Centripetalkraft. Den resulterande kraften i centralrörelse

Transkript

1 Centipetalkaft Den esulteande kaften i centalöelse Kapitel 1: Tyngd u otation intoduktion Kapitel 2: Li och centipetalkaftena en faktabasead saga Text och idé: Nikodemus Kalsson Oiginal chaacte at by Esa Holopainen,

2 Kapitel 1: Tyngd u otation en intoduktion 1.1 Centipetalkaft på svenska satellitexempel Föemål som falle fitt känne inte av någon tyngd. Skulle vi t ex sitta instängda i en hisskog dä vajen ha bustit skulle vi uppleva oss som tyngdlösa i hisskogen. Skulle vi dä hänga upp en vikt på en dynamomete skulle denna inte göa något utslag. Natuligtvis ä vi inte tyngdlösa då vi påvekas av tyngdkaften F =. Däemot ä vi skenbat tyngdlösa; upplevelsemässigt och mättekniskt ä det ingen skillnad. Vad ä det som ge oss känslan av tyngd? Astonaute ombod på en satellit ä även de skenbat tyngdlösa. De undegå ett kontinueligt fitt fall mot Joden. Det som hålle kva satelliten i en bana ä Jodens gavitation som da satelliten mot sig. Osaken till att den faktiskt inte falle ned på maken ä att den ha en tangentiell hastighet (en fat famåt ). Den falle alltså lika mycket som Joden hinne köka sig unde sin fäd famåt. Nä Chiste Fuglesang va på ymdstationen ISS låg den i en bana 400 km fån Jodens yta och hade en tangentiell hastighet på km/h. v h R Figu 1: Satellit öve Jodens yta med den tangentiella hastigheten v och tyngden Då satelliten hela tiden falle fitt mot Joden måste den cikuläa öelsen vaa en konstant acceleead öelse. Det ä kaften in mot mitten - centipetalkaften - som få öelsen att ända iktning kontinueligt. (Odet centipetal betyde centumsökande. I det hä fallet så otea en satellit unt Joden, vapå den enda kaft som veka på denna ä gavitationskaften mellan Joden och satelliten. Joden ä i centum av banan och kaften ä iktad mot denna.) Däemot ä faten konstant; det ta lika lång tid att tillyggalägga ett vav vaje vav. Vad skulle hända om vi (t ex med en kaft fån akete) öka den tangentiella hastigheten, dvs fökota omloppstiden? Jo, fö vaje tidsenhet som gå måste då satelliten falla länge mot Joden fö att hålla sig kva unt denna. Det käve en stöe acceleation nedåt, och dämed en stöe kaft (centipetalkaft). I en cikulä öelse, i detta fall hos en satellit, uppstå ett skenbat tyngdlöst tillstånd nä ketsa king Joden med lägsta möjliga hastighet (en hastighet som beo på avståndet till

3 Joden). Inuti satelliten falle allt med samma hastighet, vilket gö att man kan placea föemål, elle sig själv, på en plats i ummet och fövänta sig att det ska vaa kva dä (ett föemål i luften bli kva dä fö att det falle lika snabbt som oivningen i satelliten). Höje man otationshastigheten, men bibehålle höjden, måste satelliten falla mot Joden med en länge stäcka pe tidsenhet, vafö allt inuti satelliten falle med ökad hastighet (jämföt med det tyngdlösa tillståndet). Det gö att ett föemål som placeas i luften falle med en läge hastighet än satelliten själv. Däfö komme satellitens golv att hinna ikapp föemålet i sitt fall, och det komme att pessas ned mot golvet. Vi uppleve nu en tyngd, och osaken till det ä att vi ha nomalkafte fån golvet. Den (skenbaa) tyngd vi uppleve motsvaa inte hela centipetalkaften, utan baa den del av den som bli kva utöve det som kävs fö att hålla satelliten i sin bana med lägsta möjliga hastighet. 1.2 En infomell häledning av fomel fö beäkning av centipetalkaftens stolek Vi tänke oss situationen i Figu 1, dä en satellit ketsa king Joden. Enligt esonemang ovan komme satelliten att falla mot Joden samtidigt som Joden da sig undan i och med sin kökning. Vi kan tänka oss en övediven bild på följande vis vt h Figu 2: Satellit på höjden h öve Jodens yta dä man tänke sig att den hinne stäckan vt innan den falle ned stäckan h dä satelliten hinne stäckan vt i en iktning samtidigt som den falle stäckan h mot Joden. Pythagoas sats på tiangeln i Figu 2 ovan ge oss följande. h 2 vt h h 2 v 2 t 2 2 h2 h v 2 t 2 Om tiden ä kot (öelse ä en kontinuelig pocess, så vi kan låta tiden gå mot noll) komme h att bli fösumbat liten i föhållande till, vafö 2 h v 2 t 2 h 1 2 v2 t2

4 Då h 1 2 at2 (fitt fall mot Joden med begynnelsehastigheten 0 i vaje ögonblick) gälle således att a v2 Kaftekvationen, F = ma gälle, vafö ett uttyck fö centipetalkaften bli F c mv2 1.3 Pendelexempel skillnad mellan skenba tyngd och centipetalkaft Uppgift: En pendelkula på 100 gam släpps fån hoisontalläge (90 i föhållande till lägsta punkten i nedanstående Figu 3) i ett 1.0 mete långt snöe och få sedan svänga fam och tillbaka. T Figu 3: Vekande kafte på pendelkula v a. Mät kaften som kulan påvekas med av snöet i det nedesta läget b. Beäkna centipetalkaften som kulan påvekas av c. Föklaa vafö det finns en skillnad Lösning: a. Kaften mäts med en dynamomete till 3.0 N. b. Enegiomvandling ge: h mv2 2 Centipetalkaften beäknas: v v 2 gh m s F c mv2 2.0 N

5 c. Skillnaden beo på att det vi mäte med dynamometen ä pendelkulans skenbaa tyngd, vilket inte ä detsamma som centipetalkaften. Fö att hålla kva kulan i sin bana måste F c = 2.0 N, men snöet måste hålla både denna kaft och tyngden på pendelkulan. Detta esultea i en spänning som ä stöe än centipetalkaften nä kulan ä i sitt nedesta läge. Matematiskt kan detta uttyckas som F c T T F c. Det ä alltså spännkaften i snöet, T, som mäts med dynamometen. Vidaeutveckling av exemplet: Fundea på hu spänn- och centipetalkaft skulle påvekats om i. Kulan inte skulle släppts fån hoisontalläge, utan fån en vinkel minde än 90 ii. Snöet skulle haft en minde espektive stöe längd än 1.0 mete

6 Kapitel 2: Li och centipetalkaftena en faktabasead saga 2.1 Polog Fö att hålla kva föemål i en cikulä bana kävs som bekant en kaft som da föemålet mot centum av denna bana, samtidigt som det ö sig med en tangentiell hastighet famåt i banan. Det ä viktigt att inse att centipetalkaften inte ä en egen sots kaft, utan att det ä en annan kaft som veka som centipetalkaft. I vissa fall ä det en enda kaft som veka som centipetalkaft, t ex nä en bil fädas genom en kuva ä det fiktionskaften som se till att bilen följe kuvan. I anda fall ä det flea kafte som samveka med (elle motveka) vaanda, och esultanten av dessa utgö då centipetalkaften. Centipetalkaften kan alltid beäknas med den i föa avsnittet häledda fomeln F c mv2 Det som, som sagt, ä viktigt att inse ä att denna famäknade kaft ä en esultant till alla de kafte som ä involveade i systemet. 2.2 Bil på backkön Li Jonsson ä en elev på NV-pogammet som även ä intessead av bilköning. Sedan hon va ban ha hon noteat att man känne sig lättae nä man åke med bilen öve ett backkön. Hon ha undat vad det beo på, samtidigt som hon kan tänka sig att det vid en viss fat måste bilens hjul i det nämaste lätta fån vägbanan. Nä Li ä ute och kö, med nytt kökot, gö hon någa fysikaliska eflexione. Hon komme till ett backkön, och plötsligt så se hon famfö sig vad denna lättning beo på. Betakta nedanstående bild: N 1 N 2 Figu 4: Bil på backkön Centipetalkaften ä vektosumman av nomalkaftena (fån vägbanan) N 1, N 2 och av tyngdkaften. Då dessa ä iktade åt olika håll (180 skillnad i iktning) bli esultanten (positiv iktning uppåt): F es F c N 1 N 2 mv2 (Notea minustecknet på centipetalkaften: positiv iktning definieades uppåt. Vi kunde definieat positiv iktning nedåt, med då hade N 1 och N 2 blivit negativa istället.) Nu löse vi ut N 1 + N 2 :

7 N 1 N 2 mv2 m g v2 Vi se att N 1 +N 2 kan minska (komma nämae noll) på te sätt: Antingen genom att faten v öka, genom att könets adie minska elle genom att minska massan. Det tedje sättet, att minska massan, ä dock inte säskilt intessant om man ska utföa beäkninga på hu mycket bilen lätta (skillnaden mellan nomalkaften fån hoisontell väg och backkön) : en minde massa ge i båda fallen en minde nomalkaft, skillnaden ä alltid g v2. Vid vilken fat komme då bilen att föloa kontakten med vägbanan fö ett givet backkön? Jo, nä N 1 + N 2 = 0, och dämed g v2 0, vilket lede till att v g. Eftesom massan inte ingå i uttycket spela det således ingen oll, u vägbanekontaktaspekten i detta fall, om vi sitte i en tung stadsjeep elle en liten och lätt bil. Effekten bli att Li komme att uppleva en läge tyngd än nomalt i denna situation. Hennes skenbaa tyngd bli läge (och noll då bilen nomalkaften fösvinne). 2.3 Bil i svacka Li fotsätte med sin köning efte att hon landat fån stapatsena i backkönet, och komme stax till en svacka i vägen enligt Figu 2. Fån att nästan ha tappat kontakten med vägbanan, och den skenbaa tyngden nämat sig noll både på bil och på Li, känne hon sig nu ovanligt tung. Fysikintessead som hon ä böja hon genast klua på vafö. N 1 N 2 Figu 5: Bil i svacka Med samma esonemang som föa exemplet (Bil på backkön) skapa vi ett uttyck fö kaftesultanten, som ju måste utgöa centipetalkaften. Det enda som komme att skilja ä att, om vi som tidigae ta positiv iktning uppåt, ä att centalöelsens medelpunkt komme att ligga i positiv iktning. Vi få således F es F c N 1 N 2 mv2 Löse vi ut nomalkaften u detta uttyck ehålle vi N 1 N 2 mv2 Eftesom det ä nomalkaften (fån vägen till bilen och fån bilen till Li) som gö att hon uppleve en tyngdkaft så det stämme att hon känne sig tynge i denna situation. Vi se hä, på

8 samma sätt som tidigae, att det endast ä bilens fat och kökningsadiens längd som avgö vilken ökning (i föhållande till plan mak utan acceleation i någon iktning) av tyngd du komme att uppleva. I detta fall bli alltså den skenbaa tyngden stöe än på ett plant undelag utan acceleation. 2.4 Bil i loop Nu ha vå fysikhjältinna alltså vait med om två skenbaa tyngdföändinga. Famfö allt den senae, nä hon utsattes fö stoa g-kafte, tog på kaftena. Hon stanna bilen och pusta ut, samtidigt som hon falle i en lätt dvala. Dä uppleve Li att bilen hon sitte i gå in i en loop enligt nedanstående figu (hon måste vekligen dömma, fö hennes bil ä inte alls konstuead fö denna typ av köning). N 1 N 2 Figu 6: Bil i loop Efte allt hennes tänkande ha hon nu blivit van att se kafte som en stohet med både stolek och iktning, och hon inse, tots sitt tillstånd i dvala, att alla kafte (och dämed även den esulteande centipetalkaften) ha samma iktning. I ett skäpt ögonblick inse hon även att det då helle inte spela någon oll i vilken iktning du definiea den positiva. Fö att göa det enkelt fö sig definiea hon nu den positiva iktningen nedåt, och ehålle och dämed F es F c N 1 N 2 mv2 N 1 N 2 mv2 m v2 g Pecis som i fallet med backkönet komme Li att iskea att bli skenbat tyngdlös, dock inte om hon kö fö fot, utan om hon kö fö långsamt. Kö hon långsammae än faten v g komme bilen att falla u loopen och landa på taket... Denna upptäckt gö att Li vakna u dvalan och askt kö hemåt. 2.5 Synkonbanan Nä Lis väloljade hjäna nu spinne vidae på det hä med centalöelse, komme hon att tänka på satellite: De falle ju inte ned fö att de de ha en fat famåt, så nä de falle das ju Joden undan hela tiden... Men även Joden snua ju, så att det måste ju finnas en höjd öve Jodens yta dä satellite och Joden snua med samma hastighet. Det måste esultea i att satelliten befinne sig öve samma punkt på jodytan hela tiden. Det måste man ju kunna utnyttja fö kommunikationssatelite!

9 v h R Figu 7: Satellit på höjden h öve Jodens yta Resonemanget ä att satelliten skall otea med samma vinkelhastighet, ω, som Joden. Beoende på höjden komme då satelliten att få olika fat, v. Då måste det finnas en höjd fö vilken gavitationskaften och faten gö att satelliten falle i Jodens kökning. Gavitationskaften (som komme att utgöa centipetakaften) beäknas med Newons gavitationslag, F G m M, dä m ä satellitens massa, M ä Jodens massa, ä avståndet mellan 2 Jodens medelpunkt och satelliten (R + h i Figu 4) och G ä den univesella gavitationskonstanten. Då centipetalkaften utgös av gavitationskaften kan följande ekvation tecknas: mv 2 G m M 2 elle, om vi skive v som vinkelhastighet enligt v Ω 2 Π, med peiodtiden T (den T tid det ta att ketsa ett vav): elle föenklat: h R m 4 Π2 T 2 T2 G M 4 Π 2 G m M 2 13 h T2 G M Sätte vi nu in väden på peiodtid (ett dygn uttyckt i sekunde - vitsen va ju att satelliten skall hålla samma peiodtid som Joden), Jodens massa (uttyckt i kg) och Jodens adie (uttyckt i mete) ehålle vi höjden h km (nä Chiste Fuglesang besökte ymdstationen ISS oteade den king Joden på futtiga 400 km höjd, men då ä ISS:s fat betydligt höge; exakt hu hög hastigheten va på denna höjd tänkte Li beäkna mogonen däpå). Li hade nu insett centipetalkaftens sanna natu. Hon tyckte plötsligt att det va enkelt att ita upp kaftsituatione och göa beäkninga på dessa. Med dessa upptäckte somnade hon gott. 4 Π 2 13 R

10 2.6 Epilog Kontollummet va fullt med pesonal timmana innan NASA:s bemannade ymdfakost skulle lyfta med destination Mas. Restiden va beäknad till nio månade, och det va sex astonaute i NASA:s egi som skulle besätta den beboeliga stationen på Mas ekvato. Ett högtalautop påkallade uppmäksammhet: D. Jonsson, please come to Contol Room A. Li visste vad det gällde. Som chef fö den gupp som beäknade utten till Mas skulle hon med hjälp av den senaste insamlade datan avgöa om någa koigeinga i staten behövde göas. Hon log, och gick med aska steg mot kontollummet.