Introduktion till statistik för statsvetare

"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011

Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?

Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?

Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.

Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete 0.95. Simulera med WiStats

Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio De väsetliga fråga Så återstår de ite oväsetliga fråga Hur hittar ma a och b? Vars svar är att det ka bara göra frå fall till fall

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet Vi vet att X i N ( µ, σ 2) samt att slumpvariablera X i är oberoede varav följer X i N ( µ, σ 2) Me detta ger att (visa detta) X i µ σ 2 N (0, 1) Vi ka u sätta upp följade ekvatio ( ) P 1.96 < X i µ < 1.96 = 0.95 σ 2

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) I ett första steg omskrives dea till ( P 1.96σ < X i µ < 1.96σ ) = 0.95 Vi har u två olikheter 1.96σ < X i µ och X i µ < 1.96σ Byt plats mella µ och 1.96σ µ < X i + 1.96σ och X i 1.96σ < µ

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i + 1.96 σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X + 1.96σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x + 1.96 σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t 0.025 ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för µ är σ okät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x t 0.025 ( 1) s, x + t 0.025 ( 1) s ) Diskutera rut t-fördelige

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Example För skogsområdet upmättes 0.7 0.9 1.0 1.3 1.9 2.7 3.2 3.4 3.4 3.5 3.5 4.3 5.2 5.9 6.0 6.3 6.5 6.6 7.1 7.4 7.6 7.9 8.3 8.3 8.3 8.3 8.7 10.0 10.0 10.3 12.0 13.4 14.1 14.8 16.7 16.8 17.1 17.7 18.9 19.0 19.4 19.7 24.3 26.2 26.2 28.3 31.7 39.3 44.8 E köpare vill via ett 95 procetigt symmetriskt kofidesitervall beräka de största mägd timmer dee rimlige ka erhålla för att med hjälp av de övre gräse kua beräka de högsta acceptabla iköpskostade per volymsehet. Beräka ett sådat kofidesitervall.

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Solutio Vi har tidigare fuit att x = 12.02 s = 10.03 så ett 95%-igt kofidesitervall för µ är σ okät blir ( 12.02 2.01 10.03, 12.02 + 2.01 10.03 ) 49 49 som ger oss att varje ruta iehåller mella 9.14 och 14.6 m 3 skog. Så köpare räkar med att få högst 14.6 m 3 skog per ruta. Me äve skattige σ är behäftad med osäkerhet. Vi behöver därför ett kofidesitervall för σ.

Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2

Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Betrakta u S 2 σ 2 = ( Xi µ Högerledet är e summa av kvadrerade N (0, 1)-variabler. Tidigare har kostaterats att e såda summa är χ 2 ()-fördelad. Därför är saolikhetsekvatioe P (a < S 2 ) < b = 0.95 σ 2 σ ) 2 meigsfull. Vi leds till att betrakta (diskutera χ 2 0.025 och χ2 0.975 ) P (χ 20.025 < S 2 ) σ 2 < χ 2 0.975 = 0.95

Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Vi löser u de två olikhetera med avseede på σ 2. Lösige blir χ 2 0.025 < S 2 σ 2 och S 2 σ 2 < χ 2 0.975 σ 2 < S 2 χ 2 0.025 och S 2 χ 2 0.975 < σ 2 varför ( S 2 P χ 2 0.975 < σ 2 < S 2 ) χ 2 = 0.95 0.025

Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för σ är µ är käd och med kofidesgrad 0.95 ka u skrivas ( ) S 2 S, 2 χ 2 0.975 χ 2 0.025 Tyvärr kräver dea lösig kuskap om µ.

Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, 0.975 χ 2 0.025 Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Example (forts) För skogsområdet gällde att kofidesitervallet (9.14, 14.6) för det förvätade ihållet. För stadardavvikelse har vi itervallet ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, 0.975 χ 2 0.025 vilket ger ( ) (49 1) 10.03 2 (49 1) 10.03 2, = (8.3, 12.5) 69.0 30.8

Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Köpare har därför e ä större osäkerhet ( 12.02 2.01 8.3, 12.02 + 2.01 8.3 ) = (9.6, 14.4) 49 49 eller ( 12.02 2.01 12.5 49, 12.02 + 2.01 12.5 49 ) = (8.4, 15.6) Vilket av de tre framräkade tale, 14.1, 14.6 och 15.6, skall dee välja?

Åkerareal Åkerareal Frå SCBs statistikdatabas fier vi de totala åkerareale i Uppsala A-regio för e följd av år 1981 1985 1989 1990 1991 1992 1993 1994 79384 79219 78713 78345 75743 75258 75616 75347 1995 1999 2001 2002 2003 2005 2007 74696 74799 73723 73407 73239 73520 72518 Bestäm e approximatio av geomsittlig aväda areal uder agive tid samt ge ett 95%-igt kofidesitervall. Vi skapar följade modell X i = åkerareal Uppsala A-regio år i i = 1981, 1985,..., 2007 med atagadet att X i N (µ, σ) (oberoedekravet dubiöst här).

Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = 1133527 15 = 75568. Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = 2299.3635. (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u 75568 ± 2.13 2299.3635 15 Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.