Iledade kombiatorik LCB 2001 Ersätter Grimaldi 1.1 1.4, 3.1 (delvis) 1 Additios- och multiplikatiospricipera Kombiatorik hadlar om koste att räka atalet av saker och tig. Hur måga gåger geomlöpes e viss sliga i ett program? Hur måga alterativ står till buds för att utföra e viss operatio? Hur måga kodord är möjliga vid e viss kostruktio av e kod? Hur måga gåger uppträder möstret 0010 i e viss låg sekves av 0 och 1. Iom diskret saolikhetslära fis måga kombiatoriska problem. Läsare bör ha tillämpigar av detta slag i miet i fortsättige. De flesta exempel kommer ämlige att hadla om betydligt mer vardagliga och skebart gaska meigslösa problem (val av färgade eller umrerade kulor, arragemag av bokstäver,... ). Sådaa problem är ekla att formulera och förstå, och är därför lämpliga då det gäller att tydliggöra de förekommade pricipera. Iblad ka ma få itryck av att det mest gäller att vara listig då ma ska lösa kombiatoriska problem. Det fis emellertid systematiska metoder som ka ersätta e stor del av listighete. De mest elemetära av dessa diskuteras i detta kapitel, meda mer avacerade metoder kommer seare. Vi börjar med de s.k. additios- och multiplikatiospricipera. 1.1 Additiospricipe Atag att vi har möjlighet att välja mella två objekt A och B, där A förekommer i variater och B i m variater. Om vi ska välja e av A och B, hur måga variater har vi då att välja mella? Svaret är aturligtvis självklart: Atalet sätt att välja mella variater av A och m variater av B är m. Det är detta som kallas additiospricipe. De ka direkt geeraliseras till fler ä två objekt A, B, C,.... I tillämpigara aväds additiospricipe ofta för att dela upp i fall ; till exempel ka ma var för sig studera effektera av olika utfall av ett visst experimet. Exempel kommer strax (exempel?? och?? eda). 1.2 Multiplikatiospricipe Vi vill u välja först e av variatera av A och därefter e av variatera av B. Hur måga alterativ har vi då totalt? Svaret ges av multiplikatiospricipe: Atalet sätt att välja först e av variater av A och därefter e av m variater av B är m. Äve här ka ma aturligt geeralisera till fler ä två objekt.
2 1. ADDITIONS- OCH MULTIPLIKATIONSPRINCIPERNA Exempel 1. Låt M betecka e mägd med 10 elemet. Hur måga delmägder fis det till M? Lösig: E delmägd M till M ka bildas geom att ma går igeom alla elemet i M, ett i taget, och beslutar huruvida det skall igå i M eller ej. För varje elemet i M har ma alltså 2 alterativ (tillhör/tillhör ite), och ett val ska göras för vart och ett av de 10 elemete. Det totala atalet möjligheter blir 2 2 2 2 2 10 Atalet delmägder till M är alltså 2 10. I det allmäa fallet då mägde har elemet fis det aturligtvis 2 möjligheter. Exempel 2. Additios- och multiplikatiospricipera ka ofta kombieras. I e ekel implemetatio av programspråket BASIC på 1970-talet utgjordes e idetifierare av e bokstav (A Z, 26 st.) eller e bokstav följd av e siffra (10 st.). Hur måga idetifierare fas det totalt? Lösig: För att lösa uppgifte delar vi upp i fall. Betrakta först idetifierare som bara utgöres av e bokstav. Sådaa fis det tydlige 26 stycke. Betrakta seda de idetifierare som består av e bokstav följd av e siffra. Eligt multiplikatiospricipe fis det 26 10 sådaa. Av additiospricipe följer att det totala atalet idetifierare är 26 26 10 286 Exempel 3. Hur måga räkeoperatioer (additio och multiplikatio) måste utföras är ma på ormalt sätt multiplicerar två -matriser? Lösig: De 2 elemete i produktmatrise beräkas var för sig, så vi ka betrakta ett elemet i taget och seda addera resultate. Av symmetriskäl iebär det att räka på ett fall och seda multiplicera med 2. Beräkig av ett elemet i matrisprodukte går ut på att ta skalärprodukte mella e rad i de första faktor och e kolo i de adra:. b 1.. b a 1 a 2 a 2.. a 1 b 1 a b... b. Här krävs tydlige att ma först utför multiplikatioer a i b i. Därefter skall resultate adderas. Ma adderar två tal i taget, och totalt krävs därför 1 additioer. Sammalagt kräver varje matriselemet 1 2 1 räkeoperatioer. Totalt kräver multiplikatioe av två matriser således 2 2 1 2 3 2 räkeoperatioer.
1. ADDITIONS- OCH MULTIPLIKATIONSPRINCIPERNA 3 Amärkig. Resultatet iebär att atalet räkeoperatioer dividerat med 3 är e begräsad fuktio av för stort; detta brukar uttryckas så att atalet operatioer är O 3 för stora. Det fis faktiskt umeriskt effektivare sätt att multiplicera matriser ä det ova beskriva. Ett berömt resultat av Strasse (1968) säger att det är möjligt att multiplicera två -matriser med avädig av edast O 2 log7 räkeoperatioer ( 2 log7 2 81). Fler exempel kommer lägre fram. Vi ska i fortsättige studera olika variater att frå stycke olika objekt (till exempel kulor med olika märkig) välja ut r stycke. Sådaa urval ka ske på olika sätt, och i tillämpigara är det viktigt att ma gör klart för sig på vilket sätt det sker. Iblad är upprepig tillåte, dvs. samma kula ka väljas mer ä e gåg. Så är fallet om ma tillämpar återläggig: resultatet av ett val oteras, varefter de valda kula läggs tillbaka och ka väljas ige. Samma situatio uppstår om ma har tillgåg till ett obegräsat atal av varje objekt. Ma måste också göra klart för sig om häsy ska tas till de ordig i vilke kulora väljes, eller om det bara är slutresultatet som räkas. E tillämpig av multiplikatiospricipe visar att vi har 2 2 4 olika urvalssituatioer att studera. Vi behadlar dem var för sig eda.
2 Urval med häsy till ordig. Permutatioer 2.1 Upprepig tillåte Vi vill välja ut r objekt frå stycke olika, och vi tillåter upprepig, dvs. varje objekt ka väljas mer ä e gåg. Vid vart och ett av de r vale har vi tydlige alterativ. Detta är precis situatioe i multiplikatiospricipe; totalt fis det r olika utfall (se exempel??). 2.2 Ige upprepig När upprepig ite tillåts miskar atalet alterativ efter had som urvalet fortskrider. För det totala atalet utfall ger u multiplikatiospricipe svaret (1) 1 2 r 1 För att kua fortsätta diskussioe behöver vi lite termiologi och beteckigar. DEFINITION 1. Varje uppställig av ett atal olika objekt i ågo ordig kallas e permutatio av dessa. Om ite alla objekte är olika talar vi i stället om ett arragemag av dem. Viktigt är att häsy tas till de ordig i vilke objekte ställs upp. E permutatio ka tydlige kostrueras geom att successivt välja ut objekte som ska stå på plats 1, på plats 2, på plats 3, osv. Atalet permutatioer av objekt får vi geom att välja r i (??), och är lika med 1 2 2 1 För detta tal iför vi beteckige! vilke utläses -fakultet. Defiitiosmässigt är alltså! produkte av alla positiva heltal frå och edåt. Till exempel är 4! 4 3 2 1 24. För att vissa formler lägre fram ska ge rätt resultat äve i e del udatagsfall är det bekvämt att också defiiera 0! 1. Formel (??) ova för atalet sätt att välja r objekt frå med häsy till ordige ka skrivas med fakultetsbeteckigar: 1 2 r 1 1 r 1 r! r!! r! Iblad avädes symbole P r för detta tal. Läsare ka själv verifiera att P!, som sig bör.
2. URVAL MED HÄNSYN TILL ORDNING. PERMUTATIONER Vi sammafattar: Atalet permutatioer av r objekt utvalda blad olika är P r! r! Exempel 4. a) Atalet permutatioer av de 7 bokstävera i BLÅGRÖN är 7!. b) Atalet permutatioer av 4 bokstäver utvalda blad dessa 7 är 7! 7 4! 7 6 4 3 2 1 7 6 4 840 3 2 1 c) Om vi tillåter upprepig vid urvalet är det ite lägre fråga om permutatioer. Hur låga sviter som helst ka då förekomma, exempelvis BBBB B. Till exempel är atalet sviter av lägd 14 lika med 7 7 7 7 14 Amärkig. Det är ite meige att ma ska lära sig formlera ova utatill. Vid varje tillfälle återför ma sig i stället direkt på multiplikatiospricipe, så som härledige av formlera gick till. Till exempel får ma i b) direkt resultatet 7 6 4 840. Vi ska u se på ågra exempel där viss upprepig förekommer. Exempel. Betrakta alla möjliga arragemag av de fyra bokstävera i BALL. Här har vi tillgåg till de tre bokstävera B, A och L, med kravet att L skall förekomma två gåger. Om vi förser dessa L med olika idex, L 1 och L 2, så har vi de tidigare situatioe med permutatioer av fyra symboler. Atalet sådaa är 4! 24. (Övig: Skriv upp dem. 1 ) Tar vi u bort idexe kommer varje arragemag att uppträda två gåger; till exempel leder både L 1 ABL 2 och L 2 ABL 1 till LABL. Atalet olika arragemag är således 4! 2 12 Lägg märke till att vad som egetlige står i ämare här är 2!, atalet permutatioer av två symboler L 1 och L 2. Atalet arragemag av de fem symbolera i BALLL är lika med! 20. 3! Exempel 6. a) Vi studerar samma problem som i exempel?? för bokstävera i MASSASAUGA. Atalet bokstäver är 10, och hade de varit olika skulle det fuits 10! permutatioer av dem. Nu fis emellertid 4 stycke A. Dessa ka permuteras ibördes på 4! sätt, vilka alla ger 1 Lista fis i Grimaldi, i 4:e upplaga på sida 8.
6 2. URVAL MED HÄNSYN TILL ORDNING. PERMUTATIONER upphov till samma arragemag. Vi måste alltså dividera med 4!. Vidare fis det tre stycke S, vilka på samma sätt ger upphov till e faktor 3! i ämare. Atalet arragemag är alltså (2) 10! 4!3! b) Vi ställer u fråga: hur måga arragemag av bokstävera ova fis det i vilka alla A står itill varadra? För att lösa detta problem behadlar vi alla A som e ehet; vi limmar ihop bokstävera till e symbol AAA. De symboler vi har att arragera är alltså M S S S U G AAA Atalet symboler är 7, varav 3 stycke S är lika. Med samma slags resoemag som ova fier vi att atalet arragemag är 7! 3! Ett alterativt sätt att täka är att studera arragemag av de sju symbolera M S S S U G A. I varje sådat sätter ma i de två återståede A:a itill det befitliga. Amärkig. För tydlighets skull skriver ma iblad resultatet i (??) på forme 10! 4!3!1!1!1! med e faktor 1! i ämare för var och e av symbolera M, G och U, vilka förekommer precis e gåg. Ett uttryck av detta slag har de allmäa forme! 1! 2! r! där 1 2 r och i 0 för alla i. Detta kallas e multiomialkoefficiet. Vi kommer att diskutera sådaa mer seare. Exempel 7. Visa att är ett heltal. 2! 2 Lösig: Vi ska ge ett så kallat kombiatoriskt bevis, alltså ett bevis där ma räkar ågot. I detta fall räkar vi atalet arragemag av de 2 symbolera A 1 A 1 A 2 A 2 A A vilka är parvis lika. Med resoemag som tidigare är atalet arragemag lika med 2! dividerat med stycke faktorer 2!, alltså 2! 2 Eftersom detta tal är svaret på e fråga hur måga måste det vara ett heltal. För fler exempel se Grimaldi.
3 Urval uta häsy till ordig och uta upprepig. Kombiatioer DEFINITION 2. E kombiatio av r objekt utvalda frå (olika) är ett urval där ige häsy tas till ordigsföljde, och där upprepig ite är tillåte. Ma ka uppfatta det så att i e kombiatio väljes alla r objekte samtidigt, och ite ett och ett. Atag att atalet kombiatioer av r objekt valda frå stycke är x. Om vi efter att ha valt ut e kombiatio sorterar dess elemet i e bestämd ordig har vi fått e permutatio av de r objekte. Eftersom atalet permutatioer av r objekt är r! följer av multiplikatiospricipe att atalet permutatatioer av r objekt frå är x r!. Me vi har ju reda ett aat uttryck för detta atal i P r ova. Således får vi x r!! r! x Detta tal kallar vi e biomialkoefficiet, och beteckar det att vi gör e formell defiitio. r DEFINITION 3. Med biomialkoefficiete Defiitioe fugerar äve då r och r 0: Då r 0 och då r tolkar vi 1! r!r! r meas talet! r!r! 0 1 r. Begreppet är så viktigt som 0. På så sätt kommer vissa formler för biomi- r alkoefficieter som vi skall studera seare att fugera äve i sådaa fall. Vårt kombiatoriska resultat ova ka u formuleras: Atalet sätt att välja ut r objekt frå uta häsy till ordig och uta repetitio är r Exempel 8. Vi har att 1! 1!1! 1! 1! 1. Detta stämmer med de kombiatoriska tolkige; atalet sätt att välja 1 objekt frå är ju precis. På motsvarade sätt (eller av symmetriskäl, se sats?? eda) är
8 3. URVAL UTAN HÄNSYN TILL ORDNING OCH UTAN UPPREPNING Exempel 9. a) E studet skall vid e tetame besvara 7 av 10 frågor. På hur måga sätt ka ho välja ut dessa? Här sakar ordigsföljde uppebarlige betydelse. Atalet sätt att välja ut de sju frågora är alltså 10 7 10! 3!7! 10 9 8 7! 3!7! 10 9 8 3 2 1 120 b) Atag att frågora är uppdelade i två grupper om fem. Exakt tre frågor frå de första gruppe skall besvaras, och därmed fyra frå de adra. Eligt multiplikatiospricipe är atalet urvalsmöjligheter då 3 4! 2!3!! 1!4! 4 2 1 0 c) Atag, med samma uppdelig av frågora, att mist tre frågor frå de första gruppe skall besvaras. Vi delar då upp i falle exakt 3, exakt 4, exakt frågor frå dea grupp och aväder additiospricipe. Atalet möjligheter blir 3 4 4 3 2 0 0 10 110 Exempel 10. Atalet arragemag av bokstävera i WOOLLOOMOOLOO (13 bokstäver, varav 8 st. A, och 3 st. L) är 13! 8!3!1!1! 2740 det vet vi med metode i exempel?? ova. Vi frågar u efter atalet sådaa arragemag uta ågra kosekutiva L (dvs. det får ite fias ågra L itill varadra). För att lösa detta problem tar vi först bort de tre L:e och studerar arragemage av de övriga bokstävera O O O O O O O O W M. Atalet sådaa är, med samma tekik som ia, 10! 8!1!1! 90 För varje sådat arragemag sätter vi i tre stycke L i de olika mellarumme mella bokstävera. På detta sätt får vi alla arragemag där iga L står itill varadra. Äve ytterplatsera ska betraktas som mellarum här, så atalet sådaa är 11 (tio bokstäver). Atalet sätt att välja ut de tre mellarum där L ska placeras är 10 3 10! 7!3! 16 Observera att ordige är oväsetlig vid detta urval. Eligt multiplikatiospricipe är u det sökta atalet arragemag lika med 90 16 14 80.
3. URVAL UTAN HÄNSYN TILL ORDNING OCH UTAN UPPREPNING 9 Iblad ka kombiatoriska problem lösas på mer ä ett sätt. I själva verket ka det ofta vara e fördel om ma ka fia mer ä e lösig på ett kombiatoriskt problem, eftersom ma då får e bekräftelse på att ma täkt rätt. Exempel 11. Ma vill dela i 36 persoer i 4 lika stora grupper. På hur måga sätt ka det ske? Lösig: Kalla gruppera A, B, C, D. Först väljer vi ut grupp A. Detta ka ske på sätt (ordigsföljde är oitressat). Nu återstår 27 persoer. Frå dessa väljer vi grupp 27 B, vilket ka ske på sätt. Frå de återståede 18 persoera ka grupp C väljas på 9 18 9 sätt. Reste utgör grupp D, som alltså ka väljas på 1 sätt. 9 9 Eligt multiplikatiospricipe blir det totala atalet möjligheter 36 9 27 9 18 9 9 9 36! 27!9! 27! 18!9! 18! 9!9! 9! 9!9! 36! 9!9!9!9! 36 9 Det föreklade svaret ger e atyda om att det fis ett aat sätt att täka. Alterativ lösig: Ma ka täka sig att urvalet sker geom att de 36 persoera står på rad, och ma förser var och e med e klisterlapp på vilke det står A, B, C eller D. Ett visst urval ka alltså beskrivas som ett arragemag av 9 stycke vardera av dessa fyra bokstäver. Problemet är alltså hur måga arragemag det fis av symbolera A A... A B B... B C C... C D D... D, där varje bokstav förekommer io gåger. Detta slags fråga har vi besvarat flera gåger reda; svaret är e multiomialkoefficiet 36! 9!9!9!9! Biomialkoefficieter är viktiga, och vi ska diskutera deras egeskaper utförligt om ett litet tag; blad aat ska vi förklara var amet kommer ifrå. Vi avslutar detta avsitt med e tillämpig frå kodigsteori. Exempel 12. Iom kodigsteori studerar ma metoder att överföra iformatio mella två kotraheter, e sädare och e mottagare. Trasmissioe sker via e kaal som är utsatt för störigar. Ma ka ite vara säker på att det meddelade som år mottagare överesstämmer med det som utgått frå sädare. Dea felrisk ka ma oftast ite göra ågot åt; kodigsteori hadlar om att fia metoder för mottagare att upptäcka att ett fel uppstått, och kaske till och med ge hoom möjlighet att korrigera felet. störig sädare mottagare
10 3. URVAL UTAN HÄNSYN TILL ORDNING OCH UTAN UPPREPNING Exempel på de beskriva situatioe är kommuikatioe mella e dator och e termial, eller överförige av e ljudsigal frå e CD-skiva via e förstärkare till lyssare. Vi atar att alla meddelade har forme av e biär svit av symbolera 0 och 1 av fix lägd (e så kallad blockkod). Atalet sådaa sviter är 2 (multiplikatiospricipe), me det är bara vissa av dessa som ges e meig, represeterade e bokstav eller ågot aat slags tecke. De sviter som är meigsfulla kallas kodord. Frå sädare utgår edast sådaa. Om ett kodord utsätts för störig uder trasmissioe kommer mottagare att ås av e aa svit ä de utsäda. I bästa fall erhåller då mottagare e svit som ite är ett kodord. De har ige meig, mottagare iser att ett fel har uppstått och ka vidtaga lämpliga åtgärder (t.ex. begära repetitio av det utsäda kodordet). Me om det mottaga meddeladet är ett kodord, aat ä det utsäda, har mottagare ige möjlighet att ise att ett fel har uppstått. Ha har då erhållit ett felaktigt meddelade. Det är i första had de sista situatioe ma vill udvika, me det är iblad också ageläget att mottagare ur det erhålla felaktiga meddeladet själv ka rekostruera felet och på så vis komma fram till det korrekta meddeladet. Geom ett omsorgsfullt val av de sviter som ska utgöra kodord ka dessa saker åstadkommas. Uta att gå i på hur detta görs ska vi här udersöka vad som ka sägas om hur måga kodord som är möjliga i ågra olika situatioer. Det är uppebart att för ett givet kodord (biär svit) ka vi ite tillåta att ågo av de sviter ma får geom att ädra på e eda plats är ett kodord. Då skulle ju ett fel i e eda positio vid trasmissioe kua leda till ett ytt kodord, och mottagare skulle ite kua upptäcka att ett fel uppstått. Om exempelvis 01001 är ett kodord ( ) är följade sviter ite tillåta som kodord; 11001 00001 01101 01011 01000 Varje kod som kostrueras uder iakttagade av dea restriktio kommer att kua upptäcka alla ekelfel (fel i e eda positio). Till varje kodord hör det tydlige stycke sviter som ite är tillåta. Å adra sida förekommer här viss överlappig; om i exemplet ova 11000 också är ett kodord så leder ett fel i sista positioe till 11001, samma som de första förbjuda svite ova. De förbjuda svitera ka tydlige höra till mer ä ett kodord. Om atalet av kodord och tillhörade förbjuda sviter uderstiger totala atalet sviter, som är 2, fis det plats för ytterligare kodord. För det maximala atalet möjliga kodord x har vi därför e olikhet x x 2 2 x 1 Det är alltså möjligt att kostruera e kod som ka upptäcka ekelfel iehållade mist 2 1 kodord. Atag att vi ökar ambitiosivå och vill ha möjlighet att upptäcka äve dubbelfel. Då måste vi lägga kodorde glesare. För varje förekommade kodord måste vi se till att de sviter som avviker i e positio ( stycke, som ova) och i två positioer ( stycke) 2 ite är kodord. För det maximala atalet möjliga kodord får vi u olikhete x x x 2 2 2 x 1 2 1
3. URVAL UTAN HÄNSYN TILL ORDNING OCH UTAN UPPREPNING 11 Vi ädrar u krave till att kostruera e kod som ka korrigera ekelfel. För varje kodord c krävs då att ige av de sviter ( st.) som avviker i bara e positio också har dea egeskap med avseede på ågot aat kodord c. Om detta krav tillgodoses, och vi atar att högst ekelfel uppstår, kommer mottagare av det trasmitterade ordet, geom jämförelse med e lista på förekommade kodord, att kua sluta sig till vilket kodord som utgått frå sädare. För det maximala atalet möjliga kodord gäller tydlige olikhete Atalet kodord ka ite överstiga x x 2 x 2 1 2 1. Amärkig. Hur ma verklige väljer sia kodord i praktike diskuterar vi ite här. Blad aat har ma kravet att kodig och avkodig ska kua ske ekelt och sabbt med hjälp av dator. Detta kräver ågot slags algebraisk struktur hos mägde av kodord.
4 Urval uta häsy till ordig med repetitio tillåte Det hadlar u om problemet att frå olika objekt (kulor) välja ut r stycke, uta häsy till ordige och med upprepig tillåte. Iget utesluter aturligtvis att r här. Detta problem är det svåraste av de fyra, och vi ska formulera om det på ågra olika sätt ia vi studerar dess lösig. Låt för i 1 talet x i betecka atalet gåger kula r i väljes. Då är (3) x 1 x 2 x r eftersom det totalt väljes r kulor, och aturligtvis är x i 0 för alla i. Vårt problem är tydlige att bestämma atalet icke-egativa heltalslösigar x 1 x 2 x till (??). Ekvatioe (??) uppträder också i sambad med ett aat kombiatoriskt problem, ett s.k. fördeligsproblem. Vi har r stycke idetiska objekt och vi vill placera dem i olika lådor. På hur måga sätt ka detta ske? Om vi här låter x i betecka atalet objekt som läggs i låda ummer i så får vi åter (??). Det är dea sista versio av problemet som kommer att ge oss dess lösig. SATS 1. Atalet icke-egativa heltalslösigar x 1 x 2 x till (??) är r 1 r BEVIS. Vi geomför beviset geom att lösa fördeligsproblemet ova. Vi lägger objekte på rad och placerar i 1 stycke mellaväggar för att markera vilka objekt som hamar i respektive låda. låda 1 låda 2 låda 3 låda Här har vi totalt r 1 objekt, r stycke och 1 stycke, och vi är itresserade av atalet sätt att arragera dessa. Detta atal är lika med (se exempel??). r 1 r! 1! r 1 r Exempel 13. Tolv hallobåtar ska delas ut till fyra bar, Aders, Bertil, Cecilia och Doris. På hur måga sätt ka dea fördelig ske? Lösig: Här har vi fördeligsproblemet ova, med bare som lådora och hallobåtara som kulora. Atalet sätt att fördela godisbitara är således eligt sats?? 4 12 1 12 1 12
4. URVAL UTAN HÄNSYN TILL ORDNING MED REPETITION 13 Detta är problemet med atalet icke-egativa heltalslösigar till (4) x A x B x C x D 12 där x A beteckar atalet hallobåtar som Aders får, etc. Vi ka också uppfatta frågeställige som ett urvalsproblem; 12 gåger skall ma välja e av Aders, Bertil, Cecilia, Doris. Upprepig är tillåte och ordige irrelevat. Exempel 14. Atag att vi modifierar exempel?? ova geom att iföra kravet att alla bar ska få mist e hallobåt. Hur måga möjligheter fis det då? Lösig: Vi börjar med att ge varje bar e hallobåt. Seda återstår 8 stycke, vilka skall distribueras till de fyra bare eligt samma regler som förut. Eligt sats?? blir atalet möjligheter 4 8 1 8 11 8 Det fis ett aat sätt att hatera problemet, som ka vara lättare att geeralisera till adra situatioer. Frågeställige iebär att vi söker atalet heltalslösigar till (??) med x A x B x C x D 1. Vi ka återföra oss på de tidigare situatioe geom att iföra ya obekata i ekvatioe. Sätt y A x A 1 och likadat för de adra obekata. I stället för (??) får vi y A y B y C y D 12 4 8 med y A svaret 4 8 1 8 0, etc. Vi söker atalet heltalslösigar till dea ekvatio; eligt sats?? är 11 8 Exempel 1. Betrakta följade avsitt i ett datorprogram: "!# Vilket värde har variabel a är programsliga geomlupits? Lösig: Med start i 0 ökas variabel a med 1 för varje i j k med 1 k j i 2. Det hadlar om ett urval av 3 tal blad 1 2, med upprepig och uta häsy till ordige, dvs. om heltalslösigar till ekvatioe Atalet sådaa är 2 3 1 3 27 3 292, som alltså är slutvärdet på a. x 1 x 2 3
Biomialkoefficieter. Biomialsatse r Vi erirar om defiitioe; biomialkoefficietera defiieras av ()! r!r! 0 r (För adra heltal r tolkas de som 0.) Biomialkoefficietera har e kombiatorisk tolkig som vi reda diskuterat: atalet sätt att välja ut r objekt frå olika uta repetitio och uta häsy till ordige är. Detta ka också formuleras med termer frå r mägdlära. Att välja ut r objekt frå de giva iebär ju att ma defiierar e delmägd av mägde av de objekte. Således: atalet delmägder med r elemet till e mägd med elemet är r 0 1 delmägder; de tomma mägde som ite har ågra Speciellt för r 0 fis elemet. Följade sats sammafattar ågra viktiga egeskaper hos biomialkoefficieter. SATS 2. För biomialkoefficieter gäller följade idetiteter. a) b) r 1 r r, r r 1. BEVIS. Satse ka aturligtvis bevisas geom att ma utyttjar defiitioe (??) och i fallet b) sätter högra ledet på gemesam ämare. Läsare bör geomföra detta bevis på ege had (yttig övig). Vi ska här i stället ge ett kombiatoriskt bevis, som är istruktivt geom att det ger e förklarig till formleras utseede. Därmed blir de lättare att komma ihåg i fortsättige. a) Betrakta e mägd M med elemet. I väster led betyder r atalet delmägder till M med r elemet. Me varje gåg vi väljer ut e delmägd med r elemet defiierar vi också e delmägd med r elemet, ämlige de som vi lämat kvar. Därför fis det lika måga delmägder med r elemet som med r elemet. r st. r st. elemet b) Betrakta e mägd M med 1 elemet, och betecka ett av dessa med x. På väster sida i formel står atalet delmägder till M med r elemet. Vi ska visa att summa i
. BINOMIALKOEFFICIENTER. BINOMIALSATSEN 1 höger led betyder samma sak. Dela upp i två fall: räka först de delmägder till M som ite iehåller x och seda de som iehåller x. För att bilda e delmägd med r elemet till M som ite iehåller x ska vi välja r elemet frå stycke (alla elemet i M utom x). Atalet sätt att göra detta är de första terme i högra ledet. För att bilda e delmägd med r elemet som iehåller x väljer vi först x och skall seda välja ut r 1 elemet blad de återståede. Atalet sätt att göra det är, de adra terme i höger led. Sammalagt har vi u räkat r 1 samtliga delmägder i M med r elemet, varför formel är bevisad. r, Som e följd av satse får vi följade schema för biomialkoefficietera, Pascals triagel. 0 0 0 4 0 3 0 1 Här är varje koefficiet summa av de två som står sett ovaför. Eftersom 0 2 0 4 1 1 0 3 1 2 2 1 4 2 1 1 3 2 3 2 2 4 3 1 för alla ka vi med start uppifrå sabbt och ekelt skriva ut värde på alla lägre biomialkoefficeter i schemat. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 10 10 1 3 3 4 4 4 Vi ka u förklara amet biomialkoefficiet. Betrakta ågra poteser av biomet x y: x y 2 x 2 2xy y 2 x y 3 x 3 3x 2 y 3xy 3 y 3 Koefficietera här är precis de tal som står i adra och tredje rade i Pascals triagel (om vi umrerar radera så att de översta etta är rad oll). Detta är ige tillfällighet; vi har
16. BINOMIALKOEFFICIENTER. BINOMIALSATSEN äve och allmät: x y 4 x 4 4x 3 y 6x 2 y 2 4xy 3 y 4 SATS 3. (BINOMIALSATSEN) För utvecklige av x y gäller x y x 0 x 1 1 y x 2 2 y 2 eller med summatecke x y k 0 k x k y k BEVIS. Det är klart att successiv ihopmultiplikatio av faktorera i x y x y x y x y y leder till ett atal termer av forme x r y r med r varierade frå 0 till, precis som i de agiva formel. Det vi behöver visa är att koefficietera i formel är de rätta, dvs. att ma för ett fixt r får precis stycke r termer x r y r vid hopmultiplicerige. Me e såda term får vi ju varje gåg vi väljer y frå exakt r pareteser x y, och x frå de övriga. Atalet sätt att välja ut r pareteser frå är r ; därför är detta koefficiete för x r y r. Exempel 16. Bestäm de kostata terme i biomialutvecklige av 2x 4 1 x Lösig: Här uppfattar vi x som e variabel; de kostata terme är de som ite iehåller x, eller om ma så vill, som iehåller x 0. Det är aturligtvis ite alls givet att det fis e såda term. Det igår i uppgifte att udersöka detta. Eligt biomialsatse är 2x 4 1 x 10 10 k 0 10 k 2x 4 10 k 1 x k 10 k 0 10 k 2 10 k x 40 k Vi får terme iehållade x 0 då 40 k 0, dvs. då k 8. Detta är ett heltal mella 0 och 10, alltså fis e såda term. De är lika med 10 8 2 2 x 0 4 4 180 10. FÖLJDSATS 1. Vi har att a) 2 b) 0 0 1 1 2 2, 1 0.
. BINOMIALKOEFFICIENTER. BINOMIALSATSEN 17 BEVIS. De första formel får ma geom att sätta x 1, y 1 i biomialsatse. Då får ma ämlige 2 1 1 k 0 k 1 k 1 k k 0 k De adra formel får ma på samma sätt geom att sätta x 1, y 1. Summerar ma radvis i Pascals triagel får ma tydlige e tvåpotes. Till exempel är 1 2 1 4 och 1 3 3 1 8. Läsare bör själv kotrollera ågra rader till. Exempel 17. De första formel i följdsatse ka äve bevisas kombiatoriskt. Vi vet att betyder atalet delmägder med k elemet till e mägd M med elemet. Summerar vi över alla k får vi det totala atalet delmägder till M. Me detta atal är precis 2 k (se exempel??). Exempel 18. Geom att i de adra formel i följdsatse flytta över alla termer med miustecke till höger sida får ma k 0 k jämt k k 0 k udda k De kombiatoriska iebörde av detta är att för e give mägd M är atalet delmägder med ett jämt atal elemet lika med atalet delmägder med ett udda atal elemet. Om M har elemet är det totala atalet delmägder lika med 2 (exempel??). Det följer att atalet delmägder med ett udda (eller jämt) atal elemet är 2 1 2 2 1. Ett aat bevis för detta resultat får ma frå Pascals triagel. På grud av rekursiosformel för biomialkoefficieter (de adra formel i sats??) är summa av varaa koefficiet i rad i Pascals triagel lika med summa av alla elemet i rade ovaför, som är lika med 2 1 eligt exempel??. Multiomialkoefficieter Vi ska u studera e geeraliserig av biomialkoefficietera. Atag att 1 2 k, där alla i är icke-egativa heltal. Då defiieras tillhörade multiomialkoefficiet som talet 1 2 k! 1! 2! k! Vi har träffat på sådaa tidigare (se amärkige till exempel??, sida??). Av exempel?? framgår de kombiatoriska betydelse: atalet arragemag av 1 stycke likadaa objekt A 1, 2 objekt A 2,..., k objekt A k är 1 2 k där 1 2 k.
18. BINOMIALKOEFFICIENTER. BINOMIALSATSEN För exempel, se exempel??. Då k 2 återfår vi biomialkoefficietera, ty 1 2! 1! 2!! 2! 2! Vi har u följade geeraliserig av biomialsatse. 2 1 (6) x 1 x 2 x k 1 2 k 1 2 k 0 1 2 k x 1 1 x 2 2 x k k SATS 4. (MULTINOMIALSATSEN) Utvecklig av x 1 x 2 x k leder till Summatioe sker här över alla k-tipler 1 2 k med alla i 0 och 1 2 k. BEVIS. Som i beviset för biomialsatse är det uppebart att hopmultiplicerige av pareteser x 1 x 2 x k leder till e summa av termer x 1 1 x 2 2 x k k med lämpliga koefficieter. Det gäller alltså att ise att dessa koefficieter är precis multiomialkoefficietera. För e bestämd uppsättig 1 2 k får vi produkte x 1 1 x 2 2 x k k varje gåg vi väljer x 1 ur exakt 1 av paretesera x 1 x 2 x k, x 2 ur exakt 2 pareteser, etc. Atalet sådaa urval är lika med atalet sätt att arragera 1 symboler x 1, 2 symboler x 2,..., alltså lika med! 1! 2! k! 1 2 k Därför blir detta koefficiete framför x 1 1 x 2 2 x k k. Vi avslutar med ett kombiatoriskt exempel. Exempel 19. Hur måga termer igår i multiomialutvecklige (??) av x 1 x 2 x k? Lösig: Atalet termer är lika med atalet k-tipler 1 2 k med 1 2 k och alla i icke-egativa. Eligt sats?? är detta atal lika med k 1
6 Sammafattig Olika slags urval Vi har blad aat diskuterat atalet sätt att välja ut r objekt frå stycke olika uder varierade betigelser. De viktigaste resultate framgår av följade tabell. med återläggig uta återläggig med häsy till ordig r P r! r! uta häsy till ordig r 1 r r Biomialkoefficieter 1 r r r 1 De viktigaste egeskape hos biomialkoefficietera är rekursiosformel frå sats?? Pascals triagel följer ur dea samt att 0 1 för alla. Biomialkoefficietera har måga itressata egeskaper som ka åskådliggöras i Pascals triagel: Summa av alla koefficietera i e rad är e potes av 2. (Följdsatse till biomialsatse.) De altererade summa av alla koefficietera i e rad är oll. (Följdsatse till biomialsatse.) Summa av varaa koefficiet i e rad blir också e 2-potes (exempel??). För de itresserade beskriver vi ågra adra relatioer mella biomialkoefficieter. Summa av kvadratera av alla koefficietera i rad är lika med biomialkoefficiete 2 i mitte på rad 2. (Kommer som övig.) Till exempel (rad 3) är 1 2 3 2 3 2 1 2 20 6 3. Summerar ma ågra steg i parallellt med e sida i triagel så blir summa e biomialkoefficiet ett steg lägre er. Se figure till väster eda. (Kommer som övig.) Summerar ma på sedde får ma de s.k. Fiboaccitale F i, defiierade av rekursiosformel F i F i 1 F i 2. Vi kommer att träffa på dessa seare i kurse. Se figure till höger eda. Läsare uppmaas att försöka ise detta med utgågspukt frå rekursiosformel för biomialkoefficieter.
20 6. SAMMANFATTNING 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 8 3 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 10 10 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 10 10 1