Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR TALFÖLJDER Dfiitio a: E talföljd är rll (llr koml) fuktio vars dfiitiosmägd är mägd av aturliga tal {0,,,,4, } Eml f ( ) = +, = 0,,,, är talföljd + Ma brukar utvidga dfiitio till fuktio dfiirad å hla tal Dfiitio b: E talföljd är fuktio vars dfiitiosmägd är mägd av hla tal {, +, +, } Eml ( ) f ( ) =, =,,, är talföljd Eml f ( ) = +, =,,0,,,, är talföljd + Sida av 7
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR BETECKNINGAR: Vi avädr oftast btckig a iställt för f () Vi avädr äv följad btckigssätt: f ( ), f (), f (),, f ( ), a a, a,, a,, a, =,,, ( ) = a llr ( a ) ( Obsrvra att lmt i talföljd bhövr it vara lika) Emlvis Talföljd ( ) f ( ) = =,,, ka vi ag å flra sätt ( ) a=, =,,,,, ( ),,, llr ( ) = Sida av 7
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DEFINITIONEN AV GRÄNSVÄRDE AV EN TALFÖLJD Vi har tidigar dfiirad gräsvärd av fuktio då går mot ligt följad : Dfiitio (Gräsvärd av fuktio) Vi sägr att fuktio f(), som är dfiirad å tt itrvall [b, ), har gräsvärdt A då går mot +, om dt fis tt tal A så att följad gällr: Till varj ε > 0 fis dt tt tal M > 0 så att > M f ( ) A < ε Vi skrivr då f ( ) = A På likad sätt dfiirar vi gräsvärd av talföljd då går mot : Dfiitio (Gräsvärd av talföljd) Vi sägr att talföljd f(), =,,, har gräsvärdt A då går mot +, om dt fis tt tal A så att följad gällr: Till varj ε > 0 fis dt tt tal M > 0 så att Vi skrivr då > M f ( ) A < ε f ( ) = A I dtta fall sägr vi att talföljd kovrgrar mot talt A Notra att f ( ) A < ε är kvivalt md A ε < f ( ) < A + ε På likad sätt dfiirar vi och f ( ) = f ( ) = (om dtta gällr sägr vi att talföljd f() divrgrar mot ) (om dtta gällr sägr vi att talföljd f() divrgrar mot ) Notra att f() ka divrgra uta att gå mot llr Emlvis talföljd =, =,,, f ( ) ( ) sakar gräsvärd går mot (Talföljd,,,,,, oscillrar mlla och ) ------------------------------------------------------------------------------ Sida av 7
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Frå ovaståd dfiitior har vi omdlbart följad satts: Sats Om Om Om f ( ) = A så är f ( ) = A f ( ) = f ( ) = så är så är f ( ) = f ( ) = Amärkig: Notra att sats sägr igtig om fallt där f ( ) it istrar Emlvis cos(π ) istrar it mda för aturligt tal gällr cos(π ) = = Frå Sats och motsvarad satsr om mootoa fuktior har vi följad satsr för talföljdr(satsra ka också bvisas dirkt) Sats a Om talföljd f () är väad och bgräsad oåt för > (ågot tal 0 ) då är f () kovrgt ( dvs f ( ) = A där A är tt tal) Sats b Om talföljd f () är avtagad och bgräsad dåt för > (ågot tal 0 ) då är f () kovrgt ( dvs f ( ) = A där A är tt tal) Eml 4 Frå följad gräsvärd a) = 0 + = + l = 0 d) = 0 ) = 0 ( där två sista ka bräkas md l Hositals rgl) får vi ligt sats följad rsultat för motsvarad talföljdr: a) = 0 + = + l = 0 d) = 0 ) = 0 Md hjäl av dfiitio har vi följad räkrglr: Sida 4 av 7
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räkrglr: Om f ( ) = 0 och fuktio g() är bgräsad för 0 [dvs dt fis tt kostat tal M så att gg() MMi omgivig] då gällr f ( ) g( ) = 0 Om f ( ) = A och g( ) = B, där A och B är rlla tal, då gällr : ( f ( ) + g( )) = A + B ( f ( ) g( )) = AB f ( ) A ( ) = om B 0 g( ) B Om f ( ) g( ) då är ( f ( )) ( g( )), om gräsvärda istrar ------------------------------------------------------------------------- Viktiga stadardgräsvärd: a 0 om a < om a = = om a > istrar j om a <, a) + =, + = l = 0, >0, rllt tal 4a) = 0, a>, rllt tal därmd 4 = 0, rllt tal a a = 0! Sida av 7
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR! 6 = 0 7a) = 7 a = om a>0 7 0 = 0 Gräsvärda till 6 visar sk domiat kovrgs som vi avädr är vi bräkar bladad gräsvärd Vi sr t att att vär sabbar ä och att, >0 vär sabbar ä l( ) då går mot Här är ofta förkommad fuktior som vi ordad å så sätt att domirad fuktior liggr till högr frå d som vär lågsammar då går mot l, /, /,, 4,,,,,,,!, Eml Bräka + l + + + + l + + 8 Lösig: Vi brytr ut domirad trmr i täljar och ämar, i vårt fall Vi har l ( + + + ) l ( + + + + 8) (förkorta) l + + + 0 + = = (stadardgrämsvärd) = = l 0 + 8 + + + + 8 8 Ugift a) + + + + + 7 + 4 + + d) + + + + 4 + Svar: a) / 0 d) 0 Ugift a) + + l + + + l + + + 4 Sida 6 av 7
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR + + 4 d) + + + + + 4l Svar: a) / 0 d) /6 Ugift Aväd och sats och stadardgräsvärda + =, och + = för att bräka gräsvärd a) + + + + + Svar: a) d) Ugift 4 Aväd och sats och l Hositals rgl för att bräka gräsvärd l( + ) a) si( ), arcta( ) + Svar: a) 0 / Sida 7 av 7