MAS0:B MATEMATISK STATISTIK ALLMÄN KURS, INFERENSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER Läsåret 0/0 Matematikcetrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM
MAS0:B MATEMATISK STATISTIK ALLMÄN KURS, INFERENSTEORI Övigsuppgifter med lösigar till flertalet uppgifter
Iehåll Övigsuppgifter Lösigar 7 Lud de 3 ovember 00 Lea Zetterqvist
I. Övigsuppgifter i iferesteori. Följade siffermaterial är brottförlägige, 5, i procet, för 649 dragprover av stålkvalitet. Presetera materialet grafiskt på lämpligt sätt, samt beräka dess medelvärde och stadardavvikelse. Värde 4 6 7 8 9 0 Atal 4 5 8 9 86 Värde 3 4 5 6 Atal 66 5 67 49 5 8 Värde 7 Atal 3. Matlab: Sjödata I två olika sjöar, Sjö och Sjö, har ma e klar sommardag på olika platser i sjöara gjort ett atal mätigar av ett visst ärigsäme. Data fis i file där variablera heter lake respektive lake. (a) Titta på data geom att göra histogram över mätigara frå respektive sjö. (b) Fudera på vilka frågeställigar som är itressata i udersökige. Vad skulle du vilja studera med hjälp av dessa data? Täk ut vilka sammafattade umeriska mått av data som du ka ha till hjälp i studie och beräka dessa. (c) När mätigara var gjorda upptäckte ma att mätprocedure dea dag hela tide gav ca 0.6 eheter för högt värde (ma hade alltså itroducerat ett så kallat systematiskt fel i mätigara på 0.6). Hur kommer histogramme att förädras är ma ska korrigera för detta systematiska fel? Hur kommer de mått du beräkat i föregåede deluppgift att förädras? (d) Ka du uttala dig ågotig om ivå av detta ärigsäme i Sjö? (e) Ka du uttala dig ågotig om evetuella skillader i ärigsivå mella sjöara? (Vi återkommer till data seare i kurse i sambad med jämförelser mella stickprov.) 3. Ma gör två oberoede bestämigar x och x av tygdkraftsacceleratioe g. Dessa atas utgöra ett slumpmässigt stickprov frå N(g 5). Som skattig av g tar ma aritmetiska medelvärdet x (x x ). Age fördelige för de stickprovsvariabel X (X X ) som x är e observatio av. 4. Ma har ett slumpmässigt stickprov x x frå N(m ) där m och är okäda. Ma bildar skattigara m x (x x x ) m (x x ) (a) Visa att båda skattigara är vätevärdesriktiga. (b) Vilke effektivitet har m relativt m? 5. Matlab: Hur bra är skattigara? Du ska udersöka hur skattigar av vätevärde och varias beror av stickprovsstorleke. Utgå frå e ormalfördelig N(3 ). Atag att vätevärdet 3 och variase 4 är okäda för oss och att vi vill skatta dem geom att ta ett stickprov, x x, om observatioer och bilda x respektive s = i (x i x). Hur ära kommer skattigara de saa värdea om stickprovsstorleke är 5? om de är 5? (a) Simulera 000 stickprov om 5 värde frå N(3 ) och skatta och i varje stickprov. Gör histogram över vätevärdes skattigara. (b) Gör samma sak för 000 stickprov som alla består av 5 observatioer. (c) Va ma mycket på att öka stickprovsstorleke frå 5 observatioer till 5? Hur stor är saolikhete att skattige avviker mer ä ehet frå det saa värdet =3? då du aväder 5 värde i stickprovet, 5 värde i stickprovet? (d) Gör äve histogram för -skattigara och jfr de två stickprovsstorlekara =5 och =5. Är det ovaligt att skattige av avviker mer ä frå det saa värdet 4 (dvs uderstiger eller överstiger 6) då =5? då =5? 6. Med e mätmetod bestämmer ma fyra gåger avstådet mella två pukter. Resultatet (ehet: m) 456.3 458.5 457.7 457. ka betraktas som ett slumpmässigt stickprov frå N(m ), där m är det verkliga avstådet och är ett mått på mätmetodes precisio. Age e vätevärdesriktig skattig av om
(a) ma vet att m=457.0 (b) m är okät. 7. E roulette har de egeskape att alla riktigar har samma chas att bli utpekade av roulettepile är dea staar. Efter att e ollpukt på periferi har valts, ka varje periferipukt karakteriseras av sitt avståd, lägs periferi (medsols), frå ollpukte. Roulettes omkrets är a cm. Ma låter pile rotera och staa 0 gåger, varvid avstådet frå stoppukte till ollpukte oteras, och ma får följade sekves (ehet cm): 6.5 3.7 30.0 3. 7.4 49.6 5.8 7.0 30.4 33. Per och Pål får i uppgift att skatta omkretse a med hjälp av observatioera som beteckas x x 0. Per resoerar som följer: x 0 0 i x i kommer att ha e tedes att komma i ärhete av a. E föruftig skattig av a är således e fördubblig av x. Per föreslår därför a x Udersök om skattige är vätevärdesriktig, dvs om E(a ) a. Om ite, korrigera så att de blir det. När Per har beräkat si skattig (gör det du med), iväder Pål att a är midre ä de största observatioe. Eftersom a måste vara större ä samtliga observatioer är e såda skattig ologisk. Pål föreslår istället att de största av alla observatioera aväds som skattig, dvs a max(x x 0 ) Udersök om dea skattig är vätevärdesriktig. Ädra de så att de blir det om så ej är fallet. Udersök häräst (efter ev. korrigerig) vilke av de två skattigara som är bäst geom att jämföra deras variaser. 8. Ett föremål består av två delar, A och B, som har vägts, dels var för sig, dels tillsammas, varvid ma fick resultate A.07.0.04 B 8.34 8.36 8.35 8.3 A B 30.35 30.39 Alla vägigar har utförts på samma våg. Vägigara är behäftade med ett slumpmässigt fel. Beräka med mista-kvadrat-metode e skattig av vikte hos hela föremålet. 9. De diskreta s.v. X har saolikhetsfuktioe p X (k) "! (! ) k för k 3, där 0 #!$#. Ma har ett slumpmässigt stickprov 4 5 4 6 4 frå dea fördelig. (a) Skriv upp likelihood-fuktioe L(! ). (b) Age för vilket! som L(! ) är störst. Vilke är alltså ML-skattige av!? 0. De s.v. X har täthetsfuktioe 0. Det är kät f X (x) %! ( x) '& för x ( att parameter! är atige, 3 eller 4. Ma har ett slumpmässigt stickprov frå dea fördelig omfattade två värde, 0 och 0 8. (a) Age L fuktioes värde för de tre möjliga! värdea. (b) Age ML-skattige av!. Låt de s.v. ha täthetsfuktioe f X (x) )! ( x) '& för x ( 0 där parameter! är atige, 3 eller 4. (a) Beräka E(X ) som fuktio av!. (b) Bestäm MK-skattige av! på grudval av det slumpmässiga stickprovet 0 0 8. Jämför resultatet med svaret på föregåede övigsuppgift.. Atag att maximala våghöjde, H, på ett visst ställe ett visst år ka ases vara rayleighfördelad, dvs täthetsfuktioe ges av f H (x) * +-, x a e x. a x / 0 0 f.ö. där a är e okäd positiv parameter. Ma har uder åtta år observerat följade våghöjder (ehet meter):.5.9.8 0.9.7...8 (a) Beräka ML-skattige av a uder förutsättig att de åtta observatioera ka ases vara oberoede observatioer av H.
(b) Beräka med hjälp av skattige av a e skattig av tuseårsvåge, med vilke meas e våg så hög att de i geomsitt bara iträffar e gåg per tuse år. 3. Livslägde för e viss elektroisk kompoet atas vara expoetialfördelad med det okäda vätevärdet a. För att bestämma a väljs slumpvis 50 kompoeter frå produktioe och sätts uder belastig i e provbäk. E gåg i vecka udersöker ma hur måga som fugerar och följade resultat erhölls (atal som gått söder i resp. vecka): Itervall 0 3 3 4 4 5 Atal trasiga 5 6 3 Efter 5 veckor avbröts provet och då fugerade fortfarade kompoeter. Skatta a med MLmetode. 4. För att pröva e mätutrustig gör ma följade tre mätserier på olika preparat: Serie 0.6 0.8 0.9 0.8 0. Serie 0. 0. 0.4 0.4 0.5 Serie 3 0.7 0.5 0.5 0.8 0.4 Resultatet av e mätserie betraktas som ett slumpmässigt stickprov frå e ormalfördelig med okät vätevärde och med e varias som är okäd me desamma för de tre fördeligara. (a) Skatta vätevärdea för fördeligara. (b) Skatta de gemesamma stadardavvikelse. 5. Atalet prickar (fel) i perstorpsplattor (av stadardstorlek) beskrivs av e poissofördelig. Ma har följade observatioer avseede 30 plattor i färg och 45 plattor i färg : Färg 3 0 0 0 Obs. av 0 0 0 0 0 Po(m ) 0 0 0 0 0 0 0 0 Färg 0 0 0 0 0 0 0 Obs. av 0 0 0 0 0 0 Po(m ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Skatta m m och age skattiges medelfel. 6. E skeptisk PC-kud ville udersöka hur sabbt statistikpaketet Statgraphics ka sortera e datafil om det körs på två olika årsmodeller av samma PC-fabrikat (med resp. uta waitstates ). De tid det tar att sortera e datafil beror på tales storlek och på hur väl sorterade de är frå börja. Ma tillverkade tre olika datafiler och lät programmet sortera dessa och mätte tide med hjälp av ett stoppur. För att miska iverka av osäkerhete i avläsige av stoppuret utförde ma varje sorterig två gåger (däremella återställde ma aturligtvis filera i ursprugligt skick!). Resultat (ehet sek): 987 års modell 988 års modell Fil r.53.97 0.74 0.78 Fil r 0.80 0.77 9.68 9.38 Fil r 3 0.47 0.54 9.7 9.47 Ma ka asätta följade modell: mätresultate i tabelle, dvs x x y y x x y y x 3 x 3 y 3 y 3 ka ases vara observatioer av ormalfördelade s.v. med samma stadardavvikelse och vätevärde E(X ij ) m i och E(Y ij ) km i. Här är k de itressata storhete, och k ager hur mycket sabbare 988 års modell är. Age de ekvatioer som bestämmer MLskattige av k och geomför gära ågra steg i de umeriska lösige. Age också e metod för uppskattig av spridige. Ledtråd: kostate k är ugefär 0.9. 7. Två forskare A och B har geom e stickprovsudersökig skattat adele färgblida, p, i e populatio av mä. A har valt ut 000 persoer och fuit 77 färgblida, meda B har udersökt 000 och fuit 4 färgblida. Bestäm ML-skattige av p. 8. Atalet fartyg som uder ett tidsitervall av lägde t (ehet: miut) passerar Helsigborg på väge söderut geom Öresud ases vara Po(0 t). Atalet fartyg i skilda itervall ases oberoede. E perso vill uppskatta 0 och räkar uder tre olika tidsitervall atalet passerade fartyg. Observatiostid 30 30 40 Atal fartyg 0 8 (a) Age ML-skattige 0 av 0. (b) Hur stor är stadardavvikelse för 0? 3
9. Ma har e observatio x 6 av X Bi(5 p). (a) Age e skattig av p. (b) Beräka stadardavvikelse för skattige. (c) Age skattiges medelfel. 0. Ett mycket stort parti eheter har felkvote p där p är högst 0.04. Ma vill ta ut eheter slumpmässigt ur partiet och på grudval härav kostruera e skattig av p med e stadardavvikelse på högst 0.0. Hur stort måste vara?. Vid e bestämig av smältpukte för aftali blir resultatet av e s.v. X med vätevärdet m (=de okäda smältpukte) och stadardavvikelse (äve de okäd). På grudval av ett stickprov om 9 värde beräkade ma x 80 9 och s 0 3. Skatta m och age medelfelet för skattige.. Ma har två observatioer x och x av de oberoede s.v. X respektive X vilka båda är Bi( p). Betrakta följade två skattigar av p: p x ; p (x x ) (a) Vilka värde ka p och p ata? (b) Är skattigara vätvärdesriktiga? (c) Beräka skattigaras variaser och age effektivitete av p relativt p. 3. Fortsättig frå föregåede uppgift. Visa att p ax bx är e vätevärdesriktig skattig av p om a b. Bestäm a och b så att p blir så effektiv som möjligt. 4. Visa att om e vätevärdesriktig puktskattig har e varias som 0 då stickprovsstorleke 3 så är skattige kosistet. Ledig: Tjebysjovs olikhet. 5. Två bilägare A och B, som kör 000 mil respektive 000 mil om året, vill jämföra besiförbrukige. De väljer var och e slumpmässigt ut fem tidpukter uder året och räkar ut si besiförbrukig (ehet: liter/mil) just då. De tal de får, ka betraktas som oberoede observatioer av två s.v. X och Y med vätevärdea m A respektive m B och variasera respektive. A B Resultat: A: 0.9 0.98 0.85 0.93.05 B: 0.65 0.59 0.69 0.6 0.7 (a) Beräka e puktskattig av m A och e av m B. (b) Beräka e puktskattig av deras sammalagda besiförbrukig uder ett år. (c) Vad är variase för skattige i (b)? i (x i x) är alltid e vätevärdesriktig skattig av V (X ), dvs 6. Stickprovsvariase s E[s (X)] E[ (X i X ) ] 4 i Visa att E[s(X)] #. Ledig: aväd att E(Y ) [E(Y )] V (Y ) / 0 för alla s.v. (om ite Y är kostat). 7. I e fabrik tillverkar ma stål eligt e viss stadardmetod A 0. Ma öskar udersöka hur resultatet skulle bli om ma i stället iförde ågo av metodera A A A 3 eller A 4. Stål tillverkat med A i atas ha hållfasthete m i och ma öskar göra skattigar av var och e av de fyra differesera m i m 0. Om ma sammalagt får göra 60 hållfasthetsbestämigar och om ma av symmetriskäl vill göra lika måga bestämigar på stål frå var och e av de fyra alterativmetodera A A A 3 A 4, hur måga bestämigar skall ma då göra på A 0 -stål? Vid varje bestämig uppstår ett mätfel som är e observatio av e s.v. Y med E(Y ) 0 och V (Y ) 4 ; mätfel vid olika bestämigar är oberoede. 8. Ma vill bestämma area 5 (ehet: cm av e kvadrat geom att uta systematiskt fel mäta sidas lägd (ehet: cm). Resultatet av e mätig är e s.v. X. (a) Age vätevärdet för X. (b) Atag att x x x är ett slumpmässigt stickprov på X. Vilket uttryck ska ma miimera är ma bestämmer MKskattige av 5? (c) Är MK-skattige vätevärdesriktig? 9. Bestäm mista-kvadrat skattige av a om ma har observatioera 3 4 4 3 5 6 av s.v. med vätevärdea 3a 4a 5a. Det slumpmässiga felet ases ha samma varias i de tre mätigara. 4
30. Ma har två oberoede observatioer x 3 och x 5 av e s.v. med täthetsfuktioe f X (x) x a e (x. a). Bestäm ML-skattige av a. x / 0 3. Ma har två stickprov på oberoede ormalvariabler: 0.8..0 0.7 X 6 N(m 798 ).9.5.6..8.0 Y 6 N(m 798 ) (a) Gör e skattig av baserad på första stickprovet. (b) Gör e skattig av baserad på adra stickprovet. (c) Gör e skattig av baserad på båda stickprove. (d) Ka ma säga vilke av de tre skattigara som är ärmast det okäda -värdet? 3. Atalet olycksfall uder e måad vid e idustri är Po(m). Uder ett år iträffade 0 0 3 0 0 0 0 olycksfall uder de tolv måadera. (a) Age ML-skattige av m. (b) Vad är skattiges medelfel? 33. Stickprovet x x : x är hämtat frå e expoetialfördelig med de okäda parameter a. (a) Härled ML-skattige av a. (b) Visa att skattige är vätevärdesriktig. (c) Besäm skattiges medelfel. 34. Vid skalbestämig av flygbilder erhölls för varje bild ett värde (t.ex. :3985) med e sabb metod och ett värde (t.ex. :398) med e precisiosmetod. Ma beräkade differesera av skalbestämigaras iverterade värde (t.ex. 3985 398 3) och fick på detta sätt frå 3 flygbilder (i ugefär samma skala) följade differeser: 3 3 6 3 9 36 5 48 44 0 53 7 (a) Pricka i materialet på ett ormalfördeligspapper. Verkar det som om ma ka asätta e ormalfördelig? Motivera ditt svar. (b) Skatta vätevärdet m och stadardavvikelse för de variabel som de 3 värdea är observatioer av och uder förutsättig att variabel är ormalfördelad. 35. Matlab: Normalfördelig? I skogsområdet ASA försökspark i Smålad är 94 olika gropar grävda i marke och frå varje grop är jordprover taga där blad mycket aat alumiiumhalt och calciumhalt är uppmätta (mg/g). Data fis i file <; = > =;? och är hämtade frå Joha Holmqvist, Kemisk tekologi, LTH. (a) Rita ut alumiiumhaltera i ett histogram, beräka medelvärde och stadardavvikelse. (b) För att udersöka om data ka täkas komma frå e ormalfördelig ka ma göra ett ormalfördeligsdiagram. Simulera 94 observatioer frå e ormalfördelig med det vätevärde och stadardavvikelse som du skattat för alumiiumhaltera. Plotta seda de simulerade ormalfördelade data i ormplot (aväd matlabrutie @A; =CBD>DE ; ) för att se hur de beter sig i e såda. (c) Gör ett ormalfördeligsdiagram på alumiuimhaltera, verkar det rimligt att de är ormalfördelade? (d) Gör samma sak med calciumhaltera. Udersök om apassige blir bättre om du logaritmerar data först, dvs apassar e logormalfördelig till calciumhaltera. 36. Låt de stokastiska variabel X age livslägde hos e viss typ av bilavgasrör. Vid ett försök mätte ma livslägde hos tio slumpmässigt utvalda rör och fick resultatet 35 03 967 350 39 009 0 53 37 095 (a) Rita upp de empiriska fördeligsfuktioe. (b) Skatta F(00). Är skattige vätevärdesriktig? Bestäm medelfelet. 37. E y metod att aalysera halte tita i e legerig har utvecklats. För att udersöka metodes reproducerbarhet aalyseras ett och samma prov sex oberoede gåger. Följade resultat erhölls: 0.0087 0.009 0.0094 0.0096 0.0098 0.0098 5
G Gör ett uppåt begräsat kofidesitervall för mätfeles stadardavvikelse uder förutsättig att de är ormalfördelade. 38. Matlab: Videlälve Videlälve är e oreglerad biflod till Umeälve, och dess vatteförig på våre är helt beroede av sömägd och sösmältig. Vid Reforse utaför Videl uppmättes uder åre 957 979 följade årliga maximala vatteflöde (ehet m 3 sek) som ligger i file videlalve: 775 909 7 976 030 633 693 545 84 86 300 4 76 960 484 993 084 579 059 843 09 75 059 Normalfördelig är e midre lämplig fördelig för maximala flöde. Logormal- eller extremvärdesfördelig ka vara bättre. (a) Skatta fördeliges vätevärde och varias; x i 0 99, (x i x) 63 47 (b) Age 95% kofidesgräser för vätevärdet uder ormalfördeligsatagade, om variase är 0 (m 3 sek). (c) Samma som (b) me variase okäd. (d) Skatta parametrara i e logormalfördelig: l x i 56 084, (l x i 3 l x j ) 4007. (e) Hur stort är 00-årsflödet i Videlälve vid Reforse? 39. Låt livslägde för glödlampor av e viss typ vara e s.v. X med täthetsfuktioe & e x. & för x ( 0. Då är! medellivslägde. Ma köper e lampa och kostaterar att de har lyst i 000 timmar är de går söder. Kostruera ett tvåsidigt kofidesitervall för! med kofidesgrade 0.95. Ledig: Välj ett itervall av forme (c x c x) där x är de observerade livslägde. 40. Fortsättig frå föregåede övig. Gör istället ett esidigt kofidesitervall av forme (cxf3 ). 4. Ma har ett slumpmässigt stickprov frå N(m ): 44.3 45. 46. 45.3 Age ett 95 % kofidesitervall för m. 4. På e lösig med det okäda ph-värdet m har ma gjort fyra ph-bestämigar: 8.4 8.8 8.5 8.3 Modell: ph-mätare har ett systematiskt fel G samt ett slumpmässigt fel som är N(0 ). De fyra mätresultate är alltså ett slumpmässigt stickprov frå N(m ). Vidare är det kät att G 0 0 och att =0.05. Beräka ett kofidesitervall för m med kofidesgrade 0.99. 43. Fortsättig av föregåede övig. Atag u att är okät. Vad får ma då som 99 % kofidesitervall för m? Stickprovet ser ut som förut. 44. Ma vill udersöka halte av bly på e viss arbetsplats. Vid mätig av halte uppkommer ett aalysfel varför ett mätresultat ka ases vara ett utfall av e slumpvariabel som är N(m 3) där m är de verkliga halte (i ppm) och stadardavvikelse =.3 är ett mått på aalysmetodes precisio. Vid e udersökig görs fem oberoede mätigar och ma får följade resultat 48 35 46 50 49 9 49 43 47 8 (a) Gör ett tvåsidigt 95 % kofidesitervall för m. (b) Ur de aställdas sypukt är det mer itressat att studera ett esidigt kofidesitervall. Vilke typ av itervall är det? Beräka itervallet. 45. Två maskier, A och B, levererar uder e viss dag eheter som har dimesioera N(m H ) respektive N(m H ), okäda parametrar. Ma vill jämföra medeldimesioera m och m och samlar därför i följade material: A.37.3.4.34.3.36 B.4.39.46.35.39.33 Bestäm ett 95% kofidesitervall för differese m m. 46. E fysiker har gjort fem mätigar för att bestämma e fysikalisk kostat m. Mätigara ka ases vara oberoede observatioer av e ormalfördelad stokastisk variabel med vätevärde m och käd stadardavvikelse. Ha fick ett 90% kofidesitervall (7.0, 7.4), vilket ha tyckte var för brett och hade för låg kofidesgrad. Hur måga fler mätigar behövs för 6
att få ett kofidesitervall som har kofidesgrad (a) 90% och som är hälfte så brett? (b) 95% och har ugefär samma bredd? 47. I ett miljöövervakigssystem studeras övergödige av våra vattedrag. I e viss å har ma uder e lägre period gjort mätigar av bl a total fosforhalt. Uder dea period iförde ma i avriigsområdet e kemisk-biologisk reig av hushålles och idustrieras avloppsvatte. För att udersöka vilke effekt dessa åtgärder haft på fosformägde i vattedraget beräkas årsmedelvärdea av total fosforhalt (mg/l) före och efter iföradet av y reig: Före: 0I 0I 4 0I 07 0I 09 0I 5 0I 09 0I 0 Efter: 0I 09 0I 03 0I 07 0I 09 0I 07 0I 08 0I 0I 07 (a) Gör ett 95 %-kofidesitervall för de geomsittliga effekte av de ya reige. Redogör för dia modellatagade. (b) Gav åtgärdera upphov till e sigifikat förädrig av total fosforhalt i vattedraget? Motivera ditt svar! 48. Skiljer sig de kemiska sammasättige av avloppsvattet åt vid Östra Tor (ÖT)och Källby (K) (vilka är två olika pukter i Luds avloppssystem)? E forskare mätte mägde fosfor (mg/l) i avloppsvattet e lägre period, eda ges ett utdrag frå mätigara: Datum 3/ 0/ 7/ 4/ / 8/ ÖT 7I 3 4I 6 5I 6 6I 6I 3 6I 7 K 6I 6 5I 9 6I 7I 6 7I 4 7I 8 Datum 5J J 6J 4J 3 J 3 8J 3 ÖT 5I 6 6I 9 5I 8 KLK KLK 6I 3 K 6I 6 6I 5 4I 4 7I 6 8I 3 7I De 4/3 och /3 var det stopp i mätutrustige i Östra Tor och iga mätigar kude erhållas. Gör e lämplig aalys av data för att udersöka om kocetratioe av fosfor skiljer sig åt vid de två platsera. Age de atagade du gör i aalyse. Ledig: Ma vet seda tidigare att fosforhalte vid e mätpukt ka variera mycket mella olika mättidpukter. 49. E geokemist udersöker haltera av jär (mg/g) i skogsmark och gräver därför 0 st gropar. Ho är speciellt itresserad att udersöka om det fis skillader i järhalt mella olika ivåer i gropara och tar därför frå varje grop ett 7 prov på A-ivå (ära yta och därmed påverkat av mäskliga aktiviteter) och ett prov på C-ivå (ca meter djupt och trolige ite så mycket påverkat av mäiska). Området av skogsmark är av mycket heteroge karaktär, dvs det är troligt att geomsittlig järhalt varierar mella olika gropar. Grop r: 3 4 5 Nivå A: Nivå C: 9I 5 I 96 3I 35 7I 70 0I 0 I 93 6I 70 9I 0 3I 85 3I 6 Grop r: 6 7 8 9 0 Nivå A: 7I 70 I 77 I 7 34I 06 8I 7 Nivå C: 7I 35 7I 39 5I 43 33I 43 8I 4 Age e lämplig modell som beskriver data och udersök, geom att göra ett hypotestest eller geom att dra slutsatser frå ett kofidesitervall, om det fis skillader i geomsittlig järhalt mella A- och C-ivåer i gropara. 50. Dubbelbestämigar av klorhalte i dricksvatte uder 5 olika dagar gav följade resultat: Dag 3 4 5 Klorhalt 57 56 4 59 7 56 3 57 6 58 3 55 8 60 56 58 4 Atag att värdea är ormalfördelade med stadardavvikelse kostat för olika dagar meda de saa klorhalte varierar med dage. Beräka ett tvåsidigt 95 %-igt kofidesitervall för de saa klorhalte dag 5. 5. E sjö är låg och delas aturligt i tre delar. Del (area ha) är de smala västra dele där de största dele av iflödet sker, del (area 33 ha) är vidare och består främst av öppet vatte, meda del 3 (area 5 ha) i öster har mycket vegetatio och verkar vara grudare ä de övriga delara. Ma vill bestämma medelhalte av fosfor i sjö. För att miska variatioe beslutar ma att ta ett stickprov frå var och e av de tre delara. För varje del radomiseras (bestäms slumpmässigt) mätpuktera, ma försöker ro ut till mätplatsera och gör mätigara. Mätvärde: Del 4I 0 I 90 6I 8 0I 8 6I 74 7I 70 5I 64 8I 07 I 95 Del 6I 36 5I 74 4I 75 5I 8 7I 3 5I 05 6I 5 3I 9 7I 55 4I 9 3I 59 3I 66 5I 97 3I 94 6I 66 Del 3 7I 8 5I 9 0I 07 6I 49 9I 75 9I 53 7I 67 Låt vara de geomsittliga fosforhalte i hela sjö (med häsy till area me ite till djup)
G och låt M och 3 vara motsvarade geomsittliga fosforhalter i respektive sjödel. E täkbar modell är att mätigara frå del är oberoede observatioer frå N( H ) mätigara frå del är oberoede observatioer frå N( H ) mätigara frå del 3 är oberoede observatioer frå N( 3H ). (a) Fi e lämplig skattig av som tar häsy till areaförhålladea för de tre sjödelara. (b) Beräka variase för dea skattig. (c) Gör ett 95% kofidesitervall för, dvs sjös geomsittliga fosforhalt. 5. På e lösig med det okäda ph-värdet m har ma gjort fyra ph-bestämigar: 4.3 4. 4.3 4.37 Vidare har ma med samma mätare gjort sex bestämigar på e lösig med det kämda phvärdet 4.84: 4.7 4.63 4.69 4.76 4.58 4.83 Modell: ph-mätare har ett systematiskt fel G samt ett slumpmässigt fel som är N(0N ); G och är okäda. Resultatet av e mätig på e lösig med ph-värdet a är alltså e observatio av N(a ). (a) Age e puktskattig m av m. (b) Age D(m ). (c) Beräka medelfelet d(m ) uder utyttjade av alla bestämigar. (d) Age ett 95 % kofidesitervall för m. 53. Vid flamfotometrisk bestämig av koppar störs mätige av adra ärvarade joer. Med ajobytare ka koppar separeras vilket påstås medföra e förbättrig av metoderas precisio (Schrek, Graber, Johso, Aal. Chem., 33(96), sid. 06). Vid e serie på 6 bestämigar av ett prov beräkades skattige av stadardavvikelse till s 0 004. Atag oberoede observatioer av N( ) där och är okäda och beräka ett tvåsidigt 95%-igt kofidesitervall för. 54. För att udersöka precisioe i ett visst mätistrumet gör ma följade tre mätserier på olika preparat: Preparat 0 6 0 8 0 9 0 8 0 Preparat 0 0 0 4 0 4 0 5 Preparat 3 0 7 0 5 0 5 0 8 0 4 Resultate av e mätserie ka ases vara ett slumpmässigt stickprov frå e ormalfördelig med okät vätevärde och med e stadardavvikelse som är okäd me samma för de tre seriera. Skatta och gör ett 95% kofidesitervall för de. 55. Blad 600 på måfå uttaga sveska medborgare visar sig att 6 är eller har varit utlädska medborgare. Gör ett 95 % kofidesitervall för p=relativa frekvese av sådaa persoer blad alla sveska medborgare. 56. Fortsättig på föregåede övig. Hur stort stickprov måste ma ta för att med 95 % kofidesgrad kua uppskatta p på O 0.005 är (a) om p är helt okät? (b) om det är kät att 0 # p # 0 4? 57. Iom det europeiska samarbetsprojektet EMEP (Europea Moitorig ad Evaluatio Programme) görs mätigar av luftkvalitete på flera platser i ladet, bl a i Rörvik på Västkuste och i Hoburg på Gotlad. Vissa provtagigar i Rörvik görs med e automatisk provtagigsapparat som dock visat sig ite vara helt tillförlitlig uta måste kotrolleras daglige. Uder e 0-årsperiod har apparate justerats 4 gåger. Med hoburgsapparate görs likade mätigar me med e ågot aorluda apparat. På dea gotladsapparat behövdes edast göras 3 justerigar uder samma period. (a) Gör ett approximativt 95% kofidesitervall för saolikhete att e justerig behöver göras på apparate i Rörvik. (b) Gör ett approximativt 95% kofidesitervall för medelatalet justerigar uder e 0-årsperiod på apparate som aväds i Rörvik. (c) Udersök om det är ågo sigifikat skillad mella apparatera beträffade hur ofta justerigar måste göras. 8
58. I e vätska är atalet bakterier i e volymehet Poissofördelat och atale i olika delar av vätska är oberoede. Vid e udersökig av 00 eheter fa ma 7 bakterier. Bestäm ett approximativt 95% kofidesitervall för saolikhete att e slumpvis utvald volymehet ite iehåller ågo bakterie alls. 59. Trafike över e viss bro atas kua beskrivas av två oberoede Poissoprocesser, e för vardera riktige. Processera har itesitetera 0 respektive (atal fordo/miut), vilket bl.a. iebär att atalet fordo som passerar uder e tidsperiod av lägde t är Poissofördelat med vätevärde 0 t respektive t. Ma vet seda tidigare att 0 QP 0. Nu vill ma räka trafike separat i båda riktigara för att med 95% kofides kua bestämma 0 på 0.5 är. Uder hur låg tidsperiod behöver räkige ske? 60. Med kärfysikaliska detektorer ka ma bestämma atalet söderfallade atomkäror hos ett preparat. Det registrerade atalet söderfall i itervallet (0 t) beskrivs väl av Poissomodeller. Bakgrudsstrålig fis alltid, och registreras också. Atag att ma mäter preparat och bakgrud uder tide t p och bakgrude separat uder tide t b (ehet: sek). (a) Sätt upp e statistisk modell som beskriver mätsituatioe och age hur ma skattar preparatitesitete 0 p (atalet söderfall/sekud). Låt bakgrudsitesitete vara 0 b. (b) Ett rimligt öskemål är att V(0 p) blir lite. Hur skall ma fördela tide mella mätig av preparat plus bakgrud och bakgrud om ma sammalagt vill mäta uder tide T? (c) Hur kostruerar ma e itervallskattig av 0 p? 6. Geom att göra 5 försök vill Per udersöka om Pål har extrasesory perceptio (ESP) som yttrar sig i förmåga att med förbuda ögo avgöra om kroa eller klave kommer upp vid kast med ett symmetriskt myt. Ha bestämmer sig för att tro att Pål har ESP om Pål svarar rätt i försök eller fler. Atag att Pål gissar. (a) Vilke fördelig har X =atalet rätta svar? (b) Hur stor är saolikhete att Per kommer att tro att Pål har ESP? 6. E viss typ av glödlampor har e lystid (timmar) som är e expoetialfördelad s.v. med vätevärde!, dvs f X (x)! e x. & R x ( 0 Tillverkare påstår att! =000. Per betvivlar att! är så stort. Ha täker pröva hypotese H 0 : 000 geom att köpa e lampa och be-!s stämma dess lystid x. Om x är litet, säg x # a, täker ha förkasta H 0. För att bestämma a får ha ekvatioe P(X # a om!t 000) VU, där U är de valda sigifikasivå. (a) Bestäm a som fuktio av U. (b) Atag att Per får x 75. Är detta resultat sigifikat på 5 %-ivå? (c) Samma fråga om x 50. 63. E läkemedelstillverkare aväder iblad e viss livsmedelsfärg. Ma vill veta hur färge påverkar utseedet hos det framställda läkemedlet. Ur tillverkige tar ma därför på måfå tio förpackigar och mäter grumlighete i iehållet efter e viss tids lagrig. Resultat: 3.9 4. 4.4 4.0 3.8 4.0 3.9 4.3 4. 4.4 Uta färgtillssats brukar grumlighete vara i medeltal 4.0. Ma udrar u om resultatet tyder på att grumlighete ökar. Materialet ases vara ett slumpmässigt stickprov frå N(m 0 ). Pröva hypotese H 0 : m 0 4 mot H : m ( 0 4 med ett test på ivå 0.05. 64. Fortsättig frå föregåede övig. Om m är det rätta värdet, vilke fördelig har då de s.v. som testkvatitete är e observatio av? Beräka styrkefuktioe för testet, dvs bestäm P(H 0 förkastas), om m är det rätta värdet. Vilke styrka har testet för m 3 8? För m 4 3? 65. Vid kvicksilverudersökig av gäddor i e isjö har ma bestämt kvicksilverhalte i 0 fågade gäddor av e viss storlek. Resultat (ehet: mg/kg): 0.8.6 0.9 0.8. 0.4 0.7.0.. Modell: Halte i gäddor av de aktuella storleke varierar som e s.v. X N(m ). 9
(a) Ka ma med de erhålla resultate på sigifikasivå 0.05 förkasta H 0 : m 0 9 mot H : m / 0 9? (b) Ka ma med de erhålla resultate på sigifikasivå 0.05 förkasta H 0 : m mot H : m #? 66. För att udersöka om ma med hjälp av y tekik ka tillverka mieralull som är behagligare att hadskas med (ite sticks ), låter ma 6 försökspersoer i ett blidtest käa på två typer av ull, de ea tillverkad eligt gammal beprövad metod, de adra eligt de ya metode. Det visade sig att persoer föredrog de ya type meda 4 föredrog de gamla. Sätt upp e lämplig statistisk modell och testa e ollhypotes som betyder att metodera är likvärdiga mot hypotese att de ya metode är bättre. 67. Stickprov av mycket ret jär berett med två olika metoder, A och B, gav följade smältpukter A 493 59 58 57 5 54 489 508 494 B 509 494 5 483 507 49 Formulera e statistisk modell baserad på ormalfördelig och lika varias. (a) Testa hypotese att de två metodera ger samma medelsmältpukter. (b) Kostruera ett kofidesitervall med kofidesgrad 95% för skillade mella de två medelsmältpuktera. 68. I e å mäter ma halte ogräsbekämpigsmedel på platsera A och B uppströms respektive edströms e hadelsträdgård som misstäks för otillåta utsläpp av bekämpigsmedel. Det fis föroreade utsläpp lägre uppströms och halte varierar därför kraftigt frå vecka till vecka. Ma mätte uder olika veckor i puktera A och B och fick följade värde: Vecka 3 4 5 6 A 4..5.0... B 4.5..9.0.5.9 Vecka 7 8 9 0 A.8 4.0 3.7 3.0 5.6 3.3 B 3.4 4. 3.7.9 5.9 3.8 Pröva, med ett test baserat på ormalfördelig, hypotese att det ite förekommer ågra mätbara mägder utsläpp av bekämpigsmedel (hadelsträdgårde är de eda täkbara källa mella A och B). 69. För att studera alkoholkosumtioes iverka på fetthalte i lever har ma valt ut försökspersoer, vilka ka betraktas som ett slumpmässigt urval blad friska persoer i 5-årsålder. Försökspersoera har uder e lägre tid avstått frå all alkoholkosumtio och prover på deras lever har tagits. Därefter har de fått dricka fyra burkar öl per dag, och efter e måad har ya prover tagits. Följade leverfetthalter erhölls: Perso 3 4 5 Före 0.5 0.9 0.3 0.3 0.5 Efter 0.50 0.8 0.8 0.8 0.34 Perso 6 7 8 9 0 Före 0.4 0.4 0.3 0.7 0.5 Efter 0.4 0.33 0.6 0.35 0.4 Perso Före 0.0 0.7 Efter 0. 0.8 Testa med ett lämpligt test uder atagade om ormalfördelig på ivå % att alkoholkosumtioe ite påverkar fetthalte mot att de ökar fetthalte. 70. Åtta persoer mäter si ege lägd (ehet: cm) morgo och kväll. Resultat: perso 3 4 morgo 7 68 80 8 kväll 7 67 77 79 perso 5 6 7 8 morgo 60 63 65 77 kväll 59 6 66 75 Skillade mella morgo- och kvällsvärdea atas vara ett slumpmässigt stickprov frå N(m ). Pröva hypotese H 0 : m 0 mot H : m W 0 på sigifikasivå 0.05. 7. Vid tillverkig av magecyl varierar tablettvikte som e s.v. med vätevärdet m och stadardavvikelse X 0 0. För kotroll väger ma 35 tabletter och beräkar som puktskattig av m de 35 tabletteras medelvikt x, vilke blev 0.69 g. Pröva hypotese H 0 : m 0 65 mot H : m W 0 65 med ett test med de approximativa sigifikasivå 0.05. 7. Fortsättig av föregåede övig. Atag att ma ite vet värdet på och har beräkat - skattige s 0 08. (a) Hur stort är medelfelet för x? 0
(b) Samma uppgift som i föregåede övig. 73. Om x x är ett stickprov på e ormalfördelad stokastisk variabel X N(mH ), så uppskattas som bekat med hjälp av stickprovets stadardavvikelse s. Ma vill med hjälp av s pröva hypotese H 0 : YZ 0 mot H : [ 0 med ett test med sigifikasivå 0.0. Hur stort måste vara för att styrka skall vara mist 0.95 (svaret beror ite på 0 me, om du vill, får du gära välja ett bestämt 0, t.ex. 0 37, och räka med det)? 74. E perso har e tärig som ha misstäker vara sed, så att de ger sexa alltför sälla. Ha kastar de gåger uta att få e eda sexa. Tyder detta på att has misstake är riktig? 75. E perso har e tärig som ha misstäker vara sed, så att de ger sexa alltför sälla. Ha kastar de 0 gåger och får sexa 8 gåger. Tyder detta på att has misstake är riktig? 76. Lystide hos e viss typ av glödlampor ka atas vara expoetialfördelad. Tillverkare påstår att medellystide (vätevärdet för lystide) är mist 000 timmar. Pål tvivlar på att de är så låg. Ha köper 00 lampor, täder dem och vätar tills de går söder. Ha oterar lystide för var och e och beräkar aritmetiska medelvärdet till 953.. Hjälp hoom att sätta upp lämpliga hypoteser samt att utföra ett lämpligt test. Lämpliga approximatioer får avädas. 77. Saolikhete, p, att ett SJ-tåg skall vara förseat vid akomste med mer ä fem miuter beror bl.a. av väder, atalet resade och veckodag. Atag att ma är itresserad av värdet på p e speciell dag. Ma väljer slumpmässigt ur tidtabelle för alla tåg i Sverige akomster och udersöker hur mycket förseade just dessa akomster är. Ma vill pröva hypotese H 0 : p 0 3 (eg. p \ 0 3) mot H : p / 0 3 med ett test på ivå 5%. (a) Atag att ma udersöker 80 akomster och att ma fier att vid 8 av dessa är tåget mer ä fem miuter förseat. Ka ma förkasta H 0? (b) Atag att p i själva verket är 0.4. Hur stort måste vara för att ma skall ha 50% chas att förkasta H 0 vid ett test på ivå 5%? 78. Livslägde (i mil) för ett visst bildäck ka betraktas som e ormalfördelad stokastisk variabel med vätevärde och stadardavvikelse ] 900. Tillverkare hävdar att livslägde har ökat geom e y tillverkigsprocess. Tidigare var Q 5400 meda ma u har ^/ 5400 och det är mycket troligt att _ 6300. För att kotrollera påståedet täker ma mäta livslägde 5400 mot hos däck och seda testa H 0 : T H : `/ 5400. Bestäm och testet så att sigifikasivå blir 0.0 och testets styrka i _ 6300 blir mist 0.95. 79. De aturliga bakgrudsstrålige (uttryckt som atalet registrerade pulser per sekud, Bq) vid e viss mätpukt har e itesitet av 0Y sek och atalet registrerade pulser uder ett tidsitervall (t t ) beskrivs väl av e Poissofördelig med vätevärde 0 (t t ). På grud av e olycka i ett mycket avlägset lad misstäker ma att itesitete ökat. (a) Atag att ma mäter uder 5 sek och därvid registrerar 0 partiklar. Pröva hypotese H 0 : 0_ sek med ett esidigt test på ivå 5%. (b) Atag att itesitete i själva verket har ökat till 0 sek. Hur läge skall ma mäta för att ha 50% chas att upptäcka detta om ma gör ett approximativt test på ivå 5%? 80. Ett sätt att mäta radokocetratioe i iomhusluft är att häga upp e film käslig för alfapartiklar. När filme träffas av e partikel uppstår efter framkallig ett hål i filme. E rimlig stokastisk modell är att atalet hål i e film, Y, är Poissofördelat med ett vätevärde som är proportioellt mot radokocetratioe a. Låt y 7 vara e observatio av Y Po(K a ), där K 0 för de aktuella mätsituatioe. (a) Testa med ett approximativt test med sigifikasivå 0.05 hypotese, H 0 : H : ab 00 Bq m 3 a_/ 00 Bq m 3 Detta är av itresse eftersom gräsvärdet för ybyggda hus är 00 Bq/m 3. (b) Bestäm styrkefuktioe h(a ) för testet i (a). (c) Hur stort måste a vara för att h(a ) ( 0 9?
8. Atalet persoer i e populatio som uder ett år drabbas av e viss typ av cacer är poissofördelat med ett vätevärde som beror på åldersoch kössammasättige och om populatioe är (eller har varit) utsatt för ågo extra riskfaktor eller ej. Ma misstäker att arbetare i e viss kemisk idustri har större risk att få lugcacer ä sveske i geme och tar därför reda på atalet iträffade fall uder periode 978 988. Ma fier att 4 persoer drabbats mot ett förvätat atal på 7.5, om riske varit lika med geomsittsriske i Sverige. Testa på ivå 5% ollhypotese att fabrikes arbetare har samma risk som geomsittssveske att få lugcacer mot att riske är högre. 8. Nollvisioe iom trafiksäkerhet iebär att ma vill sträva efter 0 trafikdödade. Dithä är det lågt, och äve om säkerhete i medeltal ökar så kommer slumpmässiga variatioer att ske både uppåt och edåt. För ett tiotal år seda kude ma läsa i tidige att de svarta trafikmåade jui bryter e edåtgåede tred. Eligt tidige omkom 00 persoer i trafikolyckor uder de juimåade. Atag att atalet omkoma i trafike uder e ormal måad är X Po(m) där m är olika för olika måader. (a) För 0 år seda var m 80 ett ormalt värde för jui. Testa med ett statistiskt test hypotese att uder det aktuella året H 0 : m 80 mot att m / 80 med ett test på de ugefärliga sigifikasivå 0.05. (b) För samma år atogs m 50 är ormalt för juli.i själva verket omkom 60 persoer uder de aktuella julimåade. Gör ett likade test som i (a). (c) Atag att året är ett helt ormalt år. Om ma gör oberoede test likade det i (a) uder år, ett för varje måad, hur stor är saolikhete att ma får mist ett sigifikat utslag för ökat atal omkoma? 83. De s.v. X är Po(m). Med hjälp av 50 oberoede observatioer av X öskar ma testa hypotese H 0 : m 0 mot hypotese H : m / 0. Observatioeras summa är 9. Ka ollhypotese förkastas? Aväd direktmetode. Ledig: Summa av observatioer frå Po(m) är fördelad som Po(m). 84. De s.v. X atar värdea 0 3. Ma gjorde 4096 oberoede observatioer av X och fick Observatio 0 3 Atal 764 69 55 88 Pröva på sigifikasivå % hypotese att X Bi(3 4 ). 85. Atalet olyckor på e viss väg uder 480 dagar fördelade sig på följade sätt: k 0 3 4 Atal dagar 335 5 6 med k olyckor Pröva med c -metode hypotese att de stokastiska variabel X atalet olyckor uder e dag, är poissofördelad med vätevärde 0.5. 86. I uiversum exploderar i medeltal e superova i sekude (se Forskig och Framsteg, 989:). Amatörastroome Tycho Brahe d.y. har för dyra pegar iköpt ett simulerigsprogram för att med si data Brae Tyche studera uiversums utvecklig, och då bl.a. hur superovor bildas. I e specialstudie omfattade 3600 sekuder av uiversums framtid gav programmet följade resultat (tabelle ager det atal sekuder då precis k i superovor bildats): k i superovor 0 Atal 38 34 607 k i superovor 3 4 5 Atal 98 60 Pröva hypotese att programmet ger ett poissofördelat atal superovor per sekud. Hur skulle testet förädrats om ma i stället ville pröva hypotese att atalet superovor är poissofördelat med vätevärde? 87. I ett programpaket igår e subruti som påstås ge slumptal frå e expoetialfördelig med vätevärde. Ma geererar 000 stycke slumptal, som fördelar sig på följade sätt: Värde 0 0.5 0.5.0.0.0.0 3 Atal 307 73 88 3 Aväd c -metode för att udersöka om detta resultat är föreligt med atagadet om expoetialfördelig. 88. Vid e udersökig av tidsavståde mella bilar på e måttligt trafikerad väg erhöll ma följade klassidelade material:
Tid (miuter) 0 5 5 0 0 0 0 40 / 40 Atal bilar 0 5 5 5 Tidsavståde mella bilara ases vara oberoede observatioer av e stokastisk variabel Y. Udersök om X (t) atalet bilar som passerat i tidsitervallet (0 t) ka ases vara e poissoprocess med itesitet 0. bilar/miut. 89. Ur var och e av tre stora populatioer P P och P 3 av persoer valde ma slumpmässigt ut ett stickprov och klassificerade de uttaga persoera eligt följade tabell: mä kvior P 46 54 P 78 7 P 3 43 07 Prova på sigifikasivå 5 % hypotese att kösfördelige är de samma i de tre populatioera. 90. Vid e udersökig av vattekvalitete i Italie gjordes mätigar av ett visst bekämpigsmedel, som ma visste aväts i jordbruket. Följade värde (ppm) erhölls: 0 8 0 4 0 5 0 6 0 7 Mätresultate ka betraktas som ett slumpmässigt stickprov av e slumpvariabel X N( ) där och är okäda. Skatta och. Gör också ett tvåsidigt 95% kofidesitervall för, de geomsittliga halte av det udersökta bekämpigsmedlet i å. 9. För att bestämma kvicksilverhalte hos gäddor i e viss sjö lades ett atal ät ut. Geom tidigare studier i likade sjöar aser ma sig veta att kvicksilverhalte är N(m ) med =0.0 mg. Vilket är det mista atalet gäddor ma måste få om ma vill göra ett 95% kofidesitervall för m som är högst 0.005 mg brett? 9. Surhetsgrade i ett vattedrag bestäms varje fredag med hjälp av e ph-meter. Vid bestämige uppstår ett fel Y som atas vara ormalfördelat med vätevärde G och stadardavvikelse =0.05. Här bör G (= systematiska felet) vara 0 me på grud av feljusterig av ph-meter misstäker ma att G är 0.3. (a) Atag att vattets surhetsgrad varierar fredag till fredag som e slumpvariabel X som är ormalfördelad G N(5 5 0 5). Uder förutsättig att är 0.3, beräka saolikhete att mätresultatet e godtycklig fredag överstiger 6. (b) För att udersöka ph-meters feljusterig gör ma i ett laboratorium 5 oberoede bestämigar av ph-värdet på e lösig med kät ph-värde = 7, varvid medelvärdet av bestämigara blev 7.3. Gör ett 95% kofidesitervall för det systematiska felet G. Motsäger ditt resultat de tidigare misstake att det systematiska felet skulle vara 0.3? Motivera ditt svar. 93. Bestäm vätevärdet av Y dc (f ). 94. Visa att om X ec (f ) och Y fc (f ), X och Y oberoede, så gäller att X Y $c (f f ). 95. Halte av bly får vara högst 50 ppm på e viss arbetsplats. Vid mätig av halte uppkommer ett aalysfel varför ett mätresultat ka ases vara ett utfall av e slumpvariabel som är N (m 3) där m är de verkliga halte (i ppm) och stadardavvikelse =.3 är ett mått på aalysmetodes precisio. Vid e udersökig görs fem oberoede mätigar och arbetsmiljö ases vara betryggade (ur blysypukt!) om ett uppåt begräsat 95% kofidesitervall för m ligger helt till väster om värdet 50. Vad är saolikhete för detta om de verkliga halte m är 49 ppm? 96. På två olika fiskarter i Mississippiflode mättes mägde kvicksilver (ppm) hos 5 respektive 6 exemplar av artera. Fiskart : 35 44 70 48 44 Fiskart : 06 93 6 89 95 Eftersom de studerade fiskara har ugefär samma vikt och eftersom samma mätistrumet aväds vid alla mätigar atas följade modell: De i mätigara på fiskart i, x i x ii, är observatioer frå N( i H ). (a) Skatta. (b) Gör ett 95 % kofidesitervall för medelmägde kvicksilver i fiskart. (Ledig: Ma vill äve utyttja mätigara frå fiskart.) (c) På e tredje fiskart kude ma edast fåga ett exemplar så edast e kvicksilvermätig, 3.3 (ppm), kude oteras. Gör ett 95% kofidesitervall för medelmägd kvicksilver hos dea fiskart. 3
97. Dubbelbestämigar av klorhalte i dricksvatte uder 5 olika dagar gav följade resultat: Dag 3 4 5 Klorhalt 57 56 4 59 7 56 3 57 6 58 3 55 8 60 56 58 4 Atag att värdea är ormalfördelade med stadardavvikelse kostat för olika dagar meda de saa klorhalte varierar med dage. Beräka ett tvåsidigt 95 %-igt kofidesitervall för de saa klorhalte dag 5. 98. I e provtagigsjämförelse avseede ärsalter, utförd av Istitutet för tillämpad miljöforskig, fick ett atal laboratorier bestämma halte ammoiumkväve (NH 4 -N) i ett prov (samma ursprugsprov för alla bestämigar). Laboratoriera aväde olika aalysmetoder och speciellt var ma itresserad att jämföra e sabbmetod (metod ) med ett automatsystem (metod ). I ett prov där sat värde på halte NH 4 -N var 439.3 g/l fick ma följade resultat frå de olika laboratoriera: Laboratorier. 44 36 8 3 67 40 NH 4 -N halt 40 460 435 445 46 470 Aväd metod Laboratorier. 39 67 44 53 77 69 NH 4 -N halt 43 47 448 49 458 450 Aväd metod (a) Udersök om det fis e sigifikat skillad mella de två metodera beträffade geomsittlig NH 4 -N halt. Atag ormalfördeligar med samma varias. (b) Udersök om ågo av metodera har ett systematiskt fel vid bestämige. 99. E kemist udersöker föroreigara i Motala ström. Blad aat är ha itresserad av föroreigara frå e viss idustri lägs strömme. Ha tar därför uder 30 olika dagar prover uppströms och uder 40 adra dagar prover edströms räkat frå de aktuella idustri och mäter storleke av e viss föroreig i samtliga prov. Följade data erhölls: Medelvärde Stadard- Atal avvikelse prover Uppströms 3 8 30 Nedströms 86 38 7 40 (a) Bilda ett kofidesitervall som ka avädas för att bedöma edsmutsige 4 frå de aktuella idustri. Välj lämplig kofidesgrad. Värdea edströms var iblad små, 0-5, och iblad mycket stora, 80-50, vilket gör att observatioera ite ka atas komma frå e ormalfördelig. (b) Kommetera kemistes försökspla och föreslå e bättre. 00. Daghemmet Bullerby är beläget ära e kraftigt trafikerad väg. I samma stad, me omgive av ett stort gröområde, är daghemmet Ägslycka placerad. Frå vart och ett av de två daghemme valde ma slumpmässigt ut fem bar och mätte deras halt av bly (g/ml) i blodet: Bullerby 0 93 0 63 30 0 58 Ägslycka 0 96 0 43 0 93 0 85 0 48 (a) Ma misstäker att de geomsittliga blykocetratioe i blodet är högre hos Bullerbybar ä hos bar frå Ägslycka. Udersök om dea misstake är befogad geom att göra ett lämpligt kofidesitervall. Atag att variatioe i blyhalt iom ett daghem är ormalfördelad med e varias som atas vara de samma för de två daghemme. (b) Hur måga bar frå vardera daghemmet måste ma udersöka om ma med mist saolikhete 0.90 vill upptäcka e skillad i blyhalt på 0. g/ml med de type av test som aväds i a) på ivå 0.05? Atag att ma vill ta ut lika måga bar frå vardera daghemmet och att ma frå likade udersökigar tidigare aser det rimligt att ata att variase i ormalfördelige är 0.04. 0. I ett miljögiftförsök platerades e sommar popplar på e golfbaa, två stycke ära varje gree. Popplara sorterades i storleksordig vid platerige så att ugefär lika låga popplar hamade vid samma gree och så vidare. Efterföljade vår, de mars mättes höjde på alla popplar i cetimeter. Varje vecka fick popplara e hik med vatte. E poppel vid varje gree fick dessutom e dos av ett misstäkt miljögift. Vilke av de två som fick giftet lottades före första bevattigstillfället. De oktober mättes så slutlige höjde på alla popplara ige. I tabelle eda har de popplar som fått giftigt vatte markerats med e etta meda de som fått valigt
vatte markerats med e olla. Resultatet blev följade: Nr Gree Gift Mars Okt Skillad 75 46 0 78 6 48 3 0 76 30 54 4 87 37 50 5 3 87 3 45 6 3 0 85 39 54 7 4 0 87 54 67 8 4 88 47 59 9 5 94 6 3 0 5 0 90 54 64 6 90 3 4 6 0 89 59 70 3 7 0 93 3 39 4 7 94 37 43 5 8 0 95 57 6 6 8 95 43 48 7 9 00 37 37 8 9 0 96 44 48 9 0 0 87 43 56 0 0 88 34 46 98 39 4 0 99 57 58 3 0 6 5 4 0 04 73 69 Gör ett 95 % kofidesitervall för förvätad skillad i tillväxt mella popplar som vattas med valigt vatte och de som får giftigt vatte. Skriv upp de atagade om fördeligar som du gör. 0. Ett radioaktivt preparat säder ut partiklar med de okäda itesitete partiklar per miut. Efter 5 miuter har ma räkat till 69 partiklar. Atag poissofördelig och gör ett approximativt 95%-igt kofidesitervall för (a) 5, (b). 03. Atalet jordskalv uder ett år i ett område ases vara poissofördelat med parameter, dvs om X = atalet jordskalv uder ett år gäller X Po( ). (a) Gör e kokret tolkig av parameter. (b) Uder e 60-årsperiod har ma uppmätt i geomsitt.3 jordskalv per år. Gör ett kofidesitervall för med de approximativa kofidesgrade 95%. 04. Det statistiska uppföradet hos radioaktivt söderfall beskrivs väl av Poissofördelige eftersom saolikhete för söderfall per kära är lite och kostat samtidigt som atalet käror är mycket stort. De aturliga bakgrudsstrålige (uttryckt som atalet registrerade pulser per sekud) vid e viss mätpukt har e itesitet av 0 = sek, dvs atalet registrerade pulser uder e slumpmässigt vald sekud är poissofördelat med vätevärde. På grud av e olycka i ett mycket avlägset lad misstäker ma att itesitete har ökat. Atag att ma mäter 5 sekuder och därvid registrerar 0 partiklar. (a) Ställ upp lämpliga oll- och mothypoteser. (b) Utför testet på ivå 5%, redovisa tydligt di slutsats. 05. För att udersöka om avloppsvattet frå ett reigsverk iehöll substaser som påverkar e viss orgaism aväde ma 60 exemplar av orgaisme. Ma valde slumpmässigt ut 80 st och platerade dem i avloppsvattet med de övriga 80 platerades i ret vatte. Efter e viss period udersökte ma hur måga som överlevt i de båda miljöera. Resultat: Grupp Överlevt Ej överlevt Ret vatte 7 8 Avloppsvatte 64 6 Udersök, med ett lämpligt test, om det fis skillader mella de två gruppera beträffade överlevad. 06. Varje idivid i e viss populatio hör i geetiskt häseede till e av fyra kategorier K, K, K 3, K 4. Teoretiskt skall de fyra kategorieras storlekar förhålla sig som 9 : 3 : 3 :. Vid e udersökig av 60 slumpmässigt utvalda ur populatioe fick ma följade resultat: kategori K K K 3 K 4 frekves 78 4 7 3 Hur måga idivider skulle ma väta sig att få i respektive kategori om teori är riktig? Hur stor blir de testkvatitet med vars hjälp ma ka testa om (med lättbegripliga beteckigar) H 0 : p 9 6 p p 3 3 6 p 4 6 är sa? Utför testet på ivå 0 0. 5
07. I e udersökig frå 980 ville ma udersöka mägde koloxid i bilavgaser hos persobilar i trafik. Frå e livligt trafikerad väg valdes slumpmässigt 46 bilar ut och på dessa mättes mägde CO (g/km) i avgasera. Om e bil släpper ut mer ä 30 g CO per km ases det vara e oacceptabelt edsmutsade bil och kallas för edsmutsare. (a) Atag att ma udersöker 46 slumpmässigt utvalda bilar. Låt X =atalet bilar av de 46 som är edsmutsare. Variabel X är då e diskret slumpvariabel, age dess saolikhetsfuktio. (b) Atag att saolikhete att e bil är edsmutsare är 0.0. Vad är då saolikhete att mist 3 av de 46 bilara är edsmutsare? (c) Mydighetera har satt upp mottot att högst av 00 bilar ska ha ett CO utsläpp som överstiger 30 g/km. I de aktuella udersökige frå 980 var 3 bilar edsmutsare. Udersök, med ett lämpligt hypotestest, om udersökige tyder på att mottot ite är uppfyllt. Redogör för oll- och mothypotes. 08. Utsläppsröret frå de aturgaseldade paor som beskrivs i ilämigsuppgift är placerade på husets fasad på 3 meters avståd frå ärmaste föster. För att udersöka om gällade gräsvärde för kväveoxider på 0.0 ppm (98-percetile) är överskridet gjordes 300 oberoede mätigar vid föstret. Det aktuella gräsvärdet ska tolkas så att ma ka acceptera ågra estaka överskridade me att p=p(kväveoxidhalte / 0.0) får högst vara 0.0. (a) Låt X vara atalet gåger kväveoxidhalte överstiger 0.0 blad de 300 mätigara. Vilke fördelig har X? (b) Atag att för e mätig gäller att p=0.0. Vad är saolikhete att ma i de 300 mätigara har högst 0 överskridade? (c) Av de 300 mätigara visade det sig att kvävehalte översteg värdet 0.0 ggr. Tyder detta på att det är farligt att ha avgasröret så ära föstret, dvs är saolikhete för kväveoxidhalter som överstiger 0.0 högre ä det rekommederade 0.0? Age tydligt ollhypotes och mothypotes! 09. I e lösig av ett visst äme är ljusextiktioe y e lijär fuktio av kocetratioe x: y 4U:g Th x Ma har sju lösigar med de käda ko- och gör på var- cetratioera x x x 7 je lösig e bestämig av ljusextiktioe. Varje mätig störs av ett mätfel som är e observatio frå N(0 ). De erhålla resultate kallas y y : y 7. Resultat: x i 0.40 0.70.00.0.40.70.00 y i 0.3 0.34 0.4 0.55 0.6 0.77 0.84 (a) Hur mycket ökar (eligt modelle) ljusextiktioe då kocetratioeökas e ehet? Gör e skattig av dea storhet. (b) Gör e skattig av ljusextiktioes värde då kocetratioe är.0 och age skattiges stadardavvikelse uttryckt i. (c) Gör e skattig av ljusextiktioes värde då kocetratioe är 0 och age skattiges stadardavvikelse uttryckt i. (d) Gör e skattig av. 0. Ma geomför belastigsprov på alumiium. be- Vid sex käda belastigar x x x 6 stämmer ma de dragförlägig som respektive alumiiumprov uppvisar. De erhålla resultate kallas y y y 6. Resultat: x i (kn )..3 3.4 4.5 5 5.8 y i (0i mm) 46 8 9 4 3 Resultatet beskrivs av modelle y i 4U g Lh x ikj i där j j j 6 är oberoede observatioer frå N(0 ). (a) Gör ett 95 % kofidesitervall för de geomsittliga dragförlägige vid belastige 3 kn. (b) Gör ett 95 % prediktiositervall för dragförlägige vid belastige 3 kn.. Ma mätte de tid, y i, det tog för e viss målarfärg att torka om de iehöll olika kocetratioer, x i, av ett visst äme. Efter 300 försök, är ma alltså hade 300 värdepar (x i y i ), beräkade ma: x 6 0, y 80, S xx 96 0, S xy 460 0 och S yy 06 03. Atag att y i är e observatio frå N(U Th (x i x)h ). 6