Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då kallas för polyomets grad och iblad beteckas grad( P( ) Alltså är polyomets grad lika med högsta förekommade epoet i uttrycket a a a0 Amärkig: om P( a0 då är grad ( P( ) 0 4 Eempel Polyomet P ( 5 4har grad, P ( 4 har grad 4, P ( 5 har grad och P ( 8 har grad 0 4 Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom Lösigar till ekvatioe P ( 0 dvs a a a0 0 (ekv) kallas polyomets ollställe Defiitio E ekvatio av type a a a0 0 kallas för algebraisk ekvatio Defiitio Ratioell fuktio är kvote av två polyom, dvs uttrycket av type a b k k a a b b 0 0 E ratioell fuktio är defiierad edast om ämare är skild frå 0 a Evetuella ollställe till (de ratioella) fuktioe f ( b k k a a b b ekvatioe täljare=0, dvs geom att lösa ekvatioe a a a0 0 0 0 får vi ur Eempel f ( är e ratioell fuktio 4 Fuktioe f ( är defiierad om 4 Frå ekvatioe "täljare=0" dvs 0 får vi ollstället
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Uppgift Bestäm ollställe till följade polyom a) P( 9 b) P( 4 9 c) P( 5 6 d) P ( 5 4 e) P ( 0 0 Lösig a) Nolställe till polyomet ekvatioe 9 0 P( 9 får vi geom att lösa (de algebraiska) Vi faktoriserar polyomet och därefter löser eklare ekvatioer, faktor(k) = 0 9 0 ( 9) 0 ( )( ) 0 Alltså är 0,, polyomets ollställe Svar a) 0,, Lösig b) 9 0 ( 9) 0 0 eller 9 0 Frå 9 0 har vi 9 9 i Svar b) 0, i, i Lösig c) 5 6 0 ( 5 6) 0 0 eller 5 6 0 Vi har 0 och p p 5 5 5 6 0 4 6, q, Efter föreklig, Svar c) 0,, Lösig d) För att lösa 4 5 4 0 iför vi substitutioe y och löser ekvatioe y 5y 4 0 som ger y, y 4 Frå har vi Frå 4 har vi Svar d),,, 4,,4 Lösig e) De här gåge faktoriserar vi polyomet geom att gruppera första två och sista två termer 0 0 ( ) 0( ) ( )( 0) Alltså 0 0 0 ( )( 0) 0, 0, 0 Svar e), 0 i, 0 i i ================================================================= Följade formler aväder vi ofta vid faktoriserig av ett polyom: i) a ( a)( a) ii) a ( ai)( ai) i
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom p p iii) p q ( )( { där, q iv) a ( a)( a a ) v) a ( a)( a a ) Amärkig: I formel iv) ka ma fortsätta och faktorisera vidare uttrycket komplea faktorer ( eligt formel iii) Samma gäller för formel v) } a a i 4 4 vi) a ( a )( a ) ( a)( a)( a ) { = ( a)( a)( ai)( ai) om vi vill ha komplea faktorer} vii) a ( a)( a a a ) (Mer om faktoriserig av ett polyom kommer i adra dele av de här stecile) Uppgift Faktorisera följade polyom i reella faktorer a) 4 b) 5 c) 0 d) e) 5 5 0 f) 8 g) h) i) 4 4 6 j) 5 Svar a) ( )( ) b) 5 ( 5) ( 5)( 5 ) c) 0 ( 5 6) ( )( ( )( ) d) ( )( ( 4)( ) e) 5 5 0 5( 6) 5( )( ) f) 8 ( )( 4) g) ( )( ) h) ( ) ( )( 4) 4 i) 4 6 ( 4) 6( ) ( )( ) 6( ) ( ) ( ) 6 ( )( 6) 5 4 j) ( )( ) Uppgift Faktorisera följade polyom i lijära faktorer Faktorera får iehålla komplea tal a) 4 b) 5 c) Lösig: a) 4 ( i)( i) b) Först löser vi ekvatioe 5 0 5 5 i 5 Nu har vi ( )( ) ( i 5) ( i 5) 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom c) Först vi löser ekvatioe 0 i, i Nu har vi ( )( ) ( i) ( i) Svar a) ( i)( i) b) ( i 5) ( i 5) c) ( i) ( i) Polyomdivisio: Defiitio: Om för polyome P (, Q (, K ( och R ( gäller (*) P( R( K( där grad( R( ) grad( Q( ) Q( Q( så kallar vi K ( för kvote och R ( för restterm vid divisio av P( med Q ( Sambadet (*) ka också skrivas som (**) P( Q( K( R( ------------------------------------------------------------------- Om R( 0 säger vi att polyomet P( är delbart med Q ( Då gäller P( Q( K( Eempel Utför divisioe Kotrollera resultat Lösig: 6 8 dvs bestäm kvote och reste STEG Vi delar först terme med största epoete i täljare ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall ) Alltså / = Därefter beräkar vi gåger ( ) och subtraherar produkte ( ) 4 frå polyomet P(= 6 8 och får REST= ( 6 8) ( 4 8 Detta utförs eklast med hjälp av e tabell ( 6 8 ) / ( ) = 4
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom ( 4 8 rest STEG Vi delar rest med ämare (+) på samma sätt som i STEG dvs vi delar terme med största epoete i rest, ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall Alltså vi delar / = + Vi adderar + i kvote och därefter subtraherar (+)*=+8 Vi gör detta direkt i tabelle : ( 6 8 ) / ( ) = ( 4 8 rest -( 4 ) 4 rest Vi ka ite fortsätta eftersom reste 4 har midre grad ä ämare + Därmed blir kvote = och reste = 4 Alltså vi ka skriva P( R( K( Q( Q( dvs 6 8 4 Amärkig: Ett aat sätt att tolka resultat är att skriva P( Q( K( R( dvs 6 8 ( )( ) 4 Kotroll Vi kotroller resultat geom att beräka högerledet i resultatet: 4 4 4 Högerledet= = 4 4 4 8 = = västerledet Svar 6 8 4 Uppgift 4 Utför divisioe P( Q( och bestäm om polyomet P ( är delbart med Q ( 5
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom a) 4 6 9 b) 6 8 5 Lösig: a) ( 4 6 9 ) / ( ) = ( 9 rest ( 9) 0 rest Reste R = 0 Med adra ord är polyomet P ( = 4 6 9 delbart med Q ( = Vi ka skriva 4 6 9 = eller ( 4 6 9) ( )( ) b) ( 6 8 5) /( ) ( 4 6 Svar 5 rest ( 4 6) rest 6 8 5 Polyomet P ( = 6 8 5 är INTE delbart med Q ( = eftersom reste R = är skild frå 0 FAKTORISERING AV ETT POLYNOM Låt P ( vara ett polyom Efter att vi utför polyomdivisio och delar P ( med ( a) ka vi skriva P( ( a) K( R Då uppebart gäller { P ( är delbart med ( a) ] } {R=0} { P( ( a) K( } { P ( a) 0 } 6
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Faktorsatse Ett polyom P ( är delbart med ( a) om och edast om P ( a) 0 Med adra ord: Ett polyom P ( är delbart med ( a) om och edast om a är ett ollställe till P ( Uppgift 5 Bestäm om talet a är ett ollställe till polyomet P ( där a) P ( 6 4, a b) P ( 6 4, a c) P ( i, a i Svar: a) Ja eftersom P ( ) 0, b) Nej eftersom P ( ) 0 c) Ja eftersom P ( i) 0 Uppgift 6 Talet är e lösig till ekvatioe 0 a) Bestäm alla lösigar Lösig: Polyomet är delbart med ( eligt faktorsatse) Polyomdivisioe ger a) ( ) / ( ) = ( ) rest ( rest ( ) 0 rest Vi har kvar adragradsekvatioe 0, 4, och Svar:,, ---------------------------------------------------------------------------------------- Följade sats ka vi aväda för att fia evetuella heltalslösigar till e algebraisk ekvatio 7
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Sats om heltalslösigar Om de algebraiska ekvatioe a a a0 0 har heltalskoefficieter och e heltalslösig k ( dvs k är ett hel tal) då är de kostata koefficiete a0 delbart med k Bevis Om k är e heltalslösig då gäller a k ak a0 0 som vi ka skriva som a k ak a0 Väster ledet är delbart med k (otera att alla koefficieter a j är eligt atagade hela tal och att k fis i varje term) Därmed är också a0 delbart med k Uppgift 7 Bestäm om följade ekvatioer (med heltalskoefficieter) har heltalslösigar Lös ekvatioer om så är fallet a) 8 0, b) 6 5 0 c) 0 Lösig a) Evetuella heltalslösigar är faktorer i de kostata terme dvs fis blad Vi testar alla fyra och iser att är e lösig till 8 0 Polyomdivisio ger ( 8 ) /( ) Frå 0 har vi, 5 Svar a), Svar b),,, 5 Lösig c) Ige av faktorer uppfyller ekvatioe implicerar att ekvatioe ite har ågo heltalslösig Amärkig: Vi ka faktorisera ekvatioe geom att gruppera första två termer: ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Härav / och, i (me ige heltalslösig) Algebras fudametal sats Varje polyom P ( av grad har mist e (reell eller komple rot 8
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Med hjälp av de här satse och faktorsatse drar vi slutsatse att varje polyom ka faktoriseras i lijära faktorer eligt följade: a a a a a )( ) ( ) (F) 0 ( där k är polyomets ollställe ( reella eller komplea) Uppgift 8 Låt P( 0 50 60 a) Bestäm polyomets ollställe b) Faktorisera polyom i lijera faktorer Lösig: Vi får ollställe frå 0 50 60 0 Vi kombierar faktoriserig och formel för adragradsekvatioer: Först bryter vi ut 0 och får ekvatioe 0 ( 5 6) 0 Härav först 0 och ( frå adragradsekvatioe 5 6 0 ), Faktoriserig: a ( )( )( ) 0( 0)( )( ) P( Svar a) 0,, b) P ( 0( 0)( )( ) ----------------------------------------------------------- Polyom med reella koefficieter Om polyomets koefficieter a k är reella tal då evetuella komplea ollställe förekommer i kojugerade par k a bi, k a bi Om vi öskar faktoriserig i reella faktorer då grupperar vi motsvarade kojugerade par: ( ( a bi))( ( a bi)) ( a bi)( a bi) ( a) ( bi) ( a) b a a b Alltså för att få e reell faktoriserig, ersätter vi ( ( a bi))( ( a bi)) i F med adragradspolyomet a a b Uppgift 9 Låt P( 4 5 a) Bestäm polyomets ollställe b) Faktorisera polyom i lijära faktorer c) Faktorisera polyom i reella faktorer ( som då får iehålla adragradspolyom) Lösig: 9
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom a) 4 5 0 ( 4 5) 0 0, i, i b) Faktoriserig i lijära faktorer: P( a ( )( ( ( 0)( ( i))( ( i)) ( i)( i) c) Faktoriserig i reella faktorer ( som då ka iehåller adragradspolyom) har vi reda fått i börja av uppgifte : ( 4 5) Svar a) 0, i, i b) P( ( i)( i) c) P ( ( 4 5) Uppgift 0 Det komplea talet z 5z z 5 0 z i är e lösig till ekvatioe Bestäm alla lösigar Lösig: (Ekvatioe har reella koefficieter och z i är e lösig ) z i är också e lösig till ekvatioe och därför är ekvatioe delbart med ( z z)( z z ) ( z i)( z i) ( z ) i z 4z Polyomdivisioe ger (z 5z z 5) /( z 4z 5) (z ) dvs (z 5z z 5) ( z 4z 5)(z ) De tredje lösige får vi ur ( z ) 0 z 5 Svar z i, z i, z / Uppgift Det komplea talet z i är e lösig till ekvatioe z 5z 6z 0 Bestäm alla lösigar Lösig: 0
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom (Ekvatioe har reella koefficieter och e komple lösig z i ) z i är också e lösig till ekvatioe Därför är ekvatioe delbart med ( z z)( z z ) ( z i)( z i) ( z ) z z (z 5z 6z ) /( z z ) z De tredje rote får vi ur z 0 z Svar z i, z i, z Uppgift z i är e lösig till ekvatioe 4 z z z z 0 Bestäm alla lösigar Lösig: (Ekvatioe har reella koefficieter och z i är e lösig ) z i är också e lösig till ekvatioe och därför är ekvatioe delbart med ( z z )( z z ) ( z i)( z i) z i z Polyomdivisioe ger ( z 4 z z Två lösigar till får vi ur z Svar z ) /( z z 0 z, z4 ) z z i, z i, z, z4 ---------------------------------------------------------------- z Nollställe av högre multiplicitet Det ka häda att vi får ågra lika lijära faktorer termer i faktoriserige a a a a a )( ) ( ) (F) 0 ( Om vi grupperar lika lijära faktorer då ka vi skriva (F) på ekvivaleta forme a a a a0 a ( j ) j K j (F) Epoetera K j visar hur måga gåger upprepas faktor ) i formel F ( j
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Vi säger att j är e rot av multiplicitete K j Om t e K j är ( eller ) då säger vi att j är e dubbel rot ( trippel rot) till ekvatioe Uppgift Bestäm polyomets ollställe, faktorisera polyom i lijära faktorer, och bestäm ollställeas multiplicitet, då a) P ( ) 6 b) P ( ) 6 9 Lösig: a) 6 0 ( 6) 0 0,, Alltså har polyomet ollställea 0, och Faktoriserig: P ( ) ( )( ) Eftersom varje faktor, ( ) och ( ) förekommer eakt e gåg i faktoriserige, ser vi att varje ollställe har multiplicitete b) 6 9 0 ( 6 9) 0 0,, Alltså har polyomet ollställea 0, och, ( dubbelrot) Faktoriserig: P ( ) ( )( ) ( ) Härav ser vi att ekvatioe har två olika rötter ( tre totalt om ma räkar med deras multipliciteter) : Rote 0 ( dvs 0) har multiplicitete = meda rote = ( dvs ) har multiplicitete =, Uppgift 4 Låt P ( ) Bestäm polyomets ollställe, faktorisera polyom i lijära faktorer, och bestäm ollställeas multiplicitet Tipps: Ma ka aväda formel ( a b) a a b ab b Lösig: Om vi aväder formel ( a b) a a b ab b med a och b får vi ( ) [ Alterativt ka ma fia e rot blad heltals delare ( + och -) till de kostata terme ( dvs ) i polyomet ] Härav får vi direkt att ekvatioe P( ) 0 har e trippelrot,, Alltså är e rot med multiplicitete = Svar:,, P ( ) ( ) Rote har de algebraiska multiplicitete = Amärkig: Ma ka äve defiiera multiplicitete av e rot på fäljade ekvivaleta sätt: Defiitio ( E ekvivalet defiitio för multiplicitete av ett ollställe) Om i är ett ollställe till polyomet P ( och K P( ( i ) g( där g ( i ) 0,för ett positive heltal K, då säger vi att i har multiplicitete K