Grafisk aalys av e skalär rekursio Aders Källé MatematikCetrum LTH aderskalle@gmail.om Sammafattig Här ska vi tittärmare på vad som häder med lösigara på rekursiosformler på forme +1 = f( ) då. Metode är grafisk, oh de ger därigeom e illustratio av grävärdesbegreppet för talföljder. Vi itroduerar okså på väge ågra begrepp som kopplar detta till dyamiska system: stabila oh istabila jämviktsläge.
Grafisk aalys av e skalär rekursio 1 (12) Itroduktio Talföljder ka uppkomma på måga olika sätt. Om bestäms helt av de föregåede tale i följde, säger ma att talföljde är rekursivt bestämd. Om relatioe är +1 = f( ) för ågo fuktio f av e variabel, kallas det ett edimesioellt dyamiskt system i diskret tid (parameter är tide). Om vi bestämmer ett startvärde a 0, så defiierar ett sådat system e oädlig talföljd, vilke kallas för lösige till det dyamiska systemet. Dyamiska system dyker upp blad aat som grova modeller iom ekologi, för populatioer för vilka det ite sker ågo överlappig mella geeratioera. Måga isektsarter i tempererade zoer hör hit med e kortlivad vuxe geeratio per år. Vi atar då att = atalet vuxa i geeratio ummer bestäms helt av atalet vuxa i föregåede geeratio 1, dvs att det fis ett sambad av type ova för ågo fuktio f, som då kallas populatioes reproduktiosfuktio. Geom att göra e modell av e viss populatio på detta sätt får möjligheter att förstå hur populatioe kommer att utvekla sig med tide oh hur ma, geom att maipulera reproduktiosfuktioe, ka gör förutsägelser om vad som häder om ma ädrar dess livsbetigelser (t.ex. utfiskig eller miljöförstörig). Amärkig I e biologisk verklighet ka ma aturligtvis ite förväta sig e exakt relatio av ovaståede slag. Det bästa ma ka hoppas på är att de faktiska geeratiosstorlekara är sådaa att om vi plottar pare (, +1 ) i ett xy-koordiatsystem, så ligger puktera i ärhete av kurva y = f(x). Malthus modell Vi börjar med det kaske eklaste dyamiska systemet av alla: +1 = r, a 0 = a. Dess lösig är lätt att härleda, de består av de geometriska talföljde {ar } =0. Detta system utgör de eklaste populatiosmodelle iom ekologi oh kallas Malthus modell. Kvote r = +1 / utgör då det geomsittliga atalet ugar per idivid i varje geeratio (som alltså atas vara kostat). Om r > 1 gäller att då, vilket är lätt att förstå ituitivt: om varje idivid i geomsitt får mer ä e uge, växer populatioe över alla gräser. Om istället 0 < r < 1 gäller att 0 då, vilket okså är lätt att förstå: om varje idivid får i medeltal färre ä e uge kommer arte att dö ut. Vi sku studera det ärbesläktade dyamiska systemet +1 = r + a med startvärde a 0. Vi ska då se vad som häder med för stor med hjälp av e geometrisk metod som på egelska kallas obwebbig [1] av skäl som sart ska framgå.
Grafisk aalys av e skalär rekursio 2 (12) Vi ritar grafe för reproduktiosfuktioe f(x) = rx + a tillsammas med lije y = x i ett koordiatsystem. För att grafiskt bestämma talföljde utifrå ett startvärde a 0 gör vi som följer. Rita först ut talet a 0 på x-axel. För att få a 1 = f(a 0 ) geometriskt går vi upp parallellt med y-axel frå a 0 på x-axel till grafe för f oh därefter parallellt med x-axel till lije y = x. Om vi u går er till x-axel parallellt med y-axel hamar vi i pukte a 1. För att få a 2 = f(a 1 ) förfar vi seda på samma sätt utifrå a 1. Därefter bestämmer vi de följade tale på samma sätt. 1 I figure ova ser vi hur det ser ut i fallet 0 < r < 1. I de västra figure, där är ritad mot 1 för två olika sviter med olika startvärde, har vi markerat startpukte med e fylld lite röd irkel. I de högra figure är ritad mot sitt idex för samma sviter. Vi ser att då växer kommer tale att mer oh mer ärma sig det tal som fås som skärigspukt för de två räta lijera. Detta iebär att f( ) =, oh löser vi de ekvatioe får vi att = a 1 r. Figure eda illustrerar fallet 1 < r < 0. Äve u ärmar sig x-koordiate för skärigspukte mella de två lijera, som ger samma uttryk som i det föregåede fallet. Me dea gåg ärmar sig värdet på ett svägade sätt som i de västra figure gör att väge i till skärigspukte atar forme av ett spidelät. Detta motiverar de egelska terme för dea grafiska metod att bestämma gräsvärdet. 1 Att matematiskt bevisa att då i dessa två fall låter sig göras med e ekel observatio. Om vi ämlige skriver =,
Grafisk aalys av e skalär rekursio 3 (12) så ser vi att +1 = r. Talföljde { } blir alltså e geometrisk såda med e kvot r som uppfyller r < 1. Me det betyder att 0 då, vilket i si tur betyder att lim =. I figure eda illustreras vad som häder då r > 1 (övre rade) respektive r < 1 (edre rade). I dessa fall gäller att ite har ett gräsvärde. Då r > 1 gäller att växer mot oädlighete då, meda uppföradet är mer komplierat då r < 1. Dok gäller att okså i detta fall. 1 1 Som avslutig tar vi det två falle r = 1 oh r = 1. Det första är ekelt: om +1 = + a, så följer att = a 0 + a som går mot oädlighete om a > 0 me mius oädlighete om a < 0. I fallet r = 1 ser vi att det gäller att vilket betyder att = 1 + a = ( 2 + a) + a = 2, a 0 = a 2 = a 4 = a 6 =... Alla värde med jäma idex är alltså lika med a 0. På samma sätt ser vi att alla värde med udda idex är lika med a 1 = f(a 0 ). Lösigsmägde består alltså av två värde, a 0 oh a 1 = f(a 0 ). E såda lösig kallas e 2-ykel.
Grafisk aalys av e skalär rekursio 4 (12) Amärkig Vi har ova geometriskt diskuterat lösige till det dyamiska systemet +1 = r + a uta att påpeka att vi faktiskt ka skriva upp lösige expliit = r a 0 + a(1 + r + r 2 +... + r 1 ) = r a 0 + a 1 r 1 r. Frå de är det lätta att dra slutsatsera ova uta att ritågra figurer. Vi har faktiskt t.o.m. härlett formel, eftersom vi visade att om =, så gäller att = 0 r, där 0 = a 0. Detta ger formel. Lite termiologi (som vi återväder till lägre fram): talet som är skärige mella kurvora y = rx + a oh y = x kallas systemets jämviktsläge. Om för alla startvärde a 0 så sägs jämviktsläget vara stabilt, meda om sägs det vara istabilt. Vi ska avsluta detta avsitt med ett exempel frå ekoomi där dea typ av ekvatioer dyker upp. Vi ska betrakta fråga om tillgåg oh efterfråga för e vara som tar e tidsehet att produera. Sådaa modeller utveklades för jordbruksidustri, där produkte (e gröda) produeras e gåg om året oh jordbrukare måste plaer ästa års sådd utifrå detta års pris på gröda. Exempel 1 Atag att vi äger e gård oh vill avgöra hur stor areal som ska aslås för kor. Om dagspriset är högt, aslår vi e stor areal, vilket kommer att leda till stor tillgåg oh därmed ett prisfall ästa år. Nästa år kommer det därför att sås midre mägd kor, vilket kommer att leda till att priset går upp ige oh så vidare. För att utvekla e modell för detta ska vi betrakta tre storheter: tillgåge t, efterfråga e oh priset p år. Dessa tre storheter relateras till varadra med hjälp av tre ekvatioer 1 Tillgåge på kor beror av priset föregåede år: t = sp 1 + a, där kostate s mäter produetes priskäslighet. Vi atar att s > 0. 2 Efterfråga på kor beror av priset ievarade år: e = dp + b, där d > 0 mäter kosumetes priskäslighet. Miusteket kommer sig av att efterfråga bör miska med ökat pris. 3 Varje år köpslås priset så att tillgåg oh efterfråga blir lika: t = e. Om vi stoppar i de två första ekvatioera i de tredje får vi att sp 1 + a = dp + b, vilket ger oss det dyamiska systemet p = s d p 1 + b a d.
Grafisk aalys av e skalär rekursio 5 (12) Detta har jämviktsläget p = b a s + d, vilket är stabilt då s/d < 1, oh eftersom både s oh d är positiva tal, betyder det att s < d. Omvät, om s > d är jämviktsläget istabilt. Vi får därför e stabil markad om kosumetera är mer priskäsliga ä produetera, meda markade blir istabil om det omväda gäller. Amärkig Som exempel, betrakta oljeidusti. I börja på 1970-talet höjde de oljeproduerade OPEC-lädera prisera. Detta stimulerade idustri att letya oljereservoarer, oh därmed (med ett par års förskjutig) si produktio. Deras käslighet, s, var alltså stor. Kosumetera däremot har ett ågorluda fixt behov av olja, oh är därför relativt okäsliga för prishöjigar (d är litet). Vi har därför att s > d, oh ka frå ovaståede modell dra slutsatse att oljepriset skulle sväga oh ite vilja stabilisera sig på ågo ivå. Vilket okså var vad som häde. Vad ka ma då göra åt e istabil markad? Problemet är att s > d, så ett sätt är att öka d. Om det är ett atioellt problem, ka e regerig gå i som kosumet oh stödköpa. Alterativ, gå i oh betala produetera för att ite produera vara. E ike-lijär modell Malthus modell i fallet r > 1 är ågot orealistisk som ekologisk modell i lägde eftersom resultatet är e geometrisk talföljd som växer över alla gräser. Malthus ega överläggig byggde på att de mäskliga populatioe växer som e geometrisk talföljd meda födoresursera edast växer som e liear fuktio av tide. Detta begräsar med tide populatioes tillväxt på ett sätt som modelle ite tar häsy till uta föda, ige överlevad. Ma ka se det som att r egetlige ite är e kostat uta beror av geeratioes storlek. E ekel modell för e populatio som växer i e miljö med begräsade resurser får vi om vi låter reproduktiosforme f ha forme Detta ger oss det dyamiska systemet f(x) = +1 = bx K + x. b K +. Jämfört med Malthus modell har vi här att r = b/(k + ). Dea modell iehåller två parametrar b oh K. Vi är itresserad av vad som häder med då blir stor. För detta ädamål ka vi förekla ekvatioe lite uta att förlora ågot. Om vi ämlige iför talföljde defiierad av = /K (vilket iebär att vi mäter atalet i proet av K), så har vi att +1 = +1 K = b K /K 1 + /K,
Grafisk aalys av e skalär rekursio 6 (12) dvs, med r = b/k, att +1 = r 1 +. Vet vi hur talföljde { } uppför sig då blir stor, vet vi okså hur talföljde { } uppför sig, det är bara att multipliera med K! Ett aat sätt att uttryka detta är att säga att det räker om vi betraktar fallet K = 1, vilket vi därför gör i fortsättige. Vi vill därför udersöka lösige till de dyamiska systemet +1 = b 1 +, med startvärde a 0 > 0. För att göra detta ska vi aväda tekike frå föregåede avsitt. Vi ritar därför kurvora y = f(x) oh y = x i samma koordiatssystem. Vi ka otera att dessa skär varadra i de pukt där x = = b 1. Om vi tittar på skillade f(x) x = x(a x) 1 + x, så ser vi att vi har två olika fall att beakta. De illustreras i figure eda. a) Om b > 1 så är f(x) x positiv då 0 < x < oh seda egativ. Det betyder att grafe för f ligger över de räta lije y = x så läge som 0 < x <, oh därefter uder de. b) Om b 1 är f(x) x egativ för alla x, så grafe för f ligger uder de räta lije hela tide. 1 Vi ser u ärmare på det första fallet. Figure visar då att lim = = b 1. Vi ska strax bevisa detta påståede ordetligt. Låt oss dok först kostatera att det är talet som är de viktiga kosekvese av modelle ur ekologisk syvikel. Ni ser ämlige att om modelle är rimlig, så färvätar vi oss att atalet djur kommer att ligga i ärhete av. Äve om ågot häder som plötsligt reduerar dess atal, är hädelse väl är över oh ågra har överlevt, ska populatioe återhämta sig oh å ivå.
Grafisk aalys av e skalär rekursio 7 (12) Bevis. Vi väljer ett bevis för gräsvärdet ova som visserlige är tekiskt, me illustrerar e allmä bevistekik för gräsvärde. Idé i beviset är att visa att talföljde = uppfyller r 0 för ågot r sådat att 0 < r < 1. Om vi ka göra det, följer att 0 då, vilket visar påståedet. Vi observerar u att +1 = b 1 + ba 1 + = b (1 + )(1 + ) ( ) = 1 1 + ( ). Första likhete utyttjade här att = f( ) oh de sista att b = 1 +. För att få de olikhet vi söker måste vi u visa att det fis ett tal A > 0 sådat att A för all. Då följer ämlige att 1 r = 1 1 + 1 + A, oh vi ka fullborda beviset som beskrevs ova. Me ur figure ser vi att 1 om 0 < a 0 <, så gäller att > a 0 för all, så vi ka ta A = a 0, 2 om a 0 >, så gäller att >, så vi ka ta A =. För att visa dessa strägt aväder vi formel +1 = 1 1 + ( ) som vi visade ova. Ur de ser vi ju att om >, så gäller att +1 >, vilket visar 2 ova. Om istället a 0 < så visar de att < för all. Dessutom har vi att +1 = b 1 + = 1 + ( ), vilket visar att om < så gäller att +1 > för all, oh alltså speiellt att > a 0 för all. (Notera att dea sista olikhet visar att svite är avtagade om a 0 >, me växade om a 0 <.) Jämviktsläge till dyamiska system i diskret tid Det asymptotiska uppföradet av ett dyamiskt system +1 = f( ) bestäms av hur (oh om) kurva y = f(x) skär lije y = x. Vi ska se ret geometriskt på ågra exempel för att bilda oss e uppfattig om vad som ka häda. Detta kommer okså att itroduera lite termiologi för dyamiska system. Vi betraktar grafe för f i ärhete av e pukt som är fixpukt till f, dvs som löser ekvatioe f(x) = x. Ma säger då att är ett jämviktsläge för det dyamiska systemet. Det betyder att om vi startar med a 0 =, så kommer alla att vara =. Ett jämviktsläge är atige stabilt eller istabilt. Löst uttrykt är det stabilt om det gäller att om vi start tillräkligt ära så förblir lösige ära hela tide. Om detta ite gäller sägs jämviktsläget vara istabilt.
Grafisk aalys av e skalär rekursio 8 (12) Defiitio Ett jämviktsläge till ett dyamiskt system är stabilt om det till varje ɛ > 0 fis ett δ > 0 sådat att a 0 < δ < ɛ för all. Ett jämviktsläge som ite är stabilt sägs vara istabilt. Om är ett stabilt jämviktsläge oh det dessutom fis ett δ > 0 sådat att sägs jämviktsläget vara asymptotiskt stabilt. < δ lim =, Atag först att fuktioe f är e växade fuktio ära fixpukte. Grafe för f ka då i priip förhålla sig på två olika sätt till lije y = x i ärhete av pukte. Dessa fall illustreras i edaståede figurer. 1 I figure ova, där grafe för f skär lije ovaifrå, ser vi att hur vi ä väljer a 0 ära, så kommer då. Det betyder att är ett asymptotiskt stabilt jämviktsläge. Om istället grafe för f skär lije uderifrå, som i figure eda, ser vi att om vi startar med a 0 till väster om, så kommer att avta, åtmistoe i börja. Startar vi med a 0 till höger om kommer att växa, åtmistoe i börja. I båda falle kommer svite att läma för att ite återkomma, oberoede av hur ära startpukte a 0 ligger (så läge som a 0 ). Vi ser att är ett istabilt jämviktsläge. 1
Grafisk aalys av e skalär rekursio 9 (12) Om ett jämviktsläge är stabilt eller ite bestäms av hur graf y = f(x) skär lije y = x. Om vi drar tagete i jämviktspukte då grafe skär lije ovaifrå, så ska dess riktigskoeffiiet vara positiv me midre ä riktigskoeffiiete för lije (som är 1). Då är jämviktsläget asymptotiskt stabilt. På samma sätt ser vi att villkoret för att det ska se ut som i de adra figure vid jämviktsläget är att tagete till grafe har e riktigskoeffiiet som är större ä 1. Då är alltså jämviktsläget istabilt. Vi formulerar dessa påståede som e sats lägre fram i detta avsitt. Exempel 2 De populatiosmodell som diskuterades i föregåede avsitt sakar e aspekt av verklighete, ämlige de risk för utrotig som populatioe löper då de är väldigt lite. Det ka t.ex. vara föreat med stora svårigheter att fia e parter uder sådaa omstädigheter, eller så är rovdjurstryket för stort. E modell som tar häsy till detta har e reproduktiosfuktio på forme f(x) = bx2 K + x 2 för lämpliga b, K. Ritar vi upp situatioe får vi bilde i figure eda. b b a a a b 1 Vi har tre fixpukter för f, ämlige 0 < a < b. Av figure oh diskussioe ova framgår att 0 oh b är stabila jämviktspukter för det dyamiska systemet, meda a är istabilt. Om a 0 > a, så gäller att b då, me om 0 < a 0 < a, så ser vi att 0 då, dvs populatioe utrotas. Vi ser att för att förhidra utrotig måste populatioe hålla sig över tröskelvärdet a. Vi sku se ärmare på ett jämviktsläge där fuktioe f är avtagade i ärhete av x =. Äve u har vi två fall att ta häsy till, vilka illustreras i figurereda 1
Grafisk aalys av e skalär rekursio 10 (12) I figure ova ser vi att, me att tale altererade är större ä oh midre ä. Jämviktsläget är ett stabilt sådat, me ärmar sig det osillatoriskt (alltså, är omväxlade större oh midre ä ). Följer ma på motsvarade sätt tale i figure eda, ser vi att äve u osillerar dessa krig, me att de u försvier lägre oh lägre bort frå. I detta fall är jämviktsläget istabilt. 1 Vad är det som skiljer dessa fall åt? Vi iser att det är tagetes riktigskoeffiiet som spelar e avgörade roll. Villkoret för att jämviktsläget ska vara stabilt borde vara att riktigskoeffiiete för tagete ligger mella 1 oh 0. Om emellertid f:s graf skär lije y = x bratare ä så, alltså om tagetes riktigskoeffiiet är midre ä 1, så försvier talföljde bort frå på ett osillatoriskt sätt. Eftersom riktigskoeffiiete för tagete till e fuktioskurva ges av derivata av fuktioe i pukte ifråga har vi geometriskt motiverat följade sats. Sats 1 Låt vara e fixpukt till de kotiuerligt deriverbara fuktioe f. Om f () < 1 är då jämviktsläget asymptotiskt stabilt för motsvarade dyamiska system, meda om f () > 1 är det istabilt. Amärkig Notera att satse ite säger ågot om vad som häder då f () = 1. I det fallet måste ma göra e oggraare aalys av hur skärige mella kurvora ser ut. Vi går ite i på det, uta lämar det åt läsare att fudera krig. Exempel 3 Newto-Raphsos metod för att lösa ekvatioe f(x) = 0 umeriskt utfrå ett approximativt startvärde x 0 iebär att vi löser rekursiosformel Detta är ett dyamiskt system: x +1 = F (x ), x +1 = x f(x ) f (x ). F (x) = x f(x) f (x). Jämviktslägea till detta, alltså fixpuktera till F, är preis lösigara till ekvatioe f(x) = 0 (så läge f (x) 0). Med lösigara till f(x) = 0 är preis jämviktslägea till det dyamiska systemet x +1 = F (x ). Me dessa är alla asymptotiskt stabila därför att F (x) = 1 1 + f(x)f (x)/f (x) 2 = 0 då f(x) = 0.
Grafisk aalys av e skalär rekursio 11 (12) Om vi därför bara har ett tillräkligt brärmevärde att utgå ifrå (erhållet t.ex. geom att först skissera grafe för f så att vi vet ugefär var ollställea ligger), så kovergerar Newto-Raphsos metod mot det söktollstället. För ett ordetligt bevis för satse börjar vi med följade hjälpsats Lemma 1 Låt f vara e deriverbar fuktio i ett itervall I som iehåller e fixpukt till de. Atag vidare att det fis ett tal α < 1 sådat att f (x) α < 1 då x ligger i I, samt att f avbildar itervallet I i i sig självt. Då är eda fixpukte i I oh lösige till motsvarade dyamiska system kovergerar mot för varje startvärde a 0 som ligger i I. Bevis. Vi börjar med att visa att det edast fis e fixpukt. Låt vara e aa. Eligt medelvärdessatse gäller då att = f() f( ) = f (ξ)( ) α. Eftersom α < 1 är detta omöjligt om ite =. Detta visar att det fis preis e fixpukt i I. Låt u defiieras av +1 = f( ) oh startvärde a 0 i I. Eligt förutsättigara kommer då alla att ligga i I. Vidare ger medelvärdessatse att +1 = f( ) f() = f (ξ)( ) α. Vi ser att vi ärmar oss för varje iteratiossteg. Mer preist har vi att α 1... α a 0. Detta bevisar att då. Vi ka u bevisa satse. Bevis. Atag först att f () < 1. Eligt förutsättigara är f (x) e kotiuerlig fuktio oh om vi tar α sådat att f () < α < 1, så fis ett itervall I krig såda att f (x) α. Därmed är de ea förutsättige i lemmat uppfylld. För att få de adra, miskar vi itervallet I lite geom att kapa de i ea äde så att det har som mittpukt. Kalla äve detta, midre, itervall för I. Om x ligger i det gäller då att f(x) = f(x) f() = f (ξ)(x ) x, vilket betyder att äve f(x) ligger i I. Resultatet följer u ur lemmat. Atag u istället att f () > 1 oh välj ett itervall I oh tal α sådat att f (x) α > 1 då x ligger i I. Om x ligger i I gäller då att f(x) α x, vilket betyder att f(x) atige ite ligger i I, ellser så ligger f(x) i I me lägre bort frå ä x. Det medför att jämviktsläget är istabilt för det dyamiska systemet.
Grafisk aalys av e skalär rekursio 12 (12) Ett dyamiskt system +1 = f( ) måste ite ärma sig ett jämviktsläge asymptotiskt. Istället är det så att lågtidsbeteedet ka vara gaska komplierat oh ike-reguljärt oh ärmast lika kaos. Nästa exemple illustrera vad det är som häder. Exempel 4 Betrakta det dyamiska systemet +1 = e r(1 a). Det har två jämviktsställe: = 0 oh = 1. Derivata av f(x) = xe r(1 x) är f (x) = e r(1 x) (1 rx), så f (0) = e r oh f (1) = 1 r. Om därför 0 < r < 2, så ser vi att = 0 är istabilt me = 1 är stabilt. Detta illustreras i figure till väster eda. 1 1 Me vad häder då är r > 2, då vi ite har ågra stabila lösigar? E illustratio fis i figure till höger ova, som visar vad som häder då r = 2.1. Det vi ser är att lösige asymptotiskt ärmar sig e lösig som växlar mella två värde. E såda lösig kallas e 2-ykel. Om ma ökar r uppkommer mer komplierade lösigar, me det är e aa historia. Noterigar 1. obweb=spidelät