Tntamn i Matmatik, HF9, 8 oktobr, kl 5 75 Undrvisand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm Eaminator: Armin Halilovic Hjälpmdl: Endast utdlat ormlblad (miniräknar är int tillåtn För godkänt krävs poäng av möjliga poäng Btygsgränsr: För btyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, rspktiv poäng För btygt F krävs 9 poäng F är tt undrkänt btyg mn md möjlight till komplttring Komplttringn kan ndast göras upp till btyg E Fullständiga lösningar skall prsntras på alla uppgitr ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Börja varj ny uppgit på tt nytt blad, dtta gör att rättningn blir säkrar Skriv ndast på n sida av papprt Skriv namn och prsonnummr på varj blad Inlämnad uppgitr skall markras md kryss på omslagt Lämna in dnna tntamnslapp tillsammans md dina lösningar! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgit (Uppgit kan du som är godkänd på K hoppa övr a Ang värdmängd och dinitionsmängd ör dn invrsa unktionn till (, < cos( och ang ävn dn invrsa unktionn (p b Bräkna gränsvärdt (p ln( c Bräkna gränsvärdt (p Var god vänd
Uppgit a Givt llipsn på paramtrorm (,y (cos(t, sin(t Ang var llipsns tangnt ör t / skär linjn y Dvs, ang skärningspunktns koordinatr (p d b Md hjälp av drivatans dinition bvisa ormln ( d (p Uppgit sin( a Bstäm drivatan till ( (p b Bstäm, ör a >, värdt på a så att öljand gällr a u du u ln( Uppgit Btrakta unktionn ( Bstäm unktionns vntulla asymptotr (lodräta/vågräta/snda, samtliga trmpunktr (min/ma och rita gran till unktionn (p Uppgit 5 a Bstäm volymn av dn rotationskropp som bildas då områdt mllan kurvan y 5 (p, -aln och linjn, rotrar runt -aln (p 8 b Bräkna intgraln d (p Uppgit 6 a Bstäm koordinatrna, (,y,z, ör vntulla stationära punktr till z (, y 9 y Bstäm också dssa punktrs karaktär (min/ma/sadlpunkt (p b Använd dubblintgralr ör att bstämma tyngpunktn ör dt plana områdt D som bgränsas av kurvan y, -aln, och linjn ( Tips Formlrna ör tyngpunktns koordinatr inns på ormlbladt (p Lycka till!
FACIT: Uppgit a Ang värdmängd och dinitionsmängd ör dn invrsa unktionn till (, < cos( och ang ävn dn invrsa unktionn (p b Bräkna gränsvärdt (p ln( c Bräkna gränsvärdt (p / Lösning: a / / Enligt antagandt är unktionn y cos( dinirat ör nämnarn cos ( alla värdn i intrvallt (,] ( akt n gång och därör intrvallt [, ( akt n gång < För sådana antar cos( antar värdn i Md andra ord unktionns dinitions mängd är D [, och värdmängd är V [, Etrsom varj värd i V antas akt n gång är unktionn invrtrbar Om vi btcknar invrsunktionn har vi V och D [, D V [,
För att bstämma invrsunktionn lösr vi ut ur kvationn y y cos( arccos( cos( y y Alltså ( y arccos( y är invrsunktionn till ( cos( < Anmärkning: Vi användr otast ( llr t som obrond variabl och därör kan vi ang invrsunktionn som n unktion av ( llr t t ( arccos( Ndanstånd grar visar unktionrna (, cos( < och ( arccos(, < Svar a: D V [,, V [,, ( arccos( b Vi har tt obstämt uttryck av typn [/] md hjälp av l Hospitals rgl har vi: ln( [ L' H ] Svar b:
c Ett obstämt uttryck av typn [/] ; vi användr l Hospitals rgl: / / / / ( Altrnativ lösning: Faktorisring och örkortning Svar c: Svar: a D V [,, V [,, ( arccos( b / c Rättningsmall a p ör invrsa unktionn, p ör intrvalln b och c Rätt llr l Uppgit a Givt llipsn på paramtrorm (,y (cos(t, sin(t Ang var llipsns tangnt ör t / skär linjn y Dvs, ang skärningspunktns koordinatr (p d b Md hjälp av drivatans dinition bvisa ormln ( (p d Lösning: a Mtod För t / år vi lipsns punkt P(cos(/, sin(/ (, Tangntns lutningskoicint gs av dy dy dy dt dt cost k d dt d d sin t dt I punktn P har vi därör cost k sin t / / Tangntns kvation är y y k (
dvs y ( Skärningspunktn md linjn y år vi ur kvationn ( Etr örnkling Etrsom y har vi y Altrnativ lösning: (mtod Vi drivrar och (,y (cos(t, sin(t och år tangntns riktningsvktor i dn punkt som svarar mot paramtr t: v (-sin(t, cos(t Om t / har vi v(-sin(/, cos(/ Tangntns kvation blir då : (, y (cos(/, sin(/ s(-sin(/, cos(/ ( Vi bstämmr s ur kvationn cos(/ -s sin(/ sin(/scos(/ trsom y s (-sin(/cos(//(sin(/cos(/ Etrsom cos(/ 5 och sin(/ / har vi s / Insätts i ( så rhålls koordinatrna ( tr örnkling : och y b Låt ( Md hjälp av binomialsatsn llr gnom att multiplicra (h(h(h och örnkla år vi (h hh h och därör ( h h ( ( h h h h h h h h
Härav '( h ( h ( h d ( h h h vad skull bvisas Rättningsmall: a p ör rätt linj p allt rätt b Allt korrktp I grundn korrkt bvis mn md mindr räknl gr p Uppgit sin( a Bstäm drivatan till ( (p b Bstäm, ör a >, värdt på a så att öljand gällr Lösning: a Enligt kdjrgln har vi a u du u ln( 5 ( sin( sin( cos( cos( sin( sin( b a u du u ln( 5 Intgraln i VL löss via variablsubstitution, t t u u du ln dt t u t a [ ln( u ] (ln( a ln VLHL gr / (ln( a ln ln( 5 ln(5 ln5 ln( a ln ln5 ln( a ln5 ln ln ln( a ln a a 9 a ± a > Svar : a Rättningsmall: dt udu du dt u
a - Fl tillämpning av kdjrgln och l drivring av sin(, -p - Rätt drivring av sin( och rstn l, p b - Fl bstämning av n primitiv unktion -p - Rätt primitiv unktion p - Rätt bräkning av värdt på a p Uppgit Btrakta unktionn ( Bstäm unktionns vntulla asymptotr (lodräta/vågräta/snda, samtliga trmpunktr (min/ma och rita gran till unktionn (p Lösning: Funktionn ( är j dinirad ör och dssutom ( ± ± Dtta innbär att linjn är n lodrät asymptot Vidar gällr att ( ± Polynomdivision av ±, dvs vågräta asymptotr saknas ( gr att y är n snd asymptot Etrma punktr rhålls via: ( ( ( ( ± ''( '( ''( maimum i punktn ''( minimum i punktn Altrnativt kan man använda tckntabll: ( j d ( MAX ( j d MIN (5
Gran till unktionn ( Rättningsmall, uppgit - Fl asymptotbräkning -p - Saknas någon asymptot samt motivring -p - Rätt bräkning av trma punktr och dss karaktär p - Gran är hlt l gr -p Uppgit 5 a Bstäm volymn av dn rotationskropp som bildas då områdt mllan kurvan y, -aln och linjn, rotrar runt -aln (p 8 b Bräkna intgraln d (p
Lösning: a Md skivmtodn kan intgraln tas i -ld Övr gräns är givn som Undr gräns ås där kurvan skär -aln Dtta gör dn i (nda skärningspunkt md -aln Rotationskroppns volym blir då: ( d d d y Vi användr partill intgration två gångr ( d d d d (5 ( d Svar a: Volymn blir (5 v b Vi aktorisrar nämnarn: (, vilkt gr öljand ansats: 8 ( ( 8 B A A B A A B A B A C d d ln ln ( 8 Svar b: C d ln ln 8 Rättningsmall: 5a Korrkt bräknad primitiv unktion p 5b Korrkt partialbråksuppdlning p Ingt avdrag ör utlämnad intgrationskonstant
Uppgit 6 a Bstäm koordinatrna, (,y,z, ör vntulla stationära punktr till z (, y 9 y Bstäm också dssa punktrs karaktär (min/ma/sadlpunkt (p b Använd dubblintgralr ör att bstämma tyngpunktn ör dt plana områdt D som bgränsas av kurvan y, -aln, och linjn ( Tips Formlrna ör tyngpunktns koordinatr inns på ormlbladt (p a Lösning: Partilla drivator: 9 och y y Stationär punkt om : y 9 ± y y Alltså inns stationära punktr i (, och (, Andradrivator bhövs ör att bstämma karaktärn: 6,, y y y AC B 6 ( Punktn (, : AC B ( > A 6 ( 6 <, Maimum Punktn (, : AC B < Sadlpunkt Funktionsvärdn bstäms i d stationära punktrna:
z ( 9 ( 6 z ( 9 6 Svar a: Funktionn har tt maimum punktn P (,,, ( P 6 i Punktn Q (,, är n sadlpunkt, ( Q 6 b Vi användr ormlrna ör tyngdpunktns koordinatr Aran (D d [ ] D ddy d dy 5 d 5 5 D y 6 yddy d ydy d 6 7 d 8 7 8 7 Därör och 5 5 8 7 8 7 Svar b: T( /5, 8/7 Rättningsmall: 6 a Korrkta koordinatr ör d båda stationära punktrna p Alt Korrkta koordinatr och rätt karaktär ör n av punktrna p Ingt avdrag ör laktig z-koordinat 6 b Korrkt n dubblintgral gr p Allt korrkt p