FÖ 5: K.6 fr.o.m. sid. Idutiosevis Fultet och iomiloefficieter Defiitio v! "-fultet" och iomiloefficieter " över " Disussio och evis v egeser.7 och.8. och.7 för ll =,,,...,.8 Av.8 följer t.e. tt, och Disussio och evis v egese.9: för och =,,..., - Av.9 följer t.e. tt, och
Formulerig och evis v iomilstse: för ll N. I iomilutveclige v sll vi vis tt dett gäller för ll N. För tt eviset s li översådligre ehövs följde SATS, där vi sätter = och =. SATS: för ll N. Med hjäl v ågr omsrivigr och de SATS vi evis iomilstse ov: V.S.V., SATS ov Eligt Bevis v SATS Am: Beviset är svårt och sll/ i vrje fll ite läss förrä idutiosevis ed är erett. Vi evisr dett med idutio se FÖ 5. Vi sll lltså vis tt V = H för ll N STEG : P: V = = H =!!! Alltså V = H d. v. s. P är st. STEG : Vi tr tt P är st d. v. s. för ågot gäller det tt V = H Dett medför tt V + = + + = + + * = summ dr de i mot yt Me om vi u väder smdet.9 och det ftum tt hr vi
V+ = = H + Alltså P st P + st STEG Efter P är st måste eligt STEG äve P vr st, med det ieär ju äve eligt STEG tt P är st o. s. v. och vi drr de ösde slutstse: för ll N och SATSEN är evisd. Pscls trigel med symmetriegeser
Eemel 5 5 c y Eemel 5 Bestäm oefficiete för och i utveclige v 7
Idutiosevis Idutiosevis illustrers vi Eemel 6 ed Bevis v summformel för ritmetis summ med hjäl v ett idutiosevis Eemel 7 Eemel å e olihet som eviss med idutio:, Z, Eemel 8 Det föreommer då och då tt m härleder stser med hjäl v s.. idutio. I rici går m till väg så här: M hr e följd åståede Po, Po +,... och m vill vis tt P är st för ll heltl o. Beviset ser i tre STEG. STEG : M visr tt Po är st. STEG : M visr tt för vrje o gäller det tt om P är st, så är äve P + st. STEG : M drr de ösde slutstse ämlige tt P är st för ll heltl o. Vi s illustrer teie med hjäl v ågr eemel. Vi väder etecige " " e.d. då vi tr det s.. "idutiossteget", som är de vitigste dele v STEG. * Eemel 6 Bevis tt för ll Z, gäller P: Lösig : Vi iför etecigr V och H för resetive väster- och högerled i åståedet P ov. d.v.s. V = och H =. STEG : P : V = med H = = Alltså är V = H och P är st. STEG : Vi tr tt P är st för ågot Z, d. v. s. V = H Dett medför tt V + = * Termer med t.o.m. Terme med + + = + = H + och därv följer tt äve P + är st, d.v.s. vi hr vist tt P st P + st.
STEG : Eftersom P är st måste eligt STEG äve P vr st, me det ieär äve tt P är st o. s. v. och vi dr de ösde slutstse: gäller för ll Z.
Eemel 7 Bevis v summformel för ritmetis summ med hjäl v ett idutiosevis. Bevis: d Vi s evis tt P: V = i d H gäller för ll Z. i STEG : P: V = i d H = i Alltså V = H d. v. s. P gäller. STEG : Vi tr tt P gäller för godtycligt fit tl Z d.v.s. d V = i d H Dett medför tt i V i d i d d i i d d d d d d d * Dessutom hr vi H + = d d d.v.s. V = H V + = H + STEG Eligt steg gäller åståedet för =. Då gäller det eligt steg äve för = + =. Me då gäller det äve för = + = o.s.v. Vi mtemtis idutio hr vi lltså tt åståedet gäller för ll Z, v.s.v.
Eemel 8 Vi sll vis vi idutio tt smdet gäller för ll Z och. Bevis: I. För får vi VL = Alltså hr vi VL HL för. HL II. Atg tt smdet gäller för, d.v.s. Studer u fllet. Vi får då: eligt tgdet och eftersom Me eftersom är ett ositivt heltl och. Således gäller gäller för. d.v.s. smdet gäller för om det III. Vi hr vist tt åståedet gäller för. El. II gäller åståedet då för, och då gäller det för o.s.v. Vi mtemtis idutio gäller således om tt för ll Z, v.s.v.