F 1 Ch.1. Introduktion till numeriska metoder. Grundläggande ideer och metoder. Ch.2. Ickelinjära ekvationer. Newtons metod.

Transkript

1 531 p 1 8) F 1 Ch.1. Itroduktio till umeriska metoder. Grudläggade ideer och metoder. Ch.2. Ickelijära ekvatioer. Newtos metod. Störigsräkig 1. Eempel: Strömigsberäkig, blitedslag i SAAB2, svetsig,... Något om var ma hittar upptäcker, kostruerar,...) de ekvatioer vi försöker lösa med umeriska metoder: Navier-Stokes ekvatio för fluiders rörelse beskriver såvitt vi vet alla detaljer iom rame för kotiuumshypotese. Ekvatioe beskriver bevaradet av massa, rörelsemägd, och eergi. Måga adra amkuiga differetialekvatioer: Mawells ekvatio uppfue 1867 visade sig beskriva elektromagetiska vågfeome som t e diffraktio av ljus. Schrödigerekvatioe är komple och beskriver subatomära partiklars rörelse. etc. R. W. Hammig: The purpose of computig is isight, ot umbers. 2. Om kurse se kurspm) 3. QS Ch1 Om ANALYS som problemlösigsmetod, divide ad coquer ; Väl etablerad mägd elemetarproblem för vilka bra lösigsmetoder fis: 1. E icke-lijär ekvatio, fi så att f) =, QS Ch 2 2. Lös det lijära ekvatiossystemet A = b där, b är reella eller komplea) kolumvektorer med kompoeter, A är e reell eller komple) matris; att lösa 11 system går på sekuder med moder PC. Me = 1, är ett stort problem; arbetet kompeitete) väer som kube på. QS Ch 5 3. Kombiera 1&2 till lösig av icke-lijärt system 4. Lös egevärdesproblemet A = λ, QS Ch 6; polyomekvatioer löses av MATLAB som egevärdesproblem. b 5. Beräka e bestämd itegral, I f ) = f )d a 6. Lös iitialvärdesproblemet för ett differetialekvatiossystem dy dt = ft, y), yt ) = y för t " t " t ) T yt) = y 1 t), y 1 t),..., y t) " Newtos metod lokal lijariserig E rot α till f) = lokaliseras med iteratioe Om f har två kotiuerliga derivator: Kovergerar om tillräckligt ära α Kvadratisk koverges mot ekelrot α: f " )h = # f ); +1 = + h +1 "# " *# 2 f # ) 2 f # ) då &, E. Fi rote = ) till f ) = sg) =.. Ma fier att = 1). f är ite deriverbar i

2 531 p 2 8) E. Det fis alltså e omgivig Bα): α < d omkrig varje rot, där Newtos metod kovergerar mot α för varje i Bα). Me hur ser det ut globalt? Vi provar på polyomekvatioe z 3 1 = med röttera 2k#i " k = e 3,k =,1,2. " = 1," 1 = 1+ 3i ) / 2," 2 = 1 3i) / 2 Startvärdet z färgas efter de rot det ger koverges mot. Följade bild får ma, på ett 44 ät över [ 2,2] [ 2,2]. o är de tre röttera. Gräsera mella de olika färgera är fraktala, och mägdera är eempel på Julia-mägder Let Rz) = Pz)/Qz) be a ratioal fuctio where P ad Q are polyomials without commo divisors. The "filled-i" Julia set is the set of poits z i C which do ot approach ifiity after Rz) is repeatedly applied. The true Julia set J is the boudary of the filled-i set the set of "eceptioal poits"). Polyom roots MATLAB har fuktioer för haterig av polyom. Ett polyom represeteras av sia koefficieter, p) = # c k "k. k=1 E. c = [ ] är fjärdegradspolyomet ; E. QS p 18 roots ger alla röttera; för polyom vet ma precis hur måga det fis, och de räkas ut som egevärdea till e matris, mer därom i Ch 6. QS p 18 ger ett eempel där relativa fele blir 1. Det stora felet häger ihop med att rote är sju-tipel. Om -tegrads terme 1) 7 i p) = 1) 7 störs litet, säg byts mot , så blir röttera 2k"i 1+.1e 7,k =,1,...,6, som ligger som höre i e regelbude sju-hörig iskrive i e cirkel med radie.1 med cetrum i 1. E störig i e polyom-koefficiet med relativ magitud 1 14 obetydligt mer ä avrudigsfel ger relativt fel.1 i röttera!). Det svåraste problemet är att hitta ett bra startvärde. Ma ka Förekla ekvatioe och lösa det eklare problemet Plotta behöver e ide om var rötter ka täkas fias ite alltid i [ 1,1]! Fortsättigsmetod Eg. Cotiuatio, Homotopy,...). Välj parametervärde som ger käd rot, ; k =. 1. ädra parametervärdet lite, ta k som startgissig, iterera, hitta rot k+1. Om öskat parametervärde åtts, sluta, aars k = k+1, tillbaka till 1.

3 531 p 3 8) F 2 Ch.2. Ickelijära ekvatioer, forts. Iteratiosmetoder: fipuktsmetode. 1. Back to basics: Fudametala begrepp: ärmevärde; absolut och relativt fel; Kvalitetsdeklaratio: atal sigifikata siffror, korrekta decimaler. Reella, komplea tal. Flyttal decimalt, B=1 här, biärt, bas B=2 i maskie) taldel B ^ Epoet +/-. 1^ +/-yyyy) Normaliserat: 1 < t 1/B. fl) = ärmaste flyttal till reella talet. Maski-precisioe karakteriseras av eps, fl) / eps eps är ca 1-16 för MATLAB. För aritmetiska operatioer op +,, *, /,^) gäller om och y är flyttal att fl op y) op y eps op y E. Tresiffrig taldel. Flyttale = 1.e, y = 1.1e är ärmevärde med relativt fel högst.5. fly ) blir.1e 2, som ka ha 1 relativt fel: kacellatio. E. QS p6, fig. 1.2; Kvote mella -höriges omkrets och cirkeldiameter är q) = p 2R = si " som kovergerar mot π då ->. Visa, att det är samma formel som i QS me med aa umrerig, QS z = vårt q2 ), och att q) 2 = q2) 2 # 1" q2)2 & 4 2 och därmed q2) = 2 " 4 " 4q)2 2 och förstås q2) = 2. När ökar blir det svårartad kacellatio, vilket är orsake till det dåliga resultatet i QS. Me det ka ma fia, geom e omskrivig av själva uttrycket, och då ser det ut så här: q2) = q)" 2 / 1+ 1# q) 2 & ) & ) & ) Nu blir det ästa femto korrekta decimaler! Fipuktsiteratio QS 2.3) E fipukt eg. fied poit) till e avbildig φ : X > X är e pukt i X såda att = φ). E. X = R = mägde reella tal, φ) = cos. Se plott QS p 47: Lije y = och fuktios-grafe till y = cos skär varadra för.74. Ma ka tydlige lösa ekvatioe f) = cos = med iteratioe +1) = cos ), ) = 1 1)

4 531 p 4 8) E. Ekvatioe = har e rot α = , me iteratioe 2 +1) = ) 2 1, ) = 1.5 kovergerar ite mot de, uta mot 1" 5. 2 Det som avgör kovergese hos talföljde är lutige på fuktiosgrafe vid = α. Fipuktssatse QS p 48) ger tillräckliga villkor för eistes av e eda rot i ett område; Om följde kovergerar gäller k+1) "# k) &# ), &# ) 1 "# Om φ α) > 1 ka följde ite kovergera mot α. E feluppskattig får ma för kovergeta fall) av " # ) m 1# m ) # #1) * 2) & ) där m φ ) i ärhete av rote. m ka uppskattas med m " ) # #1) #1) # #2) Iteratioe 1) går gaska lågsamt. Det ligger ära till hads att aväda 2) för att få ett förbättrat värde på rote. Vi prövar: 1) =.543 2) =.8575, 2) 1) = ) =.6543, 3) 2) =.232, m =.646 ^ = 3) +.646)/1+.646).23) =.7336 α =.7391 så felet i ^ är.55. Felet i 3) är.793. Vi har fått 14 gåger midre fel med dea efterbehadlig. Det skulle ta sju iteratioer till att få samma oggrahet. Förfaradet brukar kallas Aitke-etrapolatio och ka avädas på lijärt kovergeta följder. Låt = " + A# + o # & ) då > med λ < 1. Då blir # #1 ) 2 & " = # = + o ) + # 2 #1 + #2 * dvs. de domierade dele av avstådet till gräsvärdet elimieras. Fipuktsiteratioe aväds äve till aalytisk formelbehadlig, här potesserieutvecklig. Eempel 1: framställig av e rot ε) till e polyomekvatio: = 1+ε 2 som för små ε har e rot i ärhete av = 1, ) = 1. Iteratio: +1 = 1+ε 2, = 1 1 = 1+ε 2 = 1+ε1+ε) 2 = 1+ε+2ε 2 +ε 3 3 = 1+ε1+ε+2ε 2 +ε 3 ) 2 = 1+ε+2ε 2 +5ε 3 + Oε 4 ) *) Ma vier e korrekt term per iteratio. Så blir det eftersom #"1) = 2 1.

5 531 p 5 8) Övig: Lös ekvatioe eakt och beräka McLauriutvecklige av rote ära 1; verifiera att *) stämmer. Övig: Prova Aitke-etrapolatioe på, 1, och 2. Det visar sig eda att ma får e term till, me det är lite poäglöst här eftersom e iteratio till är lättare ä etrapolatioe. = 1 1 = 1+ε, 1 = ε 2 = 1+ε+2ε 2 +Oε 3 ), 2 1 = 2ε 2, = 2ε 2 ε ^ = 1+ε+2ε 2 +ε 3 +4ε 3 /1 2ε) = 1+ε+2ε 2 +5ε Eempel 2 Beviset för eistes och etydighet för begyelsevärdesproblem brukar göras med Picard-iteratio, ett aat am för fipukts-iteratio : dy d = f, y), y ) = c " y ) = c + f t, y #1 t))dtt), y t) = c Vi prövar på y " = #2y, y) = 1 med eakt lösig y = e #2 y 1 = 1+ "2t # y dt = 1" 2 t #1dt = 1" 2 y 2 = 1+ "2t # y 1 dt = 1" 2 t # 1" t 2 * dt = 1" / 2 & ) # " 2 & k ) och det stämmer förstås med McLauri-utvecklige e "2 = *. k! k= Sats: Ma vier ige) e term per iteratio. Bevis Låt de eakta lösige vara y). Då gäller y k+1 )" y) = "2 # t y k t)" yt) )dt Aväd u iduktio över iteratios-ide, k. Atag, att y k har fel K p dvs. att termera t.o.m p 1 är korrekta. Då blir y k+1 )" y) = 2 # t y k t)" yt) dt 2 # tkt p dt = 2K p + 2 p+2 så y k+1 får termera t.o.m p+1 korrekta; För k = är p = 2, eftersom y är e jäm fuktio av edast jäma poteser i utvecklige). Därmed är iduktioe klar, VSB.

6 531 p 6 8) F 3 Approimatio, Ch.3, utdelat material om mista kvadratmetode. Ch umerisk itegratio 1. Något om avrudigsfel. Eemplet QS p 6 siπ/) då väer), eligt F2 ova. 2. Varför polyom? Varför iterpolatio? Ma represeterar fuktioer på olika sätt: Polyom med deras koefficieter, aalytiska fuktioer med koefficieter i potesserierutveckligar, etc. Tabell-represetatio är aturlig för t e mätdata eller umeriska lösigar till differetialekvatioer. Iterpolatio är koste att läsa mella radera i tabeller, och polyom aväder vi för att de är så behädiga för deriverig, itegratio, etc. Se u Etramaterialet om Approimatio och Iterpolatio. Problem: Givet puktera i,y i ), i = 1,...,. Fi ett polyom y = P) vars graf går eakt geom alla puktera. Sats: Det fis ett eda sådat polyom av gradtal högst 1 så sart alla i är olika. Ett sätt att kostruera iterpolatiospolyomet visas i följade eempel: Tag tre pukter d =, 5 och 1 ur tabelle i etramaterialet, d T Låt polyomet vara Pd) = c1 + c2 d + c3 d 2 och skriv upp de tre ekvatioera Pd i ) = T i, i = 1,2,3: d = : c1 + c2. + c3. 2 = d = 5: c1 + c2.5 + c3.5 2 = 491 d = 1: c1 + c2.1 + c3.1 2 = 853 med matris-vektor beteckig Ac = b " 1 " c " 1 A = ,c = c 2,b = 491 # & # c 3 & # 853 & som vi ka lösa med Gauss-elimiatio. Av satse följer ämlige att matrise måste vara icke-sigulär. Som syes väer elemete i A kraftigt både åt höger och edåt och det ka ge bekymmer med avrudigsfel uder elimiatioe; vi återkommer i Ch. 5 till dea fråga. Här ka vi kostatera, att ett aat sätt att skriva polyomet ger bättre matris. Iför t = d 5)/5 och Pd) = Qt) = a1 + a2 t + a3 t 2 som ger # 1 "1 1& # a & # 1 & A = 1,c = a 2,b = a Det går lika bra att maipulera ett polyom på cetrerad och skalad form: t = " µ # ;P) = a j+1 t j j=

7 531 p 7 8) där alltså t-variabel varierar ugefär mella 1 och 1. MATLABs fuktio för ovaståede är polyfit, som också ka skalig och cetrerig: d = [ 5 1]; T = [ ]; c = polyfitd,t,2); rått [a,s,mu] = polyfitd,t,2); skalat där mu1) = µ = 1 +1 " j+1,mu2) = # = j= 1 +1 " j+1 µ ) 2 j= Fuktioe för evaluerig av polyom, polyval, förstår sig på skalig och cetrerig om ma skickar med de av polyfit beräkade µ och σ. Deriverig och itegrerig) klaras med kedjeregel: a < > P) ger dp/d = 1/σ dp/dt < > 1/mu2)*polydera) Not: 1. Det lijära ekvatiossystemet löser ma INTE med Gauss-elimiatio uta med QRfaktoriserig, som är dyrare me midre avrudigsfelskäslig; Mera därom i Ch Det går bra att begära lägre gradtal ä 1: då beräkas på eakt samma sätt som ova beskrivits det polyom som passar bäst eligt mista-kvadrat-pricipe: Approimatio: Gauss mista-kvadrat-pricip. Normalekvatioer. Vi behadlar här detta viktiga äme lijär-algebraiskt eftersom det fis så måga adra tillämpigar. E. Samma tabell som ova, alla datapukter, adragradspolyom: " 1 " " c A =,c = c ,b = 853 c # 3 & 1358 # & # 1442& Detta system har ige eakt lösig. Gauss föreslog att ma som approimativ lösig tar det c som ger miimal kvadratsumma på avvikelsera mella väster och höger led. Då fis alltid mist e) lösig och räkigara blir ekla. Lösige på problemet iser ma geometriskt på följade sätt: Kalla matrises koloer v1, v2 och v3. Matris-vektorprodukte Ac blir lijärkombiatioe u = " c j v j = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 j=1 och {v j } är e bas för ett lijärt uderrum till R 6 = rummet av se-dimesioella vektorer med reella kompoeter. Högerledet b ligger utaför uderrummet se fig eda). Vektorlägder mäts eligt Gauss förslag - som u = u 2 " j och viklar mella vektorer som cos" = u w u w = u T w,där skalärprodukte u w beräkas som u T w = u j w j u T u # w T w j=1 j=1

8 531 p 8 8) Kortaste avstådet mella e pukt och ett uderrum är, som vi vet frå algebra och geometri, vikelrätt mot uderrummet, dvs. mot varje vektor i e bas, t e {v j }. Vi har alltså att v j är ortogoal mot Ac b för j = 1,2,... Normalekvatioera v j T Ac b) = j = 1,2,... ka sammafattigsvis skrivas A T Ac b) = v1 v2 b Ac = c1v1+c2v2 Me vi udviker utom i hadräkeeempel) att bilda A T A! Ekvatiossystemet löses med QR-faktoriserig) E. vi väljer u de skalade och cetrerade forme t = d 125)/125 och får kotrollera!) # 1 "1 1 & # & 1 ".6.36 # a & 491 # 1 " & # 536 & # 125& A =,c = a ,b = 853,A T A = 2.8 a 1162,A T b = 224,c ) " dvs. polyomet är P = d/125 1) 31 d/125 1) 2, plott till höger: Matlab: Jordtemp-eemplet med skalig, cetrerig och polyfit, d:o Data med plott: d = [ ]; T = [ ]; figure1), clf, hold o; plotd,t,ok); skala och cetrera dsca = d-125)/125; A = [oes6,1),dsca,dsca.^2]; lös mistakvadrat-problemet c = A\T; plotpukter dpl = lispace,25,1); dplsca = dpl-125)/125; skalade! evaluera polyomet Tpl = c1)+c2)+c3)*dplsca).*dplsca; plotta plotdpl,tpl,k); labeld km)); ylabelt ok)); med poly med skalig och cetrerig blir det kortare: [cc,s,mu] = polyfitd,t,2); Tpl = polyvalcc,dpl,s,mu); plotdpl,tpl,r--) Klart!