82-7, j då kn mn ju inte räkn mellnrummet En intervjustudie om elevers svårigheter med tlfttning i årskurs 3-5 Petr Wennerberg Specilpedgogisk institutionen Exmensrbete 15 hp Specilpedgogik Specillärrprogrmmet (90 hp, AN) Vårterminen 2012 Hndledre: Din Berthén
82-7, j då kn mn ju inte räkn mellnrummet En intervjustudie om elevers svårigheter med tlfttning i årskurs 3-5 Petr Wennerberg Smmnfttning Syftet med denn studie är tt synliggör någr elevers svårigheter när det gäller de centrl spektern i grundläggnde tlfttning, med fokus på ddition och subtrktion. Studien grundr sig på 13 intervjuer med elever i årskurs 3-5. Som utgångsmteril för intervjuern nvändes den muntlig dignosen Individuell smtl som ingår i Dignostisk gifter i mtemtik för nvändning i de tidig skolåren (Skolverket, 2010c). I smbnd med intervjuern observerdes även hur elevern konkretiserr giftern med stöd v sin fingrr och tiobsmteril. Den muntlig dignosen ger en tydlig bild v vilk strtegier elevern nvänder sig v när de löser en gift smt visr vilk svårigheter elevern hr när det gäller grundläggnde tlfttning. Studiens resultt visr tt elevern hr svårigheter med den grundläggnde tlfttningen, dock i vriernde grd. Elevern nvänder sig till stor del v en och smm strtegi där de vid ddition nvänder sig v åträkning med stöd v fingerräkning och vid subtrktion nvänder de sig ntingen v åträkning eller åträkning med fingrrn som stöd. Fler v elevern verkr h lärt sig en strtegi för ddition och en för subtrktion som de sedn konsekvent nvänder sig v när de sk lös en gift. Elevern reflekterr vre sig över om svret de kommer frm till eller om den strtegi de nvänder är rimlig och effektiv. Mång v elevern visr tt de kn tiokmrtern, men de hr svårt tt generliser den kunskpen när de sk lös ndr gifter där tlet tio inte implicit nvänds i giften. Även dubblorn visr de tt de kn men det tycks se de som kunskper som skild från vrndr där de vre sig hr förståelse eller ser hur de kn nvänd sig v den kunskpen i ndr smmnhng. Elevern uttrycker tt de tycker tt subtrktion är svårt, vilket kn tyd på tt de inte ser smbndet melln ddition och subtrktion. I min intervjuer visde det sig på så vis tt de elever som inte behärskde tlrden till fullo också visde på stor svårigheter med de nkn dditions- och subtrktionsgiftern. Nyckelord Tlfttning, dditions- och subtrktionsstrtegier, number sense, konkret mteril, mtemtiksvårigheter.
Förord Äntligen är den klr! Den här dgen hr stundtls känts väldigt långt bort. För mig hr rbetet med denn sts vrit både lärorik och rbetssm. Uppstsen hr under dess månder blivit som en fmiljemedlem, stundtls den i fmiljen som tgit mest tid i nspråk. Men nu är det slut på det. Nu kommer den istället tt bli min rbetskmrt som jg kommer h stort stöd och glädje v i min roll som specillärre i mtemtik. Det ser jg med spänning frm emot! Tck till er elever som positivt och enggert hr delgett mig er tnkr och besvrt min enträgn frågor. Tck till släkt och vänner som på ett eller nnt sätt hr hjälpt och stöttt mig i mitt skrivnde. Till min hndledre Din Berthén som hr vrit ett stöd under hel resns gång. Med ditt enggemng och din värdefull synpunkter hr jg nu nått hel vägen frm. Ett stort tck! Mitt störst tck går till min mn Nicls och son Willim som stått ut med en stressd och disträ fru och mmm. Utn ert fntstisk stöd hde denn res inte vrit genomförbr.
Innehållsförteckning Inledning... 1 Syfte... 2 Teoretisk bkgrund... 3 Tlfttning... 3 Brns tidig förståelse v tl... 3 Olik beskrivningr v tlfttning... 4 Räknestrtegier för ddition och subtrktion med fokus på huvudräkning... 7 Konkretisering i form v fingrr och tiobsmteril... 8 Elevers svårigheter med grundläggnde tlfttning och hur det påverkr lärnde i mtemtik... 9 Svårigheter med grundläggnde tlfttning...10 Mtemtiksvårigheter och dysklkyli...11 Bedömning v elevers svårigheter och möjligheter i grundläggnde tlfttning...13 Krtläggning...13 Bedömning...13 Metod... 15 Urvl...15 Beskrivning v muntlig elevdignos...15 Genomförnde...16 Berbetning och nlys...17 Trovärdighet...17 Etisk spekter...18 Resultt och nlys... 19 Begränsnde strtegier för ddition och subtrktion...19 Tlrden...19 Lägg till/åträkning...20 Kompletter/åträkning...22 T bort/åträkning...23 Dubblor...24 9:ns tlkombintioner och 10-kmrtern...25 Uppdelning vid 10-gränsen...26 Konkretisering med stöd v fingrr och tiobsmteril - stjälp eller hjälp?...27 Diskussion... 30 Metoddiskussion...30 Resulttdiskussion...31 Hindrnde strtegier...31 Konkretisering, ett redskp för tt utveckl svårigheter?...33
Är det undervisningen som är orsken till eleverns svårigheter?...34 Slutord...36 Referenser... 38 Bilg 1...42 Bilg 2...43
Inledning Ett v de viktigste målen i mtemtikutbildningen är tt elever skffr sig en grundläggnde tlfttning. På sätt och vis utgör den en förutsättning för tt se mtemtik som meningsfull i sig och för tt hnter en llt mer omfttnde nvändning v mtemtik i vrdg och smhälle (Reys, Reys & Emnuelsson, 1995. s.8). Tlfttning är ett centrlt område i skolmtemtiken och för eleverns mtemtisk kunskpsutveckling (Skolverket, 2010). Vidre är tlfttning grundläggnde för mtemtisk förståelse och hr betydelse för god frmsteg i mtemtik (Löwing, 2008; Mgne, 1998). Allt fler elever når inte målen i mtemtik och en del i dett nses vr elevers bristnde kunskper i grundläggnde tlfttning. Återkommnde interntionell och ntionell undersökningr som Pis 2009 (Skolverket, 2010b), Timms 2007 (Skolverket, 2008) och NU-03 (Skolverket, 2004) visr tt svensk elevers mtemtikkunskper blir llt sämre. I Timms 2007 frmkom det tt svensk elever i årskurs 4 visde på bristnde presttioner i tlfttning och ritmetik smt när det gällde tt nvänd sig v relevnt fkt, begrepp och metoder. I en nnn undersökning v svensk elevers tlfttning i årskurs 4 och 8 frmkom det tt undervisningen i skolns tidigre år misslyckts med tt utveckl tlfttning för ett stort ntl elever (Reys, Reys & Emnuelsson m.fl. 1995). Det hr vist sig tt elever i mtemtiksvårigheter i stor utsträckning hr brister i grundläggnde tlfttning, nvänder sig v felktig lösningsstrtegier smt hr svårt tt generliser de strtegier de nvänder sig v (Skolverket, 2010). Det är viktigt tt svårighetern märksmms i ett tidigt skede för tt eleven sk kunn ges dekvt stöd (.). Kn en orsk till elevers bristnde kunskper i tlfttning bero på tt elevern svårigheter inte märksmmts i tidigt skede, eller tt svårighetern hr märksmmts men v olik nledningr inte åtgärdts? I en rpport från Skolinspektionen (2009) frmkommer det tt svensk mtemtikundervisning i hög grd bygger på tyst enskild räkning i läroböckern där elevern mer eller mindre räknr mekniskt sid och sid ner. Min erfrenhet är tt elever kn svr rätt på gifter som rör den grundläggnde tlfttningen, t.ex. 8+6, men hur de hr kommit frm till svret, vilk strtegier de nvänt sig v och om de hr förståelsen går inte tt utläs v enbrt svren, vre sig de rbetr i mtemtikboken eller på prov. Reys, Reys och Emnuelsson m.fl. (1995b) för ett liknnde resonemng när det gäller skriftlig prov. Även om eleven visr på ett br resultt i provet innebär det inte nödvändigtvis tt eleven hr kunskp om tls delning, nvänder sig v effektiv och generliserbr strtegier och kn del tl på olik sätt eller kn nvänd sig v känd tlfkt. Fler interntionell studier visr tt elever med br resultt på skriftlig prov inte nödvändigtvis hr en grundläggnde tlfttning. Förfttrn menr vidre tt om det hde vrit enkelt tt bedöm värdet v eleverns tlfttning och ett sådnt verktyg hde existert idg skulle det nvänts flitigt ute på skolorn (.). I och med tt elevern ägnr mycket v lektionstiden till mtemtikböcker så kommer de mtemtisk diskussionern i skymundn. Bristen på mtemtisk diskussioner i de svensk mtemtikklssrummen är stor både elever emelln och melln lärre och elever (Skolinspektionen, 2009). För tt som lärre märksmm och få en bild v den enskilde elevens förståelse och kunskp v tlfttning är således en dilog melln lärre och elev nödvändig (Engström, 2003). Det bäst sättet tt få red på hur elever tänker när de tr sig n en gift är helt enkelt tt fråg dem (McIntosh, 1995), men, påpekr Engström (2003) för tt kunn ställ lämplig frågor fordrs det tt lärren hr en god ämnesdidktisk kunskp. 1
Under min år som yrkesverksm lärre främst inom de lägre stdiern hr jg mött elever som hr problem med den grundläggnde tlfttningen, men det hr vrit svårt och tgit tid tt både täck och synliggör vd ders svårigheter egentligen består i. I min kommnde yrkesroll som specillärre kommer en v min rbetsgifter vr tt synliggör eleverns tnkestrtegier och se vri svårighetern ligger, smt utifrån min kompetens hjälp klsslärren tt plner undervisningen för tt eleven sk få den undervisning som den är berättigd till. Syfte Syftet med studien är tt synliggör 13 elevers svårigheter när det gäller de centrl spektern i grundläggnde tlfttning, med fokus på ddition och subtrktion i årskurs 3-5. Frågeställningr - Hur visr sig eleverns svårigheter? - Vilk strtegier nvänder sig elevern v? - Hur konkretiserr elevern giftern med stöd v fingrr och tiobsmteril? 2
Teoretisk bkgrund Mtemtik är hierrkiskt byggd och krktärisers v moment som till stor del bygger på vrndr, men för den skens skull lär sig inte elever mtemtik hierrkiskt (Pettersson, 1990). I Skolverket (2010) beskriver Pettersson tt lär sig mtemtik är inte som tt klättr för en stege utn mer som tt utforsk och lär känn ett lndskp (s.4), där vrje elev går sin individuell väg. Därför spelr elevens förkunskper och en vrierd undervisning en betydnde roll för elevens frmtid mtemtikutveckling (Löwing, 2004; Pettersson 1990). Mtemtik är även strkt smmnknippd med olik begrepp. I litterturen frmställs ett ntl definitioner och beskrivningr v mtemtisk begrepp och kunskper som elevern sk utveckl. Allt från övergripnde begrepp som till exempel tlfttning till beskrivningr v olik strtegier. Mtemtisk begrepp jg hr kommit i kontkt med under rbetets gång är: tlfttning, tlbegrepp, god tlfttning, tlrden, räknesekvens, kompletter, åt- åträkning, fingerräkning, tlkombintioner, tiokmrter. Tlfttning Blnd forskre (såsom Kilborn, 2002; Löwing, 2008; McIntosh, 2010; Neumn, 1989; Reys, Reys & Emnuelsson, 1995) råder det enighet om tt tlfttning är ett grundläggnde område i mtemtikundervisningen och viktig för det fortstt mtemtiklärndet. En övergripnde definition v begreppet tlfttning är tt kunn ftt, förstå och nvänd tl, men hur begreppet beskrivs och vilk beståndsdelr tlfttning innehåller finns det inget entydigt svr på. Reys och Reys (1995) menr tt tlfttning inte är ett begränst område i mtemtiken utn mer ett perspektiv på kunnnde som växer frm genom kunskper och erfrenheter. Det är mer ett sätt tt tänk som bör prägl ll mtemtikundervisning (.). Utifrån Reys och Reys (1995) sätt tt beskriv tlfttning förstår mn tt tolkningrn v begreppet kn vr olik. I forskningslitterturen nvänds dessutom olik beskrivningr v begreppet tlfttning, där fler olik uttryck nämns i en och smm text. Vnligt förekommnde är god tlfttning, tlbegrepp och number sense, där det sistnämnd enligt Reys, Reys och Emnuelsson m.fl. (1995b) är något vidre begrepp på tlfttning än det som frmställs i Sverige (s.23). Men frågn är vilken beskrivning v tlfttning de syftr på, med tnke på tt det finns fler än en definition v begreppet tlfttning som nvänds i Sverige. Nedn kommer först en kort introduktion om brns tidig förståelse v tl följt v ett urvl beskrivningr v begreppet tlfttning. Brns tidig förståelse v tl Brns utveckling och förståelse v tlfttning kn ses som en kumultiv process där ny kunskp bygger vidre på det som eleven redn kn (Emnuelsson, 1995). Tlfttningsprocessen strtr enligt Mgne (1998) när brnen är mycket små. Brnens tlfttning tr sin utgångspunkt i brnens egen vrdg och förnkrs hos dem genom prktisk erfrenheter (.). Brn kn redn de först levndsåren ftt små ordnde mängder. Visuellt kn brnen till exempel ftt ntlet prickr på en tärning (Löwing, 2008). Att med ett ögonkst ftt skillnden melln mängder som innehåller ett, två eller tre föremål, brukr också benämns med det engelsk ordet subitizing (Ahlberg, 2001; Kilborn, 2002; Löwing, 2008). Redn när småbrn börjr prov på tt 3
jämför ntl föremål i olik mängder hr de enligt Mgne (1998) tgit det först klivet in i tlfttningens värld med tillhörnde bstrkt begrepp. Brnen lär sig också oft tidigt tt rbbl 1,2,3 som en rms, men de ser ingen koppling melln räkneord och ntl (Ahlberg, 2001; Kilborn, 2002). För tt brn sk förstå kopplingen melln räkneord och ntl och hur räkneorden kn nvänds för tt räkn måste brn h viss grundläggnde principer enligt mång forskre (såsom Ahlberg, 2001; Kilborn, 2002; Löwing, 2008). Dess forskre hänvisr till Gelmn och Gllistels (1978) forskning. Gelmn och Gllistel utgår från följnde fem grundläggnde principer 1. Abstrktionsprincipen innebär tt ll föremål som ingår i en väl vgränsd mängd kn räkns. 2. Ett-till-ett-principen innebär tt kunn pr ihop föremål i två olik mängder för tt på så vis jämför om de innehåller lik mång föremål. 3. Principen om godtycklig ordning innebär tt oberoende i vilken ordning föremålen räkns så blir resulttet detsmm. 4. Principen om räkneordens ordning innebär tt räkneorden hr en bestämd ordning. 5. Antlsprincipen eller krdinlitetsprincipen innebär tt de sist räkneordet i en mängd står för ntlet föremål i mängden (.). Brnen utvecklr de här fem principern successivt (Ahlberg, 2001). Enligt Löwing (2008) betrkts principern som betydelsefull förkunskper för tt brn sk h möjlighet tt bygg en tlfttning och lär sig mtemtik. Olik beskrivningr v tlfttning McIntosh, Reys och Reys (1992) menr tt tlfttning innebär tt h känsl och förståelse för tl, smt förmåg tt nvänd tl i olik mtemtisk situtioner och smmnhng. Det innefttr även tt kunn gör logisk kopplingr melln ny kunskp, redn nådd lärdom och tt utveckl nvändbr strtegier vid hntering v tl och mtemtisk opertioner. McIntosh, Reys och Reys representerr lltså en vid syn på begreppet tlfttning. De hr utifrån den llmänn diskussionen om tlfttning strukturert tlfttning i tre huvudområden (jämför Anghileri, 2000). Vrje huvudområde innehåller enligt McIntosh m.fl. (1992) ett ntl förståelser: Knowledge of nd fcility with numbers: innefttr förståelse för tlföljden; tt tl kn representers på olik sätt. Enligt dett kn tlet 5+7 räkns ut genom tt del tlet 7 i 5 och 2 för tt sedn räkn ut tlet som 5+5+2. Dessutom inneftts förståelse för tls storlek genom tt sätt det i reltion till ett nnt tl, smt tt nvänd sig v hållpunkter när mn tänker på tl. Knowledge of nd fcility with opertions: innefttr förståelse för effektern v olik räkneopertioner; kunskp om mtemtisk egenskper i form v mtemtisk lgr smt tt se smbnd melln olik räkneopertioner, vilket kn innebär tt dr nytt v smbnden melln ddition och subtrktion när ett problem sk löss. Applying knowledge of nd fcility with numbers nd opertions to computtionl settings: innefttr förståelse för smbndet melln själv problemet och den beräkning som krävs för tt kunn lös det specifik problemet; kunn välj lämplig strtegi för tt lös en gift och tt smtidigt vr medveten om tt viss strtegier är mer effektiv än ndr. Exempelvis tt det går tt lös giften 8+7 genom tt räkn en i tget men det är mer effektivt tt nvänd 4
sig v 10-kmrter och tänk 8+2+5 eller nvänd sig v dubblorn 7+7+1 och slutligen kunn reflekter om resulttet utifrån det presenterde problemet är rimligt (McIntosh, Reys och Reys, 1992). I hndboken Förstå och nvänd tl- en hndbok utgår McIntosh (2010) från dess huvudområden. Boken är ett dignostiskt verktyg för lärre som främst riktr in sig på svårigheter och missfttningr som kn vis sig i eleverns rbete kring tlfttning. Reys, Reys och Emnuelsson m.fl. (1995b) och Emnuelsson och Emnuelsson (1997) beskriver en nnn slgs tlfttning. De hr utifrån interntionell studier smmnfttt det som vist sig vr betydelsefullt för tlfttning i sex olik spekter. Förståelse v tls betydelse och storlek innefttr förståelse v positionssystemet med bsen 10, reltioner inom tl till exempel tt tlet 9 kn dels som 7 och 2 eller 6 och 3, förståelse för reltioner melln tl smt tt kunn jämför tls storlek. Förståelse och nvändning v olik representtioner v tl tl kn uttrycks på mång olik sätt, för tt kunn utför en beräkning på ett så enkelt sätt som möjligt kn tl dels eller sätts smmn. Till exempel tlet 12 kn formulers som 6+6, 10+2, 20-8, 22-10. Tl kn uttrycks språkligt, i form v bilder eller lbortivt mteril. Förståelse v opertionerns innebörd och funktion tt förstå innebörden v olik opertioner och hur de fungerr, smt tt bedöm om resulttet är rimligt. Förståelse och nvändning v ekvivlent uttryck tt förstå och nvänd sig v räknelgr och likhet för tt utveckl lösningsstrtegier och förenkl uttryck, smt tt kunn bedöm, ompröv eller effektiviser beräkningr, som till exempel: 17+13=17+3+10=20+10 Strtegier för beräkning och ntlsbestämning tt kunn utnyttj de tidigre nämnd spektern för tt kunn lös ett problem i form v skttning, huvudräkning, skriftlig räkning eller med hjälp v miniräknre. Referenspunkter vid mätning tt kunn nvänd sig v och h kunskp om stndrdiserde, icke stndrdiserde eller personlig måttreferenser för tt förstå reltioner melln tl och omvärld (.). Dess spekter finns likså smmnställd i Skolverkets kommentrmteril till kursplnern i mtemtik (Skolverket, 1997). Reys, Reys och Emnuelsson m.fl. (1995b) beskrivning v tlfttning känneteckns v: en övergripnde förståelse för tl och opertioner prt med förmåg, färdigheter och lust tt nvänd denn förståelse på olik sätt som underlg för beslut och för tt utveckl nvändbr och effektiv strtegier för tt nvänd tl och opertioner (s.23) De betonr liksom McIntosh, Reys och Reys (1992) vikten v tt reflekter över tl, räkneopertioner och frmkomn resultts rimlighet. Ytterligre en nnn beskrivning v tlfttning presenters v Löwing (2008) som menr tt tlfttning innebär tt h en förståelse för hur tl är byggd, dess egenskper och hur de relterr till vrndr. I en sådn tlfttning ingår tt: 5
behärsk tlens ordning och dess grnnr som tt 8+1=9, eftersom någonting ddert med ett lltid är tlet som kommer efter och tvärtom vid subtrktion. behärsk positionssystemet med bsen 10 smt 10- och 100-övergångr som tt tlet 45 kn dels i 4 tiotl och 5 entl, tt 9+3=12 och 12-3=9 som senre kn generlisers till 99+3=102 och 102-3=99. behärsk och kunn nvänd sig v de grundläggnde räknelgrn - som den kommuniktiv lgen för ddition +b=b+, ssocitiv lgen för ddition (+b)+c=+(b+c) och distributiv lgen (b+c)= b+ c. Med hjälp v lgrn kn tl dels i termer och fktorer och det är på dess lgr de viktigste räkneopertionern bygger. behärsk tls delning i termer som tt 8+6 kn räkns ut genom tt del tlet 6 i 2+4 eftersom 8+2=10, vilket i sin tur ger 8+6=8+2+4=10+4. kunn vgör tls storleksordning, tt vrund tl och tt rbet med rund tl som tt gör vrundningr v tl för tt enklre kunn gör rimlighetsbedömningr smt nvänd sig v rund tl vilket är tl som är lätt tt räkn i huvudet, som exempel 5, 10 och 20. Den ovn beskrivn tlfttningen känneteckns vidre enligt Löwing (2008) v tt behärsk de grundläggnde dditions- och subtrktionskombintionern i tlområde 1-20 med flyt, vilket innebär tt vid krävnde gifter kn fokus läggs på problemet i sin helhet istället för på nämnd tlkombintioner. Denn tlfttning nvänds också i dimntdignosern 1 (se Skolverket, 2009). En fjärde beskrivning v tlfttning ges v Mgne (1998). Enligt honom är tlfttning en fundmentl del v människns tänknde. När Mgne (1998) sk beskriv begreppet tlfttning nvänder hn sig v ett pussel som metfor, där tlfttningen är helheten och vrje pusselbit representerr en del v helheten. Skns det någon pusselbit kn det vr svårt tt få en helhetsbild, därför är förståelsen för reltionen melln del och helhet en viktig spekt i begreppet tlfttning. Kort beskriver Mgne (2002) tt tlfttning vser klssificering, ordning, serier, prbildning, grundtl, ntl, ordningstl, pekräkning, tlrmsn, sifferkänom, sifferskrivning, tlmönster smt tiosystemet (s.10). I Mgnes beskrivning v begreppet tlfttning ingår delr v brns tidig förståelse v tl såsom klssificering, ordning, serier, prbildning, som enligt honom strtr långt innn brn förstår tlens innebörd. Dett skns i de övrig tre beskrivningrn v tlfttning. Löwing (2008) ser det istället som förkunskper till tlfttning och hänvisr till Gelmn och Gllistels (1978) fem principer som i mångt och mycket påminner om de Mgne beskrivit. De slutstser mn kn dr utifrån dess fyr beskrivningr v tlfttning är tt de tre först beskrivningrn vid en närmre grnskning rent innehållsmässigt liknr vrndr. Skillnden består främst i hur förfttrn vlt tt ktegoriser begreppet tlfttning och tt de betonr viss delr i tlfttningen olik mycket. Löwing (2008) betonr till exempel vikten v tt kunn tlkombintionern med flyt mycket strkt. Dess tre beskrivningr v begreppet tlfttning genomsyrr likledes dignostisk mteril som nvänds ute på skolorn idg, där Löwing är en v 1 Dimntdignosern är ett dignostiskt mteril som syftr till tt krtlägg vri eleven befinner sig i sin mtemtisk kunskpsutveckling och hur undervisningen sk utforms för tt eleven sk gå vidre. 6
förfttrn till Dimntdignosern (Skolverket, 2009) och McIntosh (2010) är förfttre till boken Förstå och nvänd tl - en hndbok som är ett dignostiskt mteril med fokus på tlfttning. Den definition v tlfttning som jg utgår ifrån i den här stsen hr sin utgångspunkt i dess tre beskrivningr. Räknestrtegier för ddition och subtrktion med fokus på huvudräkning Additions- och subtrktionsopertioner kn utförs på en mängd olik vis och med olik kvlitéer. En del går tt nvänd vid ett visst tillfälle, men är ej generliserbr och kn i längden led till tt eleven inte kommer vidre utn fstnr i räkning, där eleven till exempel sk räkn ut 6+8 räknr ett steg i tget till svret 14. Andr strtegier bygger på räknelgr och leder eleven vidre i sin mtemtisk utveckling (Löwing, 2008). Målet är enligt Kilborn (2002) tt hel tiden byt sig till mer effektiv strtegier och tnkeformer för tt kunn utför llt mer komplicerde beräkningr både vid huvudräkning och vid skriftlig beräkningr (.). För tt det sk vr möjligt betonr Löwing (2008) vikten v tt förstå strtegiern på ett sådnt sätt tt de lätt kn pplicers i olik situtioner. Vid både ddition och subtrktion hr elevens kunskp om tlrden stor betydelse enligt Kilborn (2002). Behärskr eleven inte tlrden frmlänges och bklänges till 40, så kn eleven till exempel inte räkn ut 28+5 eller 33-5 genom åträkning 2 och åträkning 3. Därmed hindrs eleven tt utveckl sin dditions- och subtrktionstnkr (.). Att behärsk tlrden gör det enkelt tt lär sig tt tl som dders med ett lltid är tlet som kommer närmst efter och tl som subtrhers med ett är lltid det föregående tlet (Löwing, 2008). Mgne (1998) pekr dock på vikten v tt eleven inte fstnr i räkning på tlrden vid ddition och subtrktion vilket i längden blir mycket tidskrävnde och inte leder eleven frmåt i sin mtemtisk utveckling (.). De först dditionsstrtegiern eller tnkeformer som beskrivs v fler forskre (såsom Ahlberg, 2001; Kilborn, 2002; Löwing, 2008; Neumn, 1989) är räkn ll, räkn från först termen och räkn från störst termen. Ordningen bsers på strtegierns effektivitet och målet är tt elevern successivt byter sig till mer effektiv strtegier (Neumn, 1989). Utifrån dess tre strtegier skulle giften 3+6=9 löss så här: För tt kunn lös giften utifrån strtegin räkn ll behöver eleven h tillgång till konkret föremål eftersom det innebär tt eleven först räknr den först mängden v tre föremål, sedn räknr den ndr mängden som består v sex föremål för tt till sist räkn ihop hel mängden från 1-9. Räkn från först termen innebär tt eleven utgår från tre och räknr vidre i sex steg, smt räkn från störst termen då eleven istället utgår från sex och räknr vidre tre steg. Dess strtegier räcker dock inte i längden menr Kilborn (2002) utn måste utveckls och förfins. Ju mer komplicerde tlen blir desto viktigre är det tt elevern behärskr kunskpen om tlens byggnd och kn nvänd sig v räknelgr på ett sådnt sätt tt det senre kn generlisers (.). Om eleven som exempel sk räkn ut giften 23+22 är vre sig, räkn ll, räkn från först termen smt räkn från störst termen någr effektiv metoder enligt Neumn (1989). Då är det enligt Kilborn (2002) mer effektivt tt istället nvänd sig v kunskpen om tls byggnd och del tiotl och entl för sig, där 23 då ger 20+3 och 22 ger 20+2, som leder frm till 20+20+3+2. Löwing (2008) och Kilborn (2002) menr tt till skillnd från ddition där smtlig tre presenterde strtegier innebär en form v räkning så kn subtrktionsstrtegiern, t bort, kompletter och jämför ftts som tre helt skild sätt tt räkn (.). T bort innebär tt giften 103-99 beräkns 2 Uppåträkning: Elevern räknr åt ett steg i tget. 3 Nedåträkning: Elevern räknr åt ett steg i tget. 7
genom tt räkn bkåt till delen 99 och smtidigt håll red på hur mång steg mn räknt eller vid giften 103-4 då mn räknr bkåt fyr steg till återstoden 99. Kompletter även klld lägg till som är inversen till ddition där 103-99 beräkns genom tt utgå från delen 99 och därifrån räkn åt i fyr steg till 103. Jämför innebär tt kunn förstå tt 103 är tre steg från 100 och 99 ett steg från 100 och på så vis förstå tt 103-99=3+1=4. Ju mer erfrenhet elevern får v subtrktion desto effektivre blir ders räknnde (Kilborn, 2002). Subtrktion med större tl utgår precis som för ddition från eleverns kunskper om tls byggnd och de grundläggnde tlkombintionern. Tlkombintionern En betydnde del i den grundläggnde tlfttningen och för tt få flyt i räknndet är tt behärsk de grundläggnde tlkombintionern inom tlområde 1-20, både när det gäller ddition och subtrktion (Löwing, 2008). Kunskpen om och förståelsen v de olik tlkombintionern är enligt McIntosh (2010) en v grundern för tt senre kunn behndl de olik räknesätten med flersiffrig tl (.). Ahlberg (2000) betonr vikten v tt h förståelse för tlens del-helhetsreltion (.), där som exempel tlet nio är ett heltl som kn dels på 10 olik sätt: 9+0, 8+1, 7+2, 6+3, 5+4, 4+5, 3+6, 2+7, 1+8 och 0+9. De kunskper som elevern utvecklr inom tlområde 1-10 kn de sedn generliser till högre tlområden (Sterner, 2007). På smm sätt kn de menr Neumn (1989), nvänd sig v kunskpen om tls del-helhetsreltion vid subtrktion, eftersom subtrktion är inversen till ddition enligt Löwing (2008), där dditionen 7+2=9 svrr mot subtrktionern 9-7=2 och 9-2=7. Löwing poängterr tt tlkombintionern inte är oberoende v vrndr utn det går tt finn en rd olik mönster som hjälper till tt bild en struktur för tt underlätt inlärningen, vilket innebär tt elevern inte behöver lär sig ll kombintionern en och en. Genom tt till exempel börj med tt dder och subtrher med 1 så hr eleven med en och smm strtegi lärt sig ett ntl kombintioner. Vidre kn eleven utgå från dubblorn i form v 3+3=6, 5+5=10 som elever oft lär sig gnsk tidigt. Om elevern behärskr dubblorn kn de utnyttj den kunskpen vid 6-3=3, 10-5=5 (Kilborn, 2002). Elevern kn sedn nvänd sig v den kunskpen vid tl som är nästn dubblor, som 3+4=7 eftersom det är en mer än 3+3=6 eller en mindre än 4+4=8 och likdnt vid subtrktionen 13-6 =7 där eleven kn härled till 12-6=6 (.). Mgne (1998) menr tt en betydnde helhet tt behärsk är tiotlet som dessutom utgör grunden för förståelse v tiosystemet. När elevern sk börj rbet med tiotlsövergångr behöver elevern således kunn tiokmrtern, där två tls summ är tio (Löwing, 2008). När tlkombintionern inom tlområde 1-10 är befäst kn elevern inom högre tlområden nvänd sig v strtegin lägg till eller t bort till tiogränsen för tt lös en gift enligt Neumn (1989). Dett är en strtegi som lltid går tt nvänd (.). Då blir det enkelt för elevern tt lös tl som 58+6 eftersom de kn nvänd sin kunskp om tls delbrhet och kn då se tt tlet 6 kn dels som 2 och 4, lltså 58+2+4=64 (Sterner, 2007). Konkretisering i form v fingrr och tiobsmteril Mtemtik hndlr om tt bstrher. När olik begrepp och metoder inom mtemtiken sk förklrs räcker inte lltid språket till utn det förutsätts tt lärren konkretiserr för tt eleven sk förstå. För tt konkretiser ett område och lyft frm en tnkeform inom mtemtiken kn lbortivt mteril vr till en hjälp. Det lbortiv mterilets funktion är tt lyft frm det mtemtisk tänkndet och tt stödj språklig förklringr för tt kunn lös ett problem (Löwing & Kilborn, 2006; Mlmer, 2002), där vikten v en tydlig reltion melln mterilet och vd som vses tt elevern sk lär sig betons 8
(Skolverket, 2011). Det lbortiv mterilet måste enligt förfttrn nvänds på ett meningsfullt och välplnert sätt för tt hjälp eleven tt skp inre bilder som stöd för tt utveckl generliserbr metoder för tt lös en gift (Löwing & Kilborn, 2006; Mlmer, 2002). Mång forskre nvänder sig v termen konkret mteril istället för lbortivt mteril, vilket Löwing och Kilborn (2006) menr är missvisnde, då mterilet i sig självt inte är konkretisernde utn det är på vilket sätt mterilet nvänds som är vgörnde. Målet är tt när elevern lärt sig behärsk en ny tnkeform och befäst den kunskpen läggs det lbortiv mterilet åt sidn (Löwing & Kilborn, 2006). Ett sätt tt konkretiser är tt nvänd fingrrn som hjälpmedel. Fingrrn är till en börjn ett effektivt hjälpmedel för tt tydliggör tls helhet och delr inom tlområde 1-10 (Sterner & Lundberg, 2002). På vilket sätt fingrrn nvänds hr emellertid stor betydelse. Neumn (1989) skiljer melln tt räkn tl och tt se tl. Att räkn innebär tt elevern nvänder fingrrn för tt håll ordning på vilken siffr de sgt till skillnd mot tt se då fingrrn fungerr som en struktur för de tio först tlen, där elevern med fingrrns hjälp smtidigt kn se tlet som helhet och dess delr. För tt kunn se tl i den bemärkelsen kn vrje finger endst representers v ett siffernmn. Det fenomenet kllr Neumn (1989) för fingertl. Elevern tänker då vre sig frmåt eller bkåt när de nvänder sig v fingertlen utn ser direkt de två delrn. Målet är tt elevern sk nvänd fingertlen som ett tnkeverktyg som för dem vidre i sin mtemtisk utveckling mot ett mer bstrkt mtemtiskt tänknde. Elevern hr då gått från tt räkn ett finger i tget till tt istället tänk fingertl där tlet sex representers v hel hnd och ett finger (.). Ett nnt sätt tt konkretiser är tt nvänd tiobsmterilet. Mterilet hr till gift tt åskådliggör positionssystemet, tlens struktur och hur tlen är byggd genom tt vr delde i entl, tiotlsstvr, hundrrutor (Mlmer, 2002). Fördelen med mterilet enligt McIntosh (2010) är tt tiotlsstven är precis tio gånger större än entlskuben. Ljungbld ( 2001) menr tt lärren måste vr väl medveten om vd denne vill tt elevern sk nå med mterilet och hur det sk förnkrs hos dem. Även om elevern nvänder sig v mterilet innebär det inte utomtiskt tt eleven förstår mterilets funktion i reltion till giften. Riesbeck (2008) menr tt eleven oft hmnr i görndet och vet vre sig syftet eller målet med mterilet eller hur de sk prt om det. En nnn nledning enligt Ljungbld (2001) är tt det konkret mterilet är frmtget v vuxn som redn fttr helheten och ser tt en tiostv består v tio entl, medn för eleven så är det br en stv och inget nnt (.). Om mterilet sk led till konkretisering eller inte beror enligt Löwing (2004) på hur lärren introducert mterilet för elevern. Kopplingen melln det konkret och bstrkt inte är något som existerr v sig självt utn den skps v lärren (Skolverket, 2011). Elevers svårigheter med grundläggnde tlfttning och hur det påverkr lärnde i mtemtik Forskning om elevers svårigheter i mtemtik är idg enligt Engström och Mgne (2008) efterstt i jämförelse med till exempel forskning om läs- och skrivsvårigheter. Det skns enighet blnd forskrn om orsker, definitioner, metoder för intervention med mer. Mycket grundforskning återstår. Det skns i stor utsträckning evidens för metoder som nvänds i rbetet med elever i mtemtiksvårigheter. (.. s. 93) Det finns olik forskningstrditioner om och tolkningr v elevers svårigheter i mtemtik och olik beskrivningr v dett fenomen i forskningslitterturen. Vilken beskrivning forskren väljer tt 9
nvänd sig v beror till viss del på inom vilken forskningstrdition denne befinner sig och vri svårighetern tr sin utgångspunkt. Häggblom (2000) nvänder sig v beskrivningen lågpresternde elever medn Mgne (1998) nvänder sig v särskilt utbildningsbehov i mtemtik som enligt honom visr tt problemet inte ligger hos eleven personligen. En vnligt förekommnde beskrivning är mtemtiksvårigheter, vilken är den beskrivning som kommer tt nvänds i dett rbete. Svårigheter med grundläggnde tlfttning Eleverns svårigheter med den grundläggnde tlfttningen kn yttr sig på fler sätt. Tlfttning är ett område i mtemtiken som innefttr mång olik moment som elevern sk förstå, vilket enligt Pettersson (Skolverket 2010) i sin tur ställer hög krv på elevern. Som till exempel när en elev sk t sig n följnde gift: Om du hr 2 kronor och vill köp en glss för 9 kronor, räcker din pengr då? Hur mång kronor ftts? Till tt börj med innebär det tt eleven sk kunn förstå innehållet och innebörden v de begrepp som nvänds i giften, vidre sk eleven kunn välj en pssnde lösningsstrtegi, förstå betydelsen v och smbndet melln ddition och subtrktion, redovis sin lösning på ett begripligt sätt, muntligt eller skriftligt, reflekter över om lösningen de kommit frm till är rimlig (Skolverket, 2010). Dessutom sk tlkombintionern inom tlområde 1-10 vr utomtiserde (Löwing, 2008). Elever som hr svårigheter i mtemtik hr enligt Mgne (1998) frmförllt problem med tt bstrher och dr slutstser. Tlfttning ses ju som en oumbärlig kunskp för ll kommnde mtemtik och frmförllt för lgebr (Engström & Mgne, 2003). Mgne (1998) menr vidre tt elever som hr svårigheter med den grundläggnde tlfttningen kommer tt få stor svårigheter när de kommer till bråkräkning, tl i decimlform och procent (.). I längden kn problem med tlkombintionern led till tt elevern kn få stor svårigheter med den mer vncerde mtemtiken såsom ställningr och problemlösningsgifter som innehåller fler delberäkningr (Löwing, 2008). I Häggbloms (2000) undersökning frmkom det tt elever som hde mtemtiksvårigheter vid 9 års ålder till stor del även hde dett vid fylld 15 år och tt det hängde smmn med eleverns tlfttning. Det överensstämmer med Engströms och Mgnes studie (2003) som dessutom visr på en stor skillnd i tlfttning melln elever utn svårigheter och elever i mtemtiksvårigheter. Tlrden En elev som inte behärskr tlrden både frmlänges och bklänges kn enligt Löwing (2008) få svårigheter när denne blnd nnt sk dder och subtrher i huvudet. Mcintosh (2010) menr tt elevern kn h svårigheter med tt förstå siffrorns innebörd och förstå kopplingen melln siffrorn, tlen och räkneorden. Tlen melln 11-19 kn ställ till en hel del problem för elevern där det språklig och skriftlig mönstret inte överensstämmer med vrndr. Vi skriver till exempel tlet 13 som tio-tre men när vi säger det kommer istället entlet, tre före tiotlet. Det kn vis sig när elevern kommer till tiotlsövergångr där de följer mönstret från de först tlen och räknr då trettionio, trettiotio, trettioelv (.). Tlkombintioner I en intervjustudie som Neumn (1989) genomförde jämfördes eleverns tnkeformer om de olik dditions- och subtrktionskombintionern i tlområde 1-10. Resulttet visde tt de elever som hde svårigheter inte behärskde tlkombintionern och konstnt nvände sig v fingerräkning vid både ddition och subtrktion (.). Att nvänd sig v fingrrn för tt håll ordning på vilken siffr de sgt tr enligt Ahlberg (2001) mycket tid och resulterr oft i ett felktigt svr, där eleven ntingen 10
tppr bort sig i sitt räknnde eller vid åt- och åträkning räknr med tlet denne utgår ifrån (McIntosh, 2010). Att nvänd sig v räkning med fingrrns hjälp menr Engström (2007) är vnligst förekommnde hos elever i mtemtiksvårigheter. De elever som börjr räkn inom högre tlområden innn de behärskr tlkombintionern inom tlområde 1-10 kn enligt Neumn (1989) fstn i en ineffektiv strtegi, som åt- och åträkning, vilket kn led till mtemtiksvårigheter istället för utveckling v tlfttning. Likså Ahlberg (2001) betonr vikten v tt behärsk tlområde 1-10, men till skillnd mot Neumn menr hon tt även om elever inte behärskr tlområde 1-10, hr de med sig erfrenheter och kunskper v högre tl från sin egen vrdg och tt det därför är betydelsefullt tt elevern får nvänd sig v den kunskpen för tt på så sätt behåll eller väck ders intresse med ndr utmningr. Trots tt elevern kn ll dditionskombintioner för tlområde 1-10 innebär det inte tt de med utomtik klrr v motsvrnde subtrktionskombintioner, vilket kn tyd på tt de inte ser smbnd melln ddition och subtrktion (Neumn, 1989). Löwing och Kilborn (2006) frmhåller tt blir det svårt för elever som inte hr befäst de grundläggnde tlkombintionern för ddition och subtrktion med förståelse tt kompenser dett vid ett senre tillfälle. Strtegier Signifiknt för elever i mtemtiksvårigheter är tt de endst hr kunskp om och kn nvänd sig v ett fåtl strtegier (Ahlberg, 2001). Elevern kn fstn i ineffektiv och långsmm strtegier utn någon tnke eller förståelse för vd de gör (McIntosh, 1995). Ahlberg (1992) som utgår från Crpenter och Moser ser det som tt övergången melln eleverns personlig räknestrtegier till skolns formell och för elevern bstrkt mtemtik kn ställ till med problem och led till tt elevern låter bli tt försök förstå problemen de sk lös. Pettersson (Skolverket, 2010) menr tt svårigheter som förekommer i de lägre åldrrn följer med eleven i skolåren. Ett exempel är tnkesättet störst först som ställer till med problem vid en subtrktion som till exempel 100-36 då eleven kommer frm till det felktig svret 136, genom tt h räknt 6-0; 3-0; 1-0 (.). Elever som hr svårigheter tenderr tt nvänd sig v smm lösningsstrtegi ovsett om de sk räkn ut 16-3 eller 16-13 och ju högre tlen blir desto svårre blir det för elevern tt nvänd sig v fingrrn eller en och smm metod (Löwing, 2009). Elevern hr inte heller insett tt det i subtrktionsgifter går tt välj melln tt tänk frmåt eller bkåt utn de håller sig oft till en metod (Neumn, 1989). Det kn vis sig på så sätt tt när en elev sk räkn ut tlet 21-19 försöker räkn bkåt 19 steg eller till och med nvänder sig v ställning. De ser inte tt tlen ligger när vrndr och tt den mest funktionell strtegin är tt räkn åt från 19 till 21 (Skolverket, 2010). Mtemtiksvårigheter och dysklkyli Vd själv begreppet mtemtiksvårigheter innefttr eller vilk elever som tillhör de olik beskrivningrn finns som tidigre nämnts inget entydigt svr på (Ahlberg, 2001). Att mång elever hr mtemtiksvårigheter och tt tidig pedgogisk instser underlättr rör det sig dock ing tvivel om, men orskern bkom eller hur svårighetern sk definiers råder det delde meningr om (Butterworth & Yeo, 2010). Mgne (1998) berör ett femtiotl begrepp som nvänds för tt beskriv mtemtiksvårigheter. Dess beskrivningr är oft inriktde inom ett medicinskt neurologiskt spektr, vilket hn ställer sig kritisk till då de endst fokuserr på sjuklig förändringr i hjärnn. Adler (2007) och Ljungbld (2003) skiljer melln llmänn och specifik mtemtiksvårigheter, där llmänn svårigheter mer hndlr om inlärningssvårigheter i stort, till skillnd mot specifik som br berör viss delr i mtemtiken. I smbnd med specifik mtemtiksvårigheter nvänds iblnd begreppet 11
dysklkyli. Engström (2003) ställer sig kritisk till denn delning och understryker tt det inte finns något stöd i forskningen som visr på tt elever med llmänn eller specifik mtemtiksvårigheter skulle behöv olik mteril eller undervisningsmetoder. Mtemtiksvårigheter kn bero på mång olik fktorer och det går sälln tt pek på en specifik orsk (Engström, 2003; Lundberg & Sterner, 2009; Mlmer, 2002; Sjöberg, 2006). Engström (2003) presenterr fyr olik förklringsmodeller till vrför en elev misslycks med skolmtemtiken. Den medicinskt/neurologisk - eleven hr en funktionssättning v något slg. Den psykologisk eleven hr koncentrtionssvårigheter eller ndr kognitiv svårigheter. Den sociologisk miljöpåverkn, såsom tt eleven kommer från en understimulerd miljö. Den pedgogisk/didktisk undervisningsmetodern hr inte vrit npssde efter eleven, brist på lärrkompetens, brist på tid och enkelspårig färdighetsträning. Engström (2003) frmhåller emellertid tt det är de didktisk och pedgogisk frågorn som bör stå i fokus. Dysklkyli är ett begrepp som är smmnkopplt med mtemtiksvårigheter, men det råder stor oenighet blnd forskre hur det bör definiers (Engström, 2003; Sjöberg, 2006; Wilson, 2011). Enligt Sjöberg (2006) kn i stort sett ll forskningslittertur kring dysklkyli hitts inom det medicinskt/neurologisk forskningen, där dysklkyli till skillnd från den pedgogisk/didktisk forskningen är ett vedertget begrepp enligt Adler (2007). Dysklkyli nts bero på en dysfunktion i hjärnn som påverkr det mtemtisk processern (Butterworth,Vrm & Lurillrd, 2011; Wilson, 2011). Vidre menr förfttrn tt forskningen kring dysklkyli ännu br är i sin lind och jämför med vr forskningen kring dyslexi befnn sig för ett tiotl år sedn (.). Butterworth och Yeo (2010) menr tt det inte går tt likställ dysklkyli med mtemtiksvårigheter men inte heller vr gränsen melln dess begrepp sk drs. Det kn finns fler olik skäl till tt en elev hr mtemtiksvårigheter, men dysklkyli hndlr främst om räknesvårigheter och elevern tycks skn en känsl för tl och hur de sk hndsks med tl (.). Elevern nvänder sig oft v ineffektiv räknestrtegier och tr fingrrn till hjälp vid mycket enkl dditions- och subtrktionsgifter (Butterworth,Vrm & Lurillrd, 2011). Engström (2000) är mycket kritisk till begreppet dysklkyli som hn nser innebär tt elevers misslycknde i mtemtik läggs på eleven personligen och på så vis fråntr skoln sitt nsvr för elevers lärnde (.). Undervisningens betydelse Att elever får mtemtiksvårigheter kn enligt Mlmer (2002) bero på bristfällig undervisning. Dels på tt bstrktionsnivån ligger llt för högt i förhållnde till elevens kunskp och dels på tt elevern får lltför lite tid till tt tillförskff sig de grundläggnde mtemtisk begreppen. För tt förebygg tt elever hmnr i mtemtiksvårigheter är ett dignostiskt rbetssätt tt föredr (.). Orskern till tt elever befinner sig i mtemtiksvårigheter är som sgts tidigre mångfsetterde och komplex. Det finns därför inte en undervisningsmetod eller ett sätt som hjälper ll elever (Ahlberg, 2001). Lärrens professionlitet innefttr både kunskper i ämnet smt i undervisningsteori, men likväl tt se ll elevers potentil till utveckling ovsett eleverns förutsättningr eller behov. För tt elever i mtemtiksvårigheter sk få dekvt hjälp är det nödvändigt tt lärren tr red på vr i sitt tänknde eleven befinner sig och strtr därifrån (.). Utifrån ett mtemtikdidktiskt ämnesteoretiskt perspektiv läggs fokus på mtemtikundervisningens mål och innehåll, således vd elevern sk lär sig och vilket rbetssätt eller metod de nvänder sig v för tt nå målet (Skolverket, 2011). Kilborn (2002) beskriver vilk krv som hn nser sk ställs på teorin: 12
Den bör vr ett instrument som hjälper lärren tt förstå brns tnkr och tt förklr hur brn kn bygg ett mtemtiskt vetnde. En didktisk ämnesteori i mtemtik bör därför i först hnd utgå från forskningen om brns inlärning (s.7). Löwing (2008) menr vidre tt det är elevern och ders kunskpsutveckling som sk vr i fokus. Det räcker inte tt lärren hr en kdemisk kunskp om denne inte kn förmedl mtemtiken till elevern på ett för dem förståeligt sätt. Ljungbld (2001) menr tt elever i mtemtiksvårigheter måste ges mång tillfällen till mtemtisk diskussioner med en lärre där elevens tnkesätt och strtegier blir synliggjord, eftersom det är från den enskild elevens kunskp som den ny kunskpen utgår ifrån, lärrens mtemtisk och didktisk kompetens är dock betydelsefull. Häggblom (2000) betonr vikten v en vritionsrik undervisning för tt ll elever sk få möjlighet tt tillförskff sig nödvändig kunskper och inte fstn i ineffektiv strtegier. Elever som hr svårigheter med den grundläggnde tlfttningen hr enligt Ahlberg (2001) inte behov v tt öv mer på smm sk utn istället behöver de rbet med tlfttning på ett vriert sätt där fokus ligger på processen och inte på svret. I värst fll kn öv mer på smm sk led till tt eleven befäster en ineffektiv strtegi (Engström, 2000). Elever är olik och lär sig på olik sätt ovsett om de hr mtemtiksvårigheter eller ej. Det viktig är tt npss undervisningen efter vrje enskild elev (Engström, 2003). Om undervisningen om den grundläggnde tlfttningen sker i helklss, i en mindre gr eller enskilt beror enligt Ahlberg (2001) på elevens behov vid det ktuell tillfället. Bedömning v elevers svårigheter och möjligheter i grundläggnde tlfttning Krtläggning En pedgogisk krtläggning hndlr om tt både nlyser elevens svårigheter och missfttningr men även elevens kunnnde och miljön kring eleven (Skolverket, 2003). För tt få en helhetsbild v eleven måste fler olik krtläggningsinstrument i form v intervjuer, observtioner och dignoser v skild slg nvänds (Asp Onsjö 2008; Mgne, 1998; Skolverket, 2003). För tt få en ökd förståelse för hur elevern tänkt när de löst en gift är det en fördel om lärren följer dignosen med någon form v intervju (se Löwing, 2004; Löwing & Kilborn, 2006; Myndigheten för skolutveckling, 2007), eller som i denn studie där dignosen genomförts i intervjuform. På det sättet kn lärren få syn på elevens tillväggångssätt och utifrån dett se vri elevens svårighet ligger och på så sätt ge eleven dekvt hjälp (Skolverket, 2010). Likså menr Ahlberg (2001) tt det är viktigt tt krtlägg hur eleven gått tillväg när denne löser en gift för tt på så sätt märksmm elevens strtegier och kunskp om tls reltioner till vrndr. Genom krtläggningen får lärren en bild v elevens kunskper och svårigheter och kn på så vis få en bild v hur undervisningen sk läggs frmöver (.). Bedömning I krtläggningsprocessen ingår bedömning som en nturlig del. Vid ll mtemtisk inlärning utgör bedömning en viktig fktor vrs syfte är tt främj elevens lärnde (Björklund Boistrup, 2005, 2010). Enligt Pettersson (2010) är bedömning v lärndet en process som behöver ske kontinuerligt, därför sk lärnde och bedömning häng ihop. 13
Bedömningen kn ntingen vr formtiv eller summtiv (Pettersson, 2010). Myndigheten för skolutveckling (2007) beskriver kort summtiv bedömning som bedömning v lärnde där en summering v elevens kunskp görs vid en viss tidpunkt i form v till exempel betyg och skriftlig omdömen. Till skillnd mot formtiv bedömning som ses som bedömning för lärnde där eleven ktivt deltr i sin lärndeprocess och bedömningen kontinuerligt i form v dignoser, prov v olik slg, IUP, observtioner, självbedömning mm. Den formtiv och summtiv bedömningen står dock inte i motstsförhållnde till vrndr utn det råder ett ständigt smspel melln dess (.). Blck och Wilim (2009) beskriver fem huvudstrtegier tt t hänsyn till vid formtiv bedömning där lärre, elev och dennes kmrt ses som huvudktörer. I dess strtegier ingår tt tydliggör målen och skp delktighet i undervisningen, skp diskussioner för tt synliggör eleverns förståelse, ge elevern feedbck som leder dem frmåt i sitt lärnde, tt se hur de kn lär v vrndr och tt få elevern tt se tt de är ägre v sitt eget lärnde (.). I den formtiv bedömningen ses återkoppling som ett v de viktigste inslgen, men för tt återkoppling sk vr effektiv och utveckl eleverns lärnde förutsätts enligt Httie och Timberley (2007) tydlighet kring vd som sk bedöms. När lärren sk ge respons på elevens test, så behöver både lärren och eleven h en bild v vilk kvlittiv nivåer och kunskpskvliteter som är v betydelse för den ktuell giften (Giot, 2006). Httie och Timberley (2007) utgår från tre områden som är betydelsefull i smbnd med återkoppling till eleven. De är: Feed Up - hur elevens kunskper ser ut i förhållnde till kunskpskrven; Feed Bck - visr vr eleven för tillfället befinner sig i sitt lärnde; Feed Forwrd - sk ge eleven lysning om hur denne konkret kn gå vidre i sin kunskpsutveckling (..). Blck och Wilim (2010) menr tt formtiv bedömning med fokus på återkoppling hjälper elever tt höj sin studieresultt, frmförllt lågpresternde elever hjälps. Elever som själv är involverde i bedömningsprocessens olik steg ger positiv effekter på lärndet. Peltenburg, vn den Heuvel Pnhuizen och Doig (2009) tlr om dynmisk bedömning som särskilt svgre elever kn dr nytt v då den genom sin flexibilitet och tillgång till olik typer v rtefkter gör det möjligt tt finn elevers dold kompetenser. Artefkter kn hjälp elever tt reflekter över sin räknefärdigheter vilket innebär tt de blir mer ktiv i sitt lärnde (.). Formtiv bedömning kn enligt Hodgen och Wilims (2006) nvänds som ett inlärningstillfälle om elevern ges möjlighet tt reflekter och diskuter de mtemtisk giftern. I diskussionen nvänder och utvecklr de sitt mtemtisk språk. Vidre menr Ahlberg (2001) tt en undervisning som grundr sig på vrition, kommuniktion melln lärre- elev och elever emelln hjälper eleven tt medvetndegör både sin egn räknestrtegier och ndrs. Genom tt reflekter över olik lösningsstrtegier v ett problem kn eleven utveckl en djupre mtemtisk förståelse (.). Det kn ses som en del i bedömningsrbetet där lärren får möjlighet tt se elevens mtemtisk kunnnde ur olik perspektiv. Lärren bör därför vrier bedömningsformern så tt vrje enskild elev får möjlighet tt vis sitt kunnnde (Pettersson, 2010). I föreliggnde studie nvänds ett muntligt dignosmteril som underlg för intervjuern smtidigt som eleverns tillväggångssätt vid uträkningrn observerdes. Det dignostisk mterilet hr till syfte tt ge lärren stöd tt se vr eleven för tillfället befinner sig i sitt kunnnde i mtemtik (Skolverket, 2010c). Det är också ett stöd för tt bedöm om elevern hr nödvändig kunskp för tt klr v tt nå åldersrelevnt mål. Det dignostisk mterilet är således ett steg i bedömningsprocessen och ger lärren kunskp om vr eleven befinner sig i sitt lärnde men också hur eleven sk gå vidre i sin kunskpsutveckling. Vid bedömning v yngre elevers tlfttning är det 14
v ytterst vikt tt nlyser eleverns räkne- och tnkestrtegier (.). För tt lärre sk få red på hur elever tänker när de löser en gift nser McIntosh (2010) tt den enskild intervjun är den optiml metoden, i och med tt det enligt Skolverket (2010) enbrt är den visde kunskpen som kn bedöms. Det ställer stor krv både på den som sk bedöm och den som bedöms. Lärre måste skp situtioner och smtlstillfällen i undervisningen där eleven får chns tt vis sin kunskper. Smtidigt måste eleven vr medveten om tt denne är tvungen tt vis sin kunskper för tt det sk vr möjligt (.). Metod Vilken metod som nvänds i en studie hr en väsentlig betydelse för resulttets värde och utseende (Vetenskpsrådet, 2011). För tt synliggör eleverns tnkesätt när de löser en gift är den enskild intervjun den optiml metoden tt föredr (Doverborg & Prmling, 2000; McIntosh, 2010). Syftet med intervjun är enligt McIntosh tt eleven sk få vis och berätt hur denne tänker smtidigt som lärren får en bild v elevens tillväggångssätt när eleven löser en gift. Med tnke på tt jg ville gå in på djupet inom ett begränst område i mtemtiken och skff mig detljerde beskrivningr v eleverns tillväggångssätt och strtegier när de tog sig n mtemtikgifter inom området tlfttning är kvlittiv elevintervjuer fördelktigt (Brymn, 2002; Kvle & Brinkmnn, 2009). Urvl Elevintervjuern genomfördes på olik skolor. Tretton elever i årskurs 3-5 intervjudes. Sex v elevern vr pojkr och de övrig sju vr fickor. Fördelningen melln årskursern vr följnde: årskurs 3 sju elever, årskurs 4 tre elever och årskurs 5 tre elever. Genom personlig kontkter med lärre och specillärre hr elevunderlget tgits frm. Urvlet v elevern vr ej slumpmässigt utn bserdes på eleverns svårigheter i mtemtik och då främst med den grundläggnde tlfttningen. Elevern vldes ender ut v klsslärren eller specillärre utifrån elevens redn visde svårigheter med tlfttning eller tt klsslärren kände en llmän oro för elevens mtemtikkunskper. Det vr även lärren eller specillärren som kontktde och informerde berörd elever och föräldrr om syftet med intervjun. Ungefär hälften v elevern som deltog hde eller hde hft specilpedgogiskt stöd för sin mtemtiksvårigheter. Beskrivning v muntlig elevdignos I studien nvändes den muntlig dignosen Individuell smtl (se bilg 1) som ingår i Dignostisk gifter i mtemtik för nvändning i de tidig skolåren (Skolverket, 2010c). Syftet med det dignostisk mterilet är tt ge lärre stöd för bedömning v elevers mtemtikkunskper. Mterilet kn nvänds som ett nturligt inslg i den ordinrie undervisningen, där betoningen ligger på tt förstå hur elever hr kommit frm till sin svr. Viktigt är tt nlyser hur eleven hr rbett med giftern och vilk kvliteter de olik lösningrn hr (Skolverket, 2010c. s 6). Mterilet hr rbetts frm utifrån Lpo 94 och kursplnen i mtemtik och inriktr sig främst på elever i årskurs 2 men kn med fördel nvänds i ndr årskurser. Det individuell smtlet kn nvänds till elever som hr svårigheter i mtemtik och frmförllt med tlfttning. Testet består v 18 gifter och sker muntligt. I och med tt dignosen är muntlig och sker genom smtl melln 15