Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omoga lijära diffrtialkvatior OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Lijär diffrtialkvatio (DE) md kostata koffiitr är kvatio av följad tp ( ) ( ) a a a a0 f ( ) () där koffiitr a,, a, a, a0 är kostatr Om f ( ) 0 kallas kvatio homog, aars ik-homog (llr ihomog) D allmäa lösig till kvatio () är () () p () ( d allmäa lösig till d homoga kv () partikulärlösig till () ) E homog lijär diffrtialkvatio md kostata koffiitr är kvatio av följad tp ( ) ( ) a a a a0 0 () där koffiitr a,, a, a, a0 är kostatr D allmäa lösig till homog DE är lijär kombiatio av obrod partikulärlösigar (som vi kallar baslösigar) Vi sökr lijärt obrod partikulärlösigar på form r r Substitutio i ( ) oh förkortig md gr r a r ar ar a0 0 () Ekvatio ( ) kallas d karaktristiska kvatio
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omoga lijära diffrtialkvatior OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV ANDRA ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER lijära DE md kostata koffiitr av adra ordig Diffrtialkvatio a a0 0 (4) har d karaktristiska kvatio r ar a0 0 () (Vi atar da, för klhts skull, att koffiitr a, a 0 är rlla tal) a) Om r oh r är kla rlla röttr (dvs r r ) då är r r oh två baslösigar till kvatio (4) D allmäa lösig är r r b) Om r är dubbl rot (dvs r r ) då är r r oh två baslösigar till kvatio (4) r r ) Om r oh r är två kompla röttr, a osb oh a si b r a bi, r a bi då är två baslösigar till kvatio (4) D allmäa lösig är a a osb sib Empl Lös följad DE md avsd på () 6 0 D karaktristiska kvatio r r 6 0 har två rlla olika röttr r oh r Därför är oh två baslösigar oh d allmäa lösig till kvatio
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omoga lijära diffrtialkvatior Uppgift Lös följad DE md avsd på () a) 0 6 0 b) 0 ) 6 0 d) 6 0 ) 0 f) 6 0 g) 0 h) 6 0 i) 4 0 j) 0 a) 8 b) ) d) ) f) g) h) i) j) 4 6 Empl Bstäm d lösig till diffrtial kvatio 7 0 som uppfllr bglsvillkor ( 0) 0 oh ( 0) D karaktristiska kvatio blir r 7r 0 D har två rlla, olika röttr r oh r 4 4 Därför är oh två baslösigar oh 4 d allmäa lösig till kvatio Om vi utttjar villkort ( 0) 0 får vi C C 0 (*) För att aväda villkort ( 0) måst vi först drivra lösig 4 Vi får 4 4
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 4 omoga lijära diffrtialkvatior Villkort ( 0) gr u 4 (**) Frå (*) får vi C C som vi substiturar i (**) oh får 4 Eftrsom C C får vi C D sökta lösig blir därmd 4 4 Uppgift a Lös följad bglsvärdsproblm a) 8 0, ( 0) oh ( 0) 4 b) 4 0, ( 0) 4 oh ( 0) 0 a) 6 b) Uppgift b Lös följad radvärdsproblm a) 6 0, ( 0) oh b) 0, ( 0) oh ( ) ( ) 6 a) b) Empl Lös DE md avsd på () 4 4 0 D karaktristiska kvatio r 4r 4 0 har två rlla lika röttr r oh r ( r är dubbl rot) 4
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omoga lijära diffrtialkvatior ärav får vi två baslösigar oh d allmäa lösig till kvatio oh därför är Uppgift a Lös följad DE md avsd på () a) 0 b) 0 ) 4 4 0 d) 0 0 ) 4 4 0 f) 9 6 0 a) b) ) d) ) f) Uppgift b Lös följad bglsvärdsproblm 6 9 0, ( 0) oh ( 0) 7 Empl 4 Lös DE md avsd på () 0 D karaktristiska kvatio r r 0 har två kompla röttr r ± i ärav får vi två baslösigar os( ) oh si( ) oh därför är
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 6 omoga lijära diffrtialkvatior os( ) si( ) d allmäa lösig till kvatio os( ) si( ) Uppgift 4a) Lös följad DE md avsd på () a) 0 0 b) 0 ) 4 0 d) 4 0 ) 4 0 f) 0 0 g) 0 h) 4 0 a) ) si( ) os( os( ) os() si( si( os( ) si( os( ) si( os( ) si( b) ) ) ) d) ) ) ) f) ) os( ) si( g) os( ) si( ) h) ) Uppgift 4b) Lös följad bglsvärdsproblm 9 0, ( 0) oh ( 0) 6 si os Uppgift ) Lös följad radvärdsproblm π 4 0, ( 0) oh ( ) 4 si os 6
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 7 omoga lijära diffrtialkvatior OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Empl Lös DE md avsd på () 6 0 D karaktristiska kvatio r 6 0 har rot r 6 6 Dtta gr baslösig ärav 6 är d allmäa lösig till kvatio 6 Uppgift Lös följad DE md avsd på () a) 8 0 b) 0 ) 0 d) 0 ) f) 4 a) ) ) 8 b) d) f) 4 7
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 8 omoga lijära diffrtialkvatior OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV ÖGRE ORDNINGEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER ( ) ( ) a a a a0 0 () D allmäa lösig till homog DE är lijär kombiatio av obrod partikulärlösigar (som vi ka kalla baslösigar) Vi sökr lijärt obrod partikulärlösigar på form r r Substitutio i ( ) oh förkortig md gr r a r ar ar a0 0 () Ekvatio ( ) kallas d karaktristiska kvatio För klhts skull btraktar vi kvatior md rlla koffiitr a k Om r k är rll rot till kvatio () md multipliitt v k då är r k r k,,, tillhörad baslösigar v k v k r k Om kvatio () har två kompla röttr a ± bi, md multipliitt v, då är a osb, a v a osb,, v osb oh a a v si b, v si b tillhörad baslösigar v a,, v b si Empl 6 Lös DE md avsd på () () (4) 0 D karaktristiska kvatio r r 4 0 ka faktorisras: r 4 ( r ) 0 r r r r ( r ) 0 r 0, r,,,4 Rot r 0 har multipliitt 4 Tillhörad baslösigar är 0, 0, 0, 0 4 8
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR Eftrsom 0, dtta gr,,, Frå r får vi till baslösig D allmäa lösig är 4 4 4 9 omoga lijära diffrtialkvatior Uppgift 6 Lös följad DE md avsd på () (4) a) 0 b) 0 (4) ) 6 0 (4) d) 4 0 a) ) 4 b) 4 d) WRONSKIS DETERMINANT si 4 os Som sagt ova, d allmäa lösig till homog DE ( ) ( ) a a a a0 0 () är lijär kombiatio av obrod partikulärlösigar (som vi kallar baslösigar) Ett sätt att kotrollra om lösigar till () dtrmiat:,,, är obrod är att bräka Wroskis W ( ) ( ) ( ) Lösigar till () skild frå 0:,,, är obrod om oh dast om Wroskis dtrmiat är 9
Armi alilovi: EXTRA ÖVNINGAR 0 omoga lijära diffrtialkvatior Uppgift 7 Visa att lösigara Wroskis dtrmiat oh till 6 0 är obrod 0 W, är obrod Uppgift 8 Visa att lösigara si oh os till 0 är obrod Wroskis dtrmiat si os W os si 0, är obrod Uppgift 9 Bstäm om lösigara oh till 6 0 är brod llr obrod Wroskis dtrmiat W 0, är brod 0 6 Uppgift 0 Bstäm om lösigara oh oh till 6 0 är brod llr obrod Obrod ftrsom W 0 0