CHALMERS EKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖEORGS UNIERSIE ortisk ysik och kanik Göran Niklasson ntan i rodynaik och statistisk ysik ör F3 (FF4) id och plats: orsdagn dn 5 april 4 kl. 8.45.45 i -hust. Exainatorr: Mikal Foglströ (tl. 77 396), Göran Niklasson (tl. 77 394, 7-745 4997). Hjälpdl: Physics Handbook, EA, rodynaiska tabllr (utdlad), orlblad d Allänna rlationr ör nkoponntsyst och Kanonisk ördlning (utdlat), gnhändigt skrivn A4-sida d valritt innhåll (inga kopior llr askinskrit) sat valri räkndosa i ickorat. döning: arj uppgit gr högst poäng vardra. Poäng rån inläningsuppgitr addras till tntanspoängn nligt utdlad orl. För godkänt krävs 3 poäng. Lösningar: Anslås på ntrédörrn till trapphust odlbart tr skrivningns slut. Rättningsprotokoll: Anslås i ntréhalln Fysik snast onsdagn dn 8 april. Rättningsgranskning: orsdagn dn 9 april kl..-3. i ru 65 i Origohusts norra lygl.. En nkl tillståndskvation ör tt ast än kan s ut så här: κ + β ( p p Här är änts voly i tt visst rrnstillstånd d tryckt p och tpraturn. Konstantrna β och κ är volyutvidgningskoicintn rspktiv koprssibilittn i rrnstillståndt. So xpl väljr vi tt styck koppar d volyn, d 3 vid tpraturn 3 K och tryckt p kpa. Då gällr att β 5-6 K - och κ 7, - Pa -. (a) Hur stort tryck krävs ör att vid tpraturn isotriskt koprira kopparstyckt så att volyn inskar d %? (b) räkna dt arbt so uträttas på kopparstyckt vid koprssionn! (c) räkna ntropiändringn hos kopparstyckt vid koprssionn! ips: Dn sista dluppgitn löss nklast d hjälp av n läpligt vald axwllrlation.. Anta att du har n ick-rlativistisk idal gas so xistrar i n två-dinsionll värld. ad är då hastightsördlningn, P(v), ör dnna gas? G n graisk rprsntation av P(v). ilkn hastightsvktor är st sannolik och vilkn är dn st sannolika hastightn? G tt utörligt svar där dtaljrna i ditt rsonang klart ragår.
3. Hliugas vid 3 K och vid noralt tryck yllr upp n voly. olyn står via n öppningsbar lucka i kontakt d n to voly, vakuu. Luckan är till att börja d stängd. olyn är,4 litr och vakuu,. (a) Hur ånga hliuator ins dt i volyn? (b) Öppna luckan och låt gasn xpandra ut i vakuu. Hur har statistiska viktn Ω ändrats då jävikt åtr uppnåtts? ilkn är örändringn i gasns ntropi? (c) O vi int öppnar luckan, hur skall vi då göra ör att å saa ntropiändring? G båd tt kvalitativt och tt kvantitativt svar. 4. En vattnkyld värotor är örsdd d tt rglrsyst so hållr kylvattnt vid dn konstanta tpraturn 7 C. För att systt skall ungra år dn värkt so otorn avgr till kylvattnt int övrstiga 5 kw. ilkn är dn högsta arbtskt so otorn kan tänkas lvrra, o dss drivdl avgr vär vid tpraturn 95 C? 5. vå lika viktr hängr i ändarna av n lätt stång so liggr tvärs övr tt isblock. Stångn har brddn, och längdn av dn dl so är i kontakt d isn är 5 c. ryckt i ogivningn är kpa och isns tpratur är - C. Hur stor assa skall vardra viktn ha ör att isn undr stångn skall sälta så att stångn så såningo grävr sig nr gno isblockt? Isns dnsitt vid dn aktulla tpraturn är 97 kg/ 3 och dnsittn ör vattn vid saa tpratur är kg/ 3. Sältntalpittn ör is är 333 kj/kg. 6. En Isingodll har två spinn d växlvrkansnrginu εs s. Ang alla tillstånd sat dras oltzann-aktorr. räkna systts partitionsunktion. ad är sannolikhtn att spinnn är paralllla rspktiv anti-paralllla? Rita n gra ör dssa sannolikhtr so unktion av ε/k. räkna och visualisra ävn systts dlnrgi. id vilkn tpratur, givn i nhtn ε/k, blir dt r sannolikt att båda spinnn pkar upp än att bara tt spinn gör dt?
CHALMERS EKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖEORGS UNIERSIE ortisk ysik och kanik Göran Niklasson ntan i rodynaik och statistisk ysik ör F3 4-4-5 Rättningsprotokoll: Anslås i ntréhalln Fysik snast rdagn dn 8 april. Rättningsgranskning: orsdagn dn 9 april kl..-3. i ru 65 i Origohusts norra lygl. Lösningar Uppgit (a) O tpraturn hålls konstant gällr att vilkt gr κ p p, p p + + Pa,4 Pa (b) Dt uträttad arbtt är 3 9 κ 7, W pd p + d p ( ) + ( ) κ κ,,,p +,p κ κ, 7, 5 3, J 7,4 kj (c) Dn axwllrlation so är läplig i dtta all är S p Ur tillståndskvationn öljr att p β κ i innr alltså att β β β S d ( ) κ κ κ 6 3 5, J/K 7,4 J/K 7, Svar: (a),4 GPa, (b) 7, kj, (c) 7 J/K
Uppgit Sannolikhtn ör att n partikl d assan vid tpraturn skall ha n art llan v och v+dv kan skrivas so P(v)dv, där P(v) har orn / P( v) ( v) v k d.v.s. boltzannaktorn ultiplicrad d tillståndstäthtn (v) i v-rut. I tr dinsionr är (v) proportionll ot ytan av n sär d radin v i dt trdinsionlla hastightsrut, d.v.s. 4πv. Dtta gr dn vanliga Maxwllördlningn. I två dinsionr blir (v) i ställt proportionll ot okrtsn av n cirkl d radin v, d.v.s. πv. i kan dås skriva / P( v) Cv v k där C är n konstant. Dnna kan bstäas ur norringsvillkort vilkt gr P( v) dv v / k k x k C v dv C x dx C C k Dn st sannolika artn v bstäs av att P(v) skall vara axial. illkort att drivatan av P(v) skall vara noll ör v v gr v v k v / k v / k k Dn st sannolika hastightsvktorn bstäs därot int av axiu i P(v) utan nbart av att boltzannaktorn skall vara axial. Därav öljr att dn st sannolika hastightn är noll. v v Svar: Hastightsördlningn bstäs av unktionn / k P( v). Dn st k sannolika hastightn är noll, n dn st sannolika artn är k Uppgit 3 (a) Hliu vid noralt tryck och noral tpratur kan d yckt god approxiation btraktas so n idal gas. Idala gaslagn gr att antalt ator är 5 3 p,,4 N 3,4 k 3,38 3 (b) id xpansionn tillörs ingn nrgi, varkn i or av arbt llr vär. För n idla gas innbär dt att gasns tpratur int ändras. Ändringn i antalt tillgängliga ikrotillstånd, d.v.s. dn statistiska viktn Ω, bstäs då nbart av ändringn i voly. Etrso antalt tillgängliga ikrotillstånd ör varj nskild ato är proportionllt ot dn tillgängliga volyn gällr att örhållandt llan dn statistiska viktn Ω i sluttillståndt och dn statistiska viktn Ω i i bgynnlstillståndt är
N Ω + vacuu, Ω i 3,4,7 Dtta är tt oattbart stort tal, vilkt innbär att sannolikhtn ör att gasn spontant skall åtrvända till bgynnlstillståndt i praktikn är hlt obintlig. Makroskopiska procssr är nklriktad. Entropiändringn är Ω S k ln Ω k ln Ωi k ln Ω 3,38 3,4 ln, J/K,86 J/K (c) i kan öka ntropin gno att vära upp gasn. Entropiökningn vid uppvärning rån n bgynnlstpratur i till n sluttpratur är S i C d där värkapacittn C i dtta all är 3Nk /. Härur ås C 3 Ω S d Nk ln k ln Nk ln, Ω i / 3 / 3, i, 3 K 339 K i Gasns tpratur skall alltså höjas d 39 K ör att ntropiändringn skall bli dnsaa so vid xpansionn. Dn värtillörsl so krävs är i i 3 3 Q C ( i ) Nk ( i ),5 3,4,38 39 J 7,6 J Svar: (a) 3,4,7 ator, (b) Dn statistisk viktn ökar d aktorn och ntropin ökar d,86 J/K, (c) Man kan åstadkoa saa ntropiändring gno att tillöra 7,6 J vär. Uppgit 4 tckningar: H värkällans tpratur (95+73) K 3 K L kylvattnts tpratur (7 + 73) K 343 K q in tillörd värkt rån drivdlt q ut till kylvattnt avgivn värkt 5 kw w ut av otorn lvrrad arbtskt. Dn högsta öjliga ktn år an o otorn ungrar so n carnotaskin. Då gällr att q in H q ut L Dn avlvrrad ktn ås ur örsta huvudsatsn: Svar: 64 kw q in H 3 wut qin qut q ut q ut 5 64 kw qut L 343
Uppgit 5 illkort är att isn undr stångn skall sälta, d.v.s. att övrtryckt p undr stångn är så stort att dt gr n ryspunktsndsättning - K. Sabandt llan tryckt p och sälttpraturn gs av Clausius- Clapyrons kvation, dp l d v v ( ) där l är sältntalpittn, v är spciika volyn ( invrsa dnsittn) ör vattn och v är spciika volyn ör is. Dssa kan antas vara konstanta i dt aktulla intrvallt, vilkt gr l p v ( v ) Övrtryckt bror på viktrnas assor och stångns dinsionr nligt orln g p L där är assan hos vardra viktn, L är stångns längd (dn dl so är i kontakt d isn) och är stångns brdd. Ur dssa kvationr kan bstäas: 3,, 5 333 kg 69 kg L Ll p g g ( v v ) 9,8 7 97 Anärkning: Dt sägs ibland att skridskor glidr lätt på isn därör att tryckt undr skridskorna sältr isn. Rsultatt ovan antydr att dt påståndt knappast kan vara hla sanningn. Dt krävs so syns yckt stora tyngdr ör att sälta isn. Skull tpraturn dssuto råka vara t.x. - C i ställt ör - C krävs n tio gångr störr tyngd. Svar:,7 ton Uppgit 6 i örutsättr att spinnn har längdn och bara kan pka upp llr nr. Produktn s s bara kan då bara anta värdna + (paralllla spinn) och - (antiparalllla spinn). i år yra öjliga tillstånd so vi syboliskt kan btckna d,, och. oltzannaktorrrn ör dssa tillstånd blir öljand: : ε : ε : illståndssuan (partitionsunktionn) är alltså Z + k ε ε ε 4cosh ε Sannolikhtrna ör d yra olika tillståndn är öljand: P ε P + + ε ε ε P ε P + + ε ε ε Sannolikhtrna ör paralllla rspktiv antiparalllla spinn är Ppar P + P + Pant P + P + ε ε : ε
Dssa unktionr illustrras i ndanstånd diagra..8 P par.6.4. P ant k/ε 4 6 8 4 id höga tpraturr blir alla tillstånd lika sannolika. I lågtpraturgränsn går sannolikhtn ör d antiparalllla tillståndn ot noll. id låga tpraturr är P alltså störr än P +P, d.v.s. dt är sannolikar att båda spinnn pkar upp än att bara tt gör dt. id höga tpraturr gällr dt otsatta. Dtta illustrras i ndanstånd diagra..5.4 P.3.. P +P k/ε Dn tpratur då dssa båda sannolikhtr är lika stora kan bräknas ur kvationn P P +P. Md lit trtank insr an att när dtta inträar åst dt gälla att P +P /3 och P P /3. Härur ås vilkt gr 4 6 8 4 + ε 3 ε ε,89 k ln k Mdlnrgin är E + ε ε ε + ε ε ε tanh ε ε k Dss tpraturbrond illustrras i ndanstånd diagra. E/ε -. k/ε 4 6 8 4 -.4 -.6 -.8 - Enrgin är ε vid och går ot noll vid höga tpraturr.
ε Svar: illståndssuan är Z 4cosh. Sannolikhtn ör paralllla spinn är k P par / + ε k och sannolikhtn ör antparalllla spinn är P ant / + ε k. ε ε Mdlnrgin är E ε tanh. id tpraturr lägr än,89 blir dt r k k sannolikt att båda spinnn pkar upp än att bara tt spinn gör dt..