode me og e båge få e od till samma od. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj 2014 9 / 20 2 1 Olika slag av elatioe i e mägd X E elatio W i mägde X ä eflexiv ifall [x, x] W fö alla x X. symmetisk ifall [x, y] W [y, x] W fö alla x och y X. tasitiv ifall [x, y] W & [y, z] W [x, z] W fö alla x, y och z X. e ekvivaleselatio om W ä eflexiv, symmetisk och tasitiv. atisymmetisk om [x, y] W & x y [y, x] / W fö alla x och y X. e patiell odig om de ä eflexiv, atisymmetisk och tasitiv. asymmetisk om [x, y] W [y, x] / W fö alla x och y X. total om [x, y] w [y, x] W fö alla x och y X. Ofta skiva ma xwy istället fö [x, y] W, tex. x < y istället fö [x, y] <. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 10 / 20 Fuktioe Om X och Y ä mägde så ä e fuktio f : X Y e elatio mella X och Y dvs. e delmägd i X Y så att fö vaje x X fis det ett y Y så att [x, y] f. om [x, y 1 ] f och [x, y 2 ] f så ä y 1 = y 2. Valigtvis skive ma elatioe så att [x, y] f om och edast om y = f x, äve om y = xf elle y = x.f kude vaa bätte om ma läse få väste till höge. Med ada od, e fuktio f få X till Y ä e egel som fö vaje x X ge som sva ett etydigt elemet y = f x i Y. Mägde { f : f ä e fuktio få X till Y } beteckas ofta med Y X. Ijektioe, sujektioe och bijektioe E fuktio f : X Y ä e ijektio om f x 1 = f x 2 x 1 = x 2 fö alla x 1, x 2 X. sujektio om det fö vaje y Y fis ett x X så att f x = y. bijektio om de ä e ijektio och e sujektio. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 11 / 20 Sammasatta och ivesa fuktioe Om f : X Y och g : Y Z ä två fuktioe så ä h = g f : X Z fuktioe hx = gf x. Om f : X Y, g : Y Z och h : Z W ä fuktioe så ä h g f = h g f så att dea fuktio ka skivas som h g f. Om f : X Y ä e fuktio så att det fis e fuktio g : Y X så att g f x = x och f gy = y fö alla x X och y Y så ä f iveteba, g ä dess ives och ma skive ofta g = f 1. E fuktio f : X Y ä iveteba om och edast om de ä e bijektio. Om f : X Y ä iveteba så ä f 1 1 = f. Obsevea att f 1 ite ä samma sak som fuktioe hx = f x 1 som föutsätte att ma i Y ka äka ivese, vilket ä fallet i R \ {0} me ite i Z. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 12 / 20

Odo elle Stoa O: f Og Om g ä e fuktio som ä defiiead fö alla tilläckligt stoa heltal så betyde f Og att f också ä defiiead fö alla tilläckligt stoa heltal och att det fis e kostat C och ett heltal 0 så att f C g, 0, Avädige av dea beteckig betyde också att ma ite ä speciellt itessead av, elle ite exakt vet, vad C och 0 ä. Ofta skive ma f = Og istället fö f Og, me om ma då istället fö O + O 2 O 2 skive O + O 2 = O 2 så måste ma ise att ma ite ka fökota bot O 2! Det ä iget speciellt med att fuktioea hä atas vaa defiieade baa fö edel heltal och att ma se vad som häde då. Tex. gälle också x 4 x 3 x 3 +x 2 Ox då x 0. Atalet elemet i e mägd Två mägde A och B ha samma atal elemet elle kadialitete A och B om det fis e bijektio A B. Mägde A ha fäe ä elle lika måga elemet som mägde B, dvs., A B, om det fis e ijektio A B. Mägde A ha fäe elemet ä mägde B, dvs., A < B, om det fis e ijektio A B me ige bijektio A B. Ifall A = {0, 1, 2,..., 1} så ä A =. E mägd A sägs vaa ädlig om det fis e bijektio A {0, 1, 2,..., 1} fö ågot heltal 0, dvs., om A =. Obs! Fö att dessa defiitioe skall vaa föuftiga måste ma visa att det fis e bijektio {0, 1, 2,..., 1} {0, 1, 2,..., m 1} om och edast om m = och att ifall det fis ijektioe A B och B A så fis det e bijektio A B. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 13 / 20 G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 14 / 20 Summeigsegel, ekel fom Om A och B ä två ädliga mägde så att A B = så ä A B = A + B. Av detta följe att om B A så ä A \ B = A B. Poduktegel, ekel fom Om A och B ä två ädliga mägde så ä A B = A B. Lådpicipe: Ekel me yttig! Ifall m 1 föemål placeas i 1 lådo så måste e låda iehålla mist m föemål! Vafö? Om det stösta atalet föemål som fis i ågo av lådoa ä k så ä k m så att k m och eftesom m defiieas som det mista heltal som ä m så måste vi ha k m. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 15 / 20 Summeigs elle iklusios-exklusiospicipe Om A och B ä två ädliga mägde så ä A B = A + B A B, och mea allmät föutsatt att alla mägde A j eda ä ädliga Ifall k j=1 A j = k 1 +1 =1 E allmä fom av poduktegel 1 j 1 <j 2 <...<j k i=1. A ji C = { x 1, x 2,..., x k : x 1 A 1, x 2 A 2,x1,..., x k A k,x1,...,x k 1 }, dä A 1 = 1, fo vaje x 1 A 1 gälle A 2,x1 = 2 och så vidae så att fö alla x 1 A 1, x 2 A 2,x1,..., x k 1 A k 1,x1,...,x k 2 gälle A j,x1,x 2,...,x j 1 = j, 1 j k, så ä C = 1 2... k. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 16 / 20

Välj föemål u e mägd med föemål elle elemet Det fis åtmistoe två sätt skilja på olika situatioe: Odat val: Det ha betydelse vid vilket val föemålet väljs Ite odat val: Det ha ite ågo betydelse vid vilket val föemålet väljs. Ige uppepig: ett föemål ka väljas baa e gåg Uppepig möjlig: samma föemål ka väljas måga gåge. Atalet olika sätt på vilket detta ka göas bli däfö: Ige uppepig Uppepig möjlig Odat 1... + 1 + 1 Ite odat m m! Hä ä = j j! m j!. Uppepig ka både tolkas så att ma välje ett föemål, otea vilket det ä, och sätte tillbaka det, och så att elemete i mägde ä de olika slag av föemål som ma ka välja. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 17 / 20 Plocka bolla u e låda elle sätta bolla i e låda? Ett aat sätt att se på situatioe dä ma välje föemål u e mägd med föemål med ett odat elle ite odat val, med uppepiga elle uta ä att täka på föemåle i mägde, ite som bolla i e låda, uta som lådo i vilka ma välje att placea ett föemål, tex. e boll, som i det odade fallet ka vaa umeade elle på aat sätt idetifiebaa och i det ite odade fallet idetiska. Ett val uta uppepiga iebä då att i vaje låda ka sättas högst e boll och ett val med uppepiga att flea bolla ka sättas i samma låda. I ett odat val ä det alltså ite odige som ä det viktiga, det avgöade att vale ä olika på ågot aat sätt ä blad vilka föemål det gös, dvs. bollaa som sätts i lådo ä ite idetiska. Om ma seda på ågo sätt oda de valda föemåle elle lådoa i det ite odade fallet ha ige betydelse. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 18 / 20 Atalet fuktioe A B Atag A = m och B =. Atalet fuktioe: A B is ä m och däfö ä det föuftigt att betecka mägde av fuktioe A B med B A. Obsevea att e fuktio ä ett odat val med uppepiga av m elemet u e mägd med elemet. Atalet ijektioe A B ä 1... m + 1 =! m! m. Vafö? Oda elemete i A och gö seda ett odat val uta uppepiga av m elemet u mägde B som ha elemet så att de bli vädea av fuktioe. Atalet sujektioe A B ä 1 m. =0 Vafö? Atalet sujektioe ä atalet fuktioe mius atalet fuktioe till e stikt delmägd av B och detta seae atal ka ma äka med hjälp av iklusios-exklusiospicipe vilket efte divese äkiga ge fomel ova. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 19 / 20 Multiomialtal = 1, 2,..., k! 1! 2!... k! = 1 + 2 +... + k. Om ma ha valt föemål med uppepiga få e mägd med k elemet så att ma ha tagit 1 av typ y 1, 2 av typ y 2 och så vidae, då ä 1, 2,..., k atalet sätt på vilka dessa föemål ka odas så att föemål av samma typ ite ka skiljas åt. Om A ä e mägd med elemet och B = {y 1,..., y k } ä e mägd med k elemet och 1, 2,..., k ä icke-egativa tal så att 1 + 2 +... k = så då ä 1, 2,..., k atalet fuktioe f : A B så att { x A : f x = y j } = j. Om 0 och k 1 så ä x 1 +... + x k = 1 +...+ k = j 0 1, 2,..., k x 1 1... x k k. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj 2014 20 / 20