Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del1: Statik och partikeldynamik. Läsvecka 3

Transkript

1 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Föeläninga i Mekanik (FMEA3) Del: Saik och paikeldynaik Lävecka 3 Föeläning : Födelade kafe (Diibued foce) (5. 5.4). Föuo ye av punkkafe (och oen) av ypen F : ( F, M, ), ( F, M, ),,( F, M, ) n n n föekoe i ekaniken ockå ye av födelade kafe (diibued foce). Dea kan vaa födelade öve linje (kuvo), öve yo elle öve volye. Linjefödelade kafye (Line diibuion). En hängbokabel bä upp en la enlig figuen nedan. Kabeln påveka då av e kafye o ä födela läng kabeln. Kafen i en vi punk på kabeln ge av w = j ( w) dä w= w () uyck o kaf pe längdenhe och ä båglängdkoodinaen läng kabeln = L = j k i Figu. Linjefödela kafye. Syee kafua och oenua ge av (L ä kabeln längd) L L F = w () d = j ( w() d), M = () w() d = ( w ()() d ) j L epekive, dä = () ä lägevekon (elaiv ) fö en punk på kabeln o funkion av punken båglängdkoodina. Fö en kabel o påveka av in egenyngd gälle a w= w () = ρg dä ρ = ρ() ä kabeln denie (aa pe längdenhe) och däed L

2 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva L F = g ρ() d = g, L L L M = () w() d = ρ()() d g = ρ()() d = g g dä ä kabeln oala aa och, definiead av = ()() d ρ, ä kabeln acenu. L d g ρd g Figu. Linjefödela kafye. Kafeulan. Yfödelade kafye (Aea diibuion) En da påveka av e yfödela kafye fån de inneluna vane. w = i pz ( ) dä p= pz ( ) ä kaf pe yenhe, d v yck (peue). Fö ycke gälle p= p( z) = p + ρ gz dä p ä lufycke vid vaenyan, ρ ä vane denie och z ä vaendjupe. g = k g i j z pz ( ) k D Figu.3 Yfödela kafye.

3 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Syee kafua och oenua ge av (b ä daen bedd och d ä daen djup) F = w( z) da = i( p( z) da), M = () w () da = ( p()() z da) i D D dä D epeenea daen ya (ed aean ad ), da = dydz beeckna aeaeleene. Anda eepel på yfödelade kafe ä konakkaffödelningen ellan hjul och vägbana, konakkafen ellan kula och lageing i e kullage, konakkafen ellan hål och ael. Se Figu.4. D D Figu.4 Yfödelade kafye. Volyfödelade kafye (Volue diibuion) De vikigae eeple hä ä yngdkafen. Vaje aeiell eleen i en kopp i yngdkaffäle, ed aan d, påveka av yngdkafen g d, dä g beeckna yngdacceleaionen, en veko o ä ikad lodä nedå och o ha beloppe g = g Vi kan kiva d dv = ddydz ä volyeleene och ålede w = k ( ρg) = ρdv dä ρ ä koppen denie och d g = k ( g) g d Figu.5 Volyfödelad yngdkaf. 3

4 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Syee kafua och oenua ge av (dä ä koppen aa) F = wdv = k( ρg) dv = k( ρdv) g = k( g) M = wdv = k( ρg) dv = g( ρdv) k D D D ive en kopp och en punk i ue. De lineäa aoene fö koppen ed aveende på punken (de aika oene) definiea av = d (.) d Figu.6 De lineäa aoene och acenu. Eepel. (Macenu, Tyngdkafen vid jodyan.) Anag a vi ha e hoogen yngdkaffäl ed yngdacceleaionen g. Hoogen innebä a yngdacceleaionen ä denaa i vaje upunk, vilke kan äga vaa falle i näheen av jodyan och ino e begäna oåde. Tyngdkafen vekande på aeleene d ge av df = g d Dea ä e paallellkafye ed kafuan F = d F = g d = g (.) dä = d ä koppen oala aa. Vidae gälle a oenuan ge av M = df = gd = d g = g = g (.3) 4

5 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva dä vekon definiea av = = d = (.4) unken, definiead av (.4) kalla koppen acenu (cenoid, cene of a). Den volyfödelade yngdkafen ha ålede, enlig (.3) och (.4), kafeulanen ( g, ). d g d g Figu.7 Tyngdkaffödelningen eulan. Vafö kalla nu punken acenu? Jo, punken kan näligen uppfaa o koppen ipunk ed aveende på afödelningen. De gälle a de lineäa aoene a p punken ge av = d = ( + ) d = + d = d Figu.8 Macenu. vi infö e bavekoye ( i jk ) och kive = i + jy + k z och = i + jy + k z å gälle a = d, y = yd, z = zd 5

6 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Sålede o vi beaka yngdkaffäle o e hoogen paallellkafye å ä fäle vekan på en kopp ekvivalen ed en kafeulan o angipe koppen i acenu. bevea a dea ä falle enda unde föuäning a yngdkafyee kan beaka o e paallellkafye. I jälva ä denna föuäning ine äng uppfylld. Tyngdkaffäle fån joden ä e cenalkafye ed cenu i joden acenu (edelpunk). Enlig Newon gaviaionlag gälle a df = Md n (.5) dä ä den univeella gaviaionkonanen, M ä joden aa och n ä enhevekon i vekon ikning. Se Figu.9 nedan! Däed gälle fö kafuan och oenuan F = df = M n d, M = (.6) d v kafyee definiea av (.5) ha en kafeulan ( F, ) dä F ge av (.6). vi beaka en kopp i näheen av jodyan ed diaeen d, e figuen nedan, å bli aiala vinkelavvikelen β ellan vå ikninga n och n Q, Q, i yngdkaffäle ungefä lika ed d, dä R ä jodadien. Dea ä en ycke lien vinkel fö ånga fö ingenjöen ineana koppa R på jodyan och vi kan i pakiken beaka yngdkaffäle o e paallellkafye. d d df β R Figu.9 Tyngdkafen vid jodyan. I nedanående figu via hu an kan loda fa acenu fö en kopp. 6

7 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Figu. eäning av acenu läge geno lodning. koppen beå av paikla, i =,..., n å definiea de lineäa aoene av i n = (.7) i i i= dä i ä aan ho paikel i. i i Figu. Maoen fö paikelye. I (.) beeckna en genealiead ua o i falle ed en kopp beående av n paikla kiv n. I falle ed en koninuelig afödelning kall i= paikelye gälle a acenu ge av olka o en volyinegal. Fö e n = = (.8) i i i = 7

8 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Figu. Macenu fö paikelye Eepel. Sye av vå paikla och ed aona epekive. eä acenu läge! Figu.3 Sye av vå paikla. Löning: De gälle a = + och däed = ( + ) Figu.4 Sye av vå paikla. 8

9 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva De lineäa aoene a p punken = = = = dä =. å aa ä ehålle + ( ) = + =. = elle =. Vi noea a Man kan använda ig av en kopp yeiegenkape fö afödelningen fö a beäa acenu läge. Lå Π vaa e plan i ue beä av en punk A och en noalveko n. lane ge av { S ( S A) n } Π = = Π S n S A A Figu.5 lan i ue. Lå vaa en punk i ue. unken pegelbild i plane Π ge av en punk Q dä = nn ( ( )) (.9) Q A lane Π äge vaa e yeiplan fö afödelningen fö koppen o Q och dq = d fö alla Q, o uppfylle (.9). Se Figu.6 nedan. bevea a (.9) även kan kiva = nn ( ( )). Π ä e yeiplan fö afödelningen fö Q Q A koppen å gälle a koppen acenu ligge i yeiplane, d v Π. E bevi fö dea ge av följande = d ( d QdQ) ( d = + = + ( ( ( A))) d) d ( ( A)) d nn = = nn 9

10 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva n( n ( A)) d = ( ( A)) ( A) = Π n n n j n A n = i Q Q A Π dq d d Π TT Q = d Figu.6 Syeiplan fö afödelningen. afödelningen fö koppen ha vå yeiplan Π och Π o kä vaanda läng en ä linje Λ å gälle a acenu fö koppen ligge på linjen, d v Λ. afödelningen ha e yeiplan Π, Π och Π 3 och dea kä vaanda läng linjena Λ, Λ 3 och Λ 3 å aanfalle acenu ed käningpunken fö dea linje. Figu.7 Syeiplan.

11 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Eepel. bevea a acenu fö en kopp ine behöve aanfalla ed en aeiell punk i koppen. eaka e e ihålig klo ed hoogen afödelning. Macenu aanfalle då ed fäen cenu och dä finn ingen aeia. Figu.8 Hoogen ihålig klo. Eepel.3 En unn, hoogen ålplå ha foen av en likben iangel ed baen b och höjden h. eä läge fö plåen acenu. h b Figu.9 Hoogen plå. Löning: Lå ρ beeckna plåen denie (aa pe aeaenhe). De fagå av nedanående figu a z-plane ä e yeiplan. Dea edfö a =. Fö a beäa y behöve vi använda definiionen y = yd, = d Vi välje e aeleen i fo av en ekangulä ila ed längd L och bedd y enlig figuen nedan d v d = ρldy. Då gälle

12 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva = d = ρl( y) dy h dä Ly ( ) h y y = L( y) = b( ). Dea ge b h h h h y y h = ρl( y) dy = ρb ( ) dy = ρb y = ρb = ρbh h h h A L= Ly ( ) dy y d h b Vidae gälle a Figu. Hoogen plå. h h 3 y ρ b y y y h y = yd y b( ) dy ( y ) dy = ρ ρbh = h ρbh = = h h 3h 3 Föeläning : Macenu (fo.). Macenu fö aanaa koppa: Lå vaa en kopp ed aan o beå av delkoppana,, 3 och 4 ed aona,, 3 och 4, epekive. Lå,, 3 och 4 beeckna delkoppana acena. Se nedanående figu! Macenu fö den aanaa koppen ge då av = ( ) , = h

13 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Figu. Macenu fö aana kopp. Eepel. En kopp beå av vå hoogena änge och av aa aeial och ed likadana kvadaika väni ed idlängd. Sång ha längden a och ång ha längden b och ängena ä aanaa ill en vinkelhake ed ä vinkel. eä koppen acenu. a b Figu. Eepel.3. Löning: Anag a koppana ha den konana denieen ρ. Då gälle fö ängena ao = ρ v( ) = ρ a och = ρ v( ) = ρ b Den aanaa koppen aa ge då av = ( ) + = ρa+ b Lå och beeckna ängena epekive acena. Dea lägevekoe ge, på gund av yein ho afödelningen, av = j ( a ), ( ) = i b + dä oigo val enlig figuen ovan. 3

14 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva a j b i Figu.3 Löning Eepel.. Macenu fö koppen ge då av = ( ) ( ( ) ( ) ) + = j a ρ a + i b+ ρ b = ρ a ( + b ) ( b+ ) b ( a ) a i + j a+ b a+ b Eepel. Deeine he coodinae of he cenoid of he haded aea. Figu.4 Eepel.. Löning: Anag a kivan ha denieen ρ (aa pe yenhe). Dela upp koppen i delkoppa i fo av ekangla (ilo) S ed längd L ( ) = a och bedd d. Macenu S fö k L ( ) ilan S, i figuen nedan, ha koodinaena: S =, ys = a = ( a+ ) Maan fö k b b b ilan ä ds = ρl( ) d, d v = ds = ρl( ) d = ρ( a ) d = ρb( a ). k 3 k 4

15 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva L ( ) S d Macenu fö koppen ge då av Figu.5 Uppdelning i delkoppa. b ρ ρ a b = SdS L( ) d ( a ) d b ( ) = ρ = = k 5 k b (.) b ρ y = ysds ( a ) L( ) d ( a )( a ) d = + ρ = k + = k k b b ρ ρ b ( a ) d ( a b ) = (.) k k Med dea och abande b = ka ina i (.) och (.) å ehålle ρ a b 3 ρ b 3 = b ( ) = b, y = ( ab ) = a b 5 k b k 4 ρba ( ) ρba ( ) 3 k 3 k 3 a 4 3 b Figu.6 Macenu fö ukuen kiva. 5

16 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Eepel.3 Deeine he y -coodinae of he cenoid of he haded aea. The iangle i equilaeal (likidig). Figu.7 Eepel.3. Löning:Vi beeckna den akuella koppen i Figu.7. Vi beaka koppana och enlig h figu nedan. ä en hoogen likidig iangel ed acenukoodinaen y = dä 3 3 h=. och en ekangel föedd ed halvcikla ed acenukoodinaen y =. 4. De gälle a =. Koppana beaka o plana ed denieen ρ ( kg ). y y y Maona fö koppana och ge av Figu.8 Löning bh = ρ = ρ = ρ 3., πa π. 4 = ρ( ab + ) = ρ( ) 4 4 6

17 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva epekive, och däed aband π. 4 = = ρ( ). Vi ha följande 4 y + ( ) y = y y = y y = y + y y dä π. 4 ρ( ) = 4 =. 346 π. 4 ρ( ) ch däed y = y + ( ).. (.. ). y y = =. Saanfaning: Macenu Macenu fö en kopp definiea av dä = d, n = i i i = = d, n = i i= ä koppen aa. Med Caeika koodinae = d, y = yd, z = zd Macenu fö en aana kopp ge av n = i i i = Tyngdkaffödelningen öve en kopp ha kafeulanen ( g, ) dä g ä yngdacceleaionen, ä koppen aa och ä koppen a-cenu. 7

18 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Föeläning 3: öjliga kabla (Fleible cable) (5.8). öjliga (fleibla) kabla ä en eoeik odell ed flea illäpninga. A kabeln ä böjlig innebä a kabeln ine gö oånd nä an fööke böja den. Vi ana ockå a kabeln ä oänjba, d v o vi da i kabeln å ända ine de längd. åda dea anaganden ä enda appoiaiv ikiga. Alla vekliga kabla gö oånd, e elle inde, o böjning och en veklig kabel koe a öja nä an da i den. Dea effeke ä dock i ånga vikiga illäpninga föubaa. I figuen nedan ge någa eepel på användningen av kabla. Figu 3. öjliga kabla. Uppgifen ä nu a älla upp jävikekvaionena fö en böjlig kabel. Vi beaka, fö den aken kull, e uni av en kabel enlig figuen nedan. Vi ana a unie belaa av e linjefödela kafye give av funkionen h= h ( ), dä = vaa o de väna nie och = o de höga och dä ä båglängdkoodinaen fö kabeln. Vekon h ange kaf pe längdenhe av kabeln. Vi infö pännkafvekon (enion veco) T = T ( ), i kabeln. T () () Figu 3. Spännkafen. Spännkafena i niyona ge då av T = T ( ) och T = T ( ), e dikuionen nedan! Jävik fö de uniade kabeleleene edfö T + T + h() d =, ( ) T + ( ) T + () h() d = (3.) dä = () ä lägevekon fö en punk på kabeln ed båglängdkoodinaen. Funkionen 8

19 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva = ( ), L benäne vi kabelkuvan dä L ä kabelkuvan längd. e ( ) T ( ) e ( ) T ( ) () h d Figu 3.3 Filag uni av en fleibel kabel. Lå T = T () beeckna pännkafen i en niya ed båglängdkoodinaen och i vilken enheangenvekon fö kabelkuvan d () e () = (3.) d ä ikad u u kabeleleene (poiiv niya), d v T = T ( ). Då gälle enlig lagen o vekan och ovekan a T = T ( ) och (3.) kan då kiva T( ) T( ) + h() d =, ( ) T( ) ( ) T( ) + () h() d = (3.3) Lå o nu beaka o e fi al och lå vaa en vaiabel. vi nu deivea ekvaionena (3.3) ed aveende på å ehålle dt( ) + h( ) =, d ( ) T( ) T( ) + ( ) + ( ) h( ) = (3.4) d d elle o vi bye o och infö enheangenvekon å kan villkoen ovan kiva dt() + h() =, d T() e() T() + () ( + h()) = e() T() = d = (3.5) Av (3.5) följe a e () T() d v 9

20 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva T() = e T() (3.6) dä T = T() ä en kalä funkion o kalla pännkafen (enion). Vi ana a T( ), L (3.7) och äge a kabeln ä pänd o T() >. Spännkafvekon T () ä, enlig (3.6), angeniell ill kabeln. Jävikekvaionen (3.5) kan nu kiva an ufö deivaionen i (3.8) å ehålle ekvaionen Man kan nu kiva (e Maeaik-uan nedan!) d( e T()) + h() = (3.8) d dt () de () e () + T() + h() = d d de () = e n() κ() d dä e = n e n() ä kabelkuvan huvudnoal och κ = κ () ä de kökning. Jävikekvaionen kan nu kiva dt () e() + en() κ() T() + h() = (3.9) d vi epeenea den ye laen h () i den nauliga baen ( e e e ) enlig å kan ekvaion (3.9) kiva n b h() = e h() + e h() + e h() n n b b dt () + h () = d κ T() + hn () = hb () = Eepel 3. Anag a kafen h () (vid jävik) ä paallell ed en given fi ikning n. Då gälle a vaje pänd del av kabeln ligge i e plan o ä paallell ed n. Enlig (3.3) och (3.6) gälle näligen a e() T () e() T () + h() d = n ( e() T () e() T ()) = n h() d = =

21 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Sålede gälle a de finn en funkion λ = λ() ådan a e T() e () T () = n λ() nu kabeln ä pänd, d v T() >, kan vi kiva och däed d T () λ() = e() = e() + n d T() T() T () λ() () = + e () d + d T() n T() d v kabeln ligge i e plan geno punken ed lägeveko = ( ) och o pänn upp av vekoena e ( ) och n. Maeaik-ua 5: Kuvgeoei En kuva i yden kan bekiva av funkionen [ ] = ( ), L, dä () ä lägevekon fö en punk på kuvan och ange den å kallade båglängdkoodinaen. Vekon d () e = e () = d ä en enheveko o uppenbaligen ä angeniell ill bankuvan i punken (). Vi kalla e enheangenvekon ill bankuvan. De gälle ålede a [ ] e () e () =, L, eno a deivea denna idenie a p båglängdkoodinaen å ehålle de() de() de() e() + e() = e() = d d d Dea innebä a vekon de () d ä vinkelä o bankuvan i punken ().

22 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Maeaik-ua 5: Kuvgeoei (fo). Denna veko ha längden och vi infö beeckningen de () d d () κ = κ() = e d Denna ohe kalla bankuvan kökning i punken (). Vi infö enhevekon de () en = e n() =, κ() κ() d Denna kalla fö kuvan huvudnoal i punken (). κ () = å ä huvudnoalen ine enydig beäd. De gälle a e () e () =, e () e () =, [ L, ] n n n Vi kopleea angenvekon e och huvudnoalvekon e n ed en edje enheveko e b geno definiionen [ ] e () = e () e (), L, b n Vekon e b kalla binoalvekon. Dea innebä a ( e en e b) ä en HN-ba, kallad den nauliga baen höande ill kuvan. e b e e n C ρ () = L Kökningcikeln = k i j Rydkuva. Kökningcikeln adie, kökningadien ρ() = κ().

23 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva vi infö en HN-ba i, j, k kan vi kiva lägevekon fö en punk på kabeln = () = i () + jy () + k z (), L. Då gälle Spännkafen ge då av d() d() dy() dz() e ( ) = = i + j + k, L (3.) d d d d och däed d() dy() dz() T() = e () T() = i T() + j T() + k T() (3.) d d d d T() () () () = i d ( d T( )) + j d ( dy T( )) + k d ( dz T( )) d d d d d d d Med h= h() = ih () + jh () + k h () å få vi, enlig (3.8), jävikvillkoen y z d d() ( T ( )) + h = d d d dy() ( T ( )) + h y = d d d dz() ( T ( )) + h z = d d (3.) Anag a h () = h () = och a h() = q (). Då gälle a h() = j q () och däed gälle a z y den pända delen av linan ligge i e plan paallell ed y -aeln. Lå dea plan vaa - y -plane, d v z ( ) =, L. Ekvaionyee educea då ill d d() d() ( T( )) = T() = A d d d d dy() dy() ( T ()) + q () = T () = q() d + d d d (3.3) dä A och ä inegaionkonane. Vi noea a d( ) A= T ( ), d dy( ) = T ( ) (3.4) d Av (3.3) följe a d() dy() d() dy() ( T()) + ( T()) = (( ) + ( )) T() = A + ( q() d ) d d d d + Spännkafen ge ålede av = 3

24 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva och diffeenialekvaionena (3.3) kan kiva d() A A = = d T () A + ( q() d + ) och däed T () = A + ( q() d + ) (3.5), q() d + q() d + dy() = = d T () A + ( q() d + ) A () = () + d, A + ( q() d + ) q() d + y() = y() + d A + ( q() d + ) d( ) d() > följe av (3.4) a A> och däed >, L. Funkionen = () d d ä väande och ha en inve = ( ). Vi kan då kiva y= y () = y (()) = y ˆ() och de gälle a (Vi foäe hä a använda ybolen y i älle fö ŷ även o vi ända den obeoende vaiabeln fån ill.) dy() dy() d() dy() d() = = ( ) = d d d d d q() d + A ( ) = q() d A + A A + ( q() d + ) A + ( q() d + ) (3.6) Av dea följe a d y() q() d q(()) dy = = + ( ) (3.7) d A d A d vi infö vaiabeln dy p = (kabeln luning) å kan (3.7) kiva d dp q( ( )) = + p (3.8) d A Sepaaion av vaiablena ge ( p dy( ) = = q() d d A +, = ( ) ) A 4

25 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Vilke innebä a p dp + p p q( ( )) = ln( p + + p = d A (3.9) p p q( ( )) d A p+ + p = ( p + + p ) e (3.) I denna ekvaion ana belaningen q= q( ), L vaa en given funkion. Av (3.) följe a q( ( )) d A ( p ) p e + + p= p ( ) = q( ( )) d A p ( + + p) e (3.) The lengh of he cable i hen given by ( L) L = + p( ) d (3.) ( ) Eepel 3. Kedjelinjen (Caenay cable) eä jävikfoen fö en hoogen böjlig kabel o hänge i yngdkaffäle. Kabeln ha en yngd pe längdenhe lika ed µ. eä även pännkafen. g = j ( g) Figu 3.4 Kedjelinjen. Löning: Kabelkuvan ä plan, enlig Eepel 3.. Lå y-plane vaa kabeln plan ed y -aeln ikad ak uppå. Enlig föuäningana ä h =, hy = q = µ ( µ > och konan). Inäning i (3.) ge µ d µ A ( ) ( ) A ( ) p+ + p = p + + p e = p + + p e 5

26 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva vi äe = och ana a kodinayee ä å val a p = q() d A + = å följe A av (3.5) a T = T () = A + ( q() d + ) = A och och däed µ µ µ T T T dy e e µ p+ + p = e p= = = inh( ) d T µ T T µ p+ + p = e y = coh( ) + C µ T Med vale y ( ) = följe a T C = och däed ha vi jävikfoen fö kedjelinjen µ T µ y = (coh( ) ) (3.3) µ T Spännkafen ge av (3.5) ed A= T, = q() d Vi ha, enlig (3.6), T() = T + µ ( ) (3.4) dy T dy T = q( ) d + q( ) d = µ ( ) = + = + inh( µ ) d A A T µ d µ T (3.5) T µ T µ Av dea följe a = + inh( ( l)) = inh( l) och däed µ T µ T Spännkafen kan nu kiva T µ µ = ( ) = (inh( l ) + inh( )) (3.6) µ T T µ µ T( ) = T + inh ( ) = Tcoh( ) = T + µ y( ) (3.7) T T Längden av kedjelinjen ehålle ed ugångpunk fån (3.5) och Figu 3.4 6

27 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva T µ µ L= l ( A) = (inh( l) + inh( la)) (3.8) µ T T De ä öjlig a anpaa båglängdkoodinaen å a =, d v = ( ) =. Då gälle a A dä A, och L= + A. I å fall ge pännkafen av T() = T + µ Eepel 3.3 Hängbokuvan (aabolic cable) En hängbo ä konuead å a den hoionella bobanan ä upphängd i vå paallella kabla ed hjälp av e o anal, ä placeade veikala lino. eä kabelfoen unde föuäning a belaningen, på va och en av kablana, ä veikal och konan lika ed w pe hoionell längdenhe. eä även pännkafen. Se figuen nedan. d d wd Figu 3.5 Hängbo. Löning: Kabelkuvan ä plan enlig Eepel 3.. Lå y-plane vaa kabeln plan ed y -aeln d ikad ak uppå. Enlig föuäningana ä h =, hy = q = w, dä vi ana a d d d >. Då ge (3.7) d y q d d d w w d A d A d d A vilke o löning ha paabeln w y( ) = + b + c A = = = (3.9) dä bc, ä inegaionkonane. vi välje koodinayee å a y = och dy = å ehålle b= c= och hängbokuvan bli då 7 d = nä w y ( ) = (3.3) A

28 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Spännkafen ge av (3.3), d v d() d dy w T() = A T() = A = A + ( ) = A + ( ) d d d A Häav följe a A= T ( ) = T och vi kan då kiva och w T( ) = T ( ) + (3.3) T w y ( ) = (3.3) T Hängbokuvan båglängdkoodina w w T w w ( ) = + ( ) d = + ( ) + ln( + + ( ) ) T T w T T (3.33) Hängbokuvan längd bli då L = och = A = L L w T w w ( ) = + ( ) + ln( + + ( ) ) T w T T L L (3.34) oble 5/6 A cable uppo a load of 4kg unifoly diibued along he hoizonal and i upended fo wo fied poin A and locaed a hown. Calculae he cable enion a A and and he iniu enion T. Figu 3.6 oble 5/6. 8

29 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Löning: Vi infö e kodinaye enlig Figu 3.7 nedan. Koodinaena fö punkena A och ge av ( A, ) och (, ) dä A =. Kabelfoen ge av (3.3), dä w = 4kg g, dv w w = A ( ) T = T, w = (3.34) T Dea ge ekvaionen = ( ) 4 + = = = = 4. 4 A w Av (3.34) följe a T = = ( 58. 6) = 33. 7kN och av (3.3) följe a 4 4 wa ( 4. 4) TA = T ( A) = T + ( ) = 33. 7kN + ( ) = 37. 4kN T 337 w ) T = T ( ) = T + ( ) = 33. 7kN + ( ) = 4. 8kN T 337 y T T A Figu 3.7 Löning 5/6. oble 5/69 Find he oal lengh L of he chain which will have a ag of when upended fo wo poin on he ae hoizonal line apa. Figu 3.8 oble 5/69. Löning: Vi infö e kodinaye enlig Figu 3.9 nedan. Enlig (3.3) 9

30 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva T µ µ µ = (coh( 5) ) coh( 5) = + µ T T T Denna ekvaion löe nueik (Malab!) och ge löningen = Av (3.3) följe ed µ l = l = 5. A T µ 5 L = inh( la) = 6. 56inh( ) =. µ T y T Figu 3.9 Löning 5/69 = 5 3

31 Mekanik, Del, Saik- och aikeldynaik 4, Ugåva Saanfaning: öjliga kabla Jävikekvaionen: Kedjelinjen ( = ) d d() ( T ( )) + h = d d d( e T()) d dy() + h() = ( T()) + hy = d d d d dz() ( T ( )) + h z = d d Hängbokuvan T µ T µ y = (coh( ) ), = inh( ) µ T µ T µ T() = T + µ, T( ) = Tcoh( ) = T + µ y( ) T w w y ( ) =, ( ) = ( ) d T + T w T( ) = T ( ) + T 3