Åbo Akdemi KEMISK-TEKNISKA FAKULTETEN Adress: 5 Åbo Teleo: -5 Tele: -5 79 WWW: http://www.bo.i/ MATEMATIK IV Numerisk metoder v Tore Gustsso E-post: Tore.Gustsso@bo.i :e upplg
:e upplg 8.. Först korrigerde utgåv 6.8. Copright Tore Gustsso 995 997
Iehållsörteckig Förord... 7 INLEDNING... 9. Numerisk problem metoder och lgoritmer... 9. Approimtio med rät lijer..... Lijär iterpoltio..... Approimtio v e uktio med dess tget.... Rekursio.... Itertio....5 Diereser... 6.5. Frmåtdierese... 6.5. Dieresschem... 8.5. Diereser v polom... 8.6 Approimtio med potesserier... 9.6. Resttermsuppskttig... 9.7 Polom....7. Multipliktio och divisio v polom... FELANALYS.... Närmevärde.... Mskiritmetik..... Lgrig v tlvärde i dtorer..... Avrudig... 5.. Overlow och uderlow... 5.. Kcelltio... 5..5 Utskitig... 5. Truktio... 6. Felortpltig... 7.. Felortpltigsormel... 7.. Dieretilklkles örst medelvärdessts... 9.5 Koditio....6 Eperimetell störigsräkig... EKVATIONSLÖSNING - ITERATION.... Metodoberoede eluppskttig.... Strtmetoder.... Itervllhlverig... 5. Sektmetode... 6.. Regul lsi... 7.5 Newto-Rphso-metode... 8.6 Itertiosteori... 9.6. Heuristisk itertiosormler... 9.6. Kovergesvillkor... 9.6. Kovergeshstighet....6. Trimig v itertiosormler....7 Ekvtioer med komple rötter....8 Rötter till polom....8. Deltio....8. Lguerres metod... 5 MATRISER OCH VEKTORER... 7. Räkeregler deiitioer och omekltur ör mtriser... 8.. Likhet... 8.. Additio... 8.. Subtrktio... 8.. Multipliktio med sklär... 9..5 Mtrismultipliktio... 9..6 Digolmtris... 5..7 Ehetsmtris... 5
..8 Ivers mtris... 5..9 Trspoerd mtris... 5.. Smmetrisk mtris... 5.. Trigulär mtris... 5.. Blockmtris... 5.. Sklärprodukt... 5.. Spår... 5..5 Ortogol mtriser... 55..6 Komplekojugerde mtriser... 56. Determiter... 56.. Determiters egeskper... 58. Lijär vektorrum... 59.. Lijär trsormtioer... 6. Lijärt beroede... 6.. Lijärkombitio... 6.. Lijärt beroede... 6.. Rg... 6.5 Normer... 6.5. Vektorormer... 6.5. Mtrisormer... 65 5 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM... 67 5. Lijär ekvtiossstems lösbrhet... 67 5. Gusselimitio... 69 5.. Trigulär ekvtiossstem... 69 5.. Gusselimitio... 7 5.. Pivoterig... 7 5.. Sklig... 7 5..5 Beräkigstider... 6 5. LU-ktoriserig... 7 5.. QR-ktoriserig... 77 5. Mtrisiverterig... 77 5.5 Noggrhetsuppskttig... 78 5.5. Koditiostl... 79 5.5. Ooggrheter i sstemmtrise... 79 5.5. Ooggrheter i högerledet... 8 5.5. Eperimetell störigsberäkig... 8 5.6 Sigulärvärdesktoriserig... 8 5.6. Rg... 8 5.6. Norm... 8 5.6. Ivers... 8 5.6. Ekvtiossstem... 8 5.6.5 Koditiostl... 8 5.7 Gles ekvtiossstem... 8 5.8 Itertiv lösig v lijär ekvtiossstem... 86 5.8. Jcobis metod... 86 5.8. Koverges... 87 5.8. Guss-Seidel-itertio... 87 5.8. Prktisk vädig v itertiv metoder... 88 5.8.5 Yougs överreltiosmetod... 89 6 EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER... 9 6. Beräkig v egevärde och egevektorer... 9 6. Rötter till polom... 9 7 OLINJÄRA EKVATIONSSYSTEM... 95 7. Deriverig v vektoruktioer... 97 7.. Deriverigsregler... 99 7.. Tlorserieutvecklig... 7. Direkt substitutio... 7.. Koverges... 7. Newto-Rphso-itertio...
5 7. Polomekvtioer... 6 7.. Polom i ler dimesioer... 6 7.. Gröberbser... 6 8 APPROXIMATION... 9 8. Approimtio... 9 8. Lijär modeller... 8 8. Mist kvdrtmetode... 8.. Pseudoiverse... 8.. Cetrerig... 8. Mist kvdrtmetode vi sigulärvärdesktoriserig... 7 9 INTERPOLATION... 9 9.. Lijär iterpoltio... 9 9.. Kvdrtisk iterpoltio... 9. Newtos iterpoltiosormel med dividerde diereser... 9.. Newtos sts... 9.. Dividerde diereser... 9.. Newtos iterpoltiosormel... 9. Newtos rmåtdieresormel... 9. Ivers iterpoltio... 5 9. Fells... 6 9.. Felgräs ör lijär iterpoltio... 7 9.. Felgräs ör kvdrtisk iterpoltio... 7 9.. Allmä elgräser... 8 9.5 Stckvis iterpoltio... 9.5. Chebsheviterpoltio... 9.6 Kubisk splieuktioer... 9.7 Lgrges iterpoltio... 9.8 Vl v pproimtiosmetod... RICHARDSONEXTRAPOLATION - NUMERISK DERIVERING... 7. Numerisk deriverig... 7. Richrdsoetrpoltio... 9.. Allmä upprepd richrdsoetrpoltio.... Deriverig v iterpoltiospolom... 5 NUMERISK INTEGRATION... 9. Trpetsregel... 9. Rombergs metod... 5.. Arbetsvolm... 5.. Feluppskttig... 5.. Adptiv metoder... 5. Simpsos ormel... 5.. Smbdet mell Simpsos ormel och Rombergs metod... 55.. Newto-Cotes ormler... 55. Guss kvdrtur... 56.. Guss-Lobtto-kvdrtur... 57.5 Sigulär itegrder oädlig itegrtiositervll och dr problem... 59.5. Sigulär itegrder... 59.5. Serieutvecklig... 59.5. Oädlig itegrtiositervll... 6.5. Ill-koditioerde itegrder... 6 ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER... 67. Begelsevärdesproblem... 68. Eulers metod... 68.. Truktiosel... 7.. Richrdsoetrpoltio... 7. Högre ordiges dieretilekvtioer... 7.. Reducerig v :e ordiges dieretilekvtioer... 7.. Eulers ormel ör sstem v dieretilekvtioer... 7
6. Ruge-Kutt-metoder... 75.. :e ordiges Ruge-Kutt... 75.. Automtisk vl v steglägd... 77.. Bulirsch-Stoer-metode... 79.. Ruge-Kutt-Dormd-Price... 79..5 Predictor-Corrector-metoder... 8.5 Numerisk istbilitet... 8.5. Stv dieretilekvtioer... 8.6 Rdvärdesproblem... 8.6. Dieresmetode ör lijär dieretilekvtioer... 85.6. Dieresmetode ör olijär dr ordiges dieretilekvtioer... 86.6. Reltiosmetoder... 88.6. Iskjutigsmetode... 89.7 Itegrlekvtioer... 9 PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER... 95. Dieresmetoder... 96.. Oregelbude rd... 98. Crk-Nicolsos metod..... Lösig v begelsevärdesproblem..... Crk-Nicolsos metod..... Derivtor som rdvärde.... Vågekvtioe... 5. Ortogol kolloktio... 6 LINJÄR PROGRAMMERING... 9.. Normlorm..... Trsormtio till ormlorm..... Nomekltur.... Simplemetode..... Bestämig v strtpukt... 5. Formulerig v lijär progrm... 6.. Miimerig v e lijär uktio v bsolut värde... 7.. Kurvpssig... 8.. Obegräsde vribler..... Obegräsde vribler... 5 OLINJÄRA MINSTA-KVADRATPROBLEM... 5 5. Newtos metod Guss-Newtos metod... 5 5.. Mrqurdts metod... 6 6 KÄLLOR... 6. Littertur... 6. Progrmbibliotek... Svr till övigr... APPENDIX: GRAFISK FRAMSTÄLLNING... 5 APPENDIX: MATLAB... Ide... 5
7 Förord Föreliggde kompedium omttr öreläsigr i Mtemtik IV: umerisk metoder vid Kemisktekisk kultete vid Åbo Akdemi. Kurse mtemtik IV: umerisk metoder är e em studieveckors kurs som behdlr umerisk lösig v mtemtisk problem. Kurse iehåller e itroduktio till ells och presettio v elemetär umerisk metoder ör ekvtioslösig pproimtio deriverig itegrerig och lösig v ordiär och prtiell dieretilekvtioer. Kurse ger äve e itroduktio till lijär progrmmerig och simplemetode. Numerisk metoder härleds edst i de omttig som ses behövs ör tt ge e örståelse ör ders uktio. Bedömig v metoders oggrhet ses vr viktig. E del v mterilet kräver tt övigseempel beräks på dtor. Som rbetsredskp hr vlts progrmmet Mtlb som hr vist sig vr eektiv ör dett ädmål. E kort itroduktio till Mtlb is biogd i Appedi. I egeskp v öreläsigsteckigr iehåller kompediet kurses teori-iehåll i kocetrerd orm och är således reltivt kortttt. Studeter bör själv kompletter tete med eempel som geomgås på öreläsigr. För självstudier k eempelsmlige v Pohl 99 rekommeders. De mtemtisk beteckigr öljer stdrde ISO -. Dett iebär tt edel beteckigr vviker rå vd som vlige väds i litterture. T.e. skrivs kostter e 7888... och i i med tikv med mtriser betecks med et kursiv stil t.e. A eller. Opertorer skrivs med tikv t.e. dieretilopertor i derivt ' d/d eller i itegrle d. Mtrisers trspoerigsbeteckig skrivs äve med tikv t.e. T A eller H A. I :e upplg år hr ågr midre midre trckel korrigerts. Kompediet hr utökts med ler eempel och beskrivigr v e del metoder hr gjorts lligre. : upplg hr tterligre utökts med ler eempel och beskrivigr hr gjorts lligre. Skiehållet är detsmm som tidigre. Appediet om Mtlb hr skrivits om med tke på de örädrigr som Mtlb hr udergått sed seste versio. Nomeklture hr i viss ll justerts eter Egelsk - svesk ordlist ör högskolemtemtike v Björ Greli. Åbo 7.. Tore Gustsso
8 Förord
9 INLEDNING. Numerisk problem metoder och lgoritmer Numerisk mtemtik väds ör tt lös mtemtisk problem då e ltisk lösig ite k erhålls t.e. ör tt - problemet är ör ivecklt ör ltisk lösig - problemet är delvis deiiert umeriskt t.e. i orm v tbeller eller mätvärde eller vilket ot är llet i tekisk smmhg ör tt det i måg ll är så mcket eklre och eektivre tt lös problemet umeriskt. Ett umeriskt problem eg. umericl problem i. umeerie probleem är e etdig beskrivig v uktiossmbdet mell idt och utdt. Både idt och utdt represeters v ett ädligt tl reell storheter. Det umerisk problemets lösig är således e ädlig mägd tl K. Det umerisk problemet k vr e diskretiserig v ett mtemtiskt problem. T.e. lösige till e dieretilekvtio ges v e mtemtisk uktio med motsvrde umerisk lösig är e tbell som ger uktiosvärde ör de mtemtisk lösige ör ett begräst tl värde på de oberoede vribel de oberoede vribler. Ot är det umerisk problemet e pproimtio dvs. ugeärlig lösig eg. pproimtio i. pproksimtio v ett mtemtiskt problem. E umerisk metod eg. umericl method i. umeerie meetelmä är ett örrde som tige pproimerr ett mtemtiskt problem eller ett sätt tt lös ett umeriskt problem. De umerisk metode ger så gott som lltid e pproimtiv lösig till det umerisk problemet. E umerisk lösig v ett mtemtiskt problem är ormlt edst pproimtiv p.g.. öljde sker - ett svr som ges umeriskt med ett begräst tl siror k edst i udtgsll vr ekt - de umerisk metode väder e pproimtio v det mtemtisk problemet - beräkigsgåge i de umerisk metode vbrts då m hr erhållit tillräckligt hög oggrhet. E lgoritm eg. lgorithm i. lgoritmi är e ullstädig beskrivig v e öljd v väldeiierde opertioer ör överörig v idt till utdt. Algoritme bsers vlige på e eller ler umerisk metoder och ger i regel e pproimtio till utdt. Numerisk lösigsmetoder utvidgr betdligt de mägd v problem som vi k lös. T.e. k vi mtemtiskt bestämm itegrler edst v de uktioer som pssr i i de å itegrtiosregler som is i mtemtikböcker med umerisk lösigr är oberoede v speciell regler. Itegrtio v e uktio som ite k bestämms eplicit ut bestäms implicit med e ekvtio behöver ite vr ågot problem ör e umerisk lösig. Mtemtisk lösig v dieretilekvtioer begräsr sig till lijär dieretilekvtioer med kostt koeicieter och ågr specilll v dr ekvtioer. Numerisk lösigsmetoder ör dieretilekvtioer käer ite till såd begräsigr. Mtemtisk lösigr är ädå värdeullre ä umerisk lösigr och mtemtisk lösigr bör bestämms i de ll som det är prktiskt. Att erhåll lösige som e uktio är mer vädbrt ä tt erhåll lösige i orm v e tbell. Dessutom är ll umerisk lösigr pproimtiv dvs de Ordet lgoritm härstmmr rå e ltisk versio v met på de uzbekisk? mtemtiker Abu J'r Muhmmd ib Mus Al-Khwrizmi c 78-85 bibliotekrie och mtemtiker i Bghdd.
. Iledig iehåller el. Dett gör tt umerisk lösigr måste åtöljs v e elklkl eller eluppskttig som ger vädbrhete och tillörlitlighete i lösige. E umerisk lösig v ett mtemtiskt problem består tpiskt v två ser:. Diskretiser och/eller pproimer det mtemtisk problemet. Dett ger som resultt ett umeriskt problem.. Lös det umerisk problemet med ågo metod. Lösigsmetode är ot e itertio eller e rekursio. Ned ges ågr eempel på pproimtioer itertioer och rekursioer som illustrtioer v de llmä priciper ör umerisk lösig v mtemtisk problem.. Approimtio med rät lijer Måg umerisk metoder bgger på pricipe tt e mtemtisk modell pproimers med e eklre mtemtisk modell som ger e ekel umerisk lösig. De eklste pproimtioe är tt pproimer e godtcklig uktio med e lijär uktio eller i e grisk rmställig tt ersätt e godtcklig gr med e rät lije i ågot itervll. Det örkommer två vlig sätt tt bestämm de pproimerde lijär uktioe. Vi k om vi täker oss e grisk rmställig ltertivt bestämm de såsom de rät lije som går geom två giv pukter på gre v vår betrktde uktio eller som tgete till uktioe i e give pukt... Lijär iterpoltio eg. lier iterpoltio i. lierie iterpoloiti E kotiuerlig uktio ersätts i ett itervll med de rät lije som går geom pukter och se igur... Ett pproimtivt uktiosvärde ör < < erhålls ur ekvtioe ör de rät lije ~.. Om gre v böjer sig edst obetdligt k de rät lije vr e god pproimtio v de urspruglig uktioe. Om gre v böjer sig krtigt k de rät lije ortrde vr e god pproimtio om itervllet är tillräckligt litet. Som e gräsvärdesbetrktelse går ~ mot då itervllet miskr så tt går mot. ~ Figur... Lijär iterpoltio. Approimtio v e uktio med e lijär uktio ~ iom itervllet.
. Iledig Tillämpig på umerisk itegrtio. Approimtioe med e lijär uktio k t.e. väds ör umerisk itegrtio. Itegrle v rå till pproimers med itegrle v de pproimerde lijär uktioe. Itegrle v de pproimerde rät lije illustrers i igur.. med t uder de rät lije dvs t v e trpets: d.. Felet i de umerisk itegrles värde ser vi tdligt i igur.. som t mell gre v uktioe v och de pproimerde rät lije. Vi k misk elet om vi delr i itegrtiositervllet i ler delitervll se igur... I igur.. ges de umerisk itegrles värde v summ v tor v r trpetser. Vi hr ortrde ett el i de umerisk itegrles värde me dett hr miskt betdligt; vi k kppst se ågo t mell gre v och de pproimerde rät lijer. Om vi delr i itegrtiositervllet i delitervll ll med lägde h år vi eligt de pricip trpetsregel ör umerisk itegrtio som summ v tor uder de rät lijer ör vrje delitervll d d d L d L Då vi ör tt å ett eklre uttrck iör beteckige i i smt... h och dderr ihop termer år vi de orml ormel ör trpetsregel d T h h L.. 5 ~ Figur... Approimtio v itegrle v e uktio med t v e trpets. 5 Figur... Approimtio v itegrle v e uktio med summ v tor v r trpetser.
. Iledig Eempel... Bestäm ett pproimtivt värde på itegrle si I d. Vi delr i itegrtiositervllet i t.e. delitervll med itervllbredde h. Trpetsregel.. ger öljde pproimtio ör itegrle: si si si si si9 si I d L 6598. 9 Svret hr vrudts till 6 decimler. Vilke är oggrhete i svret dvs hur måg sigiikt korrekt vrudde decimler hr vi? Noggrhete k udersöks geom tt vi bestämmer itegrle eligt trpetsregel med e itervllbredd t.e. h 5 och jämör resultte. Vi k beteck resulttet ov med T 6598. Trpetsregel med hlverd steglägd ger resulttet T5 659. Av dett k vi uppsktt itegrle med högst r decimler som I 659 kske br med tre decimler I 6595 ± 5 dvs [ ] I 659;66. Obs! Siusuktioes rgumet är givet i rdier. Siusuktioes rgumet är lltid givet i rdier om ite ågot t särskilt ges... Approimtio v e uktio med dess tget E kotiuerlig uktio pproimers i e omgivig till med dess tget: eller ~... Tillämpig på umerisk lösig v dieretilekvtioer. Approimtio v e uktio med dess tget ger t.e. e umerisk metod ör tt lös dieretilekvtioer. Betrkt dieretilekvtioe g med begelsevillkoret. Vi skll bestämm de okäd uktioe som stisierr både dieretilekvtioe och begelsevillkoret. Isätts i dieretilekvtioe år vi g...5 Vi pproimerr uktioe med dess tget i geom tt ersätt med de pproimtio som erhålls ur ekvtio.. ~ Figur... Approimtio v e uktio med uktioes tget ~ i e omgivig v.
. Iledig g I e omgivig v k vi således pproimer uktioe med..6 g...7 Vi väljer u ett värde > i ärhete v. Vi k u med hjälp v ekvtio..7 bestämm ett pproimtivt uktiosvärde ör de okäd uktioe g..8 där beteckige ger e pproimtio v uktiosvärdet. Fortsätter vi med tt pproimer uktioe med dess tget i pukte k vi beräk pproimtioe ör uktiosvärdet i e pukt > i ärhete v med g...9 Om vi ortsätter dett resoemg kommer de pproimtiv uktiosvärde... tt bild e umerisk lösig till dieretilekvtioe. Dess värde bildr e pproimtiv diskret beskrivig v de okäd uktioe. Vi k geerliser procedure. Vi deiierr ekvidistt -värde h K. Resoemget ov k då beskrivs med e llmä ormel ör tt lös dieretilekvtioe g med begelsevillkoret ämlige Eulers metod: h g K.. Eempel... Bestäm e pproimtiv umerisk lösig till dieretilekvtioe och med begelsevärdet. ör Dieretilekvtioe är ärdigt skrive i ormlorme g. Vi hr lltså g. Vi väljer godtckligt e steglägd h vilket betder tt lösige till dieretilekvtioe uktioe i vår umerisk lösig kommer tt beskrivs v de diskret uktiosvärde 6 8 och. Vi sätter och begelsevärdet ger. Däreter tillämpr vi Eulers ormel.. rekursivt se vsitt. ed: h 8 h 8 8 68 6 h 68 68 6 8 h 6 6 6 69 5 h 69 8 69 6556 Dieretilekvtioes umerisk lösig preseters lämplige i tbellorm. Lösiges oggrhet örblir här oklr. Noggrhete kude udersöks på smm sätt som i eempel.. geom tt utör lösigsprocedure med olik steglägder h. De umerisk lösige viss i igur.. tillsmms med de ekt mtemtisk lösige. Leohrd Euler 77-78 Schweizisk mtemtiker med grudläggde istser iom dieretil- itegrloch vritiosklkl smt iom topologi. Euler verkde som proessor i sik vid veteskpskdemi i S:t Petersburg.
. Iledig Obs! I rekursioe hr ll tillgäglig decimler väts med svret hr vrudts till decimler. Oödig vrudigr ie i e rekursio bör udviks. Uppskttigsvis är äve de tredje decimle i svret elktig vrör det är oödigt tt ge svret med ler decimler. I igur.. jämörs de umerisk lösig med de ekt mtemtisk lösige som ör de lijär dieretilekvtio är ekel tt bestämm. Figur.. visr tt de pproimtiv umerisk lösige vsevärt vviker rå de korrekt lösige. E kortre steglägd h i Eulers metod skulle dock vsevärt örbättr oggrhete. Svr: umerisk lösig till dieretilekvtioe : 8 68 6 6 8 69 655. Rekursio Rekursio eg. recursio i. rekursio iebär e stegvis lösig där lösige i det seste steget bgger på lösigr ot pproimtiv rå öregåede steg. Formellt k vi beskriv rekursiosprocesse med e rekursiosormel F.. Eulers ormel.. är ett eempel på e rekursiosormel. Rekursio väds speciellt ör umerisk lösig v dieretilekvtioer. Såsom igur.. tder är steglägde h viktig ör de pproimtiv rekursiv lösiges oggrhet. Då resulttet rå vrje rekursio är beroede v ett ooggrt resultt rå öregåede rekursio är det örutom steglägde äve viktigt tt kä rekursiosormels egeskper huruvid de örstorr eller örmiskr elet rå öregåede steg. De egeskp klls rekursiosormels stbilitet och behdls sere. 9 8 rekursiv lösig Figur... Mtemtisk lösig och pproimtiv rekursiv lösig eligt Eulers metod till dieretilekvtioe med begelsevärdet. 7 6 6 8. Itertio Itertio eg. itertio i. iteroiti iebär e stegvis lösig där vrje steg iebär e bättre pproimtio till problemets lösig. Formellt k itertiosprocesse beskrivs med e itertiosormel F..
. Iledig 5 där idee klls itertioside och K ll pproimerr smm storhet. Tillämpig på ekvtioslösig. Beräkig v rote till uktioe dvs. lösig v ekvtioe k görs geom itertio. Approimer uktioe med dess tget vid ågot strtvärde se igur.. ˆ.. Approimtioes ollställe ås geom tt sätt ˆ i ekvtio.. och lös ekvtio med vseede på. Lösige betecks här.. Upprepd pproimtio v med tgete i K K och bestämig v pproimtioes ollställe logt med ekvtio.. ger Newto -Rphsos itertiosormel ör ekvtioslösig... Figur... Itertiv lösig v ekvtioe med Newto-Rphsos metod. är ett godtckligt vlt strtvärde. och är successivt örbättrde pproimtioer v ollstället. Eempel... Bestäm med Newto-Rphsos itertiosormel. Vi ställer upp e ekvtio som hr lösige t.e. ekvtioe. Omskrive i ormlorme blir de ekvtio. Vi skll lös ekvtioe itertivt med Newto-Rphsos metod... Vi hr således och. Newto- Rphsos itertiosormel blir ör de ekvtio. Vi väljer ett godtckligt me rimligt strtvärde ör itertioe: t.e.. Isättig i itertiosormel ger öljde pproimtioer ör osv: Isc Newto 6-77 Egelsk siker och mtemtiker med grudläggde istser bl.. iom iiitesimlklkle och umerisk mtemtike. Isc Newto vr verksm som proessor i sik vid uiversitetet i Cmbridge. Joseph Rphso 68-75 Egelsk mtemtiker publicerde itertiosmetode som brukr häörs till Newto 5 år i Newto gjorde de metod välkäd.
6. Iledig 5 5 5 666667 5 Upprepd vädig v itertiosormel ger resulttet till höger. Eter :e itertioe örädrs ite mer resulttet då värdet räks på e klkltor. Resulttet iebär tt vi hr erhållit e pproimtiv lösig till ekvtioe. Lösige iehåller 9 sigiikt siror eller 8 korrekt vrudde decimler. Således är 56 med 8 korrekt vrudde decimler. 5 666667 569 56 5 56.5 Diereser Iom umerisk metoder väder vi oss ot v diskret uktioer. Dess är uktioer vrs rgumet edst k t viss bestämd värde på tlel. Dlik uktioer k ite derivers då kotiuerlig gräsvärdesbetrktelser ite k görs. I stället ör dieretiler och derivtor k m ör diskret uktioer väd diereser och diereskvoter..5. Frmåtdierese Om vi hr e öljd v värde K k rmåtdierese eg. orwrd dierece i. eteepäi otettu erotus eller br dierese deiiers.5. där är dieresopertor. Högre ordiges diereser deiiers rekursivt som.5..5. Approimtio v derivtor med diereskvoter är ett eempel på e direkt vädig v diereser. De pproimtio k ekelt motivers med tt gräsvärdet ör diereskvote då går mot oll är lik med derivt dett direkt i elighet med deiitioe på derivt. Om är litet k vi pproimer d d.5. Betrkt e uktio i igur.5.. Fuktioe hr diskretiserts så tt vi edst väder oss v diskret uktiosvärde och. Vi k då pproimer derivt i med diereskvote..5.5 Altertivt kude vi lik väl pproimer derivt med diereskvote
. Iledig 7..5.6 Formler.5.5-6 väds säll ör tt direkt umeriskt bestämm derivt v e uktio. Däremot väds de som pproimtioer v derivt ibggd i ett lertl umerisk metoder som då iehåller ågo sorts kotroll v oggrhete. För tt umeriskt pproimer derivt v e uktio som är deiierd geom ett tl diskret uktiosvärde väds hellre cetrldiereskvote..5.7 Högre derivtor k pproimers logt t.e. om vi hr ekvidistt -värde så tt... k dr derivt pproimers som diereskvote v pproimtioe v örst derivt d d d d d d.5.8 där idee väljs på ett ädmålseligt sätt. Det ed ädmålselig vlet v ide ör pproimtio v dr derivt i igur.5. är t dett ger öljde pproimtio ör dr derivt i. d d.5.9 Uttrcket.5.9 är e cetrldiereskvot som utttjr uktiosvärde smmetriskt på vr sid om det -värde ör vilket derivt beräks och ger därör bäst oggrhete. Rekursivt erhåller vi e ormel ör pproimtio v högre derivtor som k k k k d d.5. där idee åter gär väljs så tt ormel väder uktiosvärde så smmetriskt som möjligt krig det betrktde -värdet. Figur.5.. Approimtio v derivtor med diereskvoter
8. Iledig.5. Dieresschem Vi betrktr e tbellerd uktio som deiiers v kolumer och i tbelle häruder. Frmåtdiereser preseters ot i ett dieresschem eg. dierece tble i. erotuskvio som ör de ktuell uktioe år öljde utseede. 5 5 6 5 5 5 95 8 75 5 5 75 85 6 6 66 Presettio v diereser i ett dieresschem är ibld ördelktigt ör tt det ger e överblick v uktioes egeskper. T.e. i schemt ov iehåller kolume edst ollor vilket visr tt uktioe iråg är ett polom v :e grde se vsitt.5. ed. -kolume iehåller pproimtioer v drderivtor och ger således e överblick över gre krökig vilket k vr ttigt i måg umerisk metoder. Numerisk ooggrheter i uktiosvärde t.e. vrudigsel eller direkt elktig värde ortplts till och örstärks i högre ordiges diereser vilket k väds t.e. ör tt bestämm kvlitete hos e öljd v uppmätt värde..5. Diereser v polom Om är ett polom v grde och { i } e öljd v uktiosvärde ör ekvidistt -värde så är k ör k ett polom v grde k. Vidre är. Vi k således kostter tt uktiosvärde i dieresschemt ov härrör rå ett tredje grdes polom t. De egeskp hos diereser k t.e. utttjs ör tt udersök oggrhete i tbellerde dt. Fuktiosvärde rå ågo uktio med ett jämt örlopp bör ge upphov till ett dieresschem där högre diereser erhåller till beloppet llt midre värde. Ooggrheter eller el i tbelle v uktiosvärde ger upphov till väde belopp hos högre diereser äve i det ll tt uktioe är ett polom v låg grd eller väl k pproimers med ett sådt. Betrkt ett polom L v grde och e öljd v uktiosvärde K beräkde ör ekvidistt -värde h h K. Först dierese v k skrivs med hjälp v tlorserieutvecklig se vsitt.6 som h h h L h!. Dett är tdligt ett polom v grde t är ett polom v grde med övrig derivtor är polom v lägre grd. Bildr vi dr dierese som dierese v örst dierese på motsvrde sätt med utvecklig i e tlorserie år vi h h h L h! som är ett polom v grde t derivt v är ett polom v grde. Fortsätter vi på dett sätt till : dierese år vi
. Iledig 9 h h t :e dierese v är ett polom v :e grde dvs e kostt..6 Approimtio med potesserier Fuktioer pproimers ot med potesserier eg. power series ör tt potesserie polomet är ekelt tt t.e. deriver och itegrer. Iom umerisk mtemtike väds potesserier både ör tt härled umerisk metoder och ör direkt lösig v umerisk problem. E uktio som är oädligt måg gåger deriverbr i k skrivs som e tlorserie 5 L L!!.6. M kllr ekvtio.6. e tlorserieutvecklig v krig. För umerisk metoder trukers serie till ett ädligt tl termer. De trukerde tlorserie är således e pproimtio v uktioe i e omgivig v. För prktiskt bruk bör vlige vr litet ör tt serie skll koverger. Ot gäller tt <. Då vi i vsitt.. pproimerde e uktio med dess tget väde vi oss de cto v e tlorserieutvecklig trukerd till två termer. Jämör ekvtio.. med ekvtio.6...6. Resttermsuppskttig Vid vädig v trukerde potesserier är det viktigt tt ku uppsktt restterme dvs. det el som truktioe ger upphov till.. S beteckr :e pr- Betrkt e storhet S som k utveckls i e serie tilsumm Truktioselet e deiiers som S j L S L j..6. e S S j..6. j Truktioselet eg. tructio error i. ktkisuvirhe meetelmävirhe k uppsktts t.e. med ågo v öljde tre metoder. Jämörelse med käd serie. Om vi k hitt e serie T b b b L vrs prtilsummor vi k beräk och ör vilke j b j ör ll j > då k vi bestämm e övre gräs ör truktioselet som 5 Brook Tlor 685-7 Egelsk mtemtiker.
. Iledig e b j..6. j Eempel.6.. Vi betrktr e potesserie S c c c L som väds ör värde <. Vi vill bestämm e övre gräs ör truktioselet vid truktio till termer. Om vi t.e. vet tt c j ör j > k vi ställ upp e geometrisk j serie med termer b j q där q. Då < q < kovergerr serie till q b b L q eligt teori ör geometrisk serier. Således är e eller om är mcket litet e. Vid sbb koverges k således truktioselet uppsktts med "örst utelämde terme". Jämörelse med e itegrl. Betrkt serie S L. Atg tt vi k hitt e uktio j med käd obestämd itegrl såd tt j < j ör ll j > och tt j är e vtgde uktio ör j >. Series truktiosel k då begräss som e < j dj..6.5 j Figur.6.. Jämörelse v restterm med itegrl...... j Först örsummde terme ör ltererde serier. För e ltererde serie där termers bsolut värde går mot oll hr restterme smm tecke som örst örsummde terme och resttermes belopp överskrider ite de örst örsummde termes belopp e <..6.6
. Iledig S S Figur.6.. Prtilsummor S j jämört med totl summ S ör e ltererde serie. S 5... j Eempel.6.. Fuktioe si krig : si k pproimers med e potesserie. Bild tlorserie v 5 7 9 si L.! 5! 7! 9! Divider med : 6 8 si L.! 5! 7! 9! Iom itervllet k pproimers med potesserie ov trukerd till 5 termer t.o.m. 8:e-grdsterme ut tt truktioselet överstiger 5 t serie är e l- 8 tererde serie där termers bsolut värde går mot oll och värdet v de örst bortlämde terme dvs /! är midre ä 5. Approimtioe med 5 termer i potes- 8 serie ger således åtmistoe 7 sigiikt siror..7 Polom Vid beräkig v värdet v ett polom eg. polomil i. polomi eller e ädlig potesserie på dtorer är det i viss ll ördelktigt med tke på rbetsmägde och med tke på oggrhete tt väd e speciell strtegi. Betrkt ett polom P L..7. Epoetierigr i ekv..7. utörs i e dtor med hjälp v logritmerig vilket ite är ördelktigt. Om opertioe tt beräk polomets värde är kritiskt med tke på resulttets oggrhet k ett litet el i värdet på vid epoetierig led till ett stort el i polomets värde. Om beräkigstide är kritisk är ite heller epoetierig med hjälp v logritmerig särskilt ördelktigt. Polomet.7. k omskrivs som P L L..7. Dett uttrck k beräks ebrt med multipliktio och dditio med strt rå de ierst pretese. Om beräkig v polomet k ses vr kritsikt ör e umerisk metod bör m väd sig v orme.7. rs k m öredr de ör vädre eklre orme.7..
. Iledig.7. Multipliktio och divisio v polom Multipliktio och divisio stetisk divisio v polom stöter m på vid viss umerisk beräkigr. T.e. produkte v två polom v grde ges v där p p p q q L q r r L r P Q L.7. k r k piq.....7. i k i r k piqi k k i k Multipliktio v polom går i måg progrmpket t.e. Mtlb uder beteckige kovolutio eg. covolutio på svesk egetlige ltig med polomdivisio stetisk divisio går uder beteckige dekovolutio eg. decovolutio. Ett specilll v divisio deltio beskrivs i vsitt.8. Övigr. Bestäm McLuri-serieutvecklige ör. Beräk sed med sirors oggrhet med hjälp v McLuriserie.. Vi vill pproimer summ v e oädlig serie S med e prtilsumm S där S k k och S k k. Hur måg termer måste vi t med i prtilsumm ör tt S skll pproimer S med 6 sirors oggrhet?
FELANALYS Såsom i iledige kostterts iebär de umerisk lösigsmetoder pproimtioer som i måg ll k vr mcket grov. Det är därör viktigt tt ku lser ele i resultte ör tt ku uppsktt resulttes vädbrhet. Fel uppkommer örutom geom vädig v pproimtiv metoder äve geom vrudig v decimltl och p.g.. bristde oggrhet i dtorer mskiritmetik. Fel ortplts geom uktioer och lgoritmer och k tige misk eller ök beroede på uktioers eller lgoritmers egeskper elortpltig.. Närmevärde Vid umerisk beräkigr hdsks vi ormlt med pproimtiv storheter bl.. p.g.. tt vi betrktr ett ädligt tl decimler. Vi behdlr storheters ärmevärde eg. pproimte vlue i. likirvo. Vid e ormell ls v ärmevärde ger vi dess e ege beteckig. Vi beteckr här ärmevärde med tecket tilde: ~ är ett ärmevärde till de ekt storhete. Närmevärdet iehåller då ett el. Vi deiierr bsolutelet eg. error i. virhe i ~ är e ~.. reltiv elet eg. reltive error i. suhteellie virhe i ~ är ~ r.. Absolutele och reltiv ele är turligtvis vlige okäd vid orml beräkigr. Därör rbetr vi vlige med elgräser eg. error boud som ger e övre gräs ör elets storlek. Felgräser kommer här tt betecks med stor bokstäver bsolut elgräse ör ~ : ~ E.. reltiv elgräse ör ~ : ~ R... Vid umerisk beräkigr öljer vi pricipe tt tlvärde ite vruds ie i beräkigr oberoede v hur stor elgräse är. Då vi preseterr svret bör tlvärde däremot vruds så tt tlet giv siror motsvrr elgräse. Att ge ett svr med måg siror tder tt svret är väldigt oggrt och k ge e elktig bild v svrets tillörlitlighet. Noggrhete i ett tlvärde ges ot med begrepp som "korrekt vrudt till decimler" " sigiikt decimler" eller " sigiikt siror". Då ett tl vruds till ett tl sigiikt siror betder det tt midre sigiikt siror bts ut mot ollor om de ligger till väster om decimlkomm eller läms bort om de ligger till höger om
. Fells decimlkomm. De sist kvrlämde sir justers uppåt om de örst bortlämde sir är större eller lik med em. Eempel... Avrud till sigiikt siror: 895 vruds till ~ 89 9 vruds till ~ 9 995 vruds till ~ Då ett tlvärde är korrekt vrudt till decimler betder det tt elgräse är E 5. T.e. korrekt vrudig till decimler iebär e elgräs 5. sigiikt decimler iebär detsmm som korrekt vrudt till decimler. Atlet sigiikt siror betder tlet korrekt siror borträkt ollor till väster om de örst sir som är olik oll. T.e. ett korrekt vrudt tl iehåller 5 sigiikt siror med ett korrekt vrudt tl iehåller sigiikt siror. Begreppet "sigiikt siror" är viktigt vid umerisk beräkigr därör tt dtorer k lgr tl med ett visst tl sigiikt siror oberoede v tlets storlek. Eempel... Ett tlvärde är vrudt till decimlers oggrhet. De bsolut elgräse i det vrudde tlvärdet är E 5. Om ett korrekt vrudt tl är t.e. vet vi tt det ekt tlvärdet ligger i itervllet [5; 5 och vrudigselet dvs bsolutelet ligger i itervllet [5; 5. Vi k som ett beräkigsresultt skriv ± 5. Eempel... Resulttet v e umerisk beräkig är 568986 och metode ger e uppskttig v elgräse till 8. Svret ges lämplige som 569 ±. Observer vrudige till 6 decimler. Uppskttige v elgräse vruds vlige uppåt till e sigiikt sir. Svret k uppsktts iehåll r sigiikt siror t eligt eluppskttige är de sist medtg decimle osäker.. Mskiritmetik.. Lgrig v tlvärde i dtorer. Dtorer lgrr reell tl i ormliserd ltde biär orm som eligt de rådde stdrde ANSI/IEEE stdrd ör biär lttlsritmetik iebär tt tlet uppdels i dess örtecke e tldel som iehåller tlets sigiikt siror och e epoetdel. Det lgrde tlets värde ges v ormel p ± där <... Dtors precisio vser tlet siror i tldele. I progrm ör umerisk beräkigr lgrs lttl vlige i ord om 6 bitr IEEE dubbel precisio. Dess hr öljde represettio: tlets tecke: bit : 5 bitr p : bitr. Ett tl represeters i dtor v högst 5 sigiikt biär siror motsvrde c 6 deciml siror. Epoete p lgrs som p vilket medör tt epoete k ligg i itervllet p. Det störst och det mist lttl som k lgrs med dubbel precisio är då m 8 8 7977 respektive mi 5. Dtorprogrm k äve väd e lägre oggrhet med lttl lgrde i bitr ekel precisio. Dett ger e oggrhet v c 6-7 sigiikt deciml siror.
. Fells 5.. Avrudig eg. roudig i. pörists. Vrje gåg ett tl lgrs i ormliserd ltde biär orm med b bitr i tldele dvs som ett ärmevärde ~ ± ~ utörs e vkortig som ger upphov till öljde p elgräser b E b R b p E b R.... Overlow och Uderlow i. livuoto resp. livuoto. Med e give lgrigsorm is det ett störst och ett mist tl som k lgrs. Dess bestäms v tlet bitr som reserverts ör epoete. Försöker vi lgr ett större respektive midre tl t.e. som ett delresultt i e beräkig uppstår ett el som brukr beäms "overlow". Försöker vi lgr ett tl som till beloppet är så litet tt epoetdele med egtivt örtecke ite räcker till så år vi ett "uderlow" dvs tlet kommer tt lgrs som oll... Kcelltio eg. ccelltio i. merkitsevie umeroide kumoutumie. De örlust v sigiikt siror som erhålls vid subtrktio v äst lik stor tl klls kcelltio. Förluste v sigiikt siror sker därör tt dtor i vrje räkesteg vrudr tlvärdet till ett visst tl sigiikt siror. Feomeet k illustrers geom tt simuler e dtor och eter vrje räkeopertio vrud resulttet. För tt å ett översiktligt eempel k m överdriv vrudige och t.e. simuler e dtor som lgrr tlvärde med edst ågr å sigiikt siror. I öljde eempel ges eempel på kcelltio vid e mcket grov vrudig till tre sigiikt siror eter vrje räkeopertio. Då e verklig dtor vrudr till c 6 deciml siror är eomeet med kcelltio ite lit påtgligt. Det år emellertid ite egligers. T.e. vid beräkig v svår problem med rekursiv metoder med kort steglägder blir kcelltio lätt ett problem trots dtors reltivt hög oggrhet. Det störst problemet ligger kske i tt e oörsiktig dtorvädre ldrig märker problemet ut litr på ett beräkigsresultt som k vr helt elktigt. Eempel..: Beräkig v cos med geomgåede vrudig till siror ger p.g.. kcelltio edst e sigiikt sir i resulttet: cos 999 sig. siror med sig. sir För tt udvik kcelltio k m ibld omorm illkoditioerde problem till välkoditioerde. Eempel..: Uttrcket cos k omskrivs som si se ormelsmlig som med geomgåede vrudig till decimler ger resulttet ut ågo kcelltio: si 8 sigiikt siror...5 Utskitig. Utskitig k ske vid dditio v två tl v olik storleksordig som vrder är represeterde med ett givet tl siror. Vid totl utskitig kommer de till beloppet midre terme ite lls tt bidr till summ. Vid prtiell utskitig kommer edst e del v siror i de till beloppet midre terme tt bidr till summ. E estk utskitig är ite rlig. De iebär tt de e terme är så lite tt de ite behö-
6. Fells ver bekts med de oggrhet vi väder. Om emellertid måg såd små termer skll dders k det häd tt summ v ll dess små utskitde tl ädå ger ett betdde bidrg till hel summ. I såd ll ger utskitig ett betdde el som k vr svårt tt observer i resulttet. Algoritmer iehållde upprepde summerigr måste lltid lsers ör ll möjlig situtioer så tt el som uppkommer geom utskitig ite k ske. Eempel..: Vi skll bestämm värdet v de geometrisk serie S q q q L q 98 geom tt dder termer. Vi vet tt S S / 98 5. För tt å resulttet med 6 sigiikt siror ordrs tt vi dderr 68 termer t 68:e prtilsumm 68 S 68 98 / 98 999995. Räkr vi geomgåede med 6 siror ugeär som e dtor med ekel precisio så år vi resulttet ed. Resulttet blir S 9 9979 vilket iehåller edst korrekt siror. Orske är utskitig som gör tt de sist termer ite lls kommer tt bidr till summ. S S S q 98 S S q 9 S S q 8859 S S q 8859 968 896 M S S99 q 7 6 66 M S S99 q 96 7588 98 M 5 S5 S99 q 99979 99979 M S68 99979. Truktio Truktiosel eg. tructio error i. ktkisuvirhe uppstår är e gräsvärdesprocess i e lgoritm vbrts t.e. då - e serieutvecklig vbrts - e itertio vbrts - är trpetsregel med steget h ccepters som ett ärmevärde ör ett itegrlvärde som trpetsregel teoretiskt bör ärm sig då h misks mot oll. Måg umerisk metoder k teoretiskt ses som gräsvärdesprocesser i och med tt de härletts så tt de ekt lösige erhålls som gräsvärdet då steglägde går mot oll tlet itertioer går mot oädlighete eller tlet termer i e potesserie går mot oädlighete. Avrudig kcelltio och utskitig medör tt gräsvärdesprocesse i prktike är omöjlig tt geomör.
. Fells 7. Felortpltig Fel i idt eller el som uppstår geom vrudig kcelltio utskitig eller truktio i beräkigsprocesse k vä eller vt vid de ortstt beräkigr. Vi k härled ormler ör hur el ortpltr sig geom räkeopertioer och då de iltrers geom mtemtisk uktioer. För de ekl räkesätte k vi härled öljde ormler ör elgräser. Additio: Subtrktio: Multipliktio: Divisio: ~ z ~ ~ e e e e z ez E z E E.. ~ z ~ ~ e e e e z ez E z E E.. ~ z ~ ~ e e e e ee ot är e e << e ee << e. Då k vi pproimer ez e e. Divisio med z ger ez e e dvs rz r r. Vi år lltså reltiv elgräse z R z R R.. ~ z ~ / ~. Alogt med multipliktio ås reltiv elgräse R z R R.... Felortpltigsormel Formler..- ger elorpltige vid de r ekl räkesätte. Det är klrt tt ormler v de tp ite räcker till ör tt lser elortpltig i prktike. Avädbrre ormler ås geom tt ök pproimtiosivå. Felortpltigsormel är e vädbr pproimtio ör eles ortpltig i ett uktiossmbd dvs rå uktioes rgumet till uktiosvärdet. Betrkt e uktio vrs rgumet represeters v ett ärmevärde ~ med bsolutelet e ~ e. Fuktiosvärdet ör ärmevärdet k då skrivs som ~ e där e beteckr elet i uktiosvärdet p.g.. elet i rgumetet. Dieretilklkles : medelvärdessts se ed ger öljde uttrck ör bsolutelet i uktiosvärdet. ~ ~ e e Figur... Felortpltig rå till. ~
8. Fells e ξ e ~ ξ..5 Formel..5 k ite direkt väds ör e kvtittiv bestämig v elet då både och ξ är obekt. Approimtivt k vi uppsktt elet geom tt ersätt ξ med det ed värde vi käer ämlige ~. Dett ger oss elortpltigsormel e ~ e..6 eller i orm v elgräser E ~ E..7 Eempel..: Felortpltig geom uktioe cos och si. Dess två uktioer hr i eempel.. och.. vist sig vr två olik beskrivigr v smm uktio. I eempel.. och.. visde sig de dr orme vr betdligt ördelktigre vid umerisk beräkig med små rgumet. De örst orme visde sig vr käslig ör kcelltio. Vi skll u udersök elortpltige geom dess uktioer dvs käslighete ör ooggrhet i rgumetet. cos Låt som ses vr ett ärmevärde vrudt till decimler eller till två sigiikt siror. Vi k skriv tt ± 5 eller tt ~ med elgräse E 5 och ärmevärdet ör uktioe ås som ~ 8. Felgräse ör dett ärmevärde ås ur elortpltigsormel då si blir de E E 9989 5. Resulttet k ges som 8 ± dvs med e sigiikt sir. si Motsvrde ls ör de uktio då si cos si ger E E 9989 5 dvs ekt smm resultt som ör de örst uktioe. De båd idetisk ormulerigr v smm uktio i eempel.. ger lltså smm elgräs ör uktiosvärdet trots tt vi i vsitt. kosttert tt de sere ormel är bättre koditioerd ör umerisk beräkig. Koditioerige hr emellertid betdelse edst ör mskiritmetike. Felortpltigsormel åter bektr edst de mtemtisk uktioe ite mskiritmetike. Mtemtiskt är de båd uttrcke smm uktio och då skll elortpltige geom uktioe ge smm resultt. De llmä elortpltigsormel gäller ör e uktio v ler vribler. Låt vr e uktio v vektor K som represeters v ärmevärdet ~ ~ ~ ~ K vrs elemet hr bsolutele e e K e. Då k elet i uktiosvärdet pproimers som ~ ~ ~ e e e L e..8 och elgräse ges logt v de llmä elortpltigsormel
. Fells 9 E ~ E ~ E ~ L E..9 Allmä elortpltigsormel örutsätter tt ele hos vribler oberoede. K är sisemell Eempel..: Med lisormel k brävidde hos e tu lis bestämms om öremålsvstådet och bildvstådet b är käd. Atg tt m hr mätt dess med c millime- b ters oggrhet ± mm och b 6 ± mm. Bräviddes ärmevärde blir ~ ~ ; mm. 6 mm De betrktde uktioe är egetlige b. Felortpltigsormel ger elgräse ~ E E Eb b b b b b mm 5 mm. 6 Vi år svret: ± 6 mm... Dieretilklkles örst medelvärdessts. Om uktioe är kotiuerlig i det slut itervllet b och deriverbr i det öpp itervllet < < b så is det mist e pukt ξ i < < b såd tt b ξ b... Figur... Dieretilklkles örst medelvärdessts. ξ b
. Fells.5 Koditio Numerisk problem och metoder k vr välkoditioerde eg. well-coditioed eller illkoditioerde eg. ill-coditioed i. häiriöltis. I ett välkoditioert umeriskt problem är resulttet utdt ite vsevärt midre oggrt ä idt med i ett illkoditioert problem iehåller utdt vsevärt större el ä idt. T.e. uktioe cos i eempel.. är illkoditioerd vid beräkig med låg precisio p.g.. dess käslighet ör kcelltio. Koditioe mäts med koditiostlet eg. coditio umber i. häiriölttius som deiiers som kvote mell reltiv ele i utdt och reltiv ele i idt. Eempel.5.: Koditiostlet ör beräkig v cos eligt eempel.. är vi väder elgräser i stället ör bsolutel då dess är okäd E / ~ / 8 C ~. E / 5/ I dett ll bektr vi ige mskiritmetik dvs ige kcelltio. Aväder vi däremot de umerisk metode i eempel.. med geomgåede sirors precisio ör tt bestämm cos blir koditiostlet ör de metod E / ~ C E / ~ / 8 5/ om vi räkr E e 8 där är det beräkde uktiosvärdet i eempel....6 Eperimetell störigsräkig Ett prktiskt sätt tt uppsktt huruvid e metod är välkoditioerd är tt vrier idt dvs iör störigr i idt och observer vritioer i utdt. Eempel.6.: Betrkt öljde umerisk metod med som idt och som utdt: 5 Uppsktt koditiostlet vid på bse v störigsräkig. ger. Iör e störig i idt t.e. ~. Dett ger ~ 5 5. Vi k då uppsktt koditiostlet vid till ~ / 55 / 6 ~ C. / /
. Fells Övigr. Atg tt vi skll beräk uktiosvärde ör på e täkt dtor som geomgåede räkr med 6 deciml sirors oggrhet. Med huru måg sirors oggrhet erhålls uktiosvärdet? b Skriv om uktioe så tt uktiosvärdet k beräks med hög oggrhet äve ör stor värde på. Med vilke oggrhet k uktiosvärdet erhålls med de omskriv uktioe?. Vi hr uktiossmbdet si z z e z. 5 Bestäm bsolut elgräse b reltiv elgräse ör uktiosvärdet då och z hr de korrekt vrudde värde 756 rdier och z 95.. Atg tt vi skll beräk cirklrs reor utgåede rå pproimtiv värde på rdier och med det pproimtiv värdet 59 ör π. Vilket är det störst reltiv elet som vi k 5 tillåt ör rdier ör tt erhåll ett reltivt el 5 hos de beräkde reor?. Bestäm e välkoditioerd lgoritm ör beräkig v lösigr till drgrdsekvtioe b c. Eligt ormelsmlige ås de två rötter ur ormel b ± b c. De ormel är ite lltid lämplig ör umerisk beräkigr. Atg t.e. tt vi i ett ibggt dtorsstem som väder c 6 deciml sirors oggrhet skll bestämm de till beloppet midre rote ör drgrdsekvtioer med koeicieter b v storleksordige och c ugeär 55. M kräver tt rote erhålls med 5-6 sigiikt siror. Hur måg sigiikt siror erhålls geom direkt vädig v de "iv" ormel ov ör de sökt rote och ovämd prmetrr? b Age e umeriskt ördelktigre ormel ör beräkig v de till beloppet midre rote. c K m geom itertio örbättr det ooggr resultte rå de "iv" ormel?
. Fells
EKVATIONSLÖSNING - ITERATION Vi skll betrkt umerisk lösig v ekvtioe. Vlige k lösige till ekvtioe eller rötter ite skrivs i slute orm. Dess beräks då pproimtivt geom itertio. Rötter blir pproimtiv dels p.g.. tt itertioe måste vbrts i ågot skede dels p.g.. vrudigsel och mskiritmetik. Om itertioe kovergerr d.v.s. om de pproimtiv lösige i vrje steg örbättrs så ger vrje itertiosmetod till slut lik god resultt. Vrje itertiosmetod behöver emellertid ite lltid koverger. I själv verket is det å itertiv metoder ör ekvtioslösig som hr e säker koverges. Äve om e itertiosmetod kovergerr k kovergeshstighete vr olik ör olik metoder vilket leder till tt olik itertiosmetoder kräver olik tl itertioer ör tt komm rm till ett resultt med ågo give oggrhet. I dett vsitt preseters ågr olik itertiv metoder ör tt lös ekvtioe. och teori ör itertiosmetoders koverges gås igeom. Först skll vi dock betrkt med vilke oggrhet e ekvtio v tpe. överhuvudtget k löss med e itertiv metod.. Metodoberoede eluppskttig De metodoberoede eluppskttige ger e gräs ör de oggrhet som ågo lösigsmetod k uppå. Vi k illustrer begreppet på öljde sätt. E Figur... De metodoberoede eluppskttige vid umerisk lösig v ekvtioe. E b Vi betrktr ekvtio. och tr tt k beräks med e kostt elgräs E. I eemplet i igur.. hr ekvtioe två rötter i och b. Bdet krig gre v ger uktioes elgräs d.v.s. osäkerhete i uktiosvärdet. Bredde v dett bd där det skär -el vid rötter ger de osäkerhet som uppstår vid bestämig v rote därör tt uktiosvärdet ite k bestämms ekt. Då bdets vertikl bredd är kostt kommer dess horisotl bredd tt vr beroede v lutige hos uktioes gr. Osäkerhetsbdets bredd vid rote är således beroede v beloppet v uktioes derivt vid rote. Om är litet vid rote blir bdet horisotl bredd stort och motsvrde rot kommer tt ku bestämms reltivt ooggrt. Dett är llet med rote. Om derivt är stor till beloppet vid e rot kommer de rot tt ku bestämms reltivt oggrt så
. Ekvtioslösig - itertio som är llet med rote b i igure. Kvtittivt hr vi pproimtivt tt E E. Dett klls de metodoberoede eluppskttige E E ~... Eempel... Vi skll bestämm de ed reell rote till ekvtioe b där koeicieter och b är tl som är käd edst med e decimls oggrhet: 5 ± 5 och b ± 5. Vi k lös de "omiell" ekvtioe 5 med Newto-Rphsos metod i vsitt. eller med ågo v de itertiv metoder som beskrivs i vsitte.-5. Resulttet blir korrekt vrudt till 6 decimler 97. Vilke är oggrhete i dett resultt med bektde v koeicieters ooggrheter? Vi skriver örst ekvtioe i ormlorme. b vilket deiierr uktioe i tpekvtioe. som b. Felortpltigsormel..9 ger elgräse ör uktiosvärdet : E E Eb b där E 5 är elgräse ör koeiciete och E b 5 är elgräse ör koeiciete b. Prtiell derivtor är / och / b. Vid rote 9 k då uktiosvärdet beräks iom e elgräs E 9 5 9 5 7. De metodoberoede eluppskttige ör rote erhålls ur ekv.... Derivts värde vid rote 9 är pproimtivt 9 5. De metodoberoede eluppskttige blir E 7 E 9. 5 9 Ekvtioes ed reell rot är med bektde v osäkerhete i koeicieter: 9 ±.. Strtmetoder I m börjr sök rötter till e ekvtio geom itertio bör m udersök om ekvtioe hr e eller ler rötter och om dess är reell eller komple. M bör vet vilke eller vilk rötter m är itresserd v och vr m k vät sig tt i dess rötter. För tt strt e itertio behöver vi ett eller ler strtvärde. Ot år strtvärde ite vr godtcklig ut bör ligg reltivt är rote. Metoder ör tt hitt rimlig strtvärde k vi kll strtmetoder.
. Ekvtioslösig - itertio 5 Strtmetoder är t.e. - Försök och misstg: geom prövig med olik värde k grov uppskttigr v rötter görs. - Udersökig v derivt v k kompletter örsök och misstg. - Grisk tekik: uktiosgre rits eller skisss. För sbb skisser k det ibld vr lämpligt tt omskriv ekvtioe se eempel... Eempel... Bestäm ett strtvärde ör itertiv lösig v ekvtioe e. Ekvtioe omskrivs som e. Fuktiosgrer och e skisss. Ekvtioes lös- ig ligger vid det -värde där och e smmller. Av skisse igur.. k m sbbt dr slutstse tt ekvtioe hr edst e reell rot och tt de ligger vid 6..8.6.. e.5 Fig.... Skiss ör grov lösig v ekvtioe e.. Itervllhlverig Om e rot till ekvtioe. k omrigs med ett itervll < < k rotes oggrhet öks geom upprepd itervllhlverig. E.: Om > och < välj om < välj om > välj M Fortsätt tills rote k plcers i i ett tillräckligt litet itervll som är midre ä de tillåt ooggrhete. Då hr rote erhållits med öskd oggrhet. Itervllhlverig eg. the method o bisectio i. puolitusmeetelmä hr lågsm koverges me kovergese är säker. Metode bektr edst uktiosvärdets tecke ite uktioes värde. Metodes robusthet är värdeull. Så t.e. ugerr metode på ekvtioer där är diskotiuerlig är rote vilket t.e. Newto-Rphsos metod.. kude å stor problem med. E ördel med metode är tt tlet itertioer som behövs ör tt erhåll e give oggrhet k bestämms på örhd ill det urspruglig itervllets bredd är kät. Dett k vr viktigt i utomtisk reltidstillämpigr där vrje beräkig hr e viss give tid tt utörs på. Eempel... Bestäm e lösig till ekvtioe e med 5 sigiikt siror. Eempel.. ger två gräser ör lösige 5 < < 6. Urspruglig itervllbredde är. Femto itervllhlverigr de öskde ger e itervllbredd 5 5. Femto itervllhlverigr räcker till ör oggrhete. Itertioes örlopp viss i tbelle häruder där kolume ger örtecket ör uktiosvärdet e.
6. Ekvtioslösig - itertio 5 7 56788 5675 6 8 5667 5 5676 55 9 566798 6 567 575 56699 7 5675 565 5679 8 567 5 56875 567 9 567 6 56565 5676 Eter 7 itervllhlverigr 8 blir resulttet tt rote ligger i itervllet 567; 567. Svret är med 5 sigiikt siror 567.. Sektmetode Vi skll lös ekvtioe dvs bestämm uktioes ollställe geom tt pproimer uktioe med lijär uktioer sekter. I vsitt.. kllde vi dett lijär iterpoltio. Vi skll lltså bestämm e itertiv metod ör ekvtioslösig bserd på lijär iterpoltio. Approimer med e rät lije sekte mell två pukter på gre igur... Vi kllr de två pukters -värde och. Sektes ekvtio är då Sätter vi år vi sektes skärigspukt med -el vi kllr de Vi väljer sed två -värde sektes skärigspukt och det öregåede - värdet. Vi pproimerr på tt uktioe med sekte u mell de två pukter på gre med -värde och. De sektes skärigspukt med -el beräks på motsvrde sätt som Fig.... Sektmetode de örst sektes skärigspukt. Vi beteckr de sektes skärigspukt med -el. Upprepd pproimtio med sekter mell de två seste -värde ger upphov till itertiosormel sektmetode eg. the sect method i. sekttimeetelmä med två iitilvärde.. c och d.
. Ekvtioslösig - itertio 7 Ekvtioe löses geom tt utör itertiosormel.. upprepde gåger tills -värde ite mer örädrs. I igur.. ligger de två -värde i pre och så tt uktiosvärde och smt och hr olik örtecke. Dess pukter på gre ligger således på vr si sid om bskiss. Dett är ite ödvädigt ör sektmetodes uktio. De båd pukter som väds ör lijär pproimtio k lik väl ligg på smm sid om bskiss. Dett kommer äve tt häd i öljde itertio i igur.. då uktiosvärde och väds ör de lijär pproimtioe. Eempel... Bestäm e lösig till ekvtioe e med 5 sigiikt siror. Vi väljer 5 och 6 på bse v skisse i igur... Först itertioe ger 6 5 6 6 6 e 5675 6 5 6 e 5 e Adr itertioe ger 5675 6 5675 5675 5675 e 567. 5675 6 5675 e 6 e Ytterligre itertioer med sektmetode ger itertiosörloppet i tbelle till höger. Svret blir 567 med 5 sigiikt siror... Regul lsi Regul lsi är e vrit v sektmetode som k h e säkrre koverges ä sektmetode. Regul lsi kombierr itervllhlverigsmetode med sektmetode såtillvid tt sektmetodes ormel.. väds ör tt bestämm det -värdet i vrje itertio me som -värde väds det seste värde ör vilket uktiosvärdet hr motstt tecke mot uktiosvärdet. I regul lsi väds lltså lltid två pukter på vrsi sid om bskiss på gre v ör de lijär pproimtioe. Dett gör tt regul lsi i llmähet kovergerr lågsmmre ä sektmetode ill sektmetode kovergerr till rote. Me regul lsi kovergerr i viss ll där sektmetode ite kovergerr. Eempel... Bestäm e lösig till ekvtioe e med 5 sigiikt siror med regul lsi. Vi väljer 5 och 6. Först itertioe smmller med sektmetode. För de dr itertioe väljer vi i regul lsi så tt uktiosvärde 5 6 och hr olik örtecke 5 5675 5675 och ör de tredje itertioe väljer vi 5675 5 och 5675. Itertiosörloppet viss i tbelle till höger 567 5 567 5 6 5675 567 567
8. Ekvtioslösig - itertio.5 Newto-Rphso-metode Newto-Rphso-metode löser ekvtioe geom tt pproimer uktioe med lijär uktioer tgeter. Metode härleddes red i iledige vsitt.. Välj ett strtvärde. Vi pproimerr uktioe med dess tget i pukte se igur... Tgetes ekvtio är. Vi erhåller tgetes skärigspukt med -el geom tt sätt i tgetes ekvtio. Om vi beteckr skärigspukte med år vi uttrcket. är örhoppigsvis e bättre pproimtio till ekvtioes lösig ä iitilvärdet. Vi ortsätter med tt pproimer uktioe med dess tget i pukte och bestämmer skärigspukte ör de tgete med -el. Vi beteckr de skärigspukt med som lltså är öljde pproimtio till ekvtioes lösig. Upprepde pproimtioer v med tgete i de sest beräkde pukte bestämig v tgetes skärigspukt med -el och pproimtio v ekvtioes lösig med de sest beräkde skärigspukte ger oss Newto-Rphsos itertiosormel ör lösig v ekvtioe med ett iitilvärde c..5. Både Newto-Rphsos metod och sektmetode är ekl och eektiv itertiosmetoder. Vi k kostter öljde skillder. Newto-Rphsos metod väder sig v uktioes derivt med sektmetode väder sig ebrt v uktiosvärde. Dett betder tt sektmetode vlige är tt öredr ill vi ite ekelt k deriver uktioe. Emellertid är Newto-Rphsos metod ot eektivre ä sektmetode ill vi k utttj ett mtemtiskt uttrck ör uktioes derivt. Observer tt vi äve k väd Newto-Rphsos metod med pproimtiv värde på derivt t.e. geom tt pproimer derivt med diereskvoter ekv..5.. Figur.5.. Newto-Rphso-metode Eempel.5.. Bestäm e lösig till ekvtioe e med 5 sigiikt siror. Vi hr e och derivt ör de ktuell ekvtioe e. Newto-Rphsos itertiosormel blir