SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Iehållsförteckig Grudläggade saolikhetsteori... 4 Mägdlära... 4 De Morgas lagar... 4 Kolmogorovs axiom... 4 Regler... 5 Klassisk saolikhet... 5 Kombiatorik... 5 Betigad saolikhet... 6 Regler... 6 Lage om total saolikhet... 6 Bayes sats... 6 Oberoede hädelser... 6 Diskreta stokastiska variabler (slumpvariabler)... 7 Saolikhetsfuktio... 7 Fördeligsfuktio... 7 Vätevärde och varias... 8 Diskreta fördeligar... 8 Kotiuerliga stokastiska variabler (slumpvariabler)... 9 Täthetsfuktio... 9 Fördeligsfuktio... 9 Vätevärde och varias... 10 Kotiuerliga fördeligar... 10 Stadardiserad ormalfördelig... 10 Regler för ormalfördelig... 10 Diskreta tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y)...11 Simulta saolikhetsfuktio... 11 Fördeligsfuktio... 11 Margiella saolikhetsfuktioer... 11 Margiella fördeligsfuktioer... 11 Oberoede s.v....11 Kotiuerliga tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y)... 12 Simulta täthetsfuktio... 12 Fördeligsfuktio... 12 Margiella täthetsfuktioer... 12 Margiella fördeligsfuktioer... 12 Oberoede s.v.... 12 Sida 2 av 16

Tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y)... 13 Vätevärde... 13 Varias... 13 Kovarias... 13 Korrelatio... 13 Simultaa fördeligar av oberoede s.v. (Χ, Y)... 14 Betigade fördeligar... 14 Betigad saolikhetsfuktio för diskreta s.v... 14 Betigad täthetsfuktio för kotiuerliga s.v.... 14 Betigat vätevärde... 14 Avädbara olikheter... 14 Summor av oberoede stokastiska variabler... 15 Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler... 15 Stora tales lag... 15 Cetrala gräsvärdessatse (CGS)... 16 Sida 3 av 16

Grudläggade saolikhetsteori Defiitio Beteckig Betydelse Exempel Utfall Resultatet av ett slumpmässigt försök kroa Hädelse A, B, C, Samlig av utfall A = "högst 1 kroa" Utfallsrum Ω Mägde av möjliga utfall Ω = kroa,klave Mägdlära Defiitio Beteckig Betydelse Övrigt Komplemet A A iträffar ite A = A Uio A B A eller B eller båda A A = Ω Sitt A B A och B A A = Disjuktio A B = A och B ka ite iträffa samtidigt Kallas också parvis oföreliga De Morgas lagar A B C = A B A C A B C = A B A C A 1 A 2 A 3 A = A 1 A 2 A 3 A A 1 A 2 A 3 A = A 1 A 2 A 3 A Kolmogorovs axiom 1. För varje hädelse A gäller att: o 0 P A 1 2. För hela utfallsrummet Ω gäller att: o P Ω = 1 3. Om A, B, är e ädlig eller uppräkeligt oädlig följd av disjukta hädelser gäller att: o P A B = P A + P B + Sida 4 av 16

Regler Beskrivig Beteckig Komplemetsatse P A = 1 P(A) Omöjliga hädelse P = 0 Additiossatse för två hädelser P A B = P A + P B P(A B) Additiossatse för två oberoede hädelser P A B = P A + P B Om A B (dvs A B) P A P B Booles olikhet P A B P A + P B Klassisk saolikhet Atag att det i Ω fis m st utfall, x 1,x 2,, x m ( m = möjliga utfall ) Om varje utfall frå ett försök har samma saolikhet, dvs P x i = 1 m, i = 1,, m o så föreligger ett likformigt saolikhetsmått. Atag därefter att hädelse A har g st utfall ( g = gysamma utfall ) Då är P A = g atal gysamma utfall = m atal möjliga utfall OBS: Täk på att g och m bör beräkas på samma sätt (med avseede på häsy till ordig ) Kombiatorik Multiplikatiospricipe Om åtgärd 1 ka utföras på a 1 olika sätt och åtgärd 2 ka utföras på a 2 olika sätt, osv. så fis det a 1 a 2 sätt att utföra båda åtgärder. Atal sätt att välja k st elemet ur st elemet: Dragig med återläggig Dragig uta återläggig Med häsy till ordig k 1 k + 1 =! Uta häsy till ordig + k 1 k! k! k! = k Sida 5 av 16

Betigad saolikhet P B A = P A B P(A), givet att P A > 0 Betydelse: P B A är de betigade saolikhete för B, givet att A har iträffat. Regler Beskrivig Komplemetsatse Additiossatse (för två hädelser B och C, givet A) P B A = 1 P(B A) Beteckig P B C A = P(B A) + P(C A) P B C A Lage om total saolikhet B 1,, B disjukta hädelser B 1 B = Ω, dvs i ett försök iträffar precis e av hädelsera Då gäller, för varje hädelse A, där A Ω: P A = P(B i ) P(A B i ) i=1 Bayes sats B 1,, B disjukta hädelser B 1 B = Ω, dvs i ett försök iträffar precis e av hädelsera Då gäller, för varje hädelse A, där A Ω: P B i A = P(A B i ) P(B i ) P(A) eller ekvivalet: P F i A = P(A B i ) P(B i ) P(B i ) P(A B i ) i=1 Oberoede hädelser Om P A B = P(A) P(B) så är A och B oberoede hädelser Betydelse: Om P B A = P(B), dvs saolikhete för B är desamma oavsett om A iträffar eller ej, så ka A och B ases vara oberoede. Då blir: P B A = P A B P(A) Krav för tre oberoede hädelser: P B = P A B P(A) P A B = P(A) P(B) P A B = P(A) P(B) P A C = P(A) P(C) P B C = P(B) P(C) P A B C = P(A) P(B) P(C) Sida 6 av 16

Diskreta stokastiska variabler (slumpvariabler) E diskret s.v. Χ Är e fuktio frå utfallsrummet Ω till R, dvs Χ: Ω R Atar edast ädligt eller uppräkeligt oädligt måga olika värde Returerar ett tal som bestäms av ett utfall Saolikhetsfuktio p Χ k = P(Χ = k) för alla möjliga värde k som Χ ka ata Betydelse: Saolikhetsfuktioe returerar saolikhete för utfallet k (dvs. saolikhete att Χ atar värdet k) Egeskaper: p Χ k 0 för alla k Χ Ω k Χ Ω p Χ k = 1 P Χ A = p Χ k k A Fördeligsfuktio F Χ x = P Χ x, x R Betydelse: Fördeligsfuktioe returerar saolikhete att få ett värde som är midre ä eller lika med x Egeskaper: F Χ x 0,då x 1,då x + F Χ x = p Χ k k Χ Ω : k x F Χ x är icke-avtagade P Χ > x = 1 F Χ x F Χ x är högerkotiuerlig F Χ k F Χ k 1 = p Χ k för alla k Χ Ω Sida 7 av 16

Vätevärde och varias Vätevärde (μ) Varias (σ 2 ) Defiitio E Χ = k p Χ k Tolkig k Χ Ω Medelvärdet med avseede på fördelige av Χ. Vad vi ka förväta oss att Χ blir på ett ugefär. V Χ = k 2 p Χ k k Χ Ω E Χ 2 Hur saolikhetsmassa är kocetrerad krig vätevärdet. Hur utspritt det är. Regler E Χ 2 = k Χ Ω k 2 p Χ k E aχ + b = a E Χ + b E g(χ) = k Χ Ω g(k) p Χ k V Χ = E Χ 2 E Χ 2 V aχ + b = a 2 V X Stadardavvikelse D(X) = V X Diskreta fördeligar Fördelig Beteckig Situatio Saolikhetsfuktio Biomialfördelig Bi, p st oberoede försök där e hädelse A iträffar med saolikhet p. p Χ k = k pk 1 p k k = 0,1,, Hypergeometrisk fördelig Hyp N,, p Stor mägd med N st elemet av två typer, Np st av de ea och N(1 p) av de adra, välj ut st elemet och räka atalet som är av första type. p Χ k = Np k N 1 p k N k k = 0,1,, Np Poisso-fördelig Po λ Hädelser som iträffar slumpmässigt i tide med e viss itesitet λ > 0. p Χ k = λk k! e λ k = 0,1,, Sida 8 av 16

Kotiuerliga stokastiska variabler (slumpvariabler) E kotiuerlig s.v. Χ Är e fuktio frå utfallsrummet Ω till R, dvs Χ: Ω R Ka ata alla värde i ett itervall eller e uio av itervall. Täk kotiuum. Returerar ett tal som bestäms av ett utfall Täthetsfuktio Om det fis e fuktio f Χ : R [0, [ såda att P a < Χ < b = a b f Χ x dx för alla itervall (a, b) R så kallas f Χ x täthetsfuktioe för Χ OBS: P a < Χ < b = P a < Χ b om Χ är kotiuerlig. Betydelse: Täthetsfuktio ager hur mycket saolikhetsmassa det fis per lägdehet i pukte x. Nödvädiga egeskaper: f Χ x 0 för alla x R f Χ x dx = 1 Fördeligsfuktio F Χ x = P Χ x = P < Χ x = x f Χ t dt, x R Betydelse: Fördeligsfuktioe returerar saolikhete att få ett värde som är midre ä eller lika med x Egeskaper: F Χ x 0,då x 1,då x + F Χ x är icke-avtagade I alla pukter där f Χ x är kotiuerlig gäller att F Χ x = d dx F Χ x = f Χ x F Χ x är kotiuerlig överallt (itegralkalkyles huvudsats) P a < Χ b = b f Χ t a dt = F Χ b F Χ a, a < b Sida 9 av 16

Vätevärde och varias Defiitio E Χ = x f Χ x Tolkig Vätevärde (μ) Varias (σ 2 ) Medelvärdet med avseede på fördelige av Χ. Vad vi ka förväta oss att Χ blir på ett ugefär. dx V Χ = x 2 f Χ x dx E Χ 2 Hur saolikhetsmassa är kocetrerad krig vätevärdet. Hur utspritt det är. Regler E Χ 2 = x 2 f Χ x dx E aχ + b = a E Χ + b E g(χ) = g(x) f Χ x dx V Χ = E Χ 2 E Χ 2 V aχ + b = a 2 V X Stadardavvikelse D(X) = V X Kotiuerliga fördeligar Fördelig Beteckig Situatio Täthetsfuktio Rektagelfördelig Likformig fördelig Normalfördelig Re a, b U a,b N μ, ς Allt är lika saolikt f Χ x = Aväds ofta då variabler har okäd fördelig (se CGS) f Χ x = 1 ς 2π e 1 b a, a < x < b 0, aars x μ 2 2ς 2, x R Expoetialfördelig Exp λ Expoetiellt avtagade f Χ x = λ e λx, x 0 0, aars Stadardiserad ormalfördelig Låt Φ y vara (de fyrkatiga) fördeligsfuktioe för Y~N 0,1, dvs y y 1 t 2 Φ y = f Χ t dt = 2 dt 2π e Låt X vara e s.v. med vätevärde μ och stadardavvikelse ς, dvs. X~N μ,ς Då kallas Y = Χ μ e stadardiserad s.v. och Y~N 0,1 ς P a < X b = P a μ ς X μ b μ < ς ς = P a μ ς b μ < Y ς = Φ b μ ς Φ a μ ς Regler för ormalfördelig Atag att a > 0, b > 0 och Χ~N 0,1 Då gäller: Regel P Χ a = = Φ a = 1 Φ a P Χ > a = = 1 P Χ a = 1 Φ a P a < Χ b = = Φ b Φ a = Φ b 1 Φ a = Φ b + Φ a 1 Exempel P Χ 2 = = Φ 2 = 1 Φ 2 P Χ > 3 = = 1 P Χ 3 = 1 Φ 3 P 2 < Χ 3 = = Φ 3 Φ 2 = Φ 3 1 Φ 2 = Φ 3 + Φ 2 1 Sida 10 av 16

Diskreta tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Simulta saolikhetsfuktio p Χ,Y x,y = P(Χ = x, Y = y) för alla möjliga värde x och y som Χ respektive Y ka ata Egeskaper: p Χ,Y x, y 0 för alla x, y y=0 x=0 p Χ,Y x, y = 1 P Χ, Y A = p Χ,Y x, y x,y A Fördeligsfuktio F Χ,Y x, y = P Χ x, Y y = p Χ,Y x, y Margiella saolikhetsfuktioer y Y x X p Χ x = För Χ y=0 p Χ,Y x, y Håll x fixt, summera över alla y, dvs. p x 2 = p Χ,Y 2,0 + p Χ,Y 2,1 + p Χ,Y 2,2 + p Y y = För Y x=0 p Χ,Y x, y Håll y fixt, summera över alla x, dvs. p Y 2 = p Χ,Y 0,2 + p Χ,Y 1,2 + p Χ,Y 2,2 + Margiella fördeligsfuktioer För Χ För Y F Χ x = p Χ x = p Χ,Y x, y F Y y = p Y y = p Χ,Y x, y x=0 x=0 y =0 y =0 y =0 x=0 Summera Χ:s margiella saolikhetsfuktioer över alla x Summera Y:s margiella saolikhetsfuktioer över alla y Oberoede s.v. Två diskreta s.v. Χ och Y kallas oberoede om ågo av följade gäller (för alla möjliga x och y) p Χ,Y x,y = p X (x) p Y (y) F Χ,Y x, y = F Χ x F Y y Sida 11 av 16

Kotiuerliga tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Simulta täthetsfuktio Om det fis e fuktio f Χ,Y x,y såda att P Χ, Y A = f Χ,Y x, y A dx dy för alla A R 2 så kallas f Χ,Y x,y täthetsfuktioe för Χ, Y Nödvädiga egeskaper: f Χ,Y x, y 0 för alla x,y R 2 f Χ,Y x, y dx dy = 1 Fördeligsfuktio F Χ,Y x, y = P Χ x, Y y = y x f Χ,Y u, v du dv Margiella täthetsfuktioer För Χ f Χ x = f Χ,Y x,y Håll x fixt & itegrera över y så fås e fuktio av x, dvs. f x 2 = f Χ,Y 2, y dy För Y dy, x R f Y y = f Χ,Y x, y dx, y R Håll y fixt & itegrera över x så fås e fuktio av y, dvs. f Y 2 = f Χ,Y x,2 dx Margiella fördeligsfuktioer För Χ För Y F Χ x = f Χ x dx = f Χ,Y x, y dy dx F Y y = f Y y dy = f Χ,Y x, y dx dy Itegrera margiella täthetsfuktioe för Χ över alla x Itegrera margiella täthetsfuktioe för Y över alla y Oberoede s.v. Två kotiuerliga s.v. Χ och Y kallas oberoede om ågo av följade gäller (för alla möjliga x och y) f Χ,Y x, y = f X (x) f Y (y) F Χ,Y x, y = F Χ x F Y y Sida 12 av 16

Tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Vätevärde E g Χ, Y = Regler: x=0 y=0 g x, y p Χ,Y x, y, (diskreta s.v. ) g x, y f Χ,Y x, y dx dy, (kotiuerliga s. v. ) E X + Y = E X + E Y E ax + by + c = a E X + b E Y + c E X Y = E X E Y om Χ och Y är oberoede Varias Regler: V X + Y = V X + 2 Cov X,Y + V Y V ax + by + c = a 2 V X + 2ab Cov X,Y + b 2 V Y V X + Y = V X + V Y om Χ och Y är oberoede Kovarias Cov Χ,Y = E Χ Y E Χ E Y Regler: Cov X, X = V(X) Cov X, Y = Cov Y,X Cov ax,by = a b Cov X, Y Cov X, Y = 0 om Χ och Y är oberoede Korrelatio Betydelse: ρ Χ, Y = Cov Χ, Y D X D(Y) = Cov Χ, Y V Χ V Y Mått på lijärt beroede mella Χ och Y 1 ρ 1 gäller alltid! Täk X är 100% respektive 100% beroede av Y Regler: Χ och Y är oberoede Cov X,Y = 0 Χ och Y är okorrelerade OBS: Implikatioe går ebart åt ea hållet! Sida 13 av 16

Simultaa fördeligar av oberoede s.v. (Χ, Y) Fördelig för Χ Fördelig för Y Fördelig för Χ + Y Po(λ 1 ) Po(λ 2 ) Po(λ 1 + λ 2 ) N μ 1,ς 1 N μ 2,ς 2 N μ 1 + μ 2, ς 1 2 + ς 2 2 X~Bi m, p Bi,p Bi(m +, p) Betigade fördeligar Betigad saolikhetsfuktio för diskreta s.v. Betigad saolikhetsfuktio för Χ, givet Y = y: p Χ Y =y x = P Χ = x Y = y = p Χ,Y x, y p Y y Betigad täthetsfuktio för kotiuerliga s.v. Betigad täthetsfuktio för Χ, givet Y = y: Betigat vätevärde Betigat vätevärde för Χ, givet Y = y: Lage om total förväta: E X Y = y = E X = E E X Y = Avädbara olikheter f Χ Y =y x = P Χ = x Y = y = f Χ,Y x,y f Y y x=0 x p Χ Y=y x, (diskreta s.v. ) x f Χ Y=y x y=0 dx, (kotiuerliga s. v. ) E X Y = y p Y y, (diskreta s.v. ) E X Y = y f Χ Y =y y dy, (kotiuerliga s. v. ) Markovs olikhet Chebyshevs olikhet a > 0 X 0 Förutsättigar E X = μ D X = ς > 0 eller V X = ς 2 < Gäller för alla k > 0 Resultat P X a E X a P X μ kς 1 k 2 eller P X μ k ς 2 k 2 Sida 14 av 16

Summor av oberoede stokastiska variabler Förutsättigar OBS: Kräver ite att X 1,, X är oberoede X 1,, X har alla samma vätevärde μ Resultat E X 1 + + X = μ X 1,, X har alla samma varias ς 2 V X 1 + + X = ς 2 X 1,, X har alla samma stadardavvikelse ς D X 1 + + X = ς X 1,, X har alla samma vätevärde μ X 1,, X har alla samma stadardavvikelse ς X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet E X = μ V X = ς2 D X = ς Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler X~N μ, ς Y = ax + b Förutsättigar Resultat Y~N(a μ + b, a ς) X~N μ 1,ς 1 Y~N μ 2,ς 2 X och Y oberoede (Χ ± Y)~N μ 1 ± μ 2, ς 1 2 + ς 2 2 X 1,, X är oberoede X 1 ~N μ 1,ς 1,, X ~N μ,ς 1 a i Χ i + b ~N 1 a i μ i + b, a 2 2 i ς i 1 X 1,, X är oberoede X 1 ~N μ, ς,, X ~N μ, ς X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet Alla s.v. är oberoede X 1 ~N μ 1,ς 1,, X ~N μ 1,ς 1 Y 1 ~N μ 2, ς 2,, Y ~N μ 2, ς 2 X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet Y = Y 1 + +Y är det aritmetiska medelvärdet ς X~N μ, X Y ~N μ 1 μ 2, ς 1 2 2 1 + ς 2 2 Stora tales lag X 1,, X är oberoede X 1,, X är likafördelade med vätevärde μ X = X 1 + +X För alla ε > 0: P X μ ε 0 eller ekvivalet: P X μ < ε 1, då Sida 15 av 16

Cetrala gräsvärdessatse (CGS) Formellt: X 1,, X är e följd av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X har samtliga vätevärde μ X 1,, X har samtliga stadardavvikelse ς > 0 eller varias ς 2 < Då gäller, för Y = X 1 + + X : Iformellt: Y μ P a < b Φ b Φ a, ς då eller ekvivalet, med X = X 1 + + X X μ P a < b Φ b Φ a, då ς E summa av oberoede och likafördelade s.v. är ugefär ormalfördelad så läge atalet s.v. är tillräckligt stort. Detta gäller oavsett vilke fördelig de egetlige har! Alltså ka okäda eller svårberäkade fördeligar approximeras med ormalfördelig. Poissoprocess E Poissoprocess med itesitet λ > 0 är e stokastisk process i kotiuerlig tid (dvs. e familj av s.v. X t, t 0) med följade egeskaper: För varje t 0: processes värde X t är e s.v. som ka ata värde 0,1,2 och X 0 0 Varje utfall (realiserig) är e icke-avtagade högerkotiuerlig fuktio För varje följd av tidpukter 0 = t 0 < t 1 < t 2 < < t gäller att: o X 1 X 0, X 2 X 1, X 3 X 2,, X X 1 är oberoede s.v För varje t 0: P X t+ X t = 1 = λ + O, då 0 För varje t 0: P X t+ X t > 1 = O, då 0 Egeskaper: o O() är e restterm som defiieras eligt lim 0 O = 0. Förutsättigar 0 t 1 < t 2 X t ~Po λ t Hopptider T 1, T 2,, T Vätetider T 1, T 2 T 1,, T T 1 Fixt t 0 0 Y t = X to +t X t 0 för t 0 X t, t 0 med itesitet λ 1 Y t, t 0 med itesitet λ 2 X t och Y t oberoede Resultat X t2 X t1 ~Po λ t 2 t 1 Speciellt: X t ~Po λ t E X t = λ t T 1, T 2,, T är oberoede och Exp(λ)-fördelade s.v. T 1, T 2 T 1,, T T 1 är oberoede och Exp(λ)-fördelade s.v. Y t, t 0 är också e Poissoprocess med samma itesitet λ X t + Y t, t 0 är också e Poissoprocess med itesitet λ 1 +λ 2 Sida 16 av 16