MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 01-03-16 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar. Ofullstädiga lösigar, eller lösigar som är svåra att följa ger poägavdrag. Skriv tydligt! Motivera väl! Edast svar accepteras ej! För bedömig och betygsgräser se kurses hemsida. Lösigsförslag aslås på kurses hemsida efter tetame. Om du var atage till kurse VT 011 eller tidigare behöver du ite göra Del B. Lycka till! Mats 0739 474 859 Del A Hadräkig, p/uppgift. 1. Låt A och B vara två hädelser med PHAL=0.4, PHBL=0.3 och PHA BL=0.6. Bestäm de betigade saolikhete PHB AL. Lösigsförslag: PHA BL=PHAL+ PHBL-PHA BL ï PHA BL=0.1 PHB AL= PHA BL PHAL = 0.1 0.4 = 0.5.. Vid ett test av styrka INëmm ) hos betog ases styrka vara ormalfördelad N (60; 5). Vad är saolikhete att styrka vid ett test uderstiger 58 Nëmm? Lösigsförslag: Låt x = styrka hos betog, x œ N(60;5). PHx < 58L=FI 58-60 M=FH-0.4L=1-FH0.4L=1-0.655=0.345 5 CDF@NormalDistributio@60, 5D, 58.D 0.344578 3. Gipsplattor av e viss typ ka vara behäftade med tre olika fel, katstötta med saolikhet 0.05, spräckta med saolikhet 0.0 och fuktskadade med saolikhet 0.001. E gipsplatta ka vara behäftat med fel av olika slag samtidigt. E gipsplatta måste kasseras om mist ett av ovaståede fel förekommer. Atag att fele förekommer oberoede av varadra. a) Bestäm saolikhete att e gipsplatta måste kasseras. b)vad är saolikhete att e byggmästare måste kassera mist 5 gipsplattor av ett parti om 60? Lösigsförslag: a) Låt A = katstött, PHAL = 0.05, B = spräckt, PHBL = 0.0 och C = fuktskadad, PHCL = 0.001 PHkasserasL=PHA B CL=1-PIA C B C C C M=1-0.95µ0.98µ0.999=0.07 b) Sätt x = atal kasserade gipsplattor av 60. Atag att fele uppkommer oberoede mella plattora. Då är x œ BiH60; 0.07L PHx 5L=1- PHx 4L=@Då >10 och p<0.1 ärxºpoh60µ0.07ldº1-0.5898=0.410 "al PHkasserasL" p =1 0.95 0.98 0.999 "bl PHξ 5L" 1 CDF@PoissoDistributio@4.D, 4D "exakt" 1 CDF@BiomialDistributio@60, 0.07D, 4D al PHkasserasL 0.069931 bl PHξ 5L 0.410173 exakt 0.41158 4. Erfarehetsmässigt vet ma att atalet lampor/dag som måste bytas ut på e fabrik ka betraktas som e stokastisk variabel, x, med följade fördelig: 1
x 1 3 4 phxl 0.5 0.5 0.15 0.15 Atag att lampbehovet olika dagar är oberoede stokastiska variabler a) Bestäm EHxL och VHxL. b) Bestäm med lämplig approximatio hur stor saolikhete är att ma uder ett år, 365 dagar, behöver byta högst 115 lampor. Lösigsförslag: a) Vi får 4 EHxL= i=1 x i phx i L= 17 =.15 och 8 VHxL=EIx M - EHxL 4 = i=1 x i phx i L-.15 = 0.8594fl DHxL= VHxL = 0.970 b) Så som uppgifte är kostruerad är det faktiskt iget att räka på... Eftersom ma byter mist 1 lampa varje dag, PHx 1L=1och på ett år byter ma ju i så fall mist 365 lampor, PI 365 i=1 x i 365M=1. SÅ PI 365 i=1 x i 115M=0 Fördelig för x = atalet utbytta lamporêdag skulle varit (eller ågo aa, slarvigt slarvigt...) x 0 1 3 phxl 0.5 0.5 0.15 0.15 Då hade blivit följade: 3 EHxL= i=0 x i phx i L= 17 = 1.15 och 8 VHxL=EIx M - EHxL 3 = i=0 x i phx i L-1.15 = 0.8594fl DHxL= VHxL = 0.970 Låt z = 365 i=1 x i atalet utbytta lampor uder ett år EHzL=EI 365 i=1 x i M= 365 i=1 EHx i L=365ÿ1.15=410.65 VHzL=VI 50 i=1 x i M= 50 i=1 VHx i L=365ÿ0.859375=313.67 Nu är z º NJ106.5; CGS 313.67 N så PHz 115L=FI 115-410.65 M=FH-16.6918Lº0 17.7108 Ugefär 0% chas att ma behöver byta högst 115 lampor = 80, 1,, 3<; = 80.5, 0.5, 0.15, 0.15<; µ =. 1.15 σ =. µ 0.859375 σ = σ 0.9705 yµ =365µ 410.65 yσ =365 σ 313.67 yσ = yσ 17.7108
"PHhögst 115L" CDF@NormalDistributio@yµ, yσd, 115D PHhögst 115L 7.51745µ 10-63 5. För e viss typ av tryckpress vet ma seda tidigare att de kopierar i geomsitt 45 sidor per miut. E utveckligsigejör gör e förädrig i dess kostruktio med syfte att öka detta geomsitt. Efter geomförd förädrig gjordes testkörigar och ma mätte atalet hela kopierade sidor uder 1 st 1-miuters perioder med följade resultat: 47 49 47 46 48 51 44 46 50 5 50 48 Atal sidor ka atas vara e approximativt ormalfördelad variabel. Har igejöre lyckats med si förädrig? Besvara fråga geom att beräka och tolka ett 95%-kofidesitervall för m = geomsittligt atal kopierade sidor per miut. Lösigsförslag: m * = x=48.167, s * H11L = s=.39, =1 och t 0.05 H11L sidor per miut ges av mœjx t 0.05 s =.01. Ett kofidesitervall för det geomsittligt atal kopierade N (95%) så mœh48.167 1.48LH95%L fl mœh46.68, 49.65LH95%L. Ja ha har lyckats. Med e felrisk (sigifikasivå) på 5% ka ma påstså att det geomsittliga atalet kopierade sidor per miut har ökat, kofidesitervallet ova iehåller ite m=45, med 95% säkerhet. Data = 847, 49, 47, 46, 48, 51, 44, 46, 50, 5, 50, 48<; MeaCI@DataD 846.6869, 49.6464< x = Mea@DataD êên 48.1667 sd = StadardDeviatio@DataD êê N.39 t = IverseCDF@StudetTDistributio@11D, 0.975D.0099 STe = tsd 1.47978 1 8u =x STe, ö =x+ste< 846.6869, 49.6464< Del B Avädig av Mathematica. Markera alla stora bokstäver i Matematica geom att stryka uder dem! Skilj oga på ()[]{}.ä! Age om du aväder Palette eller Â-sekveser! Aväd gära förklarade text&pilar! p/uppgift. 6. Beräka medelvärdet, stadardavvikelse och de 3 kvartilera för följade data Data = 831.5, 37.5, 40., 8.0, 34.8, 36.0, 5.1, 7.5, 39.1, 3.4, 3.3, 38.0, 40.1, 8.4, 35.9, 36.3, 5.1, 8., 39.8, 3.6< 3
Lösigsförslag: Direkt avädig av ibyggda fuktioer i Mathematica... Data = 831.5, 37.5, 40., 8.0, 34.8, 36.0, 5.1, 7.5, 39.1, 3.4, 3.3, 38.0, 40.1, 8.4, 35.9, 36.3, 5.1, 8., 39.8, 3.6<; Mea@DataD 33.44 StadardDeviatio@DataD 5.05833 Quartiles@DataD 88.3, 33.7, 37.75< 7. E låda iehåller 00 kulor varav 50 st är vita och reste svarta. Du drar 0 st kulor på måfå ur låda uta återlägg. Hur stor är saolikhete att du får exakt 5 vita kulor? Svara i %. Lösigsförslag: Direkt avädig av ibyggd fuktio i Mathematica. Hypergeometrisk fördelig. "Atige" Biomial@50, 5D Biomial@150, 15D Biomial@00, 0D 100 êê N "Eller" PDF@HypergeometricDistributio@0, 50, 00D, 5D 100 êê N Atige 1.333 Eller 1.333 8. Rita ett lämpligt diagram för datamägde i uppgift 6. Lösigsförslag: Direkt avädig av ibyggda fuktioer i Mathematica... och låter Mathematica bestäma klassidelige. Data = 831.5, 37.5, 40., 8., 34.8, 36., 5.1, 7.5, 39.1, 3.4, 3.3, 38., 40.1, 8.4, 35.9, 36.3, 5.1, 8., 39.8, 3.6<; Histogram@Data, PlotLabel > Style@"Data", "Title", FotSize > 14D, ImageSize > Large, AxesLabel > 8"Data", "Atal"<, ChartStyle > "Raibow"D 9. Låt x œ BiH000, 0.05L och beräka saolikhete att x > 75. 4
Lösigsförslag: Direkt avädig av ibyggda fuktioer i Mathematica... 1 CDF@BiomialDistributio@000, 0.05D, 74D 0.9967 10. Lös uppgift 5 uder förutsättig att stadardavvikelse är käd, s = och kofidesgrade 99%. Lösigsförslag: Direkt avädig av ibyggda fuktioer i Mathematica... Data = 847, 49, 47, 46, 48, 51, 44, 46, 50, 5, 50, 48<; MeaCI@Data, CofideceLevel.99, KowVariace 4D 846.6795, 49.6538< Del C Modellerig och hadräkig, 5 p/uppgift. 11. Processe i e destruktiosaläggig för miljöfarligt avfall ka delas upp i två steg. Tidsåtgåge för ett parti avfall i steg 1 ka betraktas som e stokastisk variabel, x 1, som är likformigt fördelad mella 0.5 och 1 timme. Oberoede av tidsåtgåge i steg 1 sker i steg de slutliga destruktioe av partiet uder e tid, x, som ka atas vara expoetialfördelad med l = 1/. Först är ett parti geomlöpt hela processe ka ästa parti komma i för destruktio. Destruktiostide för olika partier ka betraktas som oberoede. a) Hur låg är de geomsittliga destruktiostide för ett parti. b) Ma är itresserad av att kapacitetsbedöma aläggige. Bestäm därför ett approximativt värde på saolikhete att ma uder e veckas kotiuerlig drift (168 timmar) ka klara av destruktioe av mist 60 partier. c) Aläggige är igåg 48 veckor om året. Atag att chefe för aläggige påstår att ma uder ett år klarar av att destruera N stycke partier. Hur stort ka N som störst vara för att chefes påståede med 95 % säkerhet skall vara sat? Lösigsförslag: a) Sätt x 1 = tid steg 1, x 1 œ UH0.5; 1L ochx = tid steg, x œ ExpI 1 M z i =x 1 +x = tid för destruktio av ett parti EHz i L=EHx 1 +x L= EHx 1 L+EHx L= 1+0.5 + 1 1 =.75 Geomsittliga destruktiostide för ett parti är.75 timmar. b) Låt z 60 = 60 i=1 z i = totala destruktiostide för 60 partier. Ma vill veta PHz 168L EHz 60 L=EI 60 i=1 z i M= 60 i=1 EHz i L=60µ.75=165. VHz 60 L=VI 60 i=1 z i M= 60 i=1 VHz i L=60µ4.008=41.48, där VHz i L=VHx 1 +x L=VHx 1 L+VHx L= H1-0.5L 1 Nu är z 60 º NJ165; CGS 41.48 N och PHz 60 168LºFJ 168-165 41.48 N=FH0.19L=0. 5753 + 1 = 4.008 J 1 N Saolikhete att är ugefär 58% att fabrike klarar av destruera 60 partier i vecka. c) 48 veckor är totalt 48µ168=8064 timmar. Nu vill ma veta PHN partier är klara iom 8064L=0.95 Lösige på detta problem är väsetlige samma som starte på bl med följade justerig EHz N L=EI N i=1 z i M= N i=1 EHz i L=.75 N och VHz N L=VI N i=1 z i M= N i=1 VHz i L=4.008 N Nu är z N º NJ.75 N; CGS 4.008 N N och 5
PHz N 8064Lº0.95ñFJ 8064-.75 N N + 1.031 N =- 1.031 4.008 N N=0.95ñ 8064-.75 N 4.008 N N - 93.36 = 0, där edast de positiva lösige är itressat. I 1.031 M + 93.36 ï = 1.65ñ.75 N + 1.65 4.008 N - 8064=0ñ N =- 1.031 + I 1.031 M + 93.36 = 53.5531ï N = 53.5531 = 867.93 Ma kommer att klara av att destruera mist 867 partier uder ett år med 95% saolikhet. a) Med Mathematica Eζ 1 = Mea@UiformDistributio@80.5, 1<DD+Mea@ExpoetialDistributio@0.5DD.75 b) Vζ 1 =Variace@UiformDistributio@80.5, 1<DD+ Variace@ExpoetialDistributio@0.5DD 4.0083 "PHζ 60 168L" Pζ 60 =CDFBNormalDistributioB60Eζ 1, 60Vζ 1 F, 168F c) "PHζ N 8064L" FidRootBCDFBNormalDistributioBNEζ 1, NVζ 1 F, 8064F ==0.95, :N, 8064.75 >F PHz N 8064L 8N Ø 868.13< 1. Hur efterlevs hastighetsbegräsigara i tätort? För att udersöka vilke effekt e hastighetskylt har mätte ma hastighete (y i ) på ett fordo i ett 50-område och seda samma fordos hastighet (x i ) i ett 30-område. Mätigara (km/h) är gjorda i oktober 009, kl 9.10 9.50 på 41 olika fordo med följade resultat: a) Beräka ett 95% kofidesitervall för medelhastighete på 50-sträcka. b) Beräka ett 95% kofidesitervall för effekte av övergåge till 30-område på fordoes hastighet. Lösigsförslag: Låt x i = hastighet för bil i på 30-väg, atag att x i œ NHm i -D;s 1 L h i = hastighet för bil i på 50-väg, atag atth i œ NHm i ;s L a) m i = m Då m * = y= 1548 = 37.7561, medelhastighete på sträcka uderstiger 50 kmêh 41 s * H40L 1 = s y = 5.9531, =41 och t 0.05 =.01 Ett kofidesitervall för medelhastighete ges av H40L mœjy t 0.05 s y N, H95%L, mœh37.76 1.88L, H95%L fl mœh35.87, 39.64L, H95%L. 6
Hastighetsbegräsig efterlevs då medelhastighete är sigifikat lägre ä 50 km/h, med 5% risk att ha fel. b) Modelle för dea jämförelse är stickprov i par, eftersom ma ka misstäka att hastighetera varierar med förare (fordoet). Vi atar så att z i =h i -x i œ NHD;sL, därd=geomsittlighastighetsförädrig D * = z= 35 = 5.7317, medelhastighete sjuker med 5.73 kmêh 41 s * H40L = s z = 6.3758 och t 0.05 =.01 Ett kofidesitervall för förädrige av medelhastighete ges av H40L DœJz t 0.05 s z N,H95%L, mœh5.73.01l, H95%L fl mœh3.71, 7.75L, H95%L. Medelhastighete sjuker mella 3.71 och 7.75 km/h med 95% säkerhet. Med Mathematica.. Eftersom vi ite har tillgåg till gruddata i detta fall blir lösig bara på kommadoform. a) datay = 8y 1, y,..., y 41 <; y = Mea@dataYD stdy = StadardDeviatio@dataYD; H40L =IverseCDF@StudetTDistributio@40D, 0.975D; t 0.05 "felmargial, e" e =t H 1L αê std MeaCI@data, CofideceLevel 0.95D bl datax = 8x 1, x,..., x < datay = 8y 1, y,..., y < dataz =datay datax; z = Mea@dataZD stdz = StadardDeviatio@dataZD; H40L =IverseCDF@StudetTDistributio@40D, 0.975D t 0.05 "felmargial, e" e =t H40L 0.05 stdz MeaCI@dataZ, CofideceLevel 0.975D 7