vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

Relevanta dokument
vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Kontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson


DIAGONALISERING AV EN MATRIS

APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL

Stokastiska variabler

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

Binomialsatsen och lite kombinatorik

Analys av polynomfunktioner

Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

Multiplikationsprincipen

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.

Ett system är asymptotiskt stabilt om det efter en övergående störning återgår till sitt begynnelsetillstånd.

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Tentamen i Envariabelanalys 1

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

3 Samplade system. 3. Samplade system. Vad är ett samplat system? I ett tidskontinuerligt system är alla variabler x (t), y (t)

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Inklusion och exklusion Dennie G 2003

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Om komplexa tal och funktioner

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

c k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om

Kombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Manipulationer av algebraiska uttryck

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.

Matematisk statistik

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

Betygsgränser: För (betyg Fx).

FÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis

Kompletterande kurslitteratur om serier

Räkning med potensserier

101. och sista termen 1

Bertrands postulat. Kjell Elfström

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

TAMS15: SS1 Markovprocesser

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

KOMBINATORIK. Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2005 Eftertryck förbjudes eftertryckligen

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

Trigonometriska polynom

INTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )

MA2047 Algebra och diskret matematik

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

3-fastransformatorn 1

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

Euklides algoritm för polynom

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Taylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) optimering och iii) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Digital signalbehandling Digital signalbehandling

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer).

Sätesventiler (PN 16) VF 2-2-vägsventil, fläns VF 3-3-vägsventil, fläns

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Transkript:

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då allas för polyomets grad och iblad betecas grad( P( ) Alltså är polyomets grad lia med högsta föreommade epoet i uttrycet a a a0 4 Eempel Polyomet P ( 5 4 har grad, P ( 4 har grad 4, P ( 5 har grad och P ( 8 har grad 0 4 Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom Lösigar till evatioe P ( 0 dvs a a a 0 (ev) allas polyomets ollställe 0 Defiitio E evatio av type a a a0 0 allas för algebrais evatio Defiitio Ratioell futio är vote av två polyom, dvs uttrycet av type a b a a b b 0 0 E ratioell futio är defiierad edast om ämare är sild frå 0 a Evetuella ollställe till (de ratioella) futioe f ( b a a b b evatioe tälare0, dvs geom att lösa evatioe a a a0 0 0 0 får vi ur Eempel f ( är e ratioell futio 4 Futioe f ( är defiierad om ± 4 Frå evatioe "tälare0" dvs 0 får vi ollstället

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Uppgift Bestäm ollställe till fölade polyom a) P( 9 b) P( 4 9 c) P( 5 6 d) P ( 5 4 e) P ( 0 0 Lösig a) Nolställe till polyomet evatioe 9 0 P( 9 får vi geom att lösa (de algebraisa) Vi fatoriserar polyomet och därefter löser elare evatioer, fator() 0 9 0 ( 9) 0 ( )( ) 0 Alltså är 0,, polyomets ollställe Svar a) 0,, Lösig b) 9 0 ( 9) 0 0 eller 9 0 Frå 9 0 har vi 9 ± 9 ± Svar b) 0,, Lösig c) 5 6 0 ( 5 6) 0 0 eller 5 6 0 p p 5 5 Vi har 0 och 5 6 0, ± q, ± 6 4 Efter förelig, Svar c) 0,, Lösig d) För att lösa 4 5 4 0 iför vi substitutioe y och löser evatioe y 5y 4 0 som ger y, y 4 Frå har vi Frå 4 har vi Svar d),,, 4, ±,4 ± Lösig e) De här gåge fatoriserar vi polyomet geom att gruppera första två och sista två termer 0 0 ( ) 0( ) ( )( 0) Alltså 0 0 0 ( )( 0) 0, 0, 0 Svar e), 0, i 0 i i Fölade formler aväder vi ofta vid fatoriserig av ett polyom: i) a ( a)( a) ii) a ( ai)( ai) i p p iii) p q ( ( ) { där, ± q }

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom iv) a ( a)( a a ) v) a ( a)( a a ) Amärig: I formel iv) a ma fortsätta och fatorisera vidare uttrycet omplea fatorer ( eligt formel iii) Samma gäller för formel v) a a i 4 4 vi) a ( a )( a ) ( a)( a)( a ) { ( a)( a)( ai)( ai) om vi vill ha omplea fatorer} vii) a ( a)( a a a ) (Mer om fatoriserig av ett polyom ommer i adra dele av de här stecile) Uppgift Fatorisera fölade polyom i reella fatorer a) 4 b) 5 c) 0 d) e) 5 5 0 f) 8 g) h) i) 4 4 6 ) 5 Svar a) ( )( ) b) 5 ( 5) ( 5)( 5 ) c) 0 ( 5 6) ( )( ( ( ( 4)( d) ) e) 5 5 0 5( 6) 6( )( ) f) 8 ( )( 4) g) ( )( ) h) ( ) ( )( 4) ) ( )( ) 4 i) 4 6 ( 4) 6( ) ( )( ) 6( ) ( ( ) 6) ( )( 6) ( ) 5 4 ) ( )( ) Uppgift Fatorisera fölade polyom i liära fatorer Fatorera får iehålla omplea tal a) 4 b) 5 c) Lösig: a) 4 ( i)( i) b) Först vi löser evatioe 0 i, i Nu har vi ( ( ( i) ( i) Svar a) ( i)( i) b) ( i) ( i)

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Polyomdivisio: Defiitio: Om för polyome P (, Q (, K ( och R ( gäller (*) P( R( K( där grad ( R( ) < grad( Q( ) Q( Q( så allar vi K ( för vote och R ( för restterm vid divisio av P( med Q ( Sambadet (*) a ocså srivas som (**) P ( Q( K( R( ------------------------------------------------------------------- Om R( 0 säger vi att polyomet P( är delbart med Q ( Då gäller P ( Q( K( Eempel Utför divisioe Kotrollera resultat Lösig: 6 8 dvs bestäm vote och reste STEG Vi delar först terme med största epoete i tälare ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall ) Alltså / Därefter beräar vi gåger ( ) och subtraherar produte ( ) 4 frå polyomet P( 6 8 och får REST ( 6 8) ( 4 8 Detta utförs elast med hälp av e tabell ( 6 8 ) / ( ) ( 4 8 rest STEG Vi delar rest med ämare () på samma sätt som i STEG dvs vi delar terme med största epoete i rest, ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall 4

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Alltså vi delar / Vi adderar i vote och därefter subtraherar ()*8 Vi gör detta diret i tabelle : ( 6 8 ) / ( ) ( 4 8 rest -( 4 ) 4 rest Vi a ite fortsätta eftersom reste 4 har midre grad ä ämare Därmed blir vote och reste 4 Alltså vi a sriva P( R( K( Q( Q( dvs 6 8 4 Amärig: Ett aat sätt att tola resultat är att sriva P ( Q( K( R( dvs 6 8 ( )( ) 4 Kotroll Vi otroller resultat geom att beräa högerledet i resultatet: 4 4 4 Högerledet 4 4 4 8 västerledet Svar 6 8 4 Uppgift 4 Utför divisioe P( Q( och bestäm om polyomet P ( är delbart med Q ( a) 4 6 9 b) 6 8 5 Lösig: a) ( 4 6 9 ) / ( ) ( 9 rest 5

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom ( 9) 0 rest Reste R 0 Med adra ord är polyomet P ( 4 6 9 delbart med Q ( Vi a sriva 4 6 9 eller ( 4 6 9) ( )( ) b) ( 6 8 5) /( ) ( 4 6 Svar 5 rest ( 4 6) rest 6 8 5 Polyomet P ( 6 8 5 är INTE delbart med Q ( eftersom reste R är sild frå 0 FAKTORISERING AV ETT POLYNOM Låt P ( vara ett polyom Efter att vi utför polyomdivisio och delar P ( med ( a) a vi sriva P ( ( a) K( R Då uppebart gäller { P ( är delbart med ( a) ] } {R0} { P( ( a) K( } { P ( a) 0 } Fatorsatse Ett polyom P ( är delbart med ( a) om och edast om P ( a) 0 Med adra ord: Ett polyom P ( är delbart med ( a) om och edast om a är ett ollställe till P ( Uppgift 5 Bestäm om talet a är ett ollställe till polyomet P ( där a) P ( 6 4, a b) P ( 6 4, a 6

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom c) P ( i, a i Svar: a) Ja eftersom P ( ) 0, b) Ne eftersom P ( ) 0 c) Ja eftersom P ( i) 0 Uppgift 6 Talet är e lösig till evatioe 0 a) Bestäm alla lösigar Lösig: Polyomet är delbart med ( eligt fatorsatse) Polyomdivisioe ger a) ( ) / ( ) ( ) rest ( rest ( ) 0 rest Vi har var adragradsevatioe 0, ± 4, ± och Svar:,, ---------------------------------------------------------------------------------------- Fölade sats a vi aväda för att fia evetuella heltalslösigar till e algebrais evatio Sats om heltalslösigar Om de algebraisa evatioe a a a0 0 har heltalsoefficieter och e heltalslösig ( dvs är ett hel tal) då är de ostata oefficiete a0 delbart med Bevis Om är e heltalslösig då gäller a a a0 0 som vi a sriva som a a a0 Väster ledet är delbart med (otera att alla oefficieter a är eligt atagade hela tal och att fis i vare term) Därmed är ocså a0 delbart med Uppgift 7 Bestäm om fölade evatioer (med heltalsoefficieter) har heltalslösigar Lös evatioer om så är fallet 7

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom a) 8 0, b) 6 5 0 c) 0 Lösig a) Evetuella heltalslösigar är fatorer i de ostata terme dvs fis blad ± ± Vi testar alla fyra och iser att är e lösig till 8 0 Polyomdivisio ger ( 8 ) /( ) Frå 0 har vi, ± 5 Svar a), Svar b),, ±, ± 5 Lösig c) Ige av fatorer ± ± uppfyller evatioe implicerar att evatioe ite har ågo heltalslösig Amärig: Vi a fatorisera evatioe geom att gruppera första två termer: ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Härav / och, ± i (me ige heltalslösig) Algebras fudametal sats Vare polyom P ( av grad har mist e (reell eller omple rot Med hälp av de här satse och fatorsatse drar vi slutsatse att vare polyom a fatoriseras i liära fatorer eligt fölade: a a a a0 a ( ( ) ( ) (F) där är polyomets ollställe ( reella eller omplea) Uppgift 8 Låt P( 0 50 60 a) Bestäm polyomets ollställe b) Fatorisera polyom i liera fatorer Lösig: Vi får ollställe frå 0 50 60 0 Vi ombierar fatoriserig och formel för adragradsevatioer: 8

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Först bryter vi ut 0 och får evatioe 0 ( 5 6) 0 Härav först 0 och ( frå adragradsevatioe 5 6 0 ), Fatoriserig: a ( )( )( ) 0( 0)( )( ) P( Svar a) 0,, b) P ( 0( 0)( )( ) ----------------------------------------------------------- Polyom med reella oefficieter Om polyomets oefficieter a är reella tal då evetuella omplea ollställe föreommer i ougerade par a bi, a bi Om vi ösar fatoriserig i reella fatorer då grupperar vi motsvarade ougerade par: ( ( a bi))( ( a bi)) ( a bi)( a bi) ( a) ( bi) ( a) b a a b Alltså för att få e reell fatoriserig, ersätter vi ( ( a bi))( ( a bi)) i F med adragradspolyomet a a b Uppgift 9 Låt P( 4 5 a) Bestäm polyomets ollställe b) Fatorisera polyom i liära fatorer c) Fatorisera polyom i reella fatorer ( som då får iehålla adragradspolyom) Lösig: a) 4 5 0 ( 4 5) 0 0, i, i b) Fatoriserig i liära fatorer: P( a ( ( )( ( 0)( ( i))( ( i)) ( i)( i) c) Fatoriserig i reella fatorer ( som då a iehåller adragradspolyom) har vi reda fått i böra av uppgifte : ( 4 5) Svar a) 0, i, i b) P ( ( i)( i) c) P ( ( 4 5) 9

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Uppgift 0 Det omplea talet 5 5 0 i är e lösig till evatioe Bestäm alla lösigar Lösig: (Evatioe har reella oefficieter och i är e lösig ) i är ocså e lösig till evatioe och därför är evatioe delbart med ( )( ) ( i)( i) ( ) i 4 Polyomdivisioe ger ( 5 5) /( 4 5) ( ) dvs ( 5 5) ( 4 5)( ) De trede lösige får vi ur ( ) 0 5 Svar i, i, / Uppgift Det omplea talet i är e lösig till evatioe 5 6 0 Bestäm alla lösigar Lösig: (Evatioe har reella oefficieter och e omple lösig ocså e lösig till evatioe Därför är evatioe delbart med ( )( ) ( i)( i) ( ) ( 5 6 ) /( ) De trede rote får vi ur i ) i är 0 Svar i, i, 0

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Uppgift i är e lösig till evatioe 4 0 Bestäm alla lösigar Lösig: (Evatioe har reella oefficieter och i är e lösig ) i är ocså e lösig till evatioe och därför är evatioe delbart med ( )( ) ( i)( i) i Polyomdivisioe ger ( 4 ) /( ) Två lösigar till får vi ur Svar 0, 4 i, i,, 4 ---------------------------------------------------------------- Nollställe av högre multiplicitet Det a häda att vi får ågra lia liära fatorer termer i fatoriserige a a a a a )( ) ( ) (F) 0 ( Om vi grupperar lia liära fatorer då a vi sriva (F) på evivaleta forme K a a a a a Π( ) (F) 0 Epoetera K visar hur måga gåger upprepas fator ) i formel F ( Vi säger att är e rot av multiplicitete K Om t e K är ( eller ) då säger vi att är e dubbel rot ( trippel rot) till evatioe Uppgift Bestäm polyomets ollställe, fatorisera polyom i liära fatorer, och bestäm ollställeas multiplicitet, då a) P ( λ) λ λ 6λ b) P ( λ) λ 6λ 9λ Lösig: a) λ λ 6λ 0 λ( λ λ 6) 0 λ 0, λ, λ Alltså har polyomet ollställea λ 0, λ och λ Fatoriserig: P ( λ) λ( λ )( λ ) Eftersom vare fator λ, ( λ ) och ( λ ) föreommer eat e gåg i fatoriserige, ser vi att vare ollställe har multiplicitete b) λ 6λ 9 λ 0 λ ( λ 6λ 9) 0 λ 0, λ, λ Alltså har polyomet ollställea λ 0, och λ, ( dubbelrot)

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Fatoriserig: P ( λ) λ( λ )( λ ) λ( λ ) Härav ser vi att evatioe har två olia rötter ( tre totalt om ma räar med deras multipliciteter) : Rote λ 0 ( dvs λ 0) har multiplicitete meda rote λ ( dvs λ ) har multiplicitete, Uppgift 4 Låt P ( λ) λ λ λ Bestäm polyomets ollställe, fatorisera polyom i liära fatorer, och bestäm ollställeas multiplicitet Tipps: Ma a aväda formel ( a b) a a b ab b Lösig: Om vi aväder formel ( a b) a a b ab b med a λ och b får vi λ λ λ ( λ ) [ Alterativt a ma fia e rot blad heltals delare ( och -) till de ostata terme ( dvs ) i polyomet ] Härav får vi diret att evatioe P( λ) 0 har e trippelrot λ,, Alltså λ är e rot med multiplicitete Svar: λ,, P ( λ) ( λ ) Rote λ har de algebraisa multiplicitete Amärig: Ma a äve defiiera multiplicitete av e rot på fälade evivaleta sätt: Defiitio ( E evivalet defiitio för multiplicitete av ett ollställe) Om i är ett ollställe till polyomet P ( och K P( ( i ) g( där g ( i ) 0,för ett positive heltal K, då säger vi att i har multiplicitete K