1. Definiera i en figur summan av två vektorer a och b. Visa i samma figur att a + b = b + a. b får skrivas som en determinant.

Transkript

1 Teoifågo Fya av edasåede eiofya fågo ugö eoidele av eame. Va oc e av de vå koollskivigaa beså av sex fågo få de edasåede. 1. Defiiea i e figu summa av vå vekoe a oc b. Visa i samma figu a a + b = b + a.. E veko a = ( a, a, a ) ä give i e Caesisk koodiasysem. Uyck vekos belopp a i dess Caesiska kompoee. Age uycke fö e eesveko ikig som veko a. e a, som a samma 3. Två vekoe a oc b sam vikel α mella dessa ä giva. Age defiiioe av skaläpoduke a boc vekopoduke a b. Ria figue. 4. Två vekoe a = ( a, a, a ) oc b = ( b, b, b ) ä giva. Uyck podukea a b oc a b i de giva vekoeas Caesiska kompoee. Vekopoduke a b få skivas som e deemia. 5. Age de geomeiska olkige av vekopoduke a b oc ippelpoduke a ( b c). Ria figue. 6. E paikel ö sig i e Caesisk koodiasysem ( x, yz, ) lägs e kuva beecka id. Defiiea paikels asige v oc dess acceleaio a. 7. E 3D kuva ä i e Caesisk koodiasysem give på följade fom = ( s), dä ä osveko oc s ä kuvas båglägd, äkad få e give fix puk på kuva. Visa, gäa med e figu, a veko e( s) = ( s), dä ' beecka deivaa med avseede på s, a beloppe 1 oc ä ikad lägs kuvas age. Visa dessuom a e ( s) e ( s) oc, fö de () fall kuva ligge i e pla, a veko e ( s) ä ikad mo kuvas kokava sida. 8. De soee, som föekomme i dea uppgif, defiieas i föegåede uppgif. Beaka e D kuva = ( s). Appoximea kuva lokal med e cikel, vas adie ä ρ, oc visa med 1 jälp av e figu a e () s = ρ oc således a ma ka skiva e ( s) = e ( s) / ρ dä e ( s ) ä e eesveko, ikad mo kuvas kokava sida. 9. E paikel ö sig lägs e kuva = ( s) i D. Paikels läge på kuva vid ide ges av fukioe s = s(). Visa, med avädig av de fomle, som äles i fågoa 7 oc 8, a paikels asige v ( s ( )) oc acceleaio a( s ( )) ges av uycke v = s e espekive a= se + s e / ρ. dä

2 10. E bil ö sig i e pla cikelöelse i e Caesisk koodiasysem ( x, yz., ) Cikels medelpuk ligge i oigo oc dess adie ä b. Biles läge på cikel ges av vikel θ ( ), dä beecka id, mella adie få oigo ill bile oc x-axel. Beäka asigee v oc acceleaioe a fö biles öelse som fukio av θ ( ) oc dess deivao. Beäka äve beloppe av vekoea a oc v. 11. Beaka e D Caesisk koodiasysem( x, y ) med eesvekoea e oc e oc e polä koodiasysem(, θ ) med eesvekoea e oc e θ. Häled sambade e = cosθe + siθe oc e = siθe + cosθe. Age uycke fö osveko i poläa x y θ x koodiae. Aag vidae a de poläa koodiaea fö e paikels läge ä fukioe av ide oc äled uycke e = θeθ oc e θ = θe. 1. Häled uycke fö asige oc acceleaio i cylidekoodiae fö öelse i 3D, dvs. visa a = v = e + θeθ + z e oc z = a= ( θ ) e + ( θ + θ) eθ + zez. Du få ä fi aväda de fomle, som Du skulle äleda i uppgif äve om Du ie gjo uppgif. 13. Age ieböde av Newos ada oc edje laga. Ge gäa ågo elle åga exempel. 14. Beaka e s.k. maemaisk pedel, dvs. e paikel med massa m ä fäs i ea äde av e söe vas ada äde ålls vid e fix puk. Söes lägd ä l. m söe ä säck komme paikel a öa sig ude iveka av ygdkafe mg oc söspäige S. Säll upp öelseekvaioea i poläa koodiae. 15. E backkös kou appoximeas med e alvcikelbåge. Få vila på köes opp böja e vag ulla ufö köe ude ygdkafes iveka. Säll upp öelseekvaioea i poläa koodiae fö vages öelse. Muliplicea e av dessa ekvaioe med θ oc iegea de så eålla ekvaioe med avseede på ide fö a beäka θ som fukio av θ. Fomulea e villko fö a vage skall läa få väge ufö köe oc beäka de vikel fö vilke dea ske. 16. E ak såg oea i e oisoalpla med vikelasigeeω. E ylsa på såge ka ua fikio öa sig lägs såge. Säll upp öelseekvaioea fö ylsa i e plapolä koodiasysem. Beäka ylsas adiella öelse fö de fall då begyelsevillkoe (fö ide = 0) ä (0) = 0 oc (0) = 0. Beäka slulige de oisoella omalkafe få såge på ylsa. 17. E paikel, vas massa ä m, ö sig i e kaffäl F, som i de allmäa falle beo av både ide oc paikels läge. Defiiea de abee U1, som kaffäle ufö på paikel, om dea föflyas mella pukea 1 oc. Beäka U1 om F = mg(0,0, 1) dä g ä ygdacceleaioe. Beäka dessuom U1 fö pla öelse om, i plapoläa koodiae, F= k ( l0) e dä k oc l 0 ä kosae. Vilke mekaisk aodig beskivs av de sisämda kaffäle? y x y

3 18. Häled lage om kieiska eegi fö e paikels öelse () ude iveka av e kaf F, dvs. 1 mv v mv v F d = Age föusäige fö a ma, fö e give kaffäl F, ka defiiea kaffäles poeiella eegi V() oc age defiiioe av V. Aväd lage om kieiska eegi, se uppgif 10, fö a visa a summa av kieisk oc poeiell eegi ä kosa. Vafö ka ma välja e godycklig efeesivå fö de poeiella eegi V? Age de poeiella eegi fö ygdkaffäle oc fö e lijä fjäde. 0. De allmäa gaviaioskafe mella vå masso m oc M ges av fomel mm F= G e dä G ä de allmäa gaviaioskosae oc ä avsåde mella massoa. Beäka dea kaffäls poeiella eegi. 1. I e 3D Caesisk koodiasysem agipe e kaf F i puke. Defiiea kafes mome M med avseede på koodiasysemes oigo. Beäka M fö falle = ( x,0, z) oc F = ( Fx,0, Fz ). Kig vilke axel vide kafe F i dea fall? Vad iebä ikige av veko i dea exempel? M. E paikel med massa m ö sig lägs baa ( ) med asigee = v. Defiiea paikels öelsemägdsmome H med avseede på oigo. Visa dessuom a fö falle pla öelse i x-y-plae gälle a H = m θ e z dä oc θ ä poläa koodiae. Visa slulige a, i e allmä fall i 3D, H = M. 3. Riga i de äa aleaive i följade påsåede. Begeppe fii aväds ä som e mellaig mella vå agiva yeligee. Fö e söfölopp mella vå fasa koppa gälle a i. koakide ä ko fii låg ii. lägesädiga ä små fiia soa iii. ädiga i asige ä små fiia soa iv. ädiga i acceleaio ä små fiia soa v. koakkafe ä små fiia soa vi. ye kafe ä fösumbaa ej fösumbaa 4. Visa a vå koppas sammalagda öelsemägd ä oföädad vid e ak sö, dvs. båda koppaas öelse föe oc efe söe äge um lägs e oc samma axel. 5. Defiiea begeppe cealöelse oc sekoasige. Visa a bakuva vid cealöelse ä pla. 6. E plae med massa m ö sig kig e sol med massa M. Röelses dubbla sekoasige ä oc G ä de allmäa gaviaioskosae. I e polä koodiasysem fie ma följade uyck fö plaees bakuva

4 = dä e ä e dimesioslös paamee. Vad kallas paamee e oc vilka kuvo beskive fomel fö olika väde på e? 7. E plae med massa m ö sig kig e sol med massa M. Röelses dubbla sekoasige ä oc G ä de allmäa gaviaioskosae. I e polä koodiasysem fie ma följade uyck fö plaees bakuva = dä e ä e dimesioslös paamee. Vad kallas paamee e oc vilka kuvo beskive fomel fö olika väde på e? 8. E amaöasoom a vå gåge beäka omloppside τ fö e plaes öelse kig e sol me, p.g.a. e äkefel (såda äde oss alla), fui vå olika sva 3 3/ a a τ = π oc τ = π GM GM Aväd dimesiosaalys fö a besämma vilke av dessa fomle som ä koek. Ledig: Fö de allmäa gaviaioskosae G gälle a G = gr M 1 dä g ä jodes ygdacceleaio, R ä jodadie oc M jodes massa. 9. Säll upp öelseekvaioea fö e maemaisk pedel vas massa ä m oc lägd ä l. Föekla ekvaioea ude aagade a pedels uslagsvikel θ ä lie. Age fomel fö öelses vikelfekves ω oc peiod T. 30. E plae med massa m ö sig kig e sol med massa M. Röelses dubbla sekoasige ä oc G ä de allmäa gaviaioskosae. I e polä koodiasysem fie ma följade uyck fö plaees bakuva = dä e ä e dimesioslös paamee. Vad kallas paamee e oc vilka kuvo beskive fomel fö olika väde på e? 31. Säll upp öelseekvaioe fö e kopp, vas massa ä m, som ö sig lägs x-axel ude iveka av e fjädekaf kx, dvs. fjäde ä ospäd då koppe befie sig i oigo. Age fomel fö öelses vikelfekves ω oc peiod T. 3. Beskiv, i kvaliaiva eme, begeppe fi oc påvigad svägig sam begeppe esoas. 33. Lösige ill diffeeialekvaioe x+ ςωx + ωx = 0 beskive e fi dämpad svägigsöelse. ω ä vikelfekvese fö de odämpade svägige ( ς = 0 ) oc de dimesioslösa paamee ς age dämpmekaismes syka. Beskiv i koe oc illusea gäa med figue svägiges egeskape fö falle ς < 1, ς = 1 oc ς > 1. Vad meas med s.k. kiisk dämpig? Age fö falle ς < 1 u de dämpade svägiges vikelfekves beo av ς.

5 34. Lösige ill diffeeialekvaioe x + ω x = aω siω beskive e påvigad svägig. Häled e paikulälösig fö falle ω ω. Vafö ä lösige oealisisk fö ω = ω? Beskiv kvaliaiv u dea oealisiska paikulälösig ädas om ma lägge ill e svag dämpade lijä mekaism i de svägade syseme, vilke iebä a ekvaioe modifieas ill x + ςωx + ωx = aω siω dä ς 1.