LEDNINGA TILL POBLEM I KAPITEL LP Satelliten ketsa king joden oc påvekas av en enda kaft, gavitationskaften fån joden Enligt Newtons v e allänna gavitationslag ä den = G M e () v dä M oc ä jodens espektive satellitens assa, avståndet ellan koppana oc G den allänna gavitationskonstanten Minustecknet betyde att kaften ä iktad inåt ot joden edan enetsvekton e a iktning fån joden ot satelliten Efteso kaften ä ovänt popotionell ot avståndet oc lika ed g vid jodytan åste den också kunna skivas = g e () dä ä jodens adie Pobleställningen gälle i pincip faten so funktion av läget, oc vi vet att lösningen i ett sådant poble ges av en enegiekvation Gavitationskaften ä konsevativ oc potentialen ä känd: V G M g = elle V = Potentialfunktionens lutning ä ett ått på kaftens stolek Med anda od: o potentialfunktionen deiveas ed avseende på få an kaftkoponenten Lagen o ekaniska enegins bevaande T + V = T + V (4) v g g = v v = v + g Koenta: Satelliten beskive en centalkaftsöelse en an beöve egentligen inte känna till den teoin fö att kunna lösa pobleet Det ä ju ä baa kaftens potentialfunktion so utnyttjas Svaet säge att faten ä konstant o avståndet till joden ä konstant, dvs o bankuvan ä en cikel Svaet ge också flyktastigeten, dvs den fat so i det fösta läget kävs fö att satelliten ska nå ut oändligt långt utan öveskottsenegi: v = flykt g/
LP Satelliten ketsa i en cikelbana king joden på öjden oc påvekas av gavitationskaften fån joden Enligt Newtons allänna gavitationslag ä den e = G M e () M oc ä jodens espektive satellitens assa, avståndet ellan koppana oc G den allänna gavitationskonstanten Minustecknet betyde att kaften ä iktad inåt ot joden edan enetsvekton e a iktning fån joden ot satelliten Efteso gavitationskaften vid jodytan då = oftast skivs g gälle sabandet G M GM ( e e g = ) = = g = () Man a alltså inföt beteckningen g, tyngdacceleationen vid jodytan, istället fö kobinationen GM/ a) Gavitationskaften på satelliten ä alltså = G M g e elle = e ( + ) ( + ) b) Vid cikelöelse ed konstant fat kävs alltid en centipetalkaft, vilket kaftekvationens koponent i den adiella iktningen (noaliktningen o det natuliga systeet används) säge: v G M + = (4) + v = GM + elle v = g + c) Gavitationskaftens potentialfunktion ä känd fån teoin Satellitens ekaniska enegi ä E= T + V elle E v G M GM G M GM = + = + + = + g E = + Koenta: Obsevea att den ekaniska enegin ä negativ Det ä en konsekvens av att den potentiella enegin a valts att vaa noll i oändligeten O satellitens totala enegi ade vait positiv skulle den också a äckt till fö att nå oändligeten
LP 7 O a e θ e v θ v Pucken påvekas av tyngdkaft, noalkaft oc fjädekaft Efteso tyngdkaften oc noalkaften ela tiden balansea vaanda ä det baa fjädekaften so påveka den plana öelsen, so då kan sägas vaa en centalkaftsöelse Centalkaften ges fö en fjäde av v = ke () v oc otsvaande potentialfunktion ä V = k () Vid centalkaftsöelse ä öelseängdsoentet ed avseende på kaftcentu H = v O konstant Koponenten vinkelät ot öelsens plan beäknas so äva gånge öelseängdens θ -koponent ö de speciella lägena fås då sabandet av = avθ (4) Enegin ä också en öelsekonstant ty fjädekaften ä konsevativ: Insättning ge T + V = T + V + v + ka = v + vθ k a Nä astigeten bilda 45 ed tådiktningen gälle att v θ = v Insättning ge v + ka = vθ + k 4a Division ed oc insättning av (4) ge k v a v k a + = 4 + (8) v 3k a = v = a 6k
LP 6 v v B v A öuto unde den kota tid då satelliten bosas, påvekas den enbat av gavitationskaften = g e () so ä a potentialfunktionen g V = () ån böjan, då bankuvan ä en cikel, bestäs faten av kaftekvationen i noaliktningen: v = g v g = Ipulslagen ge den nya faten v i A Den konstanta bosande kaftens ipuls ä Pτ oc den ge en änding av öelseängden: Pτ = v v P = v v (4) τ O vi nu på annat sätt bestäe faten v fö att picka nodpolen kan vi sedan gå tillbaka till detta saband fö att bestäa kaften P Svåigeten i detta poble ä att astigeten i punkten B inte ä vinkelät ot den adiella iktningen Vi faäda ändå oc jäfö tillstånden i apogee oc peigee Vid centalkaftsöelse ä öelseängdsoentet oc den ekaniska enegin öelsekonstante: v = v v g = v g Eliinea nu v ed jälp av! Lös ut v u oc sätt in i! g v = ( + ) Bankuvan gå geno nodpolen oc ekvationen fö den åste då vaa = (8) + ecosθ Att bankuvan gå geno A betyde enligt (8) att = e e = = = (9) + e g ( ) Insättning i ge v = = g () ( ) Kaften bli enligt oc (4) P g g = g = τ τ
LP 8 Den enda kaft so veka på satelliten ä gavitationskaften Vid jodytan kan stoleken skivas v v A G M = g så att GM = g, dä oc M ä jodens adie oc assa ö cikelöelsen gälle kaftekvationen i noaliktningen: v = g () v g = () Ipulslagen ge den nya faten v i A: 4 v = v v v = v 3 3 Antag att faten vid apogee ä v Vid centalkaftsöelse ä öelseängdsoentet konstant: v = v (4) Enegin ä också en öelsekonstant ty gavitationskaften ä konsevativ: v g = v g Eliinea nu v ed jälp av (4)! Lös ut v u (4) oc sätt in i! = v g akton kan fökotas bot oc vi få v = g v Men v ä känd enligt ekv () oc Insättning av detta uttyck ge efte föenkling = 8