Biomialsatse och lite ombiatori Sammafattig Aders Källé MatematiCetrum LTH adersalle@gmail.com Här disuteras e del grudläggade ombiatori, som utgår ifrå biomialoefficieteras ombiatorisa betydelse. Vi härleder e del sambad mella dem, ilusive biomialsatse. Dessutom geeraliseras disussioe till multiomialoefficieter och det ärliggade problemet med på hur måga sätt ma a dela upp ett byte. Därefter adresserar vi ågra ombiatorisa problem som bygger på att ma räar elemet med de s.. ilusios-exlusiosformel.
Biomialsatse och lite ombiatori (2 Itrodutio I det här apitlet sa vi först igåede disutera oefficietera a i utveclige ( + x a 0 + a x +... + a x. Här är ett positivt heltal. Tale a allas biomialoefficieter och är vitiga iom ombiatorie. Just för att poägtera det bygger vi upp vår disussio ur ett ombiatorist perspetiv. De ombiatorisa resoemage hadlar om att räa delmägder av e give mägd. Vi följer upp de disussio med att ocså titta ärmare på de s.. ilusios-exlusiosformel och aväder de för att lösa ågra lite svårare ombiatorisa problem. I de disussioe behadlas det s.. recotre-problemet, lisom Stirligs tal av adra slaget. Iledade ombiatori Kombiatorie är e gre av matematie som studerar hur måga operatioer av viss typ som a utföras på e give mägd. De grudläggade pricipe allas multipliatiospricipe och iebär att om operatioe F a utföras på olia sätt och operatioe F 2 på 2 olia sätt, så a operatioe först F, seda F 2 utföras på 2 olia sätt. Exempel Det fis 2 delmägder till Ω {a,..., a }, iluderade tomma mägde och hela Ω. För att se detta sriver vi ut elemete efter varadra och uder dem ågo av siffrora 0 eller : a a 2 a 3... a 0... 0. E delmägd till Ω a ostrueras geom att vi låter 0 betyda att motsvarade elemet i Ω (i rade ovaför ite sa igå i delmägde, meda betyder att det sa igå i de. Delmägde svarade till svite 0... 0 iehåller alltså elemete a 2, a 3 me iget av elemete a eller a. Vi ser att till varje delmägd av Ω svarar e följd av styce 0:or och :or, och att till varje följd av 0:or och :or svarar e delmägd. Atalet delmägder är därför lia med atalet följder. För att bestämma atalet sviter oterar vi att vi gör styce val: vid varje positio a vi välja 0 eller. Detta ger oss 2 2 2... 2 2 sådaa sviter. På samma sätt ser vi att atalet delmägder med udda atal elemet är 2, ty e såda delmägd besrivs av e liada svit av 0:or och :or, me u a vi välja 0 eller fritt edast på de första platsera. Om vi ämlige så lågt har ett udda atal :or, måste vi välja e 0:a sista gåge för att totalt få ett udda atal ettor, meda vi måste välja e :a sista gåge om vi på de första platsera har ett jämt atal :or Låt Ω {a,..., a } vara e give ädlig mägd. Dea a ordas geom att vi räar upp elemete i e viss ordig, t.ex. (a, a 5,..., a 2. E uppräig av elemete i Ω
Biomialsatse och lite ombiatori 2 (2 allas e permutatio av Ω. Det första elemetet i e permutatio av Ω a väljas på sätt, det adra a seda vara vilet som helst av de övriga. Eligt multipliatiospricipe a därför de två första elemete bestämmas på ( olia sätt. Fortsätter vi på detta sätt får vi att atalet permutatioer av Ω är! (... 2 (utlästes -faultet. Betrata u följade tre operatioer på Ω: F : ta ut e delmägd om elemet ur Ω, F 2 : orda de uttaga elemete, F 3 : orda de varlämade elemete. Operatioe först F, seda F 2 och slutlige F 3 iebär då att vi ordar de ursprugliga mägde. Låter vi därför (utläses: över beteca atalet delmägder om elemet som fis av e mägd om elemet, d.v.s. atalet sätt som F a utföras på, så följer ur multipliatiospricipe att! (!!. Löser vi ut får vi (!!(!. Här defiieras 0! och av bevämlighetessäl defiierar vi 0 om är ett heltal >. Exempel 2 Ett fotbollslag består av spelare. E träare har 20 ativa spelare att välja mella då has lag sa tas ut. Detta ger hoom ( 20 67960 olia sätt att välja ut vila spelare som sa represeterar lubbe. Varje såda represetatio ger! 3996800 olia täbara laguppställigar. Egesaper hos biomialoefficietera Vi sa u titta lite ärmare på biomialoefficietera. Två fudametala egesaper fis i de följade två exemple.
Biomialsatse och lite ombiatori 3 (2 Exempel 3 Vi har sett att det fis 2 delmägder av Ω {a,..., a + }. Me e delmägd måste iehålla elemet för ågot 0,,...,, och atalet delmägder med precis elemet är Vi har därför följade sambad (2 2. 0 Vi a ocså otera att summa över alla udda är lia med summa över alla jäma, och båda summora är lia med 2. Detta följer ur disussioe i exempel Exempel 4 Följade symmetri hos biomialoefficietera följer diret ifrå (: ( ( (3. Vi a ocså ise att så måste vara fallet ret ombiatorist, eftersom västerledet är atalet delmägder vi a ostruera med precis elemet. Me e såda delmägd svarar precis mot att vi lämat var elemet, och högerledet är atalet sätt vi a välja ut elemet som ite sa igå i vår delmägd (de övriga sa. Exempel 5 E delmägd om elemet av Ω {a,..., a + } a atige iehålla a + eller ite iehålla a +. Om de iehåller a + består de dessutom av elemet ur mägde {a,..., a } meda om de ite iehåller a + så består delmägde av elemet ur mägde {a,..., a }. Detta ger ett ombiatorist bevis för formel (4 + + Om vi sriver ut biomialoeffietera i form av e triagel (allas Pascals triagel där återfis på plats ( 0,,..., i de :te rade, så gäller 2 att varje, 0,,..., är det edre höret i e 3 3 a b triagel (i figure a 4, b 6, c 0. 4 6 4 c Formel (4 säger att c a + b. Det är bevämt att 5 0 0 5 defiiera symbole 6 5 20 5 6 äve då ite är ett heltal. Vi gör det geom att sriva ( på forme 7 2 35 35 2 7 (... ( + (5.! Notera att är ite är ett heltal gäller ite att 0 då >. Exempel 6 Då > 0 gäller att (. + ( eftersom täljare i uttrycet som defiierar västerledet är ( (... ( + ( ( +... ( + vilet är täljare i det uttryc som defiierar högerledet.
Biomialsatse och lite ombiatori 4 (2 E geeraliserig av (2 är följade vitiga sats. Sats (Biomialsatse För alla positiva heltal gäller att (6 ( + x Bevis. Vi sriver ut ( + x som e produt 0 x. ( + x( + x... ( + x av fatorer. Koefficiete framför x i högerledet blir då det atal sätt vi a välja ut parateser att ta x ifrå och seda ta frå de övriga. Detta atal är. Amärig För allmäa reella gäller att ( + x 0 x, x <, vilet är de geerella formulerige av biomialsatse. När är ett positivt heltal blir summa ädlig, och därmed sa för alla x. Sats 2 (De hypergeometrisa idetitete Om a, b och är positiva heltal gäller att ( ( ( a b a + b. 0 Bevis. Låt Ω {u,..., u a, v,..., v b } med a + b elemet. E delmägd av Ω om elemet består då av styce u i och styce v i för ågot 0,...,. Eftersom atalet delmägder med styce u i och styce v i är ( ( a b, eligt multipliatiospricipe, följer lihete. Exempel 7 Med a b i de hypergeometrisa idetitete får vi sambadet Multiomialsatse 0 ( 2 ( 2. Hittills har vi delat upp e mägd Ω om elemet i två delmägder om respetive elemet. Vi sa u geeralisera såtillvida att vi sa dela upp Ω i r delmägder (r 2. Atag att dessa r delmägder sa iehålla, 2,..., r respetive r elemet, där + 2 +... + r. Låt ( 2... r
Biomialsatse och lite ombiatori 5 (2 vara atalet sådaa uppdeligar. Geom att orda elemete i varje delmägd får vi e ordig av Ω, alltså e permutatio, och varje permutatio av Ω a erhållas på sådat sätt. Multipliatiospricipe ger då att (! 2!... r!! 2... r dvs (7 ( 2... r!! 2!... r!. Dessa tal allas multiomialoefficietera. Notera att om r 2 så är 2 och 2. Vi ommer att aväda båda dessa betecigar. Exempel 8 Atal sätt e ortle om 52 ort a delas upp på 4 häder om 3 ort vardera är ( 52 52! 3 3 3 3 (3! 5.36 4 028. Exempel 9 Hur måga ord (bostavsombiatioer om bostäver a bildas ur ordet MISSISSIPPI geom permutatio av bostävera. De bostävera är idelade i 4 grupper: ett M (, fyra I: ( 2 4, fyra S ( 3 4 och två P: ( 4 2. Att bilda ett ord iebär att vi delar i de positioera i 4 delmägder: de första består av e positio och där sätter vi M:et, de adra består av 4 positioer och där sätter vi de fyra I:a o.s.v. Atalet ord blir därför lia med ( 4 4 2!!4!4!2! 34650. Exempel 0 Om är ett positivt heltal och t, t 2,..., t r är reella tal, så har vi följade geeraliserig av biomialteoremet: ( + t +... + t r ( t t t 2... 2... t r r, r där summatioe ser över mägde {(,..., r ; i 0, i,..., r och + 2 +... + r }. Dea idetitet allas multiomialteoremet och bevisas elast ombiatorist. På samma sätt som vi tidigare bevisade biomialteoremet. Hur måga sätt a vi dela upp ågot på? Vi sa u titta på e aa typ av ombiatorist problem som illustreras i följade exempel.
Biomialsatse och lite ombiatori 6 (2 Exempel Per, Peter och Paul har allat 40 äpple. På hur måga sätt a de delas upp mella dem? För att bestämma detta atal a vi aväda följade tric: lägg två apelsier i orge. Ploca seda upp frutera e och e och ge de äpple som ommer ia de första apelsie till Per (ha blir uta äpple om e apelsi ommer först, de äpple som ommer mella de två apelsiera ges till Peter och reste ges till Paul. Atalet sätt att dela upp äpplea blir därför lia med atalet sätt att ta ut två apelsier ur e org om 42 fruter, alltså ( 42 2. Detta exempel är ett specialfall av följade mer allmäa problem: hur måga heltal r i 0, i,..., fis det som uppfyller evatioe (8 r + r 2 +... + r, där är ett givet heltal? Sats 3 Evatioe (8 har + ice-egativa heltalslösigar. Bevis. Sriv ut styce :or efter varadra och sjut i mella dessa vertiala sträc, så att vi får e figur på forme.... Svite får börja och sluta med vertiala strec. Låt r atalet ettor till väster om det första vertiala strecet, r 2 atalet ettor mella det första och det adra vertiala sträcer o.s.v. till r atalet ettor till höger om det sista vertiala strecet. I vårt fall är r 3, r 2 2, r 3 0,..., r Vi ser då att atalet lösigar till (8 är precis lia med atalet sådaa figurer. Me detta atal är atalet sätt att blad + positioer välja ut styce att sätta vertiala strec på (och ettor på de övriga. Detta bevisar satse. Corollary Evatioe (8 har för givet precis ( heltalslösigar r,..., r med alla r i. Bevis. Vi sriver om (8 som (r + (r 2 +... + (r. I variablera r i har dea eligt satse precis ( + ( ( ice-egativa heltalslösigar. Exempel 2 Vi ude löst exempel geom att låta r atalet äpple Per får, r 2 atalet äpple Peter får och r 3 atalet äpple Paul får. Vi sa då lösa evatioe r + r 2 + r 3 40 och eligt sats 3 har dea ( 42 2 ice-egativa heltalslösigar. Om vi räver att alla pojar sa få mist ett äpple får vi eligt följdsatse ( 39 2 olia uppdeligar.
Biomialsatse och lite ombiatori 7 (2 Ilusios-exlusiosformel Vi börjar detta avsitt med ett ase för eelt exempel. Exempel 3 För ett litet exportföretag med 67 aställda gäller att 47 av dessa a spasa och 35 a tysa, meda 23 av de aställda a båda språe. Hur måga av de aställda a vare spasa eller tysa? För att bea ut detta problem iför vi två egesaper hos varje aställd, vila de a ha eller saa: c c 2 medarbetare a spasa, medarbetare a tysa. Låt N(c i beteca atalet som har egesape c i och låt c c 2 beteca att idivide har bägge egesapera. Då vet vi att N(c 47, N(c 2 35, N(c c 2 23. Då gäller att atalet som a atige spasa eller tysa eller båda ges av uttrycet N(c + N(c 2 N(c c 2 47 + 35 23 59. Vi måste här subrahera N(c c 2 eftersom de räas i i både N(c och N(c 2, och därför sulle räas två gåger om vi ite gör det. Slutsatse är att 67 59 8 styce a vare spasa eller tysa. Vilet vi sriver N(c c 2 N N(c N(c 2 + N(c c 2, där N 67 och c i betecar att medarbetare ite hade egesape c i. Vi vill u geeralisera resoemaget och formel sist i exemplet till e allmä ombiatoris pricip. Sats 4 (Ilusios-exlusiosformel Atag att N föremål a ha egesapera c, c 2,..., c och låt N(c i c j... c vara atalet som har egesapera c i, c j,..., c (samt evetuellt fler. Då gäller att atalet som ite har ågo av egesapera c,..., c är (9 N(c c 2... c N N(c i + N(c i c j N(c i c j c +... + ( N(c c 2... c. i i<j i<j< Bevis. Vi börjar med att sriva om formel så att de speciellt oterar egesape c : N N(c i + N(c i c j i<j< i<j<< N(c i c j c +... ( N(c c 2... c N(c + N(c i c N(c i c j c +... + ( N(c... c. i i<j<
Biomialsatse och lite ombiatori 8 (2 Låter vi c beteca egesape att ha ågo av egesapera c,..., c och atar att formel är sa, så betecar uttrycet på första rade N(c, alltså atalet som ite har ågo av dessa egesaper. I de adra rade, uder samma atagade om att formel är sa, har vi först e term N(c och seda ett uttryc som är N N(d d 2... d, där d i iebär egesape att ha både egesape c i och egesape c. Vi a därför bevisa satse geom att göra ett idutiosbevis. De är trivialt sa för egesap(er och vi atar att de alltid är sa för egesaper och sa visa att de då ocså är sa för egesaper. Vi ser då att högerledet ova a srivas N(c N(c + (N N(d... d N N(c N(c + N(cc N(c c. Detta bevisar satse. Exempel 4 (Eratosthees såll Eratosthees såll är amet på de uppebara metode att fia alla primtal och som fugerar eligt följade besrivig. Atag att vi vill fia alla primtal mella och 20: 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 Steg : ta bort (som ite är ett primtal och alla heltal som är delbara med 2 me större ä 2: 2 3 5 7 9 3 5 7 9 Steg 2: ta bort alla heltal som är delbara med 3 me större ä 3: 2 3 5 7 3 7 9 Steg 3: ta bort alla heltal som är delbara med 5 me större ä 5. Ädrar iget! Vi fortsätter seda och dividerar med 7,,... och fier att i iget av falle ädras svite. Lista ova iehåller därför alla primtal mella och 20. De är 8 styce. Hur måga primtal fis det då mella och 000? Att besvara fråga räver e del arbete me ser i pricip med hjälp av ilusios-exlusiosformel. Låt oss illustrera hur geom att bestämma hur måga tal mella och 000 som ite är delbara med 2, 3 eller 5. Iför c : talet är delbart med 2 c 2 : talet är delbart med 3 c 3 : talet är delbart med 5. Vi har då att N(c 500, N(c 2 333, N(c 3 200, N(c c 2 66, N(c c 3 00, N(c 2 c 3 66, N(c c 2 c 3 33. För att t.ex. bestämma N(c c 2, alltså atalet tal delbara med 6, delar vi 000 med 6, vilet är 66 + 2/3, och tar heltalsdele av detta, alltså 66. Atalet tal mella och 000 som ite är delbara med 2, 3, 5 fås u med hjälp av ilusios-exlusiosformel N(c c 2c 3 000 500 333 200 + 66 + 00 + 66 33 269.
Biomialsatse och lite ombiatori 9 (2 Ett vitigt specialfall av ilusios-exlusiosformel är fallet då det för varje r gäller att N(c i c i2... c ir a r, d.v.s., N(c i c i2... c ir beror ite av vila egesapera c i är, uta edast av att de är r styce. Eftersom atalet termer av dea typ för fixt r är r, så får vi i detta specialfall att ( ( (0 N(c c 2... c N a + a 2... + ( a ( a, 2 där vi satt a 0 N. Exempel 5 Atalet sätt att ploca ut m elemet ur mägde {a,..., a } är N m. Låt N(a i a i2... a ir beteca atalet delmägder som iehåller elemete a i,..., a ir. Då gäller att N(a i a i2... a ir r m r, eftersom e såda delmägd består av de giva r elemete samt ytterligare m r styce plocade frå e mägd om r elemet. Me e delmägd om m elemet måste iehålla ågot av a i :a, så N(a a 2... a 0. Ur (0 följer u idetitete ( 0 m ( ( m + ( ( 2 2 m 2 0 ( ( m... + ( m 0. m 0 Exempel 6 (Recotre-problemet I e ura ligger lappar, umrerade, 2,...,. Ma drar slumpmässigt e lapp i taget tills ura är tom. Om ma i dragig i fic lapp r i säger ma att ma har e recotre. Vi sa bestämma saolihete (atal gysamma fall delat med atalet möjliga fall för att ma ite får ågo recotre. Atal möjliga fall är N!. Låt c i beteca att ma får recotre i dragig i. Då gäller att N(c i... c ir ( r!, ty recotre i dessa dragigar svarar mot att vi gör r dragigar med r umrerade lappar, eftersom vi a bortse frå lappara i,..., i r. Med hjälp av (0 får vi u atalet gysamma fall till! (! + 2 ( 2!... + ( ett tal som vi betecar D. Om vi dividerar med! och förortar får vi att de söta saolihete är 2! 3! +... + (!. Det följer att saolihete att få mist e recotre är 2! + 3!... (!, ett tal som väl approximeras med /e 0.63 reda för små ( 7. Exempel 7 På hur måga sätt a ma stoppa m olia bollar i olia hål, så att varje hål iehåller mist e boll? Vi har hål att välja på för varje boll, så N m. Låt u c i beteca att hål ummer i saar boll. Då gäller att,
Biomialsatse och lite ombiatori 0 (2 a N(c i ( m, eftersom vi har hål att placera de m bollara i, b N(c i c j ( 2 m, eftersom vi har 2 hål att placera de m bollara i osv. Allmät gäller alltså att Det följer ur (0 att det söta atalet är N(c... c m ( m + N(c i... c ir ( r m. 2 ( 2 m... + ( Det tal som dyer upp i högerledet här har fått ett eget am. ( m. Defiitio Tale S(m,! allas Stirligtale av adra slaget. ( ( m 0 Exempel 8 I ett livsmedelspaet ligger e relampreset som a vara av m olia typer. Varje typ föreommer med lia saolihet och presetera fördelas slumpmässigt på paete. E perso öper paet. Hur stor är saolihete att ha får e fullstädig olletio av preseter? Vi a se presetera som bollar och paete som hål. Låt oss umrera paete. Vi har då!s(m, gysamma och m möjliga utfall, så de söta saolihete är ( ( m. 0 Vi har följade observatio, som liar de som ligger till grud för Pascals triagel. Sats 5 Det gäller att S(m +, S(m, + S(m,. Bevis. Betrata mägde {a,..., a m, a m+ }. Då är S(m+, lia med atalet sätt som dessa elemet a fördelas mella idetisa behållare, så att ige behållare är tom. I ett sådat fall gäller edera av två alterativ: a a m+ ligger esam i e behållare. Vi har då fördelat a,..., a m blad behållare, vilet a göras på S(m, olia sätt. b a m+ ligger tillsamma med ågot aat a i i e behållare. Vi har då fördelat a,..., a m blad behållare, vilet a göras på S(m, olia sätt, och seda har vi valt ut e av dessa behållare att lägga a m+ i, ett val som a göras på sätt. Totalt alltså S(m, olia sätt. Därmed är satse bevisad.
Biomialsatse och lite ombiatori (2 Exlusios-ilusiosformel a formuleras på följade sätt. Låt som ova c,..., c vara e uppsättig villor på elemete i e mägd Ω och låt S N(c i c i2... c i. i <i 2 <...<i Då gäller eligt (9 att atalet elemet i Ω som ite uppfyller ågot av villore c,..., c är lia med S 0 S + S 2... + ( S. (Vi har att S 0 N. Låt oss u titta på atalet elemet som uppfyller precis ett av villore c,..., c. Betrata först fallet 3. Det söta atalet är ite så stort som S N(c + N(c 2 + N(c 3, ty summa i högerledet räar t.ex. de elemet som uppfyller både c och c 2 två gåger, meda de elemet som uppfyller alla tre c i :a räas tre gåger. Sådaa elemet sa ite räas alls. Vi drar därför frå S bort atalet 2S 2 2(N(c c 2 + N(c c 3 + N(c 2 c 3. Uttrycet S 2S 2 räar de elemet som uppfyller precis ett c i, me ite de elemet som uppfyller precis två villor c i. De elemet som uppfyller alla tre villore räas emellertid först 3 gåger i S och seda 6 gåger i 2S 2, totalt alltså 3 gåger. Vi måste därför lägga till talet 3N(c c 2 c 3 till vårt uttryc, och fier därför att atalet elemet som uppfyller precis ett av villore ges av S 2S 2 + 3S 3. Me detta resoemag geeraliseras mer eller midre diret u, och vi ser att atalet elemet som uppfyller precis ett av villore c,..., c är S 2S 2 + 3S 3 4S 4 +... + ( S. För att se detta a vi resoera så här. Låt x vara ett elemet som uppfyller precis r villor, där r. Då räas x ( r gåer i summa S för,..., r, me ite i S då > r. Atalet gåger x igår i summa ova blir därför, eftersom ( ( r r r, ( ( ( ( r r r r + 2 + 3 +... + ( r 2 3 r (( ( ( ( r r r r r + +... + ( r. 0 2 r Om r är detta, me om r > är det eligt biomialsatse lia med r( r 0. Allmäare har vi följade sats. Sats 6 Med betecigara frå ova gäller att atalet elemet i Ω som uppfyller precis m av villore c,..., c är lia med ( ( ( m + m + 2 S m S m+ + S m+2... + ( m S. 2 m
Biomialsatse och lite ombiatori 2 (2 Bevis. Vi resoerar som ova. Låt x vara ett elemet i Ω. Om a x ite uppfyller m villor bidrar de ite till ågo term i summa. b x uppfyller precis m villor igår de e gåg i S m me ite i ågot S, > m, c x uppfyller r villor där m+ r, så räas x ( r gåger i S, m+,..., r. Eftersom ( ( ( ( m + r r r m, 0,..., r m, m + m får vi att summa blir ( r m ( r m 0. Därmed är satse bevisad. Exempel 9 Låt oss beräa saolihete för precis e recotre i försöet som besrevs i Exempel 6. Vi fa där att S (!, så eligt satse ova blir atalet gysamma fall ( 0 (! 2 (! S 2S 2 + 3S 3 4S 4 +... + ( S ( ( 2! + 3 2 ( 2! + ( 3!... + ( 3 ( ( 3! +... + ( D. 2 Dividerar vi med atalet möjliga fall, som är! styce, får vi de söta saolihete till 2! 3! +... + ( (!. Amärig Resultatet i föregåede exempel ude vi ha härlett på ett elare sätt eligt följade resoemag. För ett gysamt fall sa vi göra två operatioer: dels välja ut ett ummer mella och som sa vara vår recotre, dels att ite få ågo recotre vid dragige av de övriga lappara. Detta ger oss atalet gysamma fall till D. Allmäare blir atalet gysamma fall för precis styce recotre lia med D.