vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

Relevanta dokument
H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.

Om komplexa tal och funktioner

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

101. och sista termen 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

Räkning med potensserier

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Trigonometriska polynom

Bertrands postulat. Kjell Elfström

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

Kompletterande kurslitteratur om serier

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Taylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) optimering och iii) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4


θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

Datastrukturer och algoritmer

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.

FUNKTIONSLÄRA. Christian Gottlieb

Föreläsning G04: Surveymetodik

TAMS15: SS1 Markovprocesser

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Andra ordningens lineära differensekvationer

TFM. Avdelningen för matematik Sundsvall Diskret analys. En studie av polynom och talföljder med tillämpningar i interpolation

Föreläsning 2: Punktskattningar

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

= BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. a) Maclaurins formel

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

Manipulationer av algebraiska uttryck

Svar till tentan

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då

som är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x)

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Funktionsteori Datorlaboration 1

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Stokastiska variabler

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen med lösningar

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

Tentamen i Krypteringsmetoder och Säkring av Datasystem 7.5 hp

Av Henrik 01denburg\ Radikaler. För att lösa ekv.: x n = a (n helt, pos. tal) konstruerar man kurvan

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

Kontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus

Transkript:

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då kallas för polyomets grad och iblad beteckas grad( P( ) Alltså är polyomets grad lika med högsta förekommade epoet i uttrycket a a a0 Amärkig: om P( a0 då är grad ( P( ) 0 4 Eempel Polyomet P ( 5 4har grad, P ( 4 har grad 4, P ( 5 har grad och P ( 8 har grad 0 4 Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom Lösigar till ekvatioe P ( 0 dvs a a a0 0 (ekv) kallas polyomets ollställe Defiitio E ekvatio av type a a a0 0 kallas för algebraisk ekvatio Defiitio Ratioell fuktio är kvote av två polyom, dvs uttrycket av type a b k k a a b b 0 0 E ratioell fuktio är defiierad edast om ämare är skild frå 0 a Evetuella ollställe till (de ratioella) fuktioe f ( b k k a a b b ekvatioe täljare=0, dvs geom att lösa ekvatioe a a a0 0 0 0 får vi ur Eempel f ( är e ratioell fuktio 4 Fuktioe f ( är defiierad om 4 Frå ekvatioe "täljare=0" dvs 0 får vi ollstället

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Uppgift Bestäm ollställe till följade polyom a) P( 9 b) P( 4 9 c) P( 5 6 d) P ( 5 4 e) P ( 0 0 Lösig a) Nolställe till polyomet ekvatioe 9 0 P( 9 får vi geom att lösa (de algebraiska) Vi faktoriserar polyomet och därefter löser eklare ekvatioer, faktor(k) = 0 9 0 ( 9) 0 ( )( ) 0 Alltså är 0,, polyomets ollställe Svar a) 0,, Lösig b) 9 0 ( 9) 0 0 eller 9 0 Frå 9 0 har vi 9 9 i Svar b) 0, i, i Lösig c) 5 6 0 ( 5 6) 0 0 eller 5 6 0 Vi har 0 och p p 5 5 5 6 0 4 6, q, Efter föreklig, Svar c) 0,, Lösig d) För att lösa 4 5 4 0 iför vi substitutioe y och löser ekvatioe y 5y 4 0 som ger y, y 4 Frå har vi Frå 4 har vi Svar d),,, 4,,4 Lösig e) De här gåge faktoriserar vi polyomet geom att gruppera första två och sista två termer 0 0 ( ) 0( ) ( )( 0) Alltså 0 0 0 ( )( 0) 0, 0, 0 Svar e), 0 i, 0 i i ================================================================= Följade formler aväder vi ofta vid faktoriserig av ett polyom: i) a ( a)( a) ii) a ( ai)( ai) i

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom p p iii) p q ( )( { där, q iv) a ( a)( a a ) v) a ( a)( a a ) Amärkig: I formel iv) ka ma fortsätta och faktorisera vidare uttrycket komplea faktorer ( eligt formel iii) Samma gäller för formel v) } a a i 4 4 vi) a ( a )( a ) ( a)( a)( a ) { = ( a)( a)( ai)( ai) om vi vill ha komplea faktorer} vii) a ( a)( a a a ) (Mer om faktoriserig av ett polyom kommer i adra dele av de här stecile) Uppgift Faktorisera följade polyom i reella faktorer a) 4 b) 5 c) 0 d) e) 5 5 0 f) 8 g) h) i) 4 4 6 j) 5 Svar a) ( )( ) b) 5 ( 5) ( 5)( 5 ) c) 0 ( 5 6) ( )( ( )( ) d) ( )( ( 4)( ) e) 5 5 0 5( 6) 5( )( ) f) 8 ( )( 4) g) ( )( ) h) ( ) ( )( 4) 4 i) 4 6 ( 4) 6( ) ( )( ) 6( ) ( ) ( ) 6 ( )( 6) 5 4 j) ( )( ) Uppgift Faktorisera följade polyom i lijära faktorer Faktorera får iehålla komplea tal a) 4 b) 5 c) Lösig: a) 4 ( i)( i) b) Först löser vi ekvatioe 5 0 5 5 i 5 Nu har vi ( )( ) ( i 5) ( i 5) 5

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom c) Först vi löser ekvatioe 0 i, i Nu har vi ( )( ) ( i) ( i) Svar a) ( i)( i) b) ( i 5) ( i 5) c) ( i) ( i) Polyomdivisio: Defiitio: Om för polyome P (, Q (, K ( och R ( gäller (*) P( R( K( där grad( R( ) grad( Q( ) Q( Q( så kallar vi K ( för kvote och R ( för restterm vid divisio av P( med Q ( Sambadet (*) ka också skrivas som (**) P( Q( K( R( ------------------------------------------------------------------- Om R( 0 säger vi att polyomet P( är delbart med Q ( Då gäller P( Q( K( Eempel Utför divisioe Kotrollera resultat Lösig: 6 8 dvs bestäm kvote och reste STEG Vi delar först terme med största epoete i täljare ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall ) Alltså / = Därefter beräkar vi gåger ( ) och subtraherar produkte ( ) 4 frå polyomet P(= 6 8 och får REST= ( 6 8) ( 4 8 Detta utförs eklast med hjälp av e tabell ( 6 8 ) / ( ) = 4

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom ( 4 8 rest STEG Vi delar rest med ämare (+) på samma sätt som i STEG dvs vi delar terme med största epoete i rest, ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall Alltså vi delar / = + Vi adderar + i kvote och därefter subtraherar (+)*=+8 Vi gör detta direkt i tabelle : ( 6 8 ) / ( ) = ( 4 8 rest -( 4 ) 4 rest Vi ka ite fortsätta eftersom reste 4 har midre grad ä ämare + Därmed blir kvote = och reste = 4 Alltså vi ka skriva P( R( K( Q( Q( dvs 6 8 4 Amärkig: Ett aat sätt att tolka resultat är att skriva P( Q( K( R( dvs 6 8 ( )( ) 4 Kotroll Vi kotroller resultat geom att beräka högerledet i resultatet: 4 4 4 Högerledet= = 4 4 4 8 = = västerledet Svar 6 8 4 Uppgift 4 Utför divisioe P( Q( och bestäm om polyomet P ( är delbart med Q ( 5

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom a) 4 6 9 b) 6 8 5 Lösig: a) ( 4 6 9 ) / ( ) = ( 9 rest ( 9) 0 rest Reste R = 0 Med adra ord är polyomet P ( = 4 6 9 delbart med Q ( = Vi ka skriva 4 6 9 = eller ( 4 6 9) ( )( ) b) ( 6 8 5) /( ) ( 4 6 Svar 5 rest ( 4 6) rest 6 8 5 Polyomet P ( = 6 8 5 är INTE delbart med Q ( = eftersom reste R = är skild frå 0 FAKTORISERING AV ETT POLYNOM Låt P ( vara ett polyom Efter att vi utför polyomdivisio och delar P ( med ( a) ka vi skriva P( ( a) K( R Då uppebart gäller { P ( är delbart med ( a) ] } {R=0} { P( ( a) K( } { P ( a) 0 } 6

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Faktorsatse Ett polyom P ( är delbart med ( a) om och edast om P ( a) 0 Med adra ord: Ett polyom P ( är delbart med ( a) om och edast om a är ett ollställe till P ( Uppgift 5 Bestäm om talet a är ett ollställe till polyomet P ( där a) P ( 6 4, a b) P ( 6 4, a c) P ( i, a i Svar: a) Ja eftersom P ( ) 0, b) Nej eftersom P ( ) 0 c) Ja eftersom P ( i) 0 Uppgift 6 Talet är e lösig till ekvatioe 0 a) Bestäm alla lösigar Lösig: Polyomet är delbart med ( eligt faktorsatse) Polyomdivisioe ger a) ( ) / ( ) = ( ) rest ( rest ( ) 0 rest Vi har kvar adragradsekvatioe 0, 4, och Svar:,, ---------------------------------------------------------------------------------------- Följade sats ka vi aväda för att fia evetuella heltalslösigar till e algebraisk ekvatio 7

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Sats om heltalslösigar Om de algebraiska ekvatioe a a a0 0 har heltalskoefficieter och e heltalslösig k ( dvs k är ett hel tal) då är de kostata koefficiete a0 delbart med k Bevis Om k är e heltalslösig då gäller a k ak a0 0 som vi ka skriva som a k ak a0 Väster ledet är delbart med k (otera att alla koefficieter a j är eligt atagade hela tal och att k fis i varje term) Därmed är också a0 delbart med k Uppgift 7 Bestäm om följade ekvatioer (med heltalskoefficieter) har heltalslösigar Lös ekvatioer om så är fallet a) 8 0, b) 6 5 0 c) 0 Lösig a) Evetuella heltalslösigar är faktorer i de kostata terme dvs fis blad Vi testar alla fyra och iser att är e lösig till 8 0 Polyomdivisio ger ( 8 ) /( ) Frå 0 har vi, 5 Svar a), Svar b),,, 5 Lösig c) Ige av faktorer uppfyller ekvatioe implicerar att ekvatioe ite har ågo heltalslösig Amärkig: Vi ka faktorisera ekvatioe geom att gruppera första två termer: ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Härav / och, i (me ige heltalslösig) Algebras fudametal sats Varje polyom P ( av grad har mist e (reell eller komple rot 8

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Med hjälp av de här satse och faktorsatse drar vi slutsatse att varje polyom ka faktoriseras i lijära faktorer eligt följade: a a a a a )( ) ( ) (F) 0 ( där k är polyomets ollställe ( reella eller komplea) Uppgift 8 Låt P( 0 50 60 a) Bestäm polyomets ollställe b) Faktorisera polyom i lijera faktorer Lösig: Vi får ollställe frå 0 50 60 0 Vi kombierar faktoriserig och formel för adragradsekvatioer: Först bryter vi ut 0 och får ekvatioe 0 ( 5 6) 0 Härav först 0 och ( frå adragradsekvatioe 5 6 0 ), Faktoriserig: a ( )( )( ) 0( 0)( )( ) P( Svar a) 0,, b) P ( 0( 0)( )( ) ----------------------------------------------------------- Polyom med reella koefficieter Om polyomets koefficieter a k är reella tal då evetuella komplea ollställe förekommer i kojugerade par k a bi, k a bi Om vi öskar faktoriserig i reella faktorer då grupperar vi motsvarade kojugerade par: ( ( a bi))( ( a bi)) ( a bi)( a bi) ( a) ( bi) ( a) b a a b Alltså för att få e reell faktoriserig, ersätter vi ( ( a bi))( ( a bi)) i F med adragradspolyomet a a b Uppgift 9 Låt P( 4 5 a) Bestäm polyomets ollställe b) Faktorisera polyom i lijära faktorer c) Faktorisera polyom i reella faktorer ( som då får iehålla adragradspolyom) Lösig: 9

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom a) 4 5 0 ( 4 5) 0 0, i, i b) Faktoriserig i lijära faktorer: P( a ( )( ( ( 0)( ( i))( ( i)) ( i)( i) c) Faktoriserig i reella faktorer ( som då ka iehåller adragradspolyom) har vi reda fått i börja av uppgifte : ( 4 5) Svar a) 0, i, i b) P( ( i)( i) c) P ( ( 4 5) Uppgift 0 Det komplea talet z 5z z 5 0 z i är e lösig till ekvatioe Bestäm alla lösigar Lösig: (Ekvatioe har reella koefficieter och z i är e lösig ) z i är också e lösig till ekvatioe och därför är ekvatioe delbart med ( z z)( z z ) ( z i)( z i) ( z ) i z 4z Polyomdivisioe ger (z 5z z 5) /( z 4z 5) (z ) dvs (z 5z z 5) ( z 4z 5)(z ) De tredje lösige får vi ur ( z ) 0 z 5 Svar z i, z i, z / Uppgift Det komplea talet z i är e lösig till ekvatioe z 5z 6z 0 Bestäm alla lösigar Lösig: 0

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom (Ekvatioe har reella koefficieter och e komple lösig z i ) z i är också e lösig till ekvatioe Därför är ekvatioe delbart med ( z z)( z z ) ( z i)( z i) ( z ) z z (z 5z 6z ) /( z z ) z De tredje rote får vi ur z 0 z Svar z i, z i, z Uppgift z i är e lösig till ekvatioe 4 z z z z 0 Bestäm alla lösigar Lösig: (Ekvatioe har reella koefficieter och z i är e lösig ) z i är också e lösig till ekvatioe och därför är ekvatioe delbart med ( z z )( z z ) ( z i)( z i) z i z Polyomdivisioe ger ( z 4 z z Två lösigar till får vi ur z Svar z ) /( z z 0 z, z4 ) z z i, z i, z, z4 ---------------------------------------------------------------- z Nollställe av högre multiplicitet Det ka häda att vi får ågra lika lijära faktorer termer i faktoriserige a a a a a )( ) ( ) (F) 0 ( Om vi grupperar lika lijära faktorer då ka vi skriva (F) på ekvivaleta forme a a a a0 a ( j ) j K j (F) Epoetera K j visar hur måga gåger upprepas faktor ) i formel F ( j

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Vi säger att j är e rot av multiplicitete K j Om t e K j är ( eller ) då säger vi att j är e dubbel rot ( trippel rot) till ekvatioe Uppgift Bestäm polyomets ollställe, faktorisera polyom i lijära faktorer, och bestäm ollställeas multiplicitet, då a) P ( ) 6 b) P ( ) 6 9 Lösig: a) 6 0 ( 6) 0 0,, Alltså har polyomet ollställea 0, och Faktoriserig: P ( ) ( )( ) Eftersom varje faktor, ( ) och ( ) förekommer eakt e gåg i faktoriserige, ser vi att varje ollställe har multiplicitete b) 6 9 0 ( 6 9) 0 0,, Alltså har polyomet ollställea 0, och, ( dubbelrot) Faktoriserig: P ( ) ( )( ) ( ) Härav ser vi att ekvatioe har två olika rötter ( tre totalt om ma räkar med deras multipliciteter) : Rote 0 ( dvs 0) har multiplicitete = meda rote = ( dvs ) har multiplicitete =, Uppgift 4 Låt P ( ) Bestäm polyomets ollställe, faktorisera polyom i lijära faktorer, och bestäm ollställeas multiplicitet Tipps: Ma ka aväda formel ( a b) a a b ab b Lösig: Om vi aväder formel ( a b) a a b ab b med a och b får vi ( ) [ Alterativt ka ma fia e rot blad heltals delare ( + och -) till de kostata terme ( dvs ) i polyomet ] Härav får vi direkt att ekvatioe P( ) 0 har e trippelrot,, Alltså är e rot med multiplicitete = Svar:,, P ( ) ( ) Rote har de algebraiska multiplicitete = Amärkig: Ma ka äve defiiera multiplicitete av e rot på fäljade ekvivaleta sätt: Defiitio ( E ekvivalet defiitio för multiplicitete av ett ollställe) Om i är ett ollställe till polyomet P ( och K P( ( i ) g( där g ( i ) 0,för ett positive heltal K, då säger vi att i har multiplicitete K