SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp. 3.45: Bestäm talföljde frå Z-trasforme.3. Upp. 3.49: Slute formel för e differesekvatio 3 3. Kapitel 7: Fourier Trasforms 3 3.. Upp. 7.6: Värmeledigsekvatioe på hela R 3 3.. Upp. 7.4: Fi Fouriertrasforme av f(t) = si(t) om t < π och 0 i övrigt. Beräka itegral mha detta. 4 3.3. Upp. 7.45: Lös itegralekvatioe f(y) (x y) + dy = a, x R. 5 a +x 3.4. Upp. 7.8: Fi e lösig till itegralekvatioe f(t y)e y dy = 4 3 e t 3 e t 5 4. Uppgifter frå gamla tetor (ite ett officiellt urval) 6 Dea fjortode övig kommer att hadla om Fourier-trasforme samt om Z trasforme. Hur dessa är defiierade. Grudläggade egeskaper samt hur de aväds i problemlösig. Differesekvatioer. Itegralekvatioer. Beräkig av vissa typer av itegraler. Lösigar av PDE er. Frågor, förslag eller kommetarer? Maila i så fall karljo@kth.se. (.) (.) (.3) (.4) (.5) Delay rule Dampig rule. Egeskaper hos Fouriertrasforme Scalig rule, om a 0 och a reell, F f(t a)] (ω) = e iωa F f(t)] (ω) F e iat f(t) ] (ω) = F f(t)] (ω a) F f(at)] (ω) = a F f(s)] (ω a ). Iversio theorem, om f L (R) och f kotiuerlig bortsett frå ädliga hopp i varje ädligt itervall och att f(t) = (f(t+) + f(t ))/ för alla t, då gäller f(t 0 ) = lim A ˆ A A f(ω)e iωt 0 dω, för alla t 0 där f har geeraliserade höger och väster-derivator. F-trasform av derivata (Fourier trasforme gör derivator till algebraiska uttryck), atag att f är deriverbar och f, f L (R) då gäller F f (t) ] (ω) = iωf f(t)] (ω) Date: 9 december 05.
KARL JONSSON (.6) (.7) (.8) (.9) Deriverigsregler, åt adra hållet, om f(t) och tf(t) L (R) så gäller Faltige, F tf(t)] (ω) = i d F f(t)] (ω) dω ] F f(t s)g(s)ds (ω) = f(ω)ĝ(ω) Placherels formler, om e av itegralera i ågo av likhete existerar så existerar de adra itegrale och likhete gäller, f(t)g(t)dt = f(t) dt = f(ω)ĝ(ω)dω, f(ω). Kapitel 3: Z-Trasform dω... Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder. a =. Elig defiitio så har vi ( ) (.) A() = a = = a = 3. Direkt eligt defiitioe ( ) 3 (.) A() = = 3 (.3) (.4) =, < >. ( ) 3 Om vi låter b = 3 så blir ( ) 3 B() = = 3 = { } ta derivata 3 = av båda led ( ) 3 ( 3 ) = 3 ( 3) = 3 ( 3) ( ) 3 = ( 3), vilket ger oss för fuktioe A att A() = 3 ( 3) = 3 ( 3)... Upp. 3.45: Bestäm talföljde frå Z-trasforme. Vi ska bestämma talföljde a givet att A() = 3. Lösigsförslag. Vi vill utveckla de giva fuktioe som e serie i. Detta ka vi göra geom följade trick A() = 3 = 3 = 3 = ( ) = ( ) (.5) 3 3 3 3 3 och talföljde är a = 3 ( ). 3
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 3.3. Upp. 3.49: Slute formel för e differesekvatio. Formulerig. Vi låter talföljde a för 0 vara defiierad geom a 0 = a = 0 och de ihomogea differesekvatioe (.6) Vi ska försöka fia e slute formel för a. a + + a + + a = ( ). Lösigsförslag. Vi multiplicerar differesekvatioe med och summerar frå = 0 till, { } om a + + a + + a = ( ) b = a så B() = A () a + + a + + A() = d ( ) d (.7) (.8) = a a 0 a + Vi aväder beta och får frå formel.4 att A() = = a a 0 + A() = d d + ( + + ) A() = d d + ( + + ) A() = ( + ) A() = ( + ) 4 = ( ( )) 3+. ( a) m+ = a = ( m ) a m θ( m) vilket i vårt fall ger, a = och m = 3 att ( ) a = ( ) 3 3 ( )( ) θ( 3) = ( ), 3! för 3 och a = 0 för = 0,,. Dea formel gäller äve för = 0,,, så vi har ett slutet uttryck för a för alla. Notera likhete i dea typ av ekvatio och e differetialekvatio. Vad är skillade? Behöver ma existes och etydighetssatser för lösigar till dessa ekvatioer? 3. Kapitel 7: Fourier Trasforms 3.. Upp. 7.6: Värmeledigsekvatioe på hela R. Formulerig. Vi betraktar ekvatioe u xx = u t som ska gälla för alla x R och alla t > 0. Vidare vill vi att begyelsevärdet skall vara u(x, 0) = e x + e x /. Lös ekvatioe! Lösigsförslag. Vi aväder oss av Fouriertrasforme i x-led vilke har egeskape att de byter ut differetierig mot ett algebraiskt uttryck (vilket är lättare att hatera). Vi defiierar (3.) û(ω, t) = vilket ger att ekvatioe trasformeras till u(x, t)e iωx dx (3.) (iω) û(ω, t) = d dtû(ω, t) ω û(ω, t) = d dtû(ω, t) = û(ω, t) = C(ω)e ω t där C(ω) är e kostat som bara beror av ω.
4 KARL JONSSON (3.3) Vidare så vill vi att u(x, 0) = e x + e x /, detta betyder att ] û(ω, 0) = F e x + e x / (ω) = F = F e x] (ω) + F e ( x) / ] (ω) + F ] e x / (ω) = ] e x / (ω) = = e (ω/ ) / + e ω / = = πe ω /4 + e ω /. Vi ser alltså att û(ω, 0) = C(ω) = πe ω /4 + e ω /, vilket ger oss (3.4) û(ω, t) = ( πe ω /4 + e ω / ) e ωt = = πe ω /4 ω t + e ω / ω t = = πe (/4+t)ω + e (/+t)ω. Förklara sambadet mella radera i Vill alltså fia iversa trasforme av fuktioe ova, där vi betraktar t som e parameter. För att öva på att aväda tabelle, vi aväder e trasform vi vet om som relaterar till detta problem och seda olika räkeregler för trasforme för att komma fram till det vi vill ha tabelle fuktio(y) F-trasform(ω)??? e bω e ω (3.5) e y e y e ω e ( ay) a e ( ω a ) a e a y e a ω b e y 4b 4πb e y 4b e bω e bω I vårt fall ka vi u aväda detta för de två olika värdea på b, ämlige (/4 + t) och (/ + t). Vi får att u(x, t) = F πe (/4+t)ω ] (x, t) + F e (/+t)ω ] (x, t) = (3.6) = πf e (/4+t)ω] (x, t) + F e (/+t)ω] (x, t) = = π e x 4(/4+t) + e 4π(/4 + t) 4π(/ + t) x 4(/+t) = = + 4t e x +4t + + t e x +4t. Detta är alltså svaret. 3.. Upp. 7.4: Fi Fouriertrasforme av f(t) = si(t) om t < π och 0 i övrigt. Beräka itegral mha detta. Formulerig. Vi ska fia fouriertrasforme av fuktioe ova och beräka si (πt) (t ) dt.
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 5 Lösigsförslag. Vi beräkar F-trasforme direkt (med ett trick) ] π si(t)e iωt dt = si(t) e iωt + cos(t)e iωt dt = iω iω ] π cos(t) e iωt iω iω (iω) si(t)e iωt dt = (3.7) e iωπ ω + e iωπ] + ω i ω si(ωπ) + ω ( ω ) si(t)e iωt dt = si(t)e iωt dt si(t)e iωt dt = i ω si(ωπ) si(t)e iωt dt = i si(ωπ) ω För att beräka de giva itegrale så aväder vi Placherel s formel som säger att f(t) dt = f(ω) (3.8) dω. de båda sidora i vårt fall blir (3.9) västerledet blir π si(t) dt = π ger si(t) dt = 4 si (ωπ) 3.3. Upp. 7.45: Lös itegralekvatioe (ω ) dω. (i) ( e it e it) dt = 4 si (ωπ) (ω ) dω = π si(t) dt = π. f(y) (x y) + dy = π eit + e it dt = π vilket a a +x, x R. Lösigsförslag. Vi ser att VL är e faltig mella f och fuktioe f(x) = Fouriertrasforme av båda sidora så får vi, aväder beta, formel F4b., ] ] a f(ω)f + x (ω) = F a + x (ω) (3.0) f(ω)πe ω = a π a e a ω f(ω) = e (a ) ω och avädig av F4b ige ger oss, förutsatt a > 0 a >, (3.) a f(t) = π(t + (a ) ). x +. Tar vi 3.4. Upp. 7.8: Fi e lösig till itegralekvatioe f(t y)e y dy = 4 3 e t 3 e t. Lösigsförslag. Vi ser itegrale som e faltig eftersom de är på forme f(t y)g(y)dy. Vi aväder Fourier-trasforme och får att VL blir ] F f(t y)e y dy (ω) = f(ω)f (3.) och HL blir e y ] (ω) = f(ω) + ω
6 KARL JONSSON (3.3) 4 F 3 e t ] 3 e t (ω) = 4 3 + ω 3 F e t ] (ω) = = 4 3 + ω 3 F e t ] ( ω ) = = 4 3 + ω + 3 + ( ) ω = 4 3 + ω + 8 3 4 + ω. vilket ger (3.4) f(ω) = 8 3 + 8 + ω 3 4 + ω. Vi ser i detta fall att f(ω) ej går mot oll då ω ±, detta iebär att det ite fis e fuktio i L (R) som löser de giva itegralekvatioe. 4. Uppgifter frå gamla tetor (ite ett officiellt urval)
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 7
8 KARL JONSSON Istitutioe för matematik, KTH, SE-00 44, Stockholm, Swede E-mail address: karljo@kth.se