Tetame TEN, HF2, 4 jui 2 Matematis statisti Kursod HF2 Srivtid: 3:-7: : Lärare och examiator : Armi Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile ty som helst Sriv am och ersoummer å varje blad Dea tetamesla får ej behållas efterr tetamestillfället uta sa lämas i tillsammas med lösigar Poägfördelig och betygsgräser: Tetame ger maximalt 32 oäg Betygsgräser: För betyg A, B, C, D, E rävs 3, 24, 2, 6 resetive 2 oäg Komletterig: oäg å tetame gerr rätt till omletterig (betyg Fx) Vem som har rätt till omletterig framgår av betyget Fx å MINA SIDOR Komletterig ser c:a två vecor efter att tetame är rättad Om O omletterig är godädd raorteras betyg E, aars raorteras F
Ugift (3) Bara för dem som ite larat s Blad roduter fis 8 orreta och 2 defeta Ma tar 8 roduter å måfå uta återläggig och uta häsy till ordig a) Vad är saolihet att få exat 6 orreta (och därmed 2 defeta)? b) Vad är saolihet att få högst 2 orreta? Du svarar med biomisa oefficieter Ugift 2 (3) Bara för dem som ite larat s2 Vite av e slummässigt vald tablett, av e viss ty, är e sv med vätevärdet 2 g och stadardavvielse 2 g Bestäm saolihete att tabletter väger högst 24 g Ugift 3 (3) Bara för dem som ite larat s3 E forsare gjorde mätigar för e ormalfördelade stoastis variabel X N(μ,σ) och fic följade resultat (σ oät): X: 23 32 28 33 29 Bestäm ett 9 % ofidesitervall för medelvärdet μ =================================================== Ugift 4 (3) E otiuerlig stoastis variabel X har täthetsfutioe cx f ( x) om x förövrigt Bestäm a) arameter c b) vätevärdet till X c) variase till X Ugift (4) I e låda fis röda 2 gröa och 3 blå ulor Vi tar ulor å måfå Bestäm saolihete att få a) (exat) röda, gröa och 2 blå ulor b) högst 2 röda ulor ( blad valda) c) ige blå ula Du sa svara med biomialoefficieter Ugift 6 (3) E eletrois omoet fugerar i mer ä timar med saolihete =9 Bestäm saolihete att edaståede system, som består av 8 sådaa omoeter, fugerar i mer ä timmar ( Vi mear att systemet fugerar om det fis mist e fugerade väg mella A och B)
Ugift 7 (3) Ma vill jämföra två metoder för mätig av e vis variabel som ases ormalfördelad med oäd stadardavvielse Ma har gjort 6 mätigar och fått följade observatioer Metod 6 66 66 66 67 64 Metod 2 62 62 69 68 66 63 Ka ma med 9% saolihet åstå att det fis sillad mella metodera? Ugift 8 (3) Flygassagerara frå e stor stad har e rosvit som a betratas som e s v med vätevärdet 8 g och stadardavvielse 4 g Hur stor är saolihet att sådaa assagerare väger mer e 8 g? Ugift 9 (2) Låt X vara e disret sv Bevisa att E(aX+b)=aE(X)+b, där a och b är ostater ( Här E(X) och E(aX+b) betecar vätevärdet av X resetive ax+b) Ugift (2) Ett system a betratas som e disret Marovedja med två tillståd E och E2 Om systemet uder e dag är i tillståd E så övergår systemet ästa dag till E2 med saolihete Om systemet uder e dag befier sig i E2, är systemet ästa dag i samma tillståd, E2, med saolihete 2 a) Bestäm övergågsmatrise b) Bestäm saolihete att systemet är i tillstådet E2 efter 3 övergågar om systemet startar i E Ugift (3) Ett betjäigssystem a modelleras som M/M/3/4 Aomstitesitete är 3 uder/miut och betjäigsitesitete för e betjäare är =2 uder/miut a) Bestäm saolihetera,, 2, 3, 4,, 6, och 7 b) Vad är saolihete att e ud avvisas c) Beräa N = medelatal uder i systemet Tis: N Lyca till
FACIT Ugift (3) Bara för dem som ite larat s Blad roduter fis 8 orreta och 2 defeta Ma tar 8 roduter å måfå uta återläggig och uta häsy till ordig a) Vad är saolihet att få exat 6 orreta (och därmed 2 defeta)? b) Vad är saolihet att få högst 2 orreta? Du svarar med biomisa oefficieter 8 2 Svar: a) Pa= 6 2 8 8 2 8 2 8 2 b) Pb=P +P +P 2 = 8 7 2 6 8 8 8 Rättigsmall: 2 oäg för e del a eller b 3 oäg om allt är orret Ugift 2 (3) Bara för dem som ite larat s2 Vite av e slummässigt vald tablett, av e viss ty, är e sv med vätevärdet 2 g och stadardavvielse 2 g Bestäm saolihete att tabletter väger högst 24 g Lösig: Lösig: Låt beteca vite av tablette ummer m E( ) 2, s 2 Låt 2 Då gäller 2 är aroximativt N( m, s ) (formelblad) d v s 2 är aroximativt N (2, 2) 24 2 Härav P( 24) ( ) (2) 9772 2 Svar: 9772
Rättigsmall: oäg för orret E( )=2 oäg för orret stadardavvielse av ( )=2 3 oäg om allt är orret Ugift 3 (3) Bara för dem som ite larat s3 E forsare gjorde mätigar för e ormalfördelade stoastis variabel X N(μ,σ) och fic följade resultat (σ oät): X: 23 32 28 33 29 Bestäm ett 9 % ofidesitervall för medelvärdet μ x x2 x x =29 3937 ( t / 2(4) 2,7764 Kofidesitervall (stadardavvielse är äd, σ= ): ( x t / 2( ), x t / 2( ) ) 3937 3937 = ( 29 27764, 29 27764 ) ( 24, 333) Svar a) ( 242, 33888) Rättigsmall: oäg för orret oäg för orret 3937 3 oäg om allt är orret x 29 Ugift 4 (3) E otiuerlig stoastis variabel X har täthetsfutioe cx f ( x) om x förövrigt Bestäm a) arameter c b) vätevärdet till X c) variase till X Lösig
6 x c a) cx dx c 6 6 c 6 7 6 x 6 b) E(X)= x 6x dx 6x dx 6 7 7 8 c) Först x 2 6 x dx 7 x 6 3 6x dx 6 8 8 4 2 2 3 6 3 36 3 Var(X) = x f ( x) dx 3 4 7 4 49 96 2 Svar: a) c 6 b) 6/7 87 c) 3 Rättigsmall: oäg för varje del Ugift (4) I e låda fis röda 2 gröa och 3 blå ulor Vi tar ulor å måfå Bestäm saolihete att få a) (exat) röda, gröa och 2 blå ulor b) högst 2 röda ulor ( blad valda) c) ige blå ula Du sa svara med biomialoefficieter Svar: a) Pa= 2 6 3 2 b) Vi har reda och totalt "ice-röda" ulor P(högst 2 röda ulor )=P( röd)+p( röd)+ P(2 röda) = 49 2 48 6 6 6 c) Vi har 3 blå och totalt 3 "ice-blå" ulor
3 3 P(ige blå ula)= 6 Rättigsmall: 2 oäg om e av a,b,c är orret 3 oäg för 2 orreta lösigar 4 oäg om allt är orret Ugift 6 (3) E eletrois omoet fugerar i mer ä timar med saolihete =9 Bestäm saolihete att edaståede system, som består av 8 sådaa omoeter, fugerar i mer ä timmar ( Vi mear att systemet fugerar om det fis mist e fugerade väg mella A och B) Lösig Först bestämmer vi saolihete att blocet med tre arallella vägar fugerar Väg fugerar med saolihete v 8 Väg 2 fugerar med saolihete v 2 729 Väg 3 fugerar med saolihete v 3 9 Hela blocet med tre vägar fugerar med saolihete Pb= ( v)( v2)( v3) ( 8)( 729)( 9) 9948 Systemet (dvs blocet och elemet 7 och 8) fugerar med saolihete P(systemet fugerar)= Pb = 8829 Rättigsmall: oäg för orreta vägar v,v2 och v3 2 oäg för saolihete för blocet med tre arallella vägar Pb=9948 3 oäg om allt är orret
Ugift 7 (3) Ma vill jämföra två metoder för mätig av e vis variabel som ases ormalfördelad med oäd stadardavvielse Ma har gjort 6 mätigar och fått följade observatioer Metod 6 66 66 66 67 64 Metod 2 62 62 69 68 66 63 Ka ma med 9% saolihet åstå att det fis sillad mella metodera? Lösig: Metod 6 66 66 66 67 64 Metod 2 62 62 69 68 66 63 Z=Metod Metod2 4 3 2 och därefter medelvärdet z = och stadardavvielse = i ( z i z) 2 =2298 Eftersom =6 har vi = frihetsgrader % / 2 2 dvs F(x)= 97 Frå tabelle för t-fördelig med r= frihetsgrader får vi t / 2( ) 2,76 2298 Härav t / 2( ) 276 2648 6 Kofidesitervall är ( z t / 2( ), z t / 2( ) ) ( 2648, 2648) ( 2648, 2648) Itervallet iehåller Därför a vi INTE åstå med 9% säerhet att det fis sillad mella metodera Svar: Nej Rättigsmall: oäg för orret z = oäg för orret stadardavvielse =2298 3 oäg om allt är orret
Ugift 8 (3) Flygassagerara frå e stor stad har e rosvit som a betratas som e s v med vätevärdet 8 g och stadardavvielse 4 g Hur stor är saolihet att sådaa assagerare väger mer e 8 g? Lösig: Låt beteca vite för assagerare m E( ) 8, s 4 Låt 2 Då gäller 2 är aroximativt N( m, s ) (formelblad) d v s 2 är aroximativt N (8, 4) 8 8 Härav P( 8) P( 8) ( ) (2) 9938 4 =62 Svar: 62 Rättigsmall: oäg för orret E( )=8 oäg för orret stadardavvielse av ( )=4 3 oäg om allt är orret Ugift 9 (2) Låt X vara e disret sv Bevisa att E(aX+b)=aE(X)+b, där a och b är ostater ( Här E(X) och E(aX+b) betecar vätevärdet av X resetive ax+b) Lösig: Låt X vara e disret s v som atar värdea x med saolihetera Låt Y ax b Då atary värdea ax b med saolihetera X Y=aX+b
Vi har E( ax b) b [( ax b) ] ( ax b ) a x b ae( X ) (VSB) Amärig: I övergåge har vi avät att E (X ) x och Rättigsmall: 2 oäg om allt är orret Ugift (2) Ett system a betratas som e disret Marovedja med två tillståd E och E2 Om systemet uder e dag är i tillståd E så övergår systemet ästa dag till E2 med saolihete Om systemet uder e dag befier sig i E2, är systemet ästa dag i samma tillståd, E2, med saolihete 2 a) Bestäm övergågsmatrise b) Bestäm saolihete att systemet är i tillstådet E2 efter 3 övergågar om systemet startar i E Lösig: a) Frå ugifte har vi 2 och 2 22 Alltså P 2 Eftersom radsumma i e övergågsmatris = har vi 9 P 8 2 b) Start saolihetsvetor är ( ) (, ) (eftersom systemet startar i tillstådet E) Vi beräar 9 ( ) () P (, ) 8 2 9 ( 2) () P (9, ) 8 2 (9, ) 9 ( 3) (2) P (89, ) 8 2, (89, ) (889, ) Saolihete för tillstådet E2 efter 3 steg är (adra oordiate i vetor (3) ),,
9 Svar a) P 8 2 b) Rättigsmall: oäg för varje del Ugift (3) Ett betjäigssystem a modelleras som M/M/3/4 Aomstitesitete är 3 uder/miut och betjäigsitesitete för e betjäare är =2 uder/ r/miut a) Bestäm saolihetera,, 2, 3, 4,, 6, och 7 b) Vad är saolihete att e ud avvisas c) Beräa N = medelatal uder i systemet Tis: N Lösig: a) Först ritar vi tillstådsgrafmed aomst- och betjäigsitesiteter: dvs Med hjäl av teori för födelsedödsrocesser har vi följade relatioer mella de statioära saolihetera och :
,, 2 2 2 3 23 2 6 7 237 Vi har 3 2 33 2 2 2 2 4 8 å liade sätt 3 9 2 = 62 23 4 282 462 6 732 7 362, För att bestämma substituerar vi ovaståede relatioer i evatioe och får 2 3 7 (++2 + 362) = eller 4748437 = =22966 Nu är det eelt att beräa alla adra statioära saoliheter Vi substituerar =22966 i ovaståede relatioer och får:
38449, 2 2386893, 3 = 93497, 4=9622983, = 2982649 6 = 493746, 7 =7463728 b) Saolihete att e ud avvisas är 7 =7463728 c) N 2 2 33 7 7 682684342 Rättigsmall: oäg för varje del