XV. Elektriska fält. XV.1. Kraften mellan laddningar: Coulombs lag F E ( ) 2 ( ) N F E.

Transkript

1 XV. lektiska fält Fö tillfället vet vi av baa fya olika fundamentala kafte i univesum. Dessa ä: Gavitationskaften Bekant fån mekanikenkusen Den elektomagnetiska kaften Detta kapitels ämne, osaken till att elektonena och atomkänona bilda neutala atome Också den gundläggande växelvekan bakom det att atomena binds till vaanda = all mateialfysik och kemi Den staka växelvekan Osak till att atomkänona hålls ihop Den svaga växelvekan Spela oll vid söndefall av atomkäno adioaktivitet De två sista kaftena ä minde bekanta och deas vekan kan baa iakttas på mycket små avstånd. De te sistnämna kaftena kombineas till en enda (komplicead) kaft i den s.k. standadmodellen fö patikelfysiken. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 Den fundamentala enhetsladdningen hitta man hos en elekton och en poton, vilket beskivs med bokstaven e. Det appoximativa vädet fö enhetsladdningen ä e= C, dä C stå fö enheten Coulomb. Fö att föstå hu stak den elektomagnetiska kaften ä, skall vi göa en appoximativ jämföelse mellan denna kaft och gavitationskaften. xempel Anta att vi ha en pojke och en flicka m fån vaanda, och pojken ha kg exta potone i sig, och flickan en motsvaande antal exta elektone. Hu stoa masso måste vi hänga i epen, fö att gavitationskaften på jodytan skall balansea den elektomagnetiska kaften? M Massan fö en poton 2 27 kg kg motsvaa / potone m lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 3 M XV.. Kaften mellan laddninga: Coulombs lag Den elektiska kaften ä då På basen av empiiska obsevatione, som stäcke sig bak till 7talet, vet man följande. Både gavitations och den elektomagnetiska kaften ha oändligt lång äckvidd. Gavitationskaften ä alltid attaktiv, men den elektomagnetiska kaften kanvaa antingen attaktiv elle epulsiv. Stabila patikla kan ha en egenskap kallad elektisk laddning. Två olika sots laddning, kallad positiv elle negativ laddning. Lika laddninga epellea vaanda och olika laddninga attahea vaanda. Ifall vi ha två laddninga q och q 2 på ett avstånd fån vaanda ä den elektomagnetiska kaften, kallad Coulombs lag mellan dessa patikla F F F F F F F (5 26 ) 2 (.6 9 ) N På jodytan bode vi då ha en motsvaande gavitationskaft F = q q 2 4πɛ2ˆ () dä ɛ ä mediets pemittivitet och ˆ enhetsvekton fö vekton som sammanbinde de två patiklana. I vakuum ha vi pemittiviteten ɛ C 2 /N m 2. n användba konstant ä 9. 9 N m 2 4πɛ C 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 2 F G M g = F M F g 6 24 kg vilket ä ungefä massan fö joden!! lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 4

2 xempel. I en Heatomkäna finns två potone och två neutone. Stoleken av känan ä ungefä fm (femtomete), så man kan anta att medelavståndet mellan potonena ä det samma. Beäkna en läge gäns fö stykan som den staka växelvekan måste ha fö att hålla känan ihop. Insättning ge: Naa Langt bota F = e 2 = 23 N (2) 4πɛ 52 vilket ä enomt om man tänke på att det ä fåga om två nukleone! Hela joden kan tänkas vaa en väldigt sto ledande kopp som ä laddningsneutal, d.v.s. de positiva och de negativa laddninganas antal ä lika. Ifall en positivt laddad ledae kopplas till joden med en ledae, komme motsvaande antal negativa laddninga att flöda fån joden till den positivt laddade ledaen, som bli neutal. Man säge att koppen ä jodad. lektiska symbole som beteckna att något ä jodat, ses i figuen bedvid. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 5 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 7 Odet elektisk hästamma fån det gekiska odet fö bänsten (ηλɛκτρoν, eng. ambe), vilken ha den egenskapen att ifall den gnids emot päls, så kan den attahea anda objekt. Vad detta betyde ä att bänstenen ha blivit statiskt laddad. xempel på olika situatione med laddning. Lika laddninga epellea vaanda, motsatta laddninga attahea Mellan en laddad kopp och en neutal kopp kan en attaktiv kaft induceas I detta fall föflytta sig de negativa laddningana mot, och motsvaande de positiva laddningana bot, fån den positiva koppen. Kafte kan även induceas ifall koppen ä en isolato, vilket betyde att den inte ha mobila laddninga, lede inte stöm. Detta ske genom polaisation av isolaton, vilket betyde att de positiva och negativa laddningana i de neutala atomena elle molekylena ö sig en aning mot elle fån den positiva koppen: lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 6 XV.2. Den mikoskopiska tolkningen av elektisk stöm I kapitel 4, definieades stöm som osak till kaften mellan två ledninga. Vi skall nu koppla ihop stöm med laddninga i öelse. I ledae, som t.ex. koppa och silve, ö sig fia elektone hela tiden med en hastighet av ungefä 6 m/s. Ingen elektisk stöm gå i ledaen utan ytte spänning, eftesom de fia elektonenas öelseiktning ä kaotisk, d.v.s. de ö sig åt vilket håll som helst. Men då en spänningskälla (battei) kopplas till en ledae, känne de fia elektonena en kaft i iktningen av ledaen. Konsekvensen av detta ä att, föutom den oodnade öelsen, få de fia elektonena en difthastighet längs ledaen, som kallas fö stöm. Stöm definieas som laddning d som gå genom en aea unde ett tidsintevall dt xempel: I = d dt [I] = C/s = A (ampee) (3) Vi skall uppskatta hu sto difthastigheten fö elektonena i en koppatåd ä. Tådens diameten ä mm, och stömmen i tåden ä A. lektondensiteten i koppa ρ 29 elektone/m 3. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 8

3 e I v d x Aean fö tåden ä: A = π(d/2) 2. På tiden t gå elektonena (med laddningen e ) en stäcka x = v d t. Summaladdning som gå genom den gåa ytan A i figuen på tiden t bli volymen gånge laddningsdensiteten: = V ρ e = A x ρ e = A v d t ρ e XV.3. lektiska fältstykan och flödesdensiteten Det fält som fömedla den elektiska kaften, kalla vi fö ett elektiskt fält. Analogt till detta, definieades gavitationsfältet som det fält som fömedla gavitationskaften. a) positiv laddning fån vilken ett elektiskt fält utgå b) negativ laddning till vilken de elektiska fältlinjena gå. Vi få stömmen som laddning pe tidsenhet I = t = A v d ρ e Detta ge en uppskattning på difthastigheten fö elektonena i koppatåden v d = I A ρ e A 3.4 (.5 3 m) 2 29 m C m 4 s =.mm s Alltså, då en stömbytae till en lampa kopplas på, böja elektonena sakta diva längs den elektiska ledningen. a) b) Ifall ledningens längd fån stömbytaen till lampan ä m, äcke detta ca. m / 4 m/s = 5 s, vilket ä länge tid än en dag! lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 9 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 Vadaglig efaenheten visa dock att lampan tänds i samma ögonblick som stömbytaen tycks Detta tyde på att mekanismen med vilken stöm fotplantas ä inte elektonenas dift. Vad som ske då en spänningskälla (battei) kopplas till en ledae, ä att ett elektiskt fält skapas och fotplantas med näa ljusets hastighet i ledaen. De fia elektonena i hela ledningen känne en kaft nästan samtidigt p.g.a. detta elektiska fält. Innan vi nämae bekanta oss med detta nya fält, bö man nämna att en stöm i en ledae kan också beo av att positiva laddninga ö på sig. Som sammanfattning, bli den totala stömmen i en ledae Man kan nu sätta en annan laddning i ett elfält, och beäkna Coulomb elle den elektiska kaften på denna laddning: F = 4πɛ 2 ˆ Stoleken på det elektiska fältet fån få vi fån ekvationen F I = ρ e v d A ρ e v d A (4) dä ρ ä densiteten fö laddninga i öelse med difthastigheten v d som gå genom en ledae med aean A. elle beätta ifall laddningana ä positiva elle negativa. Positiva laddninga kan vaa joniseade atome elle s.k. hål. = lim F Den elektiska fältstykan, elle också kallad elektiska fältet elle baa elfältet fån en punktladdning definieas då som = 4πɛ2ˆ (5) Jamfö: tidigae hade vi att gavitationskaften på jodytan kan skivas som F G = m g, vilket ge gavitationsfältet näa jodytan: g = F G m lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 2

4 xempel: n punktladdning, q =. nc, befinne sig vid oigo. Beäkna den elektiska fältstykan vid punkten: a) (x =. m och y = ) b) (x = 3. m och y = 4. m) Det elektiska fältet unt en punktladdning ges av: = a) q 4πɛ 2ˆ Vekton fån oigo till punkten (,) ges av: =. m och ˆ = î, och vi få den elektiska fältstykan i denna punkt 9. 9 N m 2 /C 2. 9 C î = 9. N î (m) 2 C y q i x Det elektiska fältet som omge en laddning, definiea man att böja fån en positiv laddning och gå in i negativ laddning a) b) c) Det totala elektiska flödet fån en punktladdning definieas vaa samma som laddningens stolek φ = ɛ (6) Detta ä alltså totala antalet flödeslinje som utgå fån en laddning. Notea att det finns två konventione om detta: antingen φ = elle φ = /ɛ. Den senae följe den i elektodynamikboken isbegresnick och används dämed hä. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 3 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 5 b) Avståndet fån oigo till punkt (3.,4.) ä: = p (3. m)2 (4. m) 2 = 5. m, och iktningen bli ˆ = = 3. m î 4. m ĵ 5 m Det elektiska fältet i punkten b) bli alltså: =.6 î.8 ĵ y N m 2 /C 2 9 C (5 m) 2 (.6 î.8 ĵ) (2.6 î 2.88 ĵ)n C j q i 3 x Fö att få stoleken och iktningen på den elektiska fältstykan, definiea vi ytteligae en stohet som kallas elektiska flödesdensiteten: (eng. electic fluc density elle electic displacement ):» D = ɛ lim A φ A ˆn (7) dä A ä en aea och ˆn ä en enhetsvekto i iktning av flödeslinjena vinkelät mot ytan A. Den elektiska flödesdensiteten ge baa hu många av de alla flödeslinjena fån laddningen genomkosa en aea A på olika avstånd fån laddningen. tt annat sätt att äkna ä att beäkna magnituden av elfältet i punkten b): 9. 9 N m 2 /C 2 9 C (5 m) 2 = 3.6 N C Den slutliga stoleken på det elektiska fältet beo sedan av mediet unt laddningen. Mediets omgivning ge man som tidigae med ɛ, som ä mediets pemittivitet. I vakuum ha vi pemittiviteten ɛ. Det elektiska fältet få man slutligen fån ekvationen Riktningen fö elfältet få man fån vinkeln mellan vekton och xaxeln cos(θ) = 3m 5m = x, vilket ge x och ykomponententena: x = 3 5 = 2.6 N C y = p 2 x 2 = 2.88 N C lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 4 = D ɛ Tidigae fick vi stoleken och iktningen på elfältet fån en punktladdning genom att dividea Coulombkaften med laddningen, se ekv. (5). lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 6 (8)

5 xempel. Vi bestämme pånytt detta elfält genom att se på laddningens flödeslinje. Det totala elektiska flödet (antal flödeslinje) fån en punktladdning ä: φ = /ɛ. Vid avståndet fån laddningen ä sfäens aea: A = 4π 2. Alla flödeslinje fån laddningen kosa denna aea, vilket ge det elektiska flödet på avståndet fån laddningen D() = 4π 2ˆ dä ˆ ge att iktningen ä utåt fån laddningen. Slutligen bli stoleken på det elektiska fältet elle elfältet D divideat med mediet unt laddningen () = D ɛ = 4πɛ 2ˆ z d/2 d/2 2 x Fån figuen se vi att elfältets xkomponente ta ut vaanda, och vi få det esulteande elfältet endast i ziktningen. Avståndet fån vadea laddningen till punkten på xaxeln ä p x 2 d 2 /4. lfältet i ziktningen fån bägge laddningana bli då 2 x z =» 4πɛ x 2 d 2 /4 cos(α) x 2 d 2 /4 cos(α) dä, cos(α) = (d/2)/ p x 2 d 2 /4, vilket slutligen ge: z = d 4πɛ (x 2 d 2 /4) 3/2 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 7 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 9 XV.4. Det elektiska fältet fån många laddninga elle fån laddningsdistibutione Vad hände ifall vi ha flea laddninga som alla ha ett eget elfält? I detta fall kan man beäkna det totala elfältet genom supepositionspincipen, d.v.s. summea ihop alla elfältsvektoe till en esultant vekto: z (N/m) X (m) lfältet ä invest popotionellt till avståndet upphöjt till 3 z x 3 xempel: = (9) Två lika stoa laddninga, ena positiv och den anda negativ, befinne sig på avståndet d fån vaanda. Den positiva laddningen befinne sig d/2 ovanfö och den negativa laddningen d/2 nedanfö xaxeln. Ge en ekvation fö det elektiska fältet på en godtycklig punkt på xaxeln. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 8 Kombinationen av två lika stoa, men motsatt laddade laddninga kallas en elektisk dipol Dipole ha en mycket viktig oll i natuen. T.ex. vattenmolekylen kan appoximeas att vaa en dipol, och de neutala molekylena elle atomena i en isolato polaiseas till dipole i ett elfält. Vattnet ä däfö ett utmäkt lösningsmedel fö joniska atome. Till exempel salt NaCl, dissocieas till positiva Na och negativa Cl jone, vilka das till vattenmolekylens negativa, espektive positiva del. På detta sätt hålls Na och Cl jone lösta fån vaanda. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 2

6 Cl H H Na Cl Na Cl Na Cl Na Vatten Salt O Vattenmolekylen motsvaa en dipol Na Cl Na Detta ä en vekto, vas iktning ä fån den negativa till den positiva laddningen. Vidmomentet på dipolen kan slutligen skivas som τ = p () Biologiska mateial ha också en massa pemanenta dipole i sig Växelvekan mellan dessa sinsemellan, och med vatten (som alltid finns nävaande i biologiska system) ha en sto invekan på biologiska mateials stuktu, och dämed liv Ifall vi sätte en dipol i ett elektiskt fält, bli summan av kaftena på den negativa och positiva laddningen lika med noll. Magnituden fö båda ä F = q. Däemot påveka kaftena dipolen inte i samma linje, så att det totala vidmomentet inte ä lika med noll, se bilden: ffekten på vidmomentet ä att vida dipolmomentet i elfältets iktning. lfältet gö alltså abete genom att vida dipolen. Abetet som gös av elfältet då den vide dipolen en infinitesimal vinkel dα ä Totala abetet fån vinkeln α till α 2 bli då W = Z α2 dw = τ dα = psin(α)dα α ( psin(α))dα = p[cos(α 2 ) cos(α )] Vi definiea att den potentiella enegin ä noll då dipolen ä oientead vinkelät mot elfältet: p, α = 9. Detta ge den potentiella enegin fö dipolen som en funktion av vinkeln U(α) = p cos(α) = p (2) lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund d F F d/2 h h = sin( )d/2 U Vidmomentet på dipolen bli τ = d h F h F = F 2 sin(α) F d 2 sin(α) = F d sin(α) = q d sin(α) dä d ä avståndet mellan laddningana ±q, ä det elektiska fältet och α ä vinkeln mellan dipolen och elfältet. Nu definiea vi en mycket viktig stohet som kallas fö elektiska dipolmomentet som längden mellan laddningana på dipolen gånge laddningens stolek p = q d () d p lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 24

7 xempel: I detta exempel beäkna vi elfältet på xaxeln fån en oändligt lång stav med laddningsdensiteten λ, [λ] = C/m. Integationen med avseende av dz fån till ha byts till integation med avseende av vinkeln α fån π/2 ( = tan( π/2)) till π/2 ( = tan(π/2)). Vi integea z z dz x d x x = λ 4πɛx, π/2 π/2 sin(α) = λ [ ( )] = λ 4πɛx 2πɛx lfältet minska i detta fall som /, dä ä det vinkeläta avståndet till den laddade oändligt långa staven. (3) I detta fall ta zkomponentena ut vaanda, så vi ha kva att beäkna det totala elfältet i xiktningen. Fån bilden få vi att d fån laddningen d = λ dz bli xkomponenten av denna bli d = d 4πɛ = λ dz 2 4πɛ 2 d x = λ cos(α)dz 4πɛ 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund (V/m = N/C) X (m) /X /X 2 /X 3 I bilden ovan se vi det elektiska fältet som en funktion av det invesa vädet på x upphöjt till, 2 och 3. xempel: lektomagnetism I, Kai Nodlund Det totala elfältet få vi genom att integea öve hela staven x = λ 4πɛ Z cos(α)dz Men hä beo ju α på, så vi kan inte integea diekt. Fö att undelätta integeingen, fösöke vi få alla teme i integalen som en funktion av vinkeln α tan(α) = z x 2 z = x tan(α) = xsin(α) cos(α) vilket vi deivea med avseende av α» dz cos(α) dα = x cos(α) sin(α)( )( sin(α)) " # cos 2 (α) sin 2 (α) x = x = cos 2 (α) cos 2 (α) cos 2 (α) n jämnt laddad ing med adien R ha totala laddningen. Beäkna det elektiska fältet fån ingen i en punkt som ligge på ingens axel, på avståndet z fån ingens centum (se bild) lfältena i x och yiktningana ta ut vaanda. Laddningsdensiteten λ = /(2πR), så det elektiska fältet i ziktningen fån ds bli d z = ds λcos(α) = ds cos(α) 4πɛ z 2 R 2 4πɛ 2πR (z 2 R 2 ) Totala elektiska fältet fås då genom integeing öve ingen z = cos(α) 4πɛ 2πR (z 2 R 2 ) Z 2πR d z x z R ds = cos(α) 4πɛ 2πR (z 2 R 2 ) 2πR ds y vidae få vi att cos(α) = x = x cos(α) Vidae ha vi att cos(α) = z/ z 2 R 2 så elfältet bli z = z 4πɛ (z 2 R 2 ) 3/2 Vi sätte in esultaten av de två sista ekvationena i integalen, som föenklas till x = λ 4πɛx Z π/2 π/2 cos(α)dα lektomagnetism I, Kai Nodlund Obsevea att långt fån ingen ä z >> R, vilket ge att elfältet fån ingen bli lika med fältet fån en punktladdning z = 4πɛ z 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 28

8 xempel: n jämnt laddad skiva med adien R ha totala laddningen. Beäkna det elektiska fältet fån skivan i punkt P som ligge på skivans axel, på avståndet z fån skivans centum (se bilden). Laddningsdensiteten fö skivan ä den totala laddningen divideat med aean. z d z P = = / Vi ha nu fått fya olika sätt på hu elfältets stolek ända med avståndet, vilka ä itade i figuen nedan = y σ = Aea = y πr 2 Laddningen i den infinitesimalt tunna ingen, itad som en svat ing i figuen, ä ingens aea multipliceat med laddningsdensiteten d = da σ = 2πd σ lfältet fån denna ing i punkt P, avståndet z fån ingen, ta vi fån föegående exempel d z = 2πd σ z σz d = 4πɛ (z 2 2 ) 3/2 2ɛ (z 2 2 ) 3/2 ) lektisk dipol 2) Punktladdning 3) Oändlig laddad stav 4) Oändlig laddad yta 3 2 konstant lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 3 Totala elfältet få vi igen genom integeing öve hela skivans adie R z = σ z 2ɛ Z R d (z 2 2 ) 3/2 Fö att föenkla integalen, gö vi substitutionen: g = z 2 2, vilket ge att = p g z 2 och att dg d = 2 = 2p g z 2. Integationsgänsena ändas: = g = z 2 och = R g = z 2 R 2, vilket ge slutligen integalen z = σ z 2ɛ = σ z 2ɛ Z z 2 R 2 z 2, z 2 R 2 z 2 p g z2 dg 2 p g z 2 g = σ z Z z 2 R 2 dg 3/2 2ɛ z 2 2g = σ z Z z 2 R 2 3/2 2ɛ z 2 = σ z» g 2ɛ z2 R 2 z = σ 2ɛ Ifall vi ä näa ingen, z << R, få vi att det elektiska fältet ä konstant: z = σ 2ɛ. " dg 2g 3/2 # p (R/z)2 Det elektiska fältet ä vinkelät fån ingen och alltså obeoende av avståndet fån den. Det elektiska fältet fån två motsatt laddade oändligt stoa skivo, se bild, bli då: = σ/ɛ mellan skivona, och utanfö dessa. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 3 XV.5. Gauss lag I symmetiska fall kan beäkningana av det elektiska fältet föenklas mäkbat genom användning av Gauss lag. Tidigae definieades det totala elektiska flödet fån en punktladdning att vaa samma som laddningens stolek: φ =. Ifall vi inneslute laddningen med en sluten yta, komme alla de elektiska flödeslinjena att kosa ytan och obeoende av ytans fom, komme ytintegalen Z φ = D da Aea att vaa konstant, dä D ä elektiska flödesdensiteten och da = daˆn. ˆn ä enhetsvekton vinkelät mot aeaelementet da Fån föegående likheten få vi nu Gauss lag: kvationsfom av Gauss lag: Det totala elektiska flödet genom en sluten yta ä lika med summan av de inneslutna laddningana Z Aea D da D da = X q (4) lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 32

9 dä P q ä summan av alla laddninga som innesluts av den slutna aean. I ekvivalent ekvationsfom uttyckt med elfältet (D = ɛ) bli Gauss lag xempel: n punktladdning q befinne sig på te olika platse: Z Aea P q da = ɛ (5) a) i mitten av en kub b) i mitten av kuben, men nämae ena sidan c) i mitten av ena sidan av en kub, men utanfö kuben xempel: Vi skall nu beäkna elfältet på avståndet fån en negativ punktladdning, se figuen. Det elektiska fältet som peka mot den negativa punktladdningen ä sfäiskt symmetiskt, så vi använde Gauss lag. Vi inneslute punktladdningen i en sfä med adien. Aeavekton da ä ut fån punktladdningen Gauss lag ge: Z Z da = Aea Aea da = 4π 2 = ɛ vilket ge elfältet på avståndet fån laddningen da Beskiv vad det elektiska flödet genom alla 6 sido bli i alla te fallen a) i mitten av kuben Kubens alla sido ha samma aea och ä lika långt fån laddningen. Totala flödet genom alla sidona fån Gauss lag ä q Totala flödet genom vaje sida ä: q 6 a) = 4πɛ 2ˆ lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund Notea att detta gälle också ifall laddningen ä i en sfä av ändlig stolek fö alla avstånd utanfö sfäen. b) i mitten av kuben, men nämae ena sidan Flödena genom alla sidona ä positiv Flödet genom sidan som ä nämast laddningen ä stöst Flödet genom sidan som ä längst ifån laddningen ä minst b) Summan av flödena genom alla sidona ä: q c) i mitten av ena sidan, men utanfö kuben Den nämaste sidans ytnomal ä iktad mot laddningen: D da < Flödet genom den nämaste sidan ä <!! c) Flödet genom de fem anda sidona ä > Summan av flödena genom alla sidona ä!! lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 36

10 xempel: Vi beäkna på nytt elfältet fån en oändligt lång laddad stav, dä vi fick genom integeing: x = λ 2πɛ x, dä λ ä laddning pe längdenhet. I figuen ha vi placeat en cylinde unt staven. h z x Ifall vi ha en kavitet i en ledae, finns det inga nettoladdninga på ytan av kaviteten, fastän ledaen ha en laddning. Men ifall inne i kaviteten finns en laddning (laddningen ö inte ledaens ine vägg), bli summaladdningen på ytan av kaviteten. Gauss lag ge: R Aea da = P q/ɛ. Det elektiska fältet gå akt ut fån staven, och vid sidona ä elfältet paallellt med ytnomalen ( da) da = da Vid basena ä elfältet vinkelät mot ytnomalen ( da) da =. Vi få då att det totala flödet genom cylinden ä lika med laddningen inne i cylinden Z da = 2πxh = h λ ɛ Aea x vilket ge att stoleken på det elektiska fältet på avståndet x fån staven bli (samma som i kv. 3) x = λ 2πɛ x lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund XV.6. Laddninga i en ledae I en ledae ö sig elektonena mycket lätt, så att ett ytte elfält distibuea dessa elektone inne i ledaen. Ifall vi ha ett ytte elfält, komme de mobila elektonena att öa sig mot elfältet, och ett ine elfält uppstå. Detta elfält komme att distibueas så att det totala elektiska fältet inne i ledaen ä noll totala = ytte ine = (6) xempel: Ledaen i bilden ha en total laddning nc. Inne i ledaen ha vi en fån ledaen isolead laddning av stoleken 6 nc. Vad bli summaladdningana på kavitetens yta och på ledaens yta? Vi ita en Gaussyta unt den ine kaviteten ftesom elfältet inne i ledaen ä noll, måste summaladdningen inne i Gauss ytan vaa noll. Laddningen inne i kaviteten ä 6 nc, så att laddningen på kavitetens yta måste vaa 6 nc. Den totala laddningen fö ledaen ä nc = yta kavitetyta yta = nc kavitetyta = nc 6 nc = 6 nc. e ytte e e e e ine lektonena inne i ledaen, ö på sig tills det ine elfältet ä noll. Och eftesom det totala elfältet inne i en ledae ä noll, få man fån Gauss lag att summan av laddninga inne i ledaen också ä noll. Givetvis befinne sig elektone fotfaande inne i ledaen, men totala antalet elektone ä samma som positiva laddningana i atomkäno, så nettoladdningen inuti bli noll. Alla nettoladdninga befinne sig på ytan av ledaen. ytte lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 4

11 XV.7. Häledning av Ohms lag: Dudeteoin fö metalle Utgångspunkten fö den klassiska elektongasteoin ä att elektonena i en metall betaktas som en gas av klassiska patikla med massan m e och laddningen e. Om ämnets atome ha Z valenselektone, bida vaje atom med Z elektone till elektontätheten. Om själva atomkänan ha laddningen Z a, bli bilden av mateialet nu som i bild och den genomsnittliga elektonhastigheten (difthastigheten) bli v = e m e t. (8) Den genomsnittliga tiden mellan kollisione ä τ, och däigenom bli t = τ (9) och v = e m e τ (2) Popotionalitetskonstanten mellan och v ä känd som elektonenas mobilitet µ e, och bli alltså µ e = eτ m e (2) De fia valenselektonena kallas ledningselektone. I många fall i mateialfysiken ä endast dessa betydelsefulla fö ett ämnes egenskape, så ofta pata man baa om ämnets elektone då man mena ledningselektonena elle de kemiskt aktiva valenselektonena. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 4 Stömtätheten fås med att multiplicea elektonena densitet n, laddning e och medelhastighet: J = ne v = ne2 τ m e (22) lektomagnetism I, Kai Nodlund mpiiskt gälle att elektontätheten i vanliga metalle n ä mellan 22 /cm 3 och /cm 3 : Gundantagandet i Dudeteoin ä att elektonena ö sig fitt utan att påvekas av anda elektone elle jone botsett fån disketa kollisione med de stationäa jonena. Å anda sidan hade vi i kapitel XIV u de makoskopiska definitionena: J = I A = V AR = V = σ V = σ Aρ L (23) L A Så vi se nu att konduktiviteten σ i ett ämne i Dudes teoi ges av σ = ne2 τ m e (24) n gundstohet i teoin ä det genomsnittliga tidsintevallet τ mellan kollisionena. Denna kallas elaxationstiden. Dätill antas att en elektons hastighet efte en kollision ä statistiskt födelad och obeoende av hastigheten föe kollisionen dvs. hastigheten efte kollisionen beo enbat av metallens tempeatu. lektongasens och däigenom metallens elektiska konduktivitet kan beäknas på följande sätt i Dudes teoi. Mellan kollisionena med jone acceleeas elektonena av ett ytte elfält. fte tiden t, och föe nästa kollision intäffa, ä då en elektons hastighet I.o.m. att stohetena i σ i Dudes teoi inte beo av det ytte elfältet, utan ä baa mateialets ine konstante, föutspå teoin alltså att stömtätheten ä linjät beoende av ett ytte elfält! Dudes teoi föklaa alltså Ohms lag!! v = v F m e t = v e m e t (7) Då v ä en slumpmässigt födelad vekto, fö vilken alla iktninga ä lika sannolika, ä v = lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 44

12 XV.8. Abete och den elektiska potentiella enegin Nutidens samhälle ä helt beoende av elektisk enegi. Fö att definiea den elektiska enegin, betakta vi en liten punktladdning d som fös fån punkt A till B i ett elektiskt fält. Abetet som gös unde föflyttningen fån A till B ä W A B = Z B A F dl = d Z B A dl (25) Den elektiska kaften ä en konsevativ kaft, vilket betyde att vi kan ge abetet med hjälp av potentiell enegi A dl B Fåga: Hu mycket abete måste man göa fö att flytta en negativ laddning fån plattans yta till z =? W A B = U A U B = (U B U A ) = U (26) dä U ä föändingen i potentialenegi. Konsevativ kaft: ingen fiktion/hastighetsbeoende av kaften. xempel: lektiska potentiella enegin i ett konstant elfält lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund Betakta det konstanta elektiska fältet fån en oändligt sto laddad platta. Vad ä den elektiska potentiella enegin som en funktion av höjden ovan plattan fö en laddning d? xempel: lfältet ovan plattan ha vi edan två gånge bestämt vaa: z = konstant = σ 2ɛ, dä σ ä plattans laddningsdensitet. Abetet fö att föflytta en laddning fån till z bli W z = U() U(z) = d Z z dl = d Z z z dl cos(α) = d Z z z dz dä α ä vinkeln mellan elfältet och föflyttningsvekton dl. Vid ytan definiea vi att den potentiella enegin ä noll (U()=). Vi få då att den potentiella enegin som en funktion av höjden bli A lektiska potentiella enegin fö system med två laddninga Betakta laddningana, dä den lilla laddningen d ä i det adiella elektiska fältet = ˆ 4πɛ 2. Vad ä den elektiska potentiella enegin fö systemet som en funktion av avståndet mellan laddningana? Den potentiella enegin fö systemet ges av potentialskillnaden mellan platsena A och B: B U(z) = d Z z Z z z dz = d z dz = d z z Fö att flytta en laddning fån till z gå det åt enegin ( ) z = z > Vi sätte in abetet (z) mot elfältet, och samtidigt öka vi den potentiella enegin fö laddningen lika mycket. lektomagnetism I, Kai Nodlund W A B = U(A) U(B) = d = d Z B A Z B A dl = d Z B ()d = d Z B d 4πɛ A = d 2 4πɛ A dl cos(α), B A = d» 4πɛ B A dä α ä vinkeln mellan elfältet och föflyttningsvekton dl. Vi se att ifall B = få vi att W A B = U(A) U( ) = d 4πɛ A Så vi få att den potentiella elektiska enegin fö systemet som en funktion av avståndet mellan lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 48

13 laddningana ä U() = d 4πɛ Nedan se vi den potentiella enegin fö tvåladdningssystemet som funktion av avståndet mellan laddningana. Ifall U < ä laddningana bundna till vaanda, och enegi behövs fö att upplösa systemet (da laddningana fån vaanda). U U > U U < Ifall vi vill ha den potentiella enegin fö många punktladdninga, måste vi summea alla potentiella enegie U T ot = 4πɛ X i<j (27) i j ij (28) lektomagnetism I, Kai Nodlund XV.9. lektisk potential Den elektiska potentiella enegin behövde hela tiden en testladdning. Nu definiea vi elektisk potential, som potentiella enegin pe enhetsladdning vilket likna definitionen fö det elektiska fältet [V] = V (volt) = J/C. Potentialen fö en punktladdning bli V = U (29) = F (3) V = U = 4πɛ lektisk potential och spänning ha alltså samma enhet, och ä i själva veket samma sak. Det föa begeppet används me då man tala om elfält, det senae nä man tala om ketsa. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 5 (3) dä summan måste göas fö alla pa baa en gång (i < j) Potentialen ä mycket användba i situatione dä vi inte vet laddningen som sätts i elfältet; vi kan föst beäkna potentialen fån alla laddningana, och sedan sätta in vilken laddning som helst fö att beäkna den potentiella enegin. Oftast så ä det enklast att beäkna den potentiella enegin fån potentialskillnaden. Ibland nä man vet det elektiska fältet (vanligtvis konstant), få man potentialskillnaden mellan punkt a och b genast som Fö konstant elfält bli detta V a V b = W a b = Z b a F dl = Z b a dl (32) V a V b = (b a) (33) alltså kan elfältets enhet också vaa: [] = N/C = V/m, av vilka den senae oftast används. n elekton som acceleeas av en potentialskillnad V, få kinetiska enegin: ev.6 9 J. Detta ä definitionen på enegienheten elektonvolt xempel negin hos en patikel som acceleeas med acceleaton i Gumtäkt öve en spänning på 5 MV a) poton, laddning fån till. b) guldjon, laddning fån till. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 5 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 52

14 Föklaing och lösning ges på föeläsningen vilket ge genom insättning av tiden fån kv.( 34) x x = v2 2a v = q 2a(x x ). 7 m/s b) Metod 2, Potentialen fö elektonen, som i böjan ä: V = (x x ), omvandlas till kinetisk enegi s s U = V = 2V 2(x x )e 2 mv2 v = =. 7 m/s m e m e kvipotentialyto n 3dimensionell yta dä potentialskillnaden ä den samma i alla punkte, kallas fö en ekvipotentialyta. Det elektiska fältet ä alltid vinkelät mot en ekvipotentialyta. Teoem: det elektiska fältet fån en ledae ä vinkelät mot ledaens yta. Bevis: ifall det inte voe så, skulle laddningana på ytan öa på sig tills påståendet ä uppfyllt. Detta betyde att inget abete gös då en laddning föflyttas på ytan av en ledae. n ledaes yta ä alltså en ekvipotentialyta. Ledae lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund xempel: n elekton placeas i ett konstant elfält mellan två laddade skivo. a) Ifall magnituden fö det konstanta elfältet ä 3. 4 V/m (elle N/C), vad ä acceleationen fö elektonen? b) Anta att elektonen ä föst i vila vid den negativa plattan, och sedan böja acceleeas mot den positiva. Vad ä sluthastigheten fö elektonen just innan den täffa den positiva ytan? Avståndet mellan skivona ä. cm. a) Metod. Kaften ä det elektiska fältet gånge laddningen, vilket ge: F = = m e a a = e m e.6 9 C 3 4 N/C 9. 3 kg 5 5 m s 2 Nästa figu visa hu elfältet och ekvipotentialytona ända då en ledae sätts in i ett elektiskt fält. Vänsta bilden visa det jämna elfältet och ekvipotentialytona. I den höga bilden se vi att ledaen böje elfältet så att de alltid ä vinkeläta mot ytan av ledaen. Mäk också att ekvipotentialytona ä alltid vinkeläta mot elfältet. V V2 V3 V4 V5 V6 V V2 V3 V4 V5 V6 v = v a t v = t = v a (34) x = x v t at2 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 56

15 Bestämning av elfältet fån den elektiska potentialen På samma sätt som man fick gavitationskaften fån gavitationspotential, få man det elektiska fältet fån den elektiska potentialen. Potentialen ä en skalä stohet, d.v.s. den ha ingen iktning. Ä det då möjligt att fån potentialen beäkna elfältet? Potentialskillnaden mellan punktena a och b definieades som: V a V b = R a b dv = R b a dv. Vidae hade vi att Detta ä alltså en fom av en tedimensionall deivata. ha en cental oll i vektodiffeentialkalkyl, fö nästan alla deiveingsopeatione på vektoe kan och buka skiva med hjälp en Notea enhetena: potentialens enhet va ju Volt, och fältets Volt/mete. Alltså ha deivatan med avseende på x och nabla båda effektivt enheten /mete. V a V b = Z b a dl fån vilka vi få likheten dv = dl (35) Fö att beäkna potentialskillnaden, skive vi ut komponentena fö vektoena och dl: = x î y ĵ zˆk dl = dxî dyĵ dzˆk Fån vilket vi få potentialskillnaden dv = x dx y dy z dz (36) lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund Ifall vi betakta situationen dä föflyttningen i y och ziktningana ä noll: dy = dz =, få vi alltså dv = x dx x = (dv/dx) y,zkonstant (37) Vi få alltså komponenten av elfältet i en viss iktning genom att deivea potentialen i den iktningen. Genom att göa denna opeation skilt i alla te dimensione, och sedan kombinea esultatet, se man att det elektiska fältet kan skivas med hjälp av potentialen som: δv = δx î δv δy ĵ δv «ˆk δz elle kotae få man som gadienten av potentialen dä opeaton kallas fö nabla = (38) = V (39) δ δxî δ δyĵ δ «ˆk δz lektomagnetism I, Kai Nodlund (4) XV.. Kondensatoe n kondensato ä en kets som kan laga elektisk potentiell enegi. Vilka två ledae som helst sepaeade av vakuum elle dielektisk mateial fungea som en kondensato. På bilden nedan, visas hu man kan ladda en kondensato Föst ha vi laddningen ± på kondensatoplattona. e Detta ä osaken till att en kondensato inte kan ha en ledae inuti: då skulle ju laddningana ± neutaliseas omedelbat Det elektiska fältet ä popotioneligt till laddningen:. Ifall elfältet ä konstant, kan den elektiska potentialen skivas som: V = d, dä d ä avståndet mellan plattona. lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 6

16 Detta betyde att också potentialen ä popotioneligt till laddningen: V. Popotionalitetskonstanten ha fått namnet C, kapacitans: C = V, [C] = C V = F (faad) (4) Olika koppa ha olika fömåga att laga laddning, så vädet på kapacitansen beo på geometin, stoleken och ämnet mellan kondensatoplattona. Vi fösöke nu beäkna hu sto kapacitansen fö två kondensatoplatto ä. Vi anta att plattonas aea ä stot och att avståndet mellan plattona ä litet, så att det elektiska fältet mellan plattona kan antas vaa konstant. Det konstanta elfältet mellan plattona ä: = σ ɛ = A ɛ dä σ ä laddningsdensiteten och ɛ ä pemittiviteten fö mediet mellan plattona. ä stoleken på laddningen i en av plattona och A ä dess aea. A A lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 6 d negin i en laddad kondensato negi kan laddas i en kondensato. negin W som behövs fö att ladda en kondensato fån laddningen q till q q ä: W = V q, dä V ä spänningen öve kondensaton då dess laddning ä q. Den totala enegin lagad i kondensaton vas slutliga laddning ä bli: W C = Z V dq = Z dä kondensatons definition: V = /C använts. q C dq = C Z qdq = 2 2C negin lagad i en kondensato kan skivas i ekvivalet fom (som likna den kinetiska enegin) xempel: (43) W C = 2 CV 2 (44) Vi ha två kondensatoplatto med aean cm 2 på avståndet mm fån vaanda i luft, ɛ luft F/m. Spänningen elle potentialen mellan plattona ä 2 V. a) Beäkna kapacitansen fö systemet b) Beäkna magnituden på laddningen i vadea plattan lektomagnetism I, Kai Nodlund Vidae ha vi att potentialen fö systemet kan skivas som en funktion av elfältet: Z V = dl = d = d A ɛ a) Kapacitansen fö systemet ä: Vi få då fån kapacitansens definition kapacitansen fö två kondensatoplatto C = V = A ɛ d = ɛ A d (42) C = ɛ A d F/m ( 4 )m 2 b) Laddningen på vadea plattan ä 3 m F = pf Kapacitansen beo i detta fall endast av aean, avståndet mellan plattona och av mediet mellan plattona. = C V F 2 V =.2 C =.2 nc xempel: Beäkna kapacitansen fö en laddad sfä med adien R. Kapacitansens definition ge C = V = = 4πɛR (45) 4πɛ R lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 64

17 Vi kan nu uppskatta kapacitansen fö jodklotet: C jod = F/m m 7. 4 F Så en liten exta laddning = 3 C ge potentialföändingen på joden V = C V!! Med en kondensato med kapacitansen C kan man esätta C och C 2. Me geneellt få man ekvationen fö den esättande kondensaton kapacitans fö många kondensatoe i seie som: C = C C 2 C 3... (46) Kondensatoe kopplade paallellt Betakta två kondensatoe C och C 2 som ä paallellt kopplade. Potentialskillnaden V ä den samma fö båda kondensatoena, vilket ge att laddningana på vadea kondensaton bli C C2 = C V 2 = C 2 V Summan av laddningana och dämed också laddningen fö den esättande kondensaton ä: = 2, vilket ge CV = C V C 2 V C = C C 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund Kondensatoe kopplade i seie Vi koppla två kondensatoe C och C 2 i seie Vi se att ifall kondensatoplattan få laddningen, bli laddningen på platta 2: (laddning bevaas). 2 Vidae få då platta 3 laddningen (2 och 3 isoleade, summaladdning lika med noll), och platta 4:. Detta betyde att potentialskillnaden mellan de två kondensatoplattona bli: 3 4 C C 2 kvationen fö den esättande kondensaton fö många kondensatoe paallellt kopplade bli C = C C 2 C 3... (47) Kondensatoenas ekvatione bete sig alltså exakt mittemot de hos motstånd! V = C V 2 = C 2 Vi få att den totala potentialskillnaden bli summan av dessa: V = V V 2. Fån kapacitansens definition få vi då att C = V = V V 2 = C C 2 Detta ge att kapacitansen fö de två kondensatoena i seie ä C = C C 2 lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 68

18 xempel: Beäkna den totala kapacitansen fö kondensatoketsen i bilden. Föst se vi att kondensatoena och 2 ä paallellt kopplade, så deas esättande kapacitans bli: C,2 = C C 2 Vidae ha vi att C,2 och C 3 ä i seie: C 4 C C2 lfältet fån de elektiska dipolena ( dip ) inne i mateialet ä i motsatt iktning till det ytte fältet och popotionellt till elfältets stolek inne i mateialet C,2,3 = C,2 C 3 = C 3 C,2 C 3 C,2 C,2 C 3 C 3 dip = χ e C,2,3 = C 3(C C 2 ) C C 2 C 3 Slutligen få vi den esättande kapacitansen fö ketsen då kondensaton C 4 och C,2,3 ä paallellt kopplade: C = C,2,3,4 = C 4 C,2,3 = C 4 C 3(C C 2 ) C C 2 C 3 dä popotionalitetsfakton χ e ä mateialets elektiska susceptibilitet och ä elfältet inne i mateialt. kvationen fö det totala elfältet inne i mateialet bli det ytte fältet tillsammans med det ine = dip = χ e = χ e dä paameten: χ e = ɛ kallas fö mateialets elativa pemittivitet elle dielektiska konstant. xpeimentellt mäkte man att kapacitansen fö en kondensato ökade, då man satte ett dielektiskt mateial mellan kondensatoplattona: C = κc, dä C ä kapacitansen i vakuum (elle luft), och popotionalitetskoefficienten κ ( > ) kallas fö dielektiska konstanten. lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 7 XV.. Dielektiska mateial Ifall ett dielektiskt mateial med dielektiska konstanten ɛ sätts i ett ytte elektiskt fält, ges det fösvagade elfältetets stolek i ämnet av ekvationen De flesta kondensatoena ha dielektiskt mateial (plast mm.) mellan de ledande plattona. Detta fö att: Isolea de ledande plattona fån vaanda Alla isoleande mateial ha ett maximielfält som de tål, innan elektone i ämnet lösgö sig fån atomena vilka däefte lösgö mea elektone. Detta kallas fö dielektiskt sammanbott. Genom att ha dielektiskt mateial mellan plattona, i stället fö luft, kan man ha stöe elfält mellan plattona, innan sammanbottet ske. Gänsen fö dielektiskt sammanbott kallas dielektisk styka. n kondensatos kapacitans ä stöe, ju stöe det dielektiska konstanten ä, vilket betyde att man kan ladda kondensaton med mea enegi. tt dielektiskt mateial kännetecknas av att det induceas ett elfält inne i mateialet mot det ytte elfältet. Detta gö att det totala elfältet inne i mateialet ä minde än det ytte. Detta ske fö att det ytte elfältet esultea i en liten föskjutning av elektonena elativt till de positiva laddningana. lektiska dipole bli induceade i det dielektiska mateialet. Man säge att det dielektiska mateialet polaiseas. = ɛ (48) Titta vi på den elektiska flödesdensiteten D, se man att flödet fån dipolenas pluspol gå in i minuspol, och flödesdensiteten inne i det dielektiska mateialet ä lika med flödesdensiteten utanfö det. Utanfö det dielektiska ämnet ha vi: D = ɛ vilket skall vaa samma som flödesdensiteten inne i ämnet: D = ɛ = ɛ χe. Vi använde dessa likhete, fö att få ekvationen ɛ χ e = ɛ (49) Pemittiviteten fö ett ämne kan alltså ges som (ɛ = κ) ɛ = ɛ ɛ elle ɛ = κɛ (5) D lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 7 lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 72

19 Den dielektiska konstanten fö en ledae kan antas vaa oändligt sto, vilket ge att elfältet ä noll inne i ledaen. Nedan se vi exempel på den dielektiska konstanten, fö någa valda ämnen: 2 Ämne dielektiska Dielektiska konstanten ɛ elle κ stykan ( 6 V/m) Vakuum Luft.55 3 a Glas (36) 4 Destilleat Vatten 8 Metall u vilket man få = a) Insättning med gänsen = 3 MV/m ge V =.5 MV 4πɛR = V 4πɛR 2 4πɛR = V = V = R (53) 2 R b) Insättning med gänsen = 8.5 MV/m ge V = 4.25 MV a Beo på luftfuktigheten 2 Paametana fö vissa ämnen beo stakt på tempeatuen och fekvensen på det oscilleande elfältet. lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund XV.2. RC ketsa Ifall den dielektiska fältstykan öveskids, ske en uladdning. Uladdningen i en gas kallas ljusbåge om den ä kontinuelig, gnista om den ä begänsad i tid och um. Åskblixta ä en fom av ljusbåga i atmosfäen. xempel. [W ikipedia:ljusbåge] Laddningen i en Van de Gaaffgeneato ä i en sfä med adien.5 m. a) Vad ä maximispänningen sfäen kan laddas upp till om den befinne sig i luft? b I modena Van de Gaaffacceleatoe används ofta en tank med svavelhexafluoid SF 6 som isolatogas. Till vilken spänning V kan sfäen laddas i SF 6? Använd som vädet fö den dielektiska stykan fö luft 3 MV/m och fö SF MV/m. nligt Gauss lag, ekvation 6, ä fältets magnitud just utanfö sfäen = medan kapacitensen fö en sfä ä, fån ekv. 45, C = V = 4πɛR 2 (5) = 4πɛR (52) 4πɛ R lektomagnetism I, Kai Nodlund Hittills ha vi endast tittat på tidsobeoende system, dä spänningana och stömmana ä konstanta hela tiden. Det fösta exemplet på tidsbeoende ketsa se vi till höge, dä vi kombinea ett motstånd med en kondensato. Vi beteckna spänningen öve kondensaton och öve motståndet med V C espektive V R. I böjan ä kontakten buten och kondensaton ä laddad V C = C V R = T iden t = Sedan sluts kontakten och en stöm böja gå genom esiston. Kondensaton böja uladdas (t>), laddningen på kondensaton minska q <, vilket ge att stömmen genom motståndet bli: I = dq dt. Spänningana öve komponentena som funktion av tiden: V C (t) = q C V R (t) = R I = R dq dt lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 76

20 Vi använde Kichhoffs anda lag, med stömmens iktning motus q C Rdq dt = vilket ä en diffeentialekvation dä laddningen q på kondensaton beo av tiden t. Vi flytta öve alla qtemena till vänste och löse diffeentialekvationen, q dq q = dt RC ln(q ) = t RC q(t) = e t RC Z q Z t dq = dt q RC «q ln(q) ln() = ln = t RC dä integationsvaiablena q and t används så att de inte ä samma som integationsgänsena. Uladdning av kondensaton som en funktion av tiden (54) I(t) = dq dt = RC e t RC (55) lektomagnetism I, Kai Nodlund Vi gö vaiabelbytet θ = C q och få vilket insätts i diffeentialekvationen: Detta ge sedan: ln(θ) = t θ = C dθ dq = dθ dt = dq dt RC θ RC dθ dt = dθ θ = dt RC konstant, dä konstanten fås fån att då tiden t =, ä ln(c q) = t RC ln(c) ln(c q) ln(c) = t RC «C q ln = t C RC «ln q C = t RC q C = e t RC lektomagnetism I, Kai Nodlund (56) Vi ita laddningen på kondensaton och stömmen dq/dt som funktion av tiden: q I /RC Kondensatons laddning som en funktion av tiden t q(t) = C( e RC ) (57) t t Nu se vi hu en kondensato laddas. V C V R I böjan ä kontakten buten och kondensaton ha ingen laddning. Sedan sluts kontakten och en stöm böja ladda kondensaton. Kichhoffs anda lag ge, då stömmen gå motsols q C Rdq dq = C q RC dt dt = lektomagnetism I, Kai Nodlund lektomagnetism I, Kai Nodlund 29 8