MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella tal R mägde av alla reella tal C mägde av alla komplexa tal Itervall: (a, b) Öppet itervall = mägde av reella tal x sådaa att a < x < b [a, b) halvöppet itervall = mägde av reella tal x sådaa att a x < b ( a, b] halvöppet itervall = mägde av reella tal x sådaa att a < x b [a, b] Slutet itervall= mägde av reella tal x sådaa att a x b Amärkig: I ågra böcker aväder ma följade beteckig ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b]. OMGIVNING. E omgivig till talet c är varje öppet itervall som iehåller c. Låt ε vara ett positivt tal (i tillämpigar oftast ett litet tal) och c ett reellt tal. Itervallet (c ε, c+ε) kallas e ε-omgivig till c. GRUNDLÄGGANDE BEGREPP OCH BETECKNINGAR Begreppe "mägd" och "elemet" är grudläggade begrepp i matematike (och därmed defiieras dem ite.) Exempel. Låt A vara mägde av alla heltal som är större är 3 och midre ä 8. A består av elemet 4, 5, 6 och 7. Vi beteckar detta på följade sätt A= {4, 5, 6, 7}. Därmed 4 A som utläses 4 tillhör A (eller 4 är ett elemet i mägde A) Vi ka skriva att 5 A, 6 A och 7 A me t ex 5 A (5 tillhör ite A) Defiitio. Mägde uta elemet { } kallas de tomma mägde och beteckas. Defiitio 2. Mägde A är e delmägd av mägde B om varje elemet i A också är elemet i B. Vi beteckar ( utläses A är e delmägd av B) Vi ka skriva defiitioe på kortare sätt: om ( x A x B ). av 9
Defiitio 3. Två mägder A och B är lika om varje elemet som tillhör A också tillhör B och varje elemet som tillhör B också tillhör A. Alltså: om och edast om ( x A x B ) och ( x B x A). Därmed är ekvivalet med [ och B A]. Amärkig: Om och säger vi att A är e äkta delmägd av B och skriver E mägd defiieras av de elemet som mägde iehåller. Det sätt på vilket vi ager mägdes elemet, eller om elemet upprepas, spelar ite roll för mägdes egeskaper. Därför t ex {,2,3}={,,3,3,2,2,2}= {3,,2} (Vi ser att alla tre mägder består av elemete, 2 och 3. Upprepig och ordig spelar ite roll i mägdes defiitio.) E mägd defiieras oftast som mägde av alla elemet som satisfierar ett eller flera villkor och som ligger i e reda käd mägd: A { x G : P( x)}, utläses A är mägde av alla x som tillhör G och som satisfierar villkoret P(x). Exempel 2. Låt Z betecka mägde av alla heltal. Age alla elemet för följade mägder a) A { x Z : 2 x 4} b) B { x Z : x 2 25} 2 c) C { x Z : x 25} d) D { x Z : 2x 3} Svar: a) A={ 2,,0,, 2, 3, 4} b) B={ 5, 5} c) C= Ø d) D= Ø Exempel 3. Låt R betecka mägde av alla reella tal. Age alla elemet för följade mägder a) { : 2 2 A x R x 5} b) B { x R : 2x 3} c) A { x R : x 5} Svar: a) A={ 5, 5 } b) B={3/2} c) C= Ø Exempel 4. Rita följade mägd i xy-plaet 2 A= {(x,y) R : x 2 +y 2 9 } Svar: 2 av 9
A D 3 Exempel 5. Rita följade mägd i xy-plaet 2 2 x 2 D= { (x, y) R : y och y 0 } 4 Svar: Mägdoperatioer. Uioe mella två mägder A och B är mägde av alla elemet som fis i A eller B. Uioe beteckas ( utläses A uio B). { x : x A eller x B } Exempel 6. A = {, 2, 3, 4} och B ={ 3, 4, 5,6} då är = {, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Sittet (skärige) av två mägder A och B är mägde av alla elemet som fiss i både A och B. Sittet beteckas (utläses A sitt B) { x : x A och x B} } 3 av 9
Exempel 7. A = {, 2, 3, 4} och B ={ 3, 4, 5,6} då är = { 3, 4}. 3. A och B är disjukta mägder om de har iga gemesamma elemet dvs = Ø. Exempel 8. A = {, 2, 3} och B ={ 8,9. 0} då är = { }= Ø d v s A och B är disjukta mägder. 4. Differese mella två mägder A och B är mägde av alla elemet som ligger i A me ite i B A \ B { x : x A och x B }. Exempel 9. A = {, 2, 3, 4} och B ={ { 3, 4, 5,6} då är A \ B= {,2} meda B \ A= { 5, 6} 5. Oftast betraktar vi mägdoperatioer mella delmägder till e käd mägd som vi kallar grudmägd. Om G är e grudmägd och A e delmägd till G då defiierass komplemetet till A som C mägde av alla elemet i G som s ite ligger i A. komplemetet beteckas A A C {xx G : x A } 4 av 9
Exempel 0. Om grudmägde är mägde av allaa reella tal och o A={ x R : x 5} (,5] då är A C { x R : x 5} (5, ) 6. Symmetrisk differes. \ \ Exempel. A = {, 2, 3, 4} och B = ={ 3, 4, 5,6} då är A Δ B= (A \ B) (B \ A) = {,2,5,6} Exempel 2. Låt A= {,2,3,4} och B = {2,4,8}. Bestäm,, A \ B, B \ A och. Svar: = {,2,3,4,8}, = {2,4}, A \ B = {,3} B \ A= {8}, A B ={,3,8} MAXIMUM, MINIMUM Defiitio 4. Låt A vara e delmägd tilll R. Talet M är maximum av mägde A om. M tillhör A och 2. M x för varje x A Vi beteckar M= max(a) 5 av 9
Defiitio 5. Låt A vara e delmägd till R. Talet m är miimum av mägde A om. m tillhör A och 2. m x för varje x A Vi beteckar m= mi(a) Amärkig: E mägd med ädligt måga elemet har alltid både miimum och maximum. Exempelvis om A={ 3, 5, 3, 5} då är mi(a)=3 och max(a)=5. E oädlig mägd ka me behöver ite ha maximum eller miimum Exempelvis itervallet (4, 5] dvs. mägde av alla reella tal som uppfyller 4 < x 5 har maximum=5 meda itervallet sakar miimum (4 tillhör ite mägde). Exempel 2. Låt A vara slutet itervall [2, 0] d.v.s. A består av alla reella tal x sådaa att 2 x 0. Då är max(a) = 0 och mi(a)= 2. Exempel 3. Låt A vara halvöppet itervall (2, 0] dvs A består av alla reella tal x sådaa att 2 < x 0. Då är max(a) = 0, me miimum sakas (lägg märke till att 2 ite tillhör A) Exempel 4. Låt A vara öppet itervall (2, 0) d.v.s. A består av alla reella tal x sådaa att 2 < x < 0. Mägde A har varke maximum eller miimum (Gräspukter 2 och 0 ligger ite i A) BEGRÄNSAD, OBEGRÄNSAD MÄNGD Defiitio 6. Låt A vara e delmägd till R. Mägde A är uppåt begräsad om det fis ett tal b så att x b för varje x A. Talet b kallas e majorat till A Om b är e majorat ( övre gräs) till A då är varje tal c som är större ä b också e majorat till A. Exempel 5. A { 3,,2,3,...} Då är följade tal b =5, b2=43, b3=234 ågra (av oädligt måga) majorater. Mist av alla majorater är talet b=3 (som kallas supremum av mägde A, se defiitio eda) 6 av 9
Defiitio 7. Låt A vara e delmägd till R. Mägde A är edåt begräsad om det fis ett tal b så att b x för varje x A. Talet b kallas e miorat till A Om b är e miorat till A då är varje tal c som är midre ä b också e miorat till A. Defiitio 8. Låt A vara e delmägd till R. Mägde A är begräsad om de är både uppåt och edåt begräsad d v s om det fis två tall b och b 2 så att b x b 2 för alla x A Exempel 6. a) Mägde A {,,2,3,...} är begräsad eftersom x 2 för alla x A ( mer precis <x 2 för alla x A ) b) Mägde B { 3,,2,3,...} är obegräsad. SUPREMUM, INFIMUM Defiitio 9. De mista majorate (om de fis) kallas supremum och beteckas sup(a) Amärkig: Om mägde A ite är uppåt begräsad skriver vi sup(a)= SUPREMUMAXIOMET. ( E viktig egeskap av reella tal) Varje uppåt begräsad icke-tom delmägd av R har ädligt supremum. Med adra ord, om A är e icke-tom och uppåt begräsad mägd då fis det ett tal sådat att s= sup(a). s R Om supremum sup(a) tillhör A då, i detta fall, har mägde A maximum och max(a)= sup(a). Notera att varje maximum äve är supremum, me det fis supremum som ite är maximum. Amärkig: E mägd A (som är delmägd av R) har maximum om och edast om sup(a) ligger i mägde A. Exempel 7. Låt A vara halvöppet itervall (2, 0] Då är max(a) = 0, och därmed sup(a)=0 7 av 9
Exempel 8. Låt A vara öppet itervall (2, 0) Då är sup(a) = 0, me A sakar maximum eftersom 0 tillhör ite A (med adra ord sakar A största elemet). Exempel 9. Låt A { 5,,2,3,...}. 2 Visa att sup(a)= 5. Lösig: Vi måste visa att. 5 är e majorat och 2 5 är mist av alla majorater till A.. Talet 5 är e majorat till A eftersom 5 5, för alla,2,3,... 2 2. Ett tal c som är midre ä 5 ka ite vara majorat till A eftersom går mot. För tillräckligt stort blir 5 c 2. 5 går mot 5 då 2 5 2 (Ma ka äve beräka att detta gäller om 5 c dvs om 2 2(5 c) då 5 2 c ) Därmed är talet 5 de mista majorate d v s supremum till mägde A vad skulle visas. Defiitio 0. De största miorate (om de fis) kallas ifimum och beteckas if(a) Amärkig: Om mägde A ite är uppåt begräsad skriver vi sup(a)= INFIMUMAXIOMET. ( E viktig egeskap av reella tal) Varje edåt begräsad icke tom delmägd av R har ädligt ifimum. Med adra ord, om A är e edåt begräsad mägd då fis det ett tal a= if(a). a R sådat att Om ifimum if(a) tillhör A, då har mägde A miimum och mi(a)= if(a). Amärkig: E mägd A (som är delmägd av R) har miimum om och edast om if(a) ligger i mägde A. Exempel 9. 8 av 9
Låt A vara öppet itervall (2, 5]. Då är sup(a) = 5, som ligger i A. Därmed har A maximum, max(a)=5. If(A)=2 ligger ite i A och därmed sakar A miimum. Exempel 9. Låt A { 3,,2,3,...} = { 3, 3, 3,...} 2 3 Då är sup(a) = 4, som ligger i A. Därmed har A maximum, max(a)=4. If(A)=3 som ite ligger i A. Därför sakas miimum till A. Notera att 3 3 för alla (trots att3 går mot 3 då går mot ). Amärkig I måga böcker geeraliseras begrepp supremum och ifimum till obegräsade mägder geom att skriva sup(a)= + om mägde INTE är uppåt begräsad), if(a)= om mägde INTE är edåt begräsad. Exempel 20. Låt A = N={0,, 2, 3,4, } då är sup(a)= + och if(a) = 0. Låt B = {, 2, 3, 4, } då är sup(a) = och if(a) =. 9 av 9