Optimering av ett småskaligt vattenkraftsystem

Transkript

1 Optmerng av ett småskalgt vattenkraftsystem Examensarbete utfört av Magnus Sunnefors Tomas Vanonpää X-ETS-/EES 0530 Elektro- och Systemteknk Elektrska energsystem

2

3 Sammanfattnng Sammanfattnng Det här examensarbetet behandlar säsongsplanerng av ett småskalgt vattenkraftsystem. Systemet som studen utförs på ägs och drvs av Mälarenerg Vattenkraft AB och utgörs av fyra åsystem med sammanlagt 24 vattenkraftverk och ett antal dammar. Total nstallerad effekt systemet är 43,75 MW. De flesta av kraftverken räknas som småskalga och har därför rätt tll elcertfkat. I arbetet formuleras planerngen som ett optmerngsproblem där målet är att maxmera ntäkterna under peroden med hänsyn tll hydrologska bvllkor samt fysska och jurdska begränsnngar. För att ge läsaren bakgrund tll problemet nleds arbetet med en orenterng som tar upp vattenkraft, systemplanerng, elmarknaden och optmerng. En stor del av arbetet behandlar modellerng av vattenkraftsystemet och resulterar att två olka modeller har tagts fram. Båda dessa modeller nkluderar bland annat gångtd och maxmala tappnngsförändrngar. Det som skljer modellerna åt är hur produktonen kraftverken representeras. Den första modellen är en lnjär heltalsmodell (MILP) där produktonen kraftverken beskrvs med både heltal och kontnuerlga varabler, där även mnmala tappnngar, förbjudna ntervall och cke avtagande margnella produktonsekvvalenter fnns medtagna. Den andra modellen är en cke-lnjär modell (NLP) som tll skllnad från den första tar med en förenklad form av höjdberoende men här måste stället några av de andra egenskaperna utelämnas. För att lösa optmerngsproblemet används matematsk programmerng med programmet GAMS. I GAMS kan de beskrvna modellerna och det numerska underlaget för systemet formuleras och optmeras. Ett antal testfall med olka förutsättnngar genomförs för att studera hur det skulle kunna vara optmalt att drva systemet och vlka faktorer som dentferas som vktga. Smulerngsresultaten är omfattande och ett ntressant urval av dessa analyseras och presenteras rapporten.

4

5 Abstract Abstract Ths master thess covers the seasonal plannng of a small scale hydropower system. The system n ths study s owned and operated by Mälarenerg Vattenkraft AB. The total system conssts of 4 dfferent man rvers wth 24 hydropower statons and several dams. The total nstalled power n the system s MW. Most of the hydropower statons are regarded as small scale hydropower statons and thus enttled to green certfcates. In ths report the ssue of plannng s formulated as an optmzaton problem. The objectve s to maxmze the revenue durng a gven perod, whle consderng hydrologcal couplngs, physcal and legal lmtatons. To provde some orentaton and background to the problem the frst chapters n the report cover hydropower, system plannng, the electrcal market and optmzaton. An essental part of the work conssts of modelng of hydropower systems and two dfferent models are accomplshed. Both models nclude delay tme and maxmum dscharge changes among other thngs. The frst model s a mxed nteger lnear model (MILP) where the power producton s expressed n ntegers and contnuous varables. Mnmal dscharge, prohbted ntervals and non decreasng margnal producton equvalent are also ncluded. The second model s a nonlnear model (NLP) that n contrast to the frst model ncludes smplfed head dependence. On the other hand some other property must be left out. To solve the optmzaton problem mathematcal programmng n GAMS s used. In GAMS the descrbed models and the basc numercal data for the system can be formulated and optmzed. A number of test cases wth dfferent condtons are made to study how the system could be run optmally and what factors that can be dentfed as mportant. The results of the smulatons are extensve and an nterestng selecton of these are analyzed and presented n the report. v

6 v

7 Förord Förord Det här examensarbetet är utfört vd avdelnngen för Elektrska Energsystem som är en del av Kunglga Teknska Högskolan Stockholm. Arbetet har genomförts åt Mälarenerg Vattenkraft AB Hallstahammar, under sommaren och hösten år Den här uppgften har nneburt en hel del arbete för oss, där dagarna blandats av entusasm över nya upptäckter och förtvvlan då saker nte fungerat som avsett. I stort har det dock vart en mycket ntressant och utmanande td som gvt oss många lärdomar. En av dessa är att problemet nte är löst bara för att en fungerande modell har formulerats, utan det är nu som stora delar av själva arbetet börjar. De modeller som v använt oss av har vuxt fram under arbetets gång. Först som små enkla modeller och sedan takt med att kunskaperna ökat har de blvt större och mer avancerade för att möta önskan av att nkludera fler faktorer. Programmet GAMS som v använt oss av har gjort denna utvecklng möjlgt, då det är flexbelt och överskådlgt att jobba med. Det är ovärderlgt att snabbt kunna testa nya déer på ett enkelt vs. Först och främst vll v tacka vår uppdragsgvare Mats Lndberg för ntatvet tll examensarbetet och för det ntressanta studebesöket vd några av de vattenkraftsanläggnngar som fnns med optmerngen. V vll också passa på att tacka Göran Algroth och Ulf Andersson vd Mälarenerg för att de delat med sg av sn stora kunskap om systemet och för deras outtröttlga tålamod nför våra frågor. V vll tacka vår handledare Magnus Olsson för stöd under arbetets nlednng och för många gvande dskussoner krng optmerng av vattenkraftsystem. V vll också ge ett stort tack tll vår examnator Lennart Söder för ntressanta déer under arbetets gång och för välgenomtänkt och bra krtk under förpresentatonen. V vll även tacka Mkael Ameln och Eln Broström för konstruktva förslag på förändrngar av rapporten och det muntlga framförandet. Magnus Sunnefors och Tomas Vanonpää Stockholm, november 2005 v

8 v

9 Innehållsförtecknng Innehållsförtecknng Sammanfattnng... Abstract...v Förord... v Innehållsförtecknng...x Lsta med fgurer och tabeller... x Nomenklatur och förkortnngar...xv 1 Inlednng Bakgrund Syfte Vattenkraft Vattenkraftens utvecklng Småskalg vattenkraft Ström- och magasnskraftstatoner Turbner Kaplanturbner Francsturbner Peltonturbner Mljöeffekter Systemplanerng Elektrsk energ Sverge Drft av elsystemet Prmärreglerng Sekundärreglerng Olka planerngshorsonter Systemutbyggnadsplanerng Långtdsplanerng Säsongsplanerng Korttdsplanerng Elmarknad Avreglerng av elmarknaden Den svenska elmarknaden Systemansvarg Elhandelsföretag Nätägare Marknadsplatser Den fysska elmarknaden Den fnansella elmarknaden Elcertfkat Optmerng Matematsk formulerng och problemklassfcerng Lnjärprogrammerngsproblem...18 x

10 Innehållsförtecknng Dualtet Ickelnjära problem Heltalsproblem Nätverksproblem Modellerng av vattenkraft Effekt, energ och verknngsgrad Tappnngar Elprodukton Verknngsgrader och produktonsekvvalenter Lnjärprogrammerngsmodell Heltalsmodell Lnjär heltalsmodell Ickelnjär modell Ickelnjär heltalsmodell Vattendomar Tllrnnng Spll Gångtd Hydrologska bvllkor Maxmala tappnngsförändrngar Magasn Intalvärden Magasnsnnehåll Tdgare tappnngar och spll Elmarknadens påverkan Elprs Elcertfkatsprs Målfunkton Övrga hjälpfunktoner Andra påverkansfaktorer Drftstörnngar och reparatoner Dammläckage och kanaltrafk Formulerng av optmerngsproblemet Systemet Datansamlngen Tllrnnng Våt- och torrår Kraftstatoner och magasn Fallhöjder Produktonsekvvalenter och mnmala tappnngar Maxmal tappnng Maxmala tappnngsförändrngar Magasnsareal Dämnngs- och sänknngsgränser Mnmalt spll Maxmalt spll Gångtder...53 x

11 Innehållsförtecknng 7.4 El- och elcertfkatsprser Forwards Elcertfkatsprser Intalvärden GAMS GDX-gränssntt Programmets upplägg Lösnngstder och kommentarer Testfall Presentaton av testfall Testfall Testfall Testfall Testfall Testfall Kommentar tll resultat Resultat och analys av testfall Resultat från testfall 1, lnjär heltalsmodell Kommentar tll testfall 1, lnjär heltalsmodell Resultat från testfall 1, fallhöjdsberoende modell Kommentar tll testfall 1, fallhöjdsberoende modell Resultat och analys av testfall Kommentar tll testfall Resultat och analys av testfall Kommentar tll testfall Resultat och analys av testfall Resultat och analys av testfall Kommentar tll testfall 4 och testfall Slutsatser Förslag på fortsatt arbete Modellförbättrngar Kvalteten på ndata Fortsatta studer...99 Appendx A: Åsystemet Appendx B: Kraftverken systemet Appendx C: Produktonskurvor Referenser x

12 x

13 Lsta med fgurer och tabeller Lsta med fgurer och tabeller Tabell 3.1: Elprodukton Sverge år Fgur 4.1: Den svenska elmarknaden bld från [19] Fgur 4.2: Produktonskällor berättgade tll elcertfkat bld från [19] Fgur 6.1: Producerad effekt som en funkton av tappnngen med två turbner Fgur 6.2: Relatv verknngsgrad Fgur 6.3: Modell med ett lnjärt segment Fgur 6.4: Modell med tre lnjära segment Fgur 6.5: Lnjär heltalsmodell med tre punkter och ett segment Fgur 6.6: Defnton av höjder för beräknng av korrektonsfaktor...33 Fgur 7.1: De ngående åarna systemet bld från [23] Fgur 7.2: Tllrnnngsprofl fyra utvalda statoner...49 Fgur 7.3: El- och elcertfkatsprsprofl...54 Fgur 9.1: Utvalda magasnsnnehåll Svartån, testfall Fgur 9.2: Utvalda magasnsnnehåll Arbogaån, testfall Fgur 9.3: Utvalda magasnsnnehåll Kolbäcksån, testfall Fgur 9.4: Magasnshöjden Vrsbo, testfall Fgur 9.5: Utvalda magasnsnnehåll Hedströmmen, testfall Fgur 9.6: Tappnngar kraftverken Svartån, testfall Fgur 9.7: Tappnngar kraftverken Arbogaån, testfall Fgur 9.8: Utvalda tappnngar kraftverken Kolbäcksån, testfall Fgur 9.9: Utvalda tappnngar kraftverken Hedströmmen, testfall Fgur 9.10: Utvalda effekter kraftverken Kolbäcksån, testfall Fgur 9.11: Spll förb kraftverken Svartån, testfall Fgur 9.12: Spll förb kraftverken Arbogaån, testfall Fgur 9.13: Utvalda spll förb kraftverk Kolbäcksån, testfall Fgur 9.14: Producerad energ Svartån, testfall Fgur 9.15: Producerad energ Arbogaån, testfall Fgur 9.16: Producerad energ Kolbäcksån, testfall Fgur 9.17: Producerad energ Hedströmmen, testfall Fgur 9.18: Målfunktonsvärden, testfall Fgur 9.19: Utvalda magasnsnnehåll Svartån, testfall 1 höjdberoende Fgur 9.20: Utvalda magasnsnnehåll Arbogaån, testfall 1 höjdberoende...80 Fgur 9.21: Utvalda magasnsnnehåll Kolbäcksån, testfall 1 höjdberoende...80 Fgur 9.22: Utvalda magasnsnnehåll Hedströmmen, testfall 1 höjdberoende Fgur 9.23: Utvalda spll Kolbäcksån, testfall 1 höjdberoende Fgur 9.24: Spll förb kraftverken Svartån, testfall Fgur 9.25: Utvalda magasnsnnehåll Kolbäcksån, testfall Fgur 9.26: Målfunktonsvärden, testfall Fgur 9.27: Utvalda magasnsnnehåll Kolbäcksån, testfall Fgur 9.28: Utvalda tappnngar Hedströmmen, testfall Fgur 9.29: Utvalda effekter Kolbäcksån, testfall Fgur 9.30: Utvalda magasnsnnehåll Kolbäcksån, testfall Fgur 9.31: Utvalda tappnngar Hedströmmen, testfall Fgur 9.32: Utvalda spll Arbogaån, testfall Fgur 9.33: Producerad energ Svartån, testfall 1, 4 och Fgur 9.34: Producerad energ Arbogaån, testfall 1, 4 och Fgur 9.35: Producerad energ Kolbäcksån, testfall 1, 4 och Fgur 9.36: Producerad energ Hedströmmen, testfall 1, 4 och Fgur A.1: Arbogaån x

14 Lsta med fgurer och tabeller Fgur A.2: Svartån Fgur A.3: Kolbäcksån Fgur A.4: Hedströmmen Tabell B.1 Kraftverken systemet Fgur C.1: Produktonskurva för Jäder Fgur C.2: Produktonskurva för Ramnäs xv

15 Nomenklatur och förkortnngar Nomenklatur och förkortnngar Varabler Förklarng E (k) Energ producerad kraftverk, tdsenhet k h (k) Magasnshöjd magasn tdsenhet k, alltd aktuellt höjdsystem hkorr (k) Korrgerngsfaktor för producerad effekt, kraftverk, tdsenhet k P (k) Producerad effekt kraftverk, tdsenhet k q ( k) Tappnng genom kraftverk under tdsenhet k ( k) q j, Tappnng segment j, kraftverk under tdsenhet k qp j, ( k) Tappnng den lnjära heltalsmodellen, segment j, kraftverk, tdsenhet k s Spll förb staton under tdsenhet k ( k) Vc (k) Intäkt av producerade elcertfkat kraftverk, tdsenhet k Ve (k) Intäkt av producerad energ kraftverk, tdsenhet k Vsc Vse ( k) Intäkt av sparat vatten form av elcertfkat kraftverk Intäkt av sparat vatten form av energ kraftverk x Innehållet magasn, början av tdsenhet k y j, ( k) Bnär kontrollvarabel för segment j, kraftverk, tdsenhet k Z Målfunkton z p, ( k) Bnär segmentvarabel för punkt p, kraftverk, tdsenhet k Parametrar Förklarng A Magasnsareal, staton Ce (k) Elprs tdsenhet k Cc (k) Elcertfkatsprs tdsenhet k Cse Förväntat elprs för sparat vatten slutet av planerngsperoden Csc Förväntat elcertfkatsprs för sparat vatten slutet av planerngsperoden DG Dämnngsgräns för kraftverk, tdsenhet k aktuellt höjdsystem D j H j k ( k) Gångtd hela dygn Fallhöjd för kraftverk Index för staton Index för segment Index för planerngsenhet xv

16 Nomenklatur och förkortnngar ks Td efter planerngsperodens slut alltså ( K +1) M n P p p p Stort tal som används M-metoden Antal segment kraftverk Installerad effekt kraftverk Index för punkt Antal punkter defnerade för kraftverk Pp Effekt punkt p, kraftverk, sett som öknng från tdgare punkt q q j, Maxmal tappnng genom kraftverk Maxmal tappnng den lnjära modellen för segment j, kraftverk q p j, Maxmal tappnng den lnjära heltalsmodellen för segment j, kraftverk q, Mnmal tappnng den lnjära heltalsmodellen för segment j, p j kraftverk Flöde den lnjära heltalsmodellen för punkt p kraftverk sett som öknng från tdgare punkt qt Tdgare tappnngar vd kraftverk, tdsenhet k qp p, ( k) δ q (k) Tllåten tappnngsförändrng kraftverk, tdsenhet k s ( k) Maxmalt spll förb kraftverk under tdsenhet k s ( k) Mnmalt spll förb kraftverk under dag k SG ( k) Sänknngsgräns för kraftverk, tdsenhet k aktuellt höjdsystem st ( k) Tdgare spll vd staton, tdsenhet k δ s (k) Tllåten spllförändrng kraftverk, tdsenhet k Gångtd hela tmmar T j w ( k) Naturlg tllrnnng tll staton under tdsenhet k x ( k) Maxmalt magasnsnnehåll, kraftverk, tdsenhet k γ Produktonsekvvalent, segment j, kraftverk j, γ max Högsta produktonsekvvalent vd kraftverk δ k Maxmalt tllåtna tappnngsförändrngen vd kraftverk, mellan q ( ) tdsenhet k och k-1 Relatv verknngsgrad, kraftverk μ Genomsnttlg produktonsekvvalent kraftverk η g μ j, Margnell produktonsekvvalent segment j, kraftverk μ p j, Margnell produktonsekvvalent för den lnjära heltalsmodellen segment j, kraftverk τ j, Gångtden från staton j tll staton, vlken är den närmaste statonen nedom strömmens rktnng xv

17 Nomenklatur och förkortnngar Mängder D I Ig J K N Ng Förklarng Mängden dagar nnan planerngsperoden med defnerade tappnngar och spll Mängden av alla statoner Mängden av alla kraftverk som producerar elcertfkat Mängden statoner drekt uppströms en vss staton Mängden planerngsenheter planerngsperoden Mängden av samtlga kraftverk nedströms kraftverk nklusve kraftverk Mängden av samtlga kraftverk med rätt tll elcertfkat, nedströms kraftverk, nklusve kraftverk där även har rätt tll elcertfkat. Förkortnng Förklarng DG GAMS GDX LP MILP NLP SG Dämnngsgräns General Algebrac Modelng System GAMS Data Exchange Lnear Problem Mxed Integer Lnear Problem Non Lnear Problem Sänknngsgräns xv

18 xv

19 1 Inlednng 1 Inlednng 1.1 Bakgrund Vattenkraften har sedan länge vart mycket vktg för ndustrn och samhället eftersom den är en stor producent av ren och bllg energ. Tllgången på vattenkraft var en vktg förutsättnng för ndustrns etablerng delar av Sverge krng förra sekelskftet. Några av dessa tdga kraftverk producerar fortfarande dag delar av den elektrctet vårt samhälle är beroende av. Många av dessa tdga kraftverk var med dagens mått mätt småskalg vattenkraft, vlken sedan ett par år tllbaka berättgar tll elcertfkat för producerad energ. De elcertfkaten ger ett rejält ekonomskt tllskott för dessa små kraftverk, vlket har lett tll att det blvt mer lönsamt att drva denna typ av kraftverk. Mälarenerg Vattenkraft AB äger dag 24 kraftverk fördelade fyra åsystem, som alla mynnar ut Mälaren. Av dessa kraftverk räknas 21 stycken tll småskalga kraftverk vlket berättgar tll elcertfkat. De övrg tre kraftverken är större och står tllsammans för ungefär halva nstallerade effekten. Från en elproducents synvnkel är det gvetvs ntressant att maxmera ntäkterna under en perod och för att uppnå detta måste producenten planera sn verksamhet genom att tll exempel undersöka hur ntäkterna påverkas vd olka scenarer. Att göra en optmal planerng för ett vattenkraftsystem vsar sg snart vara ett ntressant, stort och komplcerat problem. För att optmera utnyttjandet av vatten ett befntlgt vattenkraftsystem är matematsk programmerng ett kraftfullt hjälpmedel. För att kunna använda sg av detta behövs en bra modell som nkluderar systemets egenskaper. Valet av modell och den systemspecfka nformaton som lgger tll grund för modellen kommer att spela en stor roll för hur relevanta resultaten blr. Tll den systemspecfka nformatonen hör all data som beskrver de systemet ngående turbnerna, magasnen, jurdska begränsnngarna och strukturen. Vattenkraften är tacksam att optmera för den är enkel att reglera genom att vattnet kan lagras magasn från peroder med god tllgång på vatten tll peroder med sämre tllgång eller högre elprs. Det fnns faktorer som komplcerar planerng ytterlgare, den framtda tllgången på vatten och vd vlket elprs produktonen kan säljas är okända. För att kunna göra en planerng som maxmerar ntäkten måste detta modelleras på något lämplgt sätt. 1

20 1 Inlednng 1.2 Syfte Syftet med detta examensarbete är att ta fram en optmerngsmodell för säsongsplanerng av ett vattenkraftsystem som ägs och drvs av Mälarenerg Vattenkraft AB. Målet med optmerngen är att maxmera värdet av ntäkterna under peroden och undersöka ett par faktorer som dentferas som vktga för detta. Upplösnngen planerngen ska vara på dygnsbass. För att kunna genomföra detta måste en lämplg matematsk modell av systemet formuleras, lämplg programvara, som tar hänsyn tll fysska begränsnngar, hydrologska kopplngar och jurdska bvllkor form av vattendomar. För att lösa detta behövs dessutom någon form av modell för hur elprset och tllrnnngen kommer att varera under den perod som optmerngen avser. Vdare fnns det önskemål om att mnmala tappnngar, förbjudna ntervall, gångtder och höjdberoende ska tas med modellen. 2

21 2 Vattenkraft 2 Vattenkraft 2.1 Vattenkraftens utvecklng Männskan har sedan länge tagt hjälp av vattnets resurser för att utföra arbete. Redan på 1200-talet började vattenhjulet komma tll användnng Sverge [15]. Eftersom vattenfallet och den plats där energn behövdes ofta låg rätt långt från varandra var det tvunget att transportera energn på något sätt. Nästa steg utvecklngen Sverge kom början av 1600-talet då energ överfördes med hjälp av så kallade stånggångar från vattenfall tll gruvor. Prncpen var att koppla hop trästänger med vlka vattenhjulets roterande rörelser kunde överföras tll en fram och återgående rörelse, dock var verknngsgraden med dagens mått mätt väldgt låg. Det egentlga genombrottet för utnyttjade av vattenkraften för elprodukton kom samband med att generatorn uppfanns. Den första vattendrvna generatorn Sverge hade en effekt på tre hästkrafter och togs drft år 1882 [7]. Under talet togs de första växelströmssystemen bruk och den första trefasöverförngen Sverge nvgdes 1893, vlket möjlggjorde överförng av el över längre sträckor. Den nya teknken, stenkolprsernas markanta öknng samt att verknngsgraden på dåtdens ångturbner var låg, gjorde att det under 1890-talet skedde en kraftg utbyggnad av vattenkraften Sverge. År 1885 stod vattenkraften för 18 % av elproduktonen och steg tll 60 % år Vattenkraftsutbyggnaden fortsatte stor skala fram tll 1970-talet. Vattenkraften har vart av stor betydelse för utvecklngen av Sverge som ndustrnaton. För att hålla jämna steg med vattenkraftsutbyggnaden allt längre norr ut landet var det tvunget att uppföra ett väl fungerande överförngssystem från norr tll söder där många elkonsumenter fanns [7]. För att göra detta behövde teknken för effektöverförng förbättras genom att höja systemspännngen tll 220 kv och senare tll 400 kv [1], men även nförandet av serekompenserng [7]. En starkt bdragande orsak tll att Sverge är ett av de ledande länderna för utvecklng av kraftöverförngsteknk är vattenkraftens geografska placerng förhållande tll befolknngen och den tunga ndustrn. De senaste 15 åren har nte mycket ny vattenkraft byggts Sverge, dels för att de bästa lägena redan har utnyttjats, dels för att många vattendrag har blvt undantagna från vattenkraftsutbyggnad. Istället har ntresset ökat för att effektvsera de gamla anläggnngarna för att nå bättre verknngsgrad och förenkla drft och underhåll. Även EU-drektvet om främjande av elprodukton från förnybara energkällor, 2001/77/EG, och nförandet av elcertfkat har gjort att satsnngen på upprustnng av vattenkraftverk blvt större [15]. 3

22 2 Vattenkraft 2.2 Småskalg vattenkraft Vattenkraften Sverge startade som småskalg eftersom det var svårt att bygga stora turbner början. För att ett vattenkraftverk ska räknas som småskalgt får den nstallerade effekten vara högst 1500 kw. Det fnns ungefär 1600 små vattenkraftverk Sverge fördelade över hela landet och de bdrar med ca 2 TWh per år. Detta kan jämföras med de ungefär 500 vattenkraftverk med en effekt större än 1500 kw som producerar ca 63 TWh per år som genomsntt [15]. 2.3 Ström- och magasnskraftstatoner En uppdelnng av vattenkraftstatoner är ström- och magasnskraftstatoner [7]. I ett strömkraftverk fnns det endast lten möjlghet att reglera uteffekten, stället är det vattenförngen som styr. Vattenförngen är naturlg tllrnnng och även tappnngen från uppströms lggande vattenkraftverk om något sådant exsterar. Ett magasnskraftverk kan magasnera en större mängd vatten som används efter det behov som fnns och vd de tdpunkter det är mest ekonomskt, vlket är tlltalande ur ett systemperspektv. Vattenkraftverk delas upp olka klasser beroende på nstallerade effekt. Kraftverk med en effekt under 100 kw benämns mkrovattenkraftverk [16]. De kraftverk som har en effekt mellan 100 och 1500 kw betecknas mnvattenkraftverk. Är effekten mellan 1500 kw och 10 MW kallas de medelstora kraftverk och de kraftverk som har en effekt över 10 MW benämns normalt stora vattenkraftverk. 2.4 Turbner Vattnet som samlats dammar och magasn får strömma ned genom en turbn och där omvandlas vattnets energ tll mekansk energ. Det fnns två typer av turbner, aktonsturbner och reaktonsturbner [7]. I aktonsturbner överförs rörelseenergn vattnet tll ett löphjul genom att en vattenstråle får arbeta på skovlarna. Reaktonsturbner är vanlgen helt under vatten och den kraft som uppstår då vattnet strömmar genom turbnen utnyttjas. Det fnns huvudsak tre typer av turbner som används vattenkraftverk, Kaplan-, Francs- och Peltonturbner. 4

23 2 Vattenkraft Kaplanturbner Kaplanturbner är av reaktonstyp och används vd låga fallhöjder och för effekter upp tll ca 100 MW. Vd rktgt låga fallhöjder används rörturbnen, en förenklad varant av Kaplanturbnen, där möjlgheten att anpassa turbnen efter flödet har mnskats [7]. Kaplanturbnen har reglerbara löpskovlar vlket ger en god verknngsgrad över ett stort område Francsturbner Denna turbn är också av reaktonstyp med reglerbara ledskovlar. Francsturbner används vd fallhöjder mellan ca 2 och 600 m och är helt domnerande för fallhöjder mellan 100 och 600 m [7]. Denna typ av turbn byggs för effekter upp tll flera hundra MW. Verknngsgraden kan uppgå tll %, men avtar snabbt utanför det bästa drftområdet vlket är större hos Kaplanturbnen Peltonturbner Peltonturbnen är av aktonstyp där vattnet träffar turbnens skovlar genom ett eller flera rör och turbnpådraget kan vareras genom att ventler reglerar mängden vatten [7]. En del av fallhöjden förloras eftersom löphjulet roterar luften och nedre vattenytan då lgger lägre. Peltonturbnen används företrädesvs vd de allra högsta fallhöjderna, typskt över 600 m och turbnen har bra verknngsgrad över ett ganska stort område. 2.5 Mljöeffekter Mljöpåverkan av vattenkraften är mestadels av lokal karaktär. Resursförbruknngen är störst vd byggande och utbyggnad av vattenkraften, främst genom tllverknng av stål och betong [21]. Detta medför bland annat utsläpp av koldoxd, svavel- och kväveoxder. De utsläpp som bdrar tll växthuseffekt och övergödnng kommer huvudsak från mark som vart under vatten samband med dämnng. Byggande av magasn, kraftverk och dammar nnebär en stor påverkan på landskapet. Vattnet tll och från kraftverket leds ofta långa tunnlar, vlket medför att vattenflödet en del av älven mnskar eller försvnner helt. Förändrngar av magasnsnvåerna påverkar de växter och djur som lever nära stranden. Även fskar påverkas olka grad. Dammar och kraftverk förändrar ofta de naturlga vandrngsvägarna, främst för laxfskar. Många av de vattenkraftanläggnngar som fnns dag byggdes ursprunglgen under första hälften av 1900-talet och då hanterades mljöfrågorna annorlunda än dag. Några åtgärder som kan göras för 5

24 2 Vattenkraft att mnska de negatva effekterna på växt- och djurlvet är att tll exempel tappa en del vatten den ursprunglga älvfåran, bygga fsktrappor och konstgjorda lekområden. En väldgt tlltalande egenskap hos vattenkraften är att nga växthusgaser, som koldoxd släpps ut vd själva elproduktonen. Det produceras nte heller kväveoxder, som det görs vd nästan all förbrännng. På det hela taget nnebär en försktg utbyggnad av vattenkraften nte alltd något större ngrepp på djur- och växtlvet, även om en utbyggnad är ett ntrång naturen som prncp allt annat som byggs [7]. 6

25 3 Systemplanerng 3 Systemplanerng 3.1 Elektrsk energ Sverge Den totala elproduktonen Sverge är storleksordnngen 140 TWh per år [4], 2004 uppgck den tll 148,5 TWh och den totalt nstallerade effekten var MW [11]. Kärnkraften och vattenkraften domnerar helt elproduktonen Sverge. Vndkraften har byggts ut de senaste åren, men produktonen är än fortfarande relatvt lten. Den fossl- och bobränsle eldade värmekraften bdrar med 5-10 % av elproduktonen. Elprodukton TWh Sverge 2004 Vattenkraft 59,5 Vndkraft 0,9 Kärnkraft 75,0 Övrg 13,1 värmekraft Elprodukton 148,5 totalt Tabell 3.1: Elprodukton Sverge år Den totala elanvändnng år 2004 Sverge var 146,4 TWh. Vädret har stor betydelse för Sverges el-konsumton och produkton. Storleken på nederbörden och därmed tllrnnngen tll vattenmagasnen och vattenkraftverken spelar en vktg roll för elproduktonen. Elförbruknngen påverkas av temperaturen, framför allt uppvärmnngen av bostäder och lokaler. 3.2 Drft av elsystemet Sverge är sammankopplat elektrskt med de andra nordska länderna Fnland, Norge och Danmark och det fnns även HVDC förbndelser tll Tyskland och Polen [1]. Ett elsystem består av produktonskällor och slutförbrukare som är sammankopplade med kraftlednngar och transformatorer. Det svenska elsystemet mellan producenterna och konsumenterna kan delas n tre nvåer, stamnät, regonala elnät och lokala elnät [11]. De flesta elanvändare är anslutna tll ett lokalt elnät och de är sn tur anslutna tll ett regonalt elnät. De regonala elnäten är anslutna tll stamnätet. Det svenska stamnätet har tll uppgft att överföra stora energmängder och består av totalt crka km långa 400- och 220 kv kraftlednngar och ungefär 150 7

26 3 Systemplanerng transformator- och kopplngsstatoner samt förbndelser med utlandet. Regonalnätet har stort samma uppgfter som stamnätet, men täcker ett mndre område och arbetar 20 tll 130 kv området. Det lokala elnätet brukar delas upp lågspännng, 400/230 V, högspännng kv som överför och fördelar den el som tas ut från regonnätets fördelnngsstatoner tll slutförbrukarna. Totalt omfattar det svenska elnätet km och leveranssäkerheten är 99,97 % [19]. Svenska Kraftnät sköter stamnätet för elkraft och har systemansvar för den svenska elförsörjnngen. Detta ansvar nnebär att se tll att elsystemet är balans och att dess produktonsanläggnngar samverkar drftsäkert. Denna balans, mellan hur mycket energ som produceras och konsumeras, är mycket vktg då elektrsk energ nte kan lagras. För att hålla balansen behövs det reglerng form av prmär- och sekundärreglerng Prmärreglerng Frekvensen nätet ska ständgt hållas mellan gränsvärdena 49,9 och 50,1 Hz [19]. För att klara av detta behövs det frekvensreglerng. Prmärreglerngen avser kraftsystemets möjlghet att svara på hastga last- och produktonsvaratoner och sköts separat för varje synkront kraftsystem [1]. En varaton produkton eller konsumton gör att frekvensen nätet ökar eller mnskar. För att fnjustera balansen elsystemet regleras produktonen ett antal vattenkraftverk automatskt. Vattenkraften är lämplg för att reglera lastvaratoner därför att turbnreglerngen är ganska enkel och om det skulle behövas är start- och stoppkostnader lägre än för värmekraft och avsevärt jämfört med kärnkraft [7]. I Norden fnns en överenskommelse hur mycket reglereffekt varje land är skyldg att ha beredskap för prmärreglerngen Sekundärreglerng Efter att prmärreglerngen har återskapat balansen mellan produkton och konsumton, tll exempel efter en laständrng, är den nya stabla frekvensen nte längre 50 Hz [1]. Dessutom har en del av systemets resurser använts, vlket gör att det kan bl svårare att möta nya förändrngar av balansen. Här kommer sekundärreglerngen n, och dess vktgaste funktoner är att återställa frekvensen tll 50 Hz och ersätta utnyttjad prmärkraft. Sekundär balansreglerng är en manuell upp- eller nedreglerng av kraftverk och sker form av kraftaffärer med de balansansvarga som skrvt avtal med Svenska Kraftnät om att delta balansreglerngen [19]. Genom att starta upp nya kraftverk, som nte tdgare deltagt prmärreglerngen, kommer frekvensen att återställas och reservkraften prmärreglerngen ersättas med dessa. 8

27 3 Systemplanerng 3.3 Olka planerngshorsonter Från en elproducents synvnkel är målet att maxmera ntäkterna under en perod och för att uppnå detta mål måste producenten planera sn verksamhet [2]. Eftersom energsystem är komplcerade, stora och vars förlopp nte exakt kan förutsägas, är det en omöjlghet att planera systemet mnsta detalj under en längre tdsperod [4]. På grund av att det fnns en slumpmässghet varablerna måste också planerngen göras om fortlöpande. Dessa svårgheter och att olka tdsperoder är ntressant att planera över gör att det är lämplgt att dela upp planerngsproblem kategorer. En vanlg uppdelnng är följande: systemutbyggnadsplanerng, långtdsplanerng, säsongsplanerng, veckoplanerng och daglgplanerng. Ofta sammanfattas veckoplanerng och daglgplanerng under korttdsplanerng Systemutbyggnadsplanerng Denna typ av planerng kan sträcka sg upp mot 30 år framåt tden. Producenten gör upp en strateg för att bygga nya anläggnngar för att generera elektrctet med hänsyn tagen tll ökad efterfrågan på energ, mljöpåverkan och förväntade framtda kostnader [4]. Efter avreglerngen av elmarknaden har planerngen blvt svårare för producenterna, de måste också beakta hur aktuella och potentella aktörer verkar högre grad. Detta för att produktonen och marknaden är fr Långtdsplanerng Tdsperoden för långtdsplanerng handlar om 2-3 år. Målet för denna planerng är att skapa en strateg för att spara vatten de största reservoarerna, vlka kan spara vatten från ett år tll ett annat [4]. Den stora osäkerheten planerng över flera år är nflödet av vatten. Avreglerngen av elmarknaden har bdragt med osäkerheter marknaden tll planerngen [2] Säsongsplanerng Säsongsplanerng sträcker sg över en perod av 6-12 månader. I vattenmagasnen systemet är det möjlgt att lagra energ för att möta skllnaden mellan efterfrågan på elektrctet och nflödet av vatten under planerngsperoden [4]. Säsongsplanerng gör det möjlgt att fnna hur mycket vatten som optmalt ska lagras magasnen och hur mycket energ som ska produceras vattenkraftverken varje vecka. Detta gör det möjlgt att maxmera vnsten för systemet. Vktgast är det att undersöka varablerna, tll exempel vattenmagasnsnvåer och energprodukton, under de närmaste veckorna eftersom systemet planeras om kontnuerlgt. 9

28 3 Systemplanerng För att få tllförltlga resultat är det nödvändgt att använda en detaljerad modell av den hydrologska kopplngen mellan vattenmagasn och vattenkraftverk systemet. Av största vkt är också att ta hänsyn tll efterfrågan av elektrctet, nflöden av vatten tll magasnen och att teknska-, jurdska-, ekonomska- och mljöbegränsnngar uppfylls. Specellt problematskt optmerngsmodellen är nflöden av vatten tll systemet för det är svårt att göra en prognos över detta. I säsongsplanerng är tden ofta uppdelad veckoperoder Korttdsplanerng Planerng över kort td nnebär att planera systemet från 24 tmmar tll en vecka. Målsättnngen med korttdsplanerng är att anpassa tappnngarna och magasnsnvåer kraftverken tll varatoner förfrågan av energ under en dag eller vecka [2]. Producenten vll planera drften av kraftverken för att kontrakt med kunder ska uppfylldas och för att handeln på elmarknaden ska ge en så stor vnst som möjlgt, under en rmlg rsk. För denna planerng behövs än ännu mer detaljerad modell över vattenkraftverken [4] och hydrologska vllkor. Planerngen görs nära anslutnng tll den perod den ska användas vlket leder tll att osäkerheten tll exempel nflöden nte är lka stor som längre planerngsperoder. 10

29 4 Elmarknad 4 Elmarknad 4.1 Avreglerng av elmarknaden Sedan den 1 januar 1996 har elmarknaden Sverge vart avreglerad. Dessutom övergck den norska elbörsen tll en svensk-norsk elbörs. Före avreglerngen hade varje kraftbolag monopol och även skyldghet att leverera el nom ett vsst område. Det fanns ngen konkurrens mellan företagen utan stället samarbetade de nom vssa områden. Ett exempel är nom vattenkraften där det ofta är olka bolag som har vattenkraftverk samma älv [1]. Detta betyder att dessa producenter nte kan planera tappnngarna vattenkraftverken oberoende av varandra. För att lösa detta bldades det Sverge samkörnngsbolag som samordnade förslagen från de olka bolagen om hur de vlle drva sna vattenkraftverk. Efter avreglerngen har transmssons- och dstrbutonsfunktoner separerats från produktonen och marknaden [2]. I Sverge är statlgt ägda Svenska Kraftnät systemansvarg och sköter transmssonen och lokala företag sköter dstrbutonen. Både transmssonen och dstrbutonen är reglerade monopol. Däremot är elproduktonen en fr marknad där bolagen konkurrerar med varandra. Detta betyder att säljare och köpare kan sluta blaterala kontrakt med varandra. Syftet med avreglerngen var att konkurrensen skulle öka pressen på elbolagen att effektvare utnyttja sna produktons- och dstrbutonsresurser för att mnska produktonskostnaderna och följaktlgen också elprserna för konsumenterna [17], [21]. 4.2 Den svenska elmarknaden Elmarknaden består av flera självständga enheter, förutom producenter och konsumenter fnns det även andra aktörer på elmarknaden såsom elhandelsföretag, nätägare och systemansvarg [19]. 11

30 4 Elmarknad Fgur 4.1: Den svenska elmarknaden bld från [19]. I fgur 4.1 vsas den fysska transporten av el och den fnansella relatonen där el köps n och säljs vdare Systemansvarg Balansen mellan produkton och konsumton ett elsystem måste upprätthållas och någon måste vara ansvarg för att så sker [1]. Vlket nnebär ett ansvar för prmärreglerngen och ofta även för sekundärreglerngen. Detta ansvar kallas för systemansvar och Svenska Kraftnät är ägare av stamnätet och har rollen som systemansvargt företag [19] Elhandelsföretag Den aktör som handlar med el är elhandelsföretaget och kan ha flera roller dels som elåterförsäljare och dels som balansansvarg [19]. Elåterförsäljaren har ett avtal med elanvändaren om leverans av el. Balansansvar nnebär att företaget har ett ekonomskt ansvar för att produkton och konsumton av el alltd är balans nom det åtagande företaget har. För att bl balansansvargt måste företaget har ett avtal om balansansvar med systemoperatören Svenska Kraftnät. Ett företag som bedrver elhandel kan vara balansansvarg eller köpa tjänsten från ett annat företag. Elhandelsföretaget kan köpa el på den nordska elbörsen, Nord Pool, eller från en elproducent drekt. Balansansvaret är endast ett ekonomskt ansvar, det teknska ansvaret har systemoperatören Nätägare Det är nätägaren som är ansvarg för att elen transporteras från kraftverken tll elkonsumenterna. Tll skllnad från elproduktonen som är konkurrensutsatt är transmsson och dstrbuton reglerade monopol [1]. Vssa bolag eller 12

31 4 Elmarknad myndgheter har ensamrätt att dstrbuera el nom ett område. Det är nätägarens ansvar att köpa el för att täcka förlusterna nätet och att tllse att elkvalteten är tllräcklg. Statens energmyndghet (STEM) kontrollerar att nätägarna följer ellagen och nte tar ut oskälgt höga nätavgfter [19]. 4.3 Marknadsplatser Elprset Norden sätts första hand på Nord Pool som är den nordska elbörsen. Nord Pool ägs av stamnätsoperatörerna Svenska Kraftnät och Statnett Norge. Marknadsområdet nnefattas av Sverge, Norge, Danmark och Fnland. Nord Pool organserar handel med el på en fyssk och en fnansell marknad samt erbjuder clearngtjänster Den fysska elmarknaden Den fysska elmarknaden kan delas n två delar, spotmarknaden och Elbas. Spotmarknaden är en auktonsbaserad handelsplats. Där kan aktörerna köpa och sälja el på tmbass för nästföljande dygns 24 tmmar. Bud för det kommande dygnet måste lämnas n senast klockan 12 dagen nnan [1]. Prset sätts som ett jämvktsprs där utbudskurvan och efterfrågekurvan korsar varandra. Elspotprset blr ett referensprs för elmarknaden Norden, det nnebär att alla aktörer vars bud antas av elbörsen erhåller samma elprs. Om det förekommer nätbegränsnngar systemet kan det dock uppstå undantag och det kan tll exempel bl olka elprs olka regoner. År 2004 var omsättnngen på spotmarknaden 167 TWh och medelprset område Sverge var 25,6 öre/kwh [11]. Elbas öppnar för nästa dygn efter spotmarknaden stängt och är öppen för handel fram tll en tmme före leveranstmmen börjar. På Elbas omfattar ett bud en vss kvanttet tll ett vsst prs under en vss tdsperod [1]. Elbas utgör ett vktgt komplement tll spotmarknaden, eftersom marknaden ger aktörerna möjlghet att slutjustera sn balans med fysska kontrakt närmare drfttmmen och på detta sätt utjämna prognososäkerheter. Orsaken tll ett Elbas skapades var att möta de särsklda behoven från värmekraft- och vndkraftproducenter för hanterng av obalanser efter spothandeln. För termska kraftverk behövs en vss starttd och vndkraftverk är helt beroende av vädret. Oväntade händelser kan leda tll att aktörer som säljer el från dessa typer av kraftverk kan få en omfattande obalans om de nte med kort varsel kan handla sg balans. Elbas används främst av de större aktörerna Sverge och Fnland. 13

32 4 Elmarknad Den fnansella elmarknaden Nord Pool tllhandahåller en fnansell marknad där aktörerna kan handla standardserade fnansella kontakt upp tll fyra år framåt tden [14]. Syftet med den fnansella marknaden är att aktörer ska kunna säkra elprset mot förändrngar spotprset. Detta sker genom produkterna Eltermn och Elopton [13]. En Eltermn är ett avtal där parterna förbnder sg att köpa respektve sälja en mängd el tll ett bestämt prs vd en avtalad tdpunkt. Det fnns två typer av termnskontrakt på Nord Pool som kallas Futures och Forwards. Futures handlas som kontrakt på dag- eller veckobass. Forwards handlas som månadskontrakt, kvartalskontrakt och som säsongskontrakt på upp tll fyra års skt. Elopton är ett fnansellt nstrument för rskstyrnng och prssäkrng av ntäkter och kostnader framtden. Optonen ger en rättghet, men ngen skyldghet att köpa eller sälja el framtden tll ett dag bestämt prs [18]. En opton är en sorts försäkrng, där köparen betalar en avgft för att mnska sn rsk och säljaren av optonen får en preme för att ta rsken. Nord Pools clearngverksamhet nnebär att Nord Pool går n som kontraktsmotpart och garanterar att de kontrakt som handlas också uppfylls, därgenom reduceras den fnansella rsken för dem som handlat kraftkontrakt [14]. Vdare förenklas rutnerna vd handel, eftersom Nord Pool Clearng sköter admnstratonen. En relatvt stor del av handeln av el nom Norden sker va Nord Pool. Under år 2004 handlade mer än 300 aktörer [14] 167 TWh på spotmarknaden, en öknng med 40 % mot föregående år. Volymen på Nord Pools fnansella marknad uppgck tll 590 TWh år 2004 vlket är en öknng med 8 % jämfört med år 2003 [11]. 4.4 Elcertfkat Den 1 maj år 2003 trädde lagen om elcertfkat kraft [12]. Elcertfkat kallas även för elcertfkat. Prncpen för elcertfkat är att produktonen av el från förnybara energkällor får två ekonomska värden. Förutom det fysska värdet av el, dvs. prset per kwh som en producent får, fnns även ett tlläggsvärde form av ett certfkat som bekräftar att elen har producerats med förnybara energkällor. För varje MWh som produceras av förnybar el får producenten ett certfkat. För att skapa efterfrågan på elcertfkaten fnns en så kallad kvotplkt. Denna nnebär att alla elanvändare måste köpa elcertfkat för en vss andel av sn förbruknng. Kvotplkten ökar år från år och var 10,4 % år 2005 och stger successvt tll 16,9 % år 2010 och på detta sätt kan produktonen av förnybar el främjas [19]. Det vanlgaste är att elleverantören ansvarar för att köpa n elcertfkat för sna kunders räknng, men från år 2004 kan en elanvändare frvllgt ta på sg kvotplkten själv. 14

33 4 Elmarknad Fgur 4.2: Produktonskällor berättgade tll elcertfkat bld från [19]. Svenska Kraftnät utfärdar certfkaten och anläggnngar som har rätt tll elcertfkat är, vattenkraftverk med en effekt på högst 1500 kw, vndkraftverk, vågkraftverk, solenerg, geotermsk energ samt bobränsle. Elcertfkat kan prncp också lämnas för, alla vattenkraftverk som tas drft efter att lagen trädde kraft och åtgärder redan befntlga vattenkraftverk som nnebär en öknng av produktonen. Energmyndlgheten kontrollerar att kvotplkten uppfylls, samt godkänner de anläggnngar som har rätt tll certfkat. 15

34 16

35 5 Optmerng 5 Optmerng För att kunna planera tappnngar ett vattenkraftsystem på det effektvaste vs som är möjlgt vsar sg matematsk programmerng att vara ett utomordentlgt hjälpmedel. Syftet med planerngen är att maxmera den totala vnsten genom att utnyttja de resurser som fnns på bästa sätt. Detta gör att planerngen är ett optmerngsproblem. Optmerngslära är teorn som omfattar användnngen av matematska modeller och metoder för att fnna bästa handlngsalternatv olka beslutsstuatoner [8]. För att kunna använda optmerngsmodeller är en utgångspunkt att det fnns något problemframställnngen som kan vareras. Detta defnerar problemets varabler. Optmerngen blr att bestämma bästa möjlga värden på varablerna gvet ett vsst mål som är angett. Målet är uttryckt med hjälp av en målfunkton som beror på varablerna och som ska maxmeras eller mnmeras. Det fnns dock begränsnngar valet av värden på varablerna och dessa ges av ett antal bvllkor. En förutsättnng för att kunna använda modeller för optmerng är att målfunktonen och bvllkoren kan uttryckas form av precsa matematska funktoner och relatoner. För att få en lyckad lösnng måste det också fnnas tllförltlg data som stämmer väl överens med verklgheten. Att använda optmerngsmodeller för vattenkraftplanerng är önskvärt flera hänseenden. Det gör det möjlgt att göra både lång- och korttdsplanerngar där hänsyn kan tas tll ett flertal teknska, ekonomska och jurdska begränsnngar. 5.1 Matematsk formulerng och problemklassfcerng Generellt kan ett optmerngsproblem formuleras som (P) mn f ( x) då x X där f ( x) är funktonen som ska mnmeras och som beror av varablerna x = ( x...x ) T 1 n. I de allra flesta fall fnns det begränsnngar för vlka värden av x som är tllåtna, detta defneras av mängden X som är de tllåtna lösnngarna problemet. Vssa begränsnngar mängden X uttrycks ofta med hjälp av bvllkor som på allmän form kan formuleras g (x), = 1,..., m (5.1) b 17

36 5 Optmerng där g 1( x),..., g m ( x) är funktoner beroende av x och b 1,...,bm är kända konstanter. Andra begränsnngar är varablergränser [1]. Tll exempel drftplanerng av vattenkraft är spllet en varabel som har denna typ av begränsnng. Generellt kan begränsnngar av varabelgränser skrvas som x x x (5.2) där x och x är vektorer som är konstanta och som anger den undre respektve den övre begränsnngen för de tllåtna värdena på x. Ekvatonerna (5.1) och (5.2) defnerar tllsammans det tllåtna området X. En lösnng X vanlgen skrvas * x kallas optmallösnng om den mnmerar f ( x) x. Målfunktonsvärdet betecknas ofta f ( x) * * optmala värdet följaktlgen som z = f ( x ) och brukar z = och det. Problemet ovan är formulerat som ett mnmerngsproblem, men det går enkelt att omformulera det som ett maxmerngsproblem. Detta beror på att det är ekvvalent att maxmera z 1 = f 1 ( x) * * z = f = x och således är z =. 2 2 x f1 med att mnmera ( ) ( ) 2 z1 Inom optmerngen fnns det ett flertal problemklasser tll exempel lnjärprogrammerngsproblem, ckelnjära problem, heltalsproblem och nätverksproblem. Vlken klass ett problem tllhör beror på hur funktonerna f och g anges och på vlka värden som är tllåtna för varablerna [8] Lnjärprogrammerngsproblem Ett optmerngsproblem är ett lnjärprogrammerngsproblem (LP-problem) om n alla funktoner f och g är lnjära och alla varabler är kontnuerlga, alltså x R [8]. Den allmänna formen för ett LP-problem kan alltså skrvas ( ) P max z = c j x då n j= 1 n j= 1 a j x j j = c1 x1 + c2 x c x b, = 1,..., m x 0, j = 1,..., n j där c j, aj och b är konstanter medan x j är de sökta varablerna. Varablerna måste vara större eller lka med noll. Bvllkoren behöver nödvändgtvs nte vara olkheter, utan kan även vara lkhetsbvllkor. n n 18

37 5 Optmerng Dualtet Det går att formulera ett dualt problem (D) tll varje prmalt problem (P) nom lnjärprogrammerngen med hjälp av samma ndata. Dualteten beskrver relatonen mellan de två problemen och vsar på vktga kopplngar mellan dessa. Då ett LP-problem löses erhålls också värden på dualvarablerna, som tll antalet är lka många som antalet bvllkor det ursprunglga problemet. Detta är användbart nom optmerngen då det tll exempel går att tolka de duala varablerna genom att göra en känslghetsanalys [1]. Denna vsar hur mycket värdet på målfunktonen ändras för små ändrngar högerledet av bvllkoren Ickelnjära problem Problemet mn/max f ( x) är ett ckelnjärt problem om åtmnstone en av funktonerna f, g1,..., g m är en ckelnjär funkton och alla varabler är n kontnuerlga, x R [8]. Klassen av ckelnjära problem är väldgt stor och utseendet på problemen är mycket olka beroende på hur de ckelnjära relatonerna är formulerade. Generellt är ckelnjära problem betydlgt svårare att hantera än LP-problem. Detta är en följd av att det nte fnns någon allmän metod som kan lösa ckelnjära problem tll skllnad från lnjära programmerngsproblem Heltalsproblem Ett optmerngsproblem är ett heltalsproblem om mnst en av varablerna är defnerad som en dskret varabel [8]. Många problem kan endast beskrvas av modeller där heltalsvarabler ngår. Varablerna kan tll exempel vara defnerade x 0,1, 2,... eller som bnära att endast kunna anta heltalga värden, alltså j { } varabler, d.v.s. x { 0,1} j. Om problemet är formulerat med endast lnjära funktoner är problemet ett lnjärt heltalsproblem (MILP) Nätverksproblem Många problem kan formuleras som nätverksproblem det vll säga beskrvas med hjälp av nätverk uppbyggda av noder och bågar. Nätverksstrukturen utnyttjas vd lösnngen av problemet och vssa nätverksproblem kan formuleras som LPproblem medan andra som heltalsproblem [8]. 19

38 20

39 6 Modellerng av vattenkraft 6 Modellerng av vattenkraft För att kunna modellera vattenkraft ett optmerngsproblem där målet är att maxmera ntäkten under flertalet bvllkor måste en modell för kraftverket formuleras. Det fnns flertalet olka avancerade modeller för detta beroende på hur mycket som önskas tas med. Gemensamt för alla dessa är att de skljer sg mer eller mndre från verklgheten beroende på hur många faktorer som beaktas. Ofta kan en enkel modell vara en bra start för att ge en god uppfattnng om vlka faktorer problemet som är vktgast att ta hänsyn tll. Modeller för vattenkraft kan både vara relatvt smpla, men kan också om underlag fnns göras mycket avancerade, då det som ska modelleras både är ckelnjärt och ckekonvext samt har begränsnngar gltghet och vssa förutsättnngar är av stokastsk natur. Tll grund för optmerngen fnns flertalet vktga faktorer som måste vara kända eller på annat sätt uppskattas för att optmerngen ska ge ett ntressant resultat. Här spelar verknngsgraden för statonerna, tllgången på vatten, elprset samt vattendomarna en stor roll. Beroende på vlket mål som önskas uppnås med optmerngen formuleras problemet på olka vs. Detta arbete fokuserar på optmerng av ett system av vattenkraftverk som har en hydrologsk kopplng, där målet är att maxmera ntäkten av såld el. Det fnns bara vattenkraft systemet och elmarknaden modelleras som ett varerande elprs. En annan vanlg typ av optmerng är statonsoptmerng, då målet är att ett kraftverk med flera turbner maxmera effekten genom att fördela flödet mellan turbnerna på ett optmalt vs. Bra statonsoptmerngar lgger tll grund för en god optmerng av hela systemet. Detta arbete behandlar nte statonsoptmerng eller teorn bakom denna. 6.1 Effekt, energ och verknngsgrad I ett vattenkraftverk produceras energ genom att utnyttja skllnaden potentell energ mellan övre och nedre vattenyta. Vd tappnngen omvandlas denna energskllnad och energn som fnns hos det strömmande vattnet tll rörelseenerg turbnen. Detta nnebär att effekten blr proportonell mot vattenflödet och fallhöjden det deala fallet. Fallhöjden är höjdskllnaden mellan ntagsdammens vattenyta, övre vattenytan och utloppets vattenyta, nedre vattenytan. Verknngsgraden beskrver hur väl ett vattenkraftverk tar hand om energn vattnet och omvandlar den tll elektrsk energ. Som de flesta fall har denna energomvandlng förluster form av förluster vattenvägar, turbn och generator. Genom att nföra verknngsgraderna för dessa delsystem, η v, ηt och η g, kan den totala verknngsgraden uttryckas som [7]: 21