Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF) och F3 (EITF85) Ti och plts: 3 oktober, 8, kl. 4. 9., lokl: MA A H. Kursnsvrig lärre: Aners Krlsson, tel. 4 89 och 733 35958. Tillåtn hjälpmeel: Formelsmling i elektromgnetisk fältteori smt klkyltor. Betygsättning: rje uppgift ger mximlt poäng. Slutbetyget på tentn ges v heltlselen v (totlt ntl poäng)/, ock högst 5. I en cirkulär plttkonenstor hålls plttorn åtskil me 5 cirkulär homogen plstcylinrr me reltiv permittiviteten ε r = 4 och rien. Konenstorns plttor hr rien och vstånet melln plttorn är, är <<. Det råer vkuum utnför plstcylinrrn. En spänning ligger över konenstorn, enligt figur. ) Bestäm en fri lningen Q f på en övre metllplttn. b) Bestäm kvotern E E och D D, är E, ochd är et elektrisk fältet och en elektrisk flöestätheten i vkuumelen men E och D är motsvrne storheter i plstcylinrrn. c) Hur stor bunen ytlning finns på en övre pln ytn v vrje cyliner? I z x v(t) i(t) En lång rk lere för likströmmen I. En kvrtisk metllsling me sin och resistnsen R är plcer rkt uner leren me övre sin på vstånet från leren, enligt figur. i t = släpps metllslingn som å fller neåt. Dess hstighet ökr linjärt me tien enligt v = gtˆx, är g är tyngccelertionen. Metllslingns lere nts vr tunn och slingns självinuktns kn försumms. Bestäm en inucere strömmen i(t) i metllslingn för t >.
3 z r -r R x Ett klot me rien R är uppelt i ett övre och ett unre hlvklot. Det övre hlvklotet hr rymlningstätheten ρ och et unre rymlningstätheten ρ. Överllt är reltiv permittivitteten ett och konuktiviteten noll. ) Bestäm et elektrisk fältet i centrum v klotet. b) Bestäm et elektrisk fältet i punkten (, R, R). Lening: Dipolmomentet för en lningstäthet ρ(r) ges v p = ρ(r)r. 4 ) En koxilkbel består v en tunn cylinrisk innerlere me rie, och en tunn cylinrisk ytterlere me rie 4, se övre figuren. Beräkn koxilkbels självinuktns per längenhet, L, genom tt först bestämm mgnetisk flöet per längenhet genom en längsektor v kbeln å en ström I går genom en inre leren och en ström I genom en yttre leren. Överllt gäller µ r =. b) Kontroller itt resultt genom tt först beräkn en totlt upplgre mgnetisk energin W m per längenhet i koxilkbeln och sen nvän reltionen W m = LI. c) Antg tt innerleren fortfrne är tunn och hr rien men ytterleren består v ett metllrör me innerrie 4 och ytterrie 5, se unre figuren. Det flyter en ström I i innerleren och ström I i ytterleren. Strömmen nts vr jämnt förel över ytterlerens tvärsnitt. Bestäm mgnetisk flöestätheten B(r) överllt.
3 5 e r = x e r > z I hlvrymen z < råer vkuum men hlvrymen z > består v ett olene ielektriskt mteril me reltiv permittivitet ε r >. En plnvåg E (z, t) = E cos(k z ωt)ˆx säns in från vänster och ger upphov till en reflekter och trnsmitter plnvåg. Genom tt även sän in en lämplig plnvåg E (z, t) från höger i en ielektrisk hlvrymen kn en reflektere plnvågen i z < släcks ut. Det betyer tt för z < blir totl fältet E (z, t) = E cos(k z ωt)ˆx. Bestäm E (z, t). 6 En elektrisk ipol me ipolmoment p = pẑ befinner sig i origo. Ett elektriskt fält E = E ẑ, skpt v yttre källor, finns också i områet. Det råer vkuum överllt. ) Bestäm en rie R, uttryckt i E, p och ε för vilket et totl elektrisk fältet sknr θ komponent, är θ är polvinkeln i sfärisk koorinter. b) En perfekt lene sfär me rien plcers i ett homogent elektriskt fält E = E ẑ. Bestäm et totl elektrisk fältet för r >. Sfärens centrum är plcer i origo och et är vkuum för r >.
Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Ti och plts: 3 oktober, 8, kl. 4. 9., lokl: MA A H. Kursnsvrig lärre: Aners Krlsson. Lösning problem Konenstorn kn ses som två prllellkopple plttkonenstorer. Den en me ren A = π 5π = 95π och vkuum, och en nr me ren 5π och fyll me plst. Totl kpcitnsen är C = ε 95π + ε ε r 5π ) Lningen på en övre plttn är Svr: Q f = C = 5 ε π b) E = E = ẑ, D = ε E och D = ε ε r E, vilket ger Svr: E E = smt D D =.5. c) Den totl ytlningstätheten ges v ρ S = ε ẑ E = ε och en fri ytlningstätheten är ρ fs = ẑ D = ε ε r. Den bunn ytlningstätheten ρ bs = ρ S ρ fs ρ bs = ε och en bunn ytlningen Svr: Q b = π 3ε Lösning problem ε ε r = ( ε r)ε För t > befinner sig en övre sin vi x (t) = + gt x (t) = + gt. Flöet är Φ(t) = µ I π Den inucere EMK:n kn skrivs E = Φ(t) t = µ I π x (t) x (t) r c r c ( x (t) t x (t) x ) (t) t x (t) och en unre vi Det ger en inucere strömmen i(t) = E R till i(t) = µ Igt πr ( ) + gt 4 + gt ()
Lösning problem 3 ) Bå hlvkloten ger smm birg till et elektrisk fältet. i bestämmer biret för en övre och multiplicerr me. E() = ρ 4πε π π/ R ˆr r r sin θ r θ φ är ˆr = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ ). Integrtionen i φ le gör tt enst z komponenten är skil från noll. Det ger E() = ρ ε π/ R cos θ sin θ r θ ẑ Eftersom π/ cos θ sin θ θ = π/ sin(θ ) θ = fås Svr: E() = ρr ẑ. ε b) i nväner ipolpproximtionen. Av symmetriskäl ges ipolmomentet v Det ger och Dipolfältet är p = p = π ρ(r)r v = ρ π ρ(r)r v = ρ E(r) = π/ R π/ R p = πρr4 ẑ p 4πε r 3 (ˆr cos θ + ˆθ sin θ) I punkten r = (, R, R) gäller r = R, θ = π 4, ˆr = ŷ + ẑ och ˆθ = ŷ ẑ. Det ger Lösning problem 4 E(r) = ρr 6( ) 3 ε (3ŷ + ẑ) r ˆr r sin θ r θ φ r ˆr r sin θ r θ φ och φ = π/, cos θ = sin θ = ) Flöestätheten melln lern ges v B = µ I πr c ˆφ. I övrig områen är en noll. Det mgnetisk flöet genom en längsektion (läng l) v kbeln blir Φ = l B(r) ˆφ r c = lµ l r c = llµ ( ) b πr c π ln
3 vilket ger självinuktnsen L per längenhet L = Φ li = µ π ln(4) b) Som kontroll kn vi räkn ut en upplgre mgnetisk energin per längenhet. Den upplgre energin per längenhet i koxilkbeln är ( är volymen i områet melln lern på en läng l, v = r c r c φ z) W m = lµ B B v = lµ πl µ I 4π rc vilket vi jämförelse me uttrycket W m = LI / ger L = µ ln (4) π r c r c = I µ 4π ( ) r c = I µ b r c 4π ln I c) Strömtätheten i en yttre leren är J(r c ) = π((5) (4) )ẑ = I 9π ẑ. Ampères lg ger, < r c < µ I ˆφ, < rc < 4 πr c B = ( µ I ) πr c 9 (r c (4) ) ˆφ, 4 < r c < 5 Lösning problem 5, r c > 5 Den infllne vågen som propgerr åt höger ger en reflekter våg är R är reflektionskoefficienten E R (z, t) = E R cos(k z + ωt)ˆx R = ε r + ε r Den infllne vågen i ielektrikt låter vi vr E (z, t) = E cos(k z + ωt)ˆx, är k = k εr. Den ger upphov till en trnsmitter våg E T (z, t) = E T cos(k z + ωt)ˆx är, eftersom vågen fller in från ielektrikt, T = ε r + ε r
4 För tt utsläckning skll ske krävs tt E R (z, t) + E T (z, t) = för z <. Det ger E = E R T = E εr ε r och E (z, t) = E εr ε r cos(k z + ωt)ˆx Lösning problem 6 ) Totl elektrisk fältet ges v E(r) = E ẑ + p 4πε r 3 (ˆr cos θ + ˆθ sin θ) Krvet är tt ˆθ E(r) =. Eftersom ˆθ ẑ = sin θ får vi Därme är rien E + p 4πε r 3 = ( p R = 4πε E ) /3 b) i utnyttjr resulttet från )-uppgiften. Om vi lägger en ipol me styrkn p = E 4πε 3 ẑ i origo får vi tt et totl tngentiell elektrisk fältet är noll för r =. Rnvillkoret för en perfekt lene sfär är ärme uppfyllt v et konstnt elektrisk fältet plus ett ipolfält me p = E 4πε 3. Det gör tt et totl elektrisk fältet utnför sfären är E(r) = E ẑ + E 3 r 3 (ˆr cos θ + ˆθ sin θ) Noter tt et inte finns någon verklig ipol i origo men tt en inucere ytlningen ger upphov till ett ipolfält.