7.2 Vägg med isolering

Relevanta dokument
7.2 Vägg med isolering (1D)

6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle)

6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle)

4.1 Förskjutning Töjning

4.1 Förskjutning Töjning

Epipolärgeometri och den fundamentala matrisen. Epipolarlinje. Epipoler. Exempel. vara dess avbildning i två bilder genom

1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

Föreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:

Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).

Räkneövning i Termodynamik och statistisk fysik

TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.

Räkneövningar populationsstruktur, inavel, effektiv populationsstorlek, pedigree-analys - med svar

Del 1 Teoridel utan hjälpmedel

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t

TSRT62 Modellbygge & Simulering

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2017

Tryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:

Umeå Universitet Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2018

Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12

Slumpjusterat nyckeltal för noggrannhet vid timmerklassningen

ATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Föreläsning 7. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 5. LTI system Signaler genom linjära system

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.

Algebra och geometri 5B Matlablaboration

Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE1025) den 3 juni 2010 kl

Inlämningsuppgift 2 i Digital signalbehandling ESS040, HT 2010 Måndagen den 22 november 2010 i E:B.

Föreläsning 5 och 6 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening

TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?

Sommarpraktik - Grundskola 2017

UNIKA MASKINER FÖR LÖNSAMMA PROJEKT SPARA:

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.

Vid tentamen måste varje student legitimera sig (fotolegitimation). Om så inte sker kommer skrivningen inte att rättas.

Lösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)

Referensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget

Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x,

Tentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag

NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR. Fördelningsfunk. t 2

NYTT STUDENT. från Växjöbostäder. Nu öppnar vi portarna på Vallen, kom och titta, sidan 3. Så här håller du värmen, sidan 4.

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

HSB ENERGIAVTAL EXEMPLET VÄRMLAND PER WIKSTRAND, HSB VÄRMLAND PRESENTATION HSB-BÅTEN 2015

Revisionsrapport Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten

lär dig mer om Olivolja

Laboration 1a: En Trie-modul

Fasta tillståndets fysik.

Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2017

Statistisk mekanik (forts) Kanonisk ensemble. E men. p 1. Inledande statistisk mekanik:

Tentamen 2008_03_10. Tentamen Del 1

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00

TRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad,

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden

Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE1025) den 15 mars 2011 kl

Revisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll

Uppskatta ordersärkostnader för inköpsartiklar

1.6 Castiglianos 2:a Sats och Minsta Arbetets Princip

(x y) 2 e x2 y 2 da, D. där D är den triangelskiva som har sina hörn i punkterna (0, 0), (0, 2) och (2, 0). dx + y 3 e y dy,

Elementær diskret matematikk, MA0301, våren 2011

Övning 1 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen

GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD

Ekosteg. En simulering om energi och klimat

OLYCKSUNDERSÖKNING. Teglad enplans villa med krypvind Startutrymme: Torrdestillation av takkonstruktion Insatsrapport nr:

Kommentarer till övningen om Jespers glasögon

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2016

Uppskatta lagerhållningssärkostnader

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00

arctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar

Revisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner

Bengt Sebring September 2002 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002

Tema Påverka Nyköping

Tentamen i Kemisk termodynamik kl 8-13

Lektionsuppgifter i regressionsanalys

Bengt Sebring September 2003 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 3/2003

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Uppskatta ordersärkostnader för tillverkningsartiklar

Delårsrapport

INTRODUKTION. Akut? RING:

Föreläsning 9: Beräkning av tröghetsmoment och tröghetsprodukter (kap ) Kinetisk energi för roterande stelt system: T rot

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment: TEN2 (analys) Datum: Lördag, 9 jan 2016 Skrivtid 13:00-17:00

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2018

Lösningsförslag: Tentamen i Modern Fysik, 5A1246,

Maskinorienterad Programmering 2010/2011. Maskinorienterad Programmering 2010/2011. Skrivarporten, p Arbetsbok MC12, avsnitt 2

KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)

Tunnling. Förra gången: Spridning mot potentialbarriär. B T T + R = 1. Föreläsning 9. Potentialmodell (idealiserad): U = U B U = 0

HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Min cykel. 5 Cykelhjälm Det är viktigt att använda cykelhjälm när man cyklar. Men hur ska cykelhjälmen sitta på huvudet för att ge bäst skydd?

om de är minst 8 år gamla

Transkript:

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 7. Vägg md isoring En vägg bfinnr sig i stady stat n vintrdag. Väggn bstår av cm yttrmatria och cm isoring. Givt: k. W cm k.6 W cm h. W cm Sökt: mpraturprofi gnom väggn och värmförustn när systmt är i stady stat. ösning: EM kvationn för värmtransport bir. I dt här fat (D) gär: hir A i B ki ABdx N hik PNdx h ir A v k r r r, r tas md för rspktiv randnod om värmt förs bort via konvktion istät för konduktion. Notra att dt myckt vä kan vara, och oftast faktiskt är, oika h vid oika rändr ftrsom h bror på tmpratur, fuidns viskositt, gomtri, tc. N N h A ir qadx hikp dx r r h ira värmgnration konvktionsbidrag r r b r sätts md sunt förnuft. Sätt hirj A om värmt transportras övr randn via konvktion, i om via konduktion, dt är antingn r. Notra tcknna för randvikort för värmdning! uriosa: Värmtransportn via stråning har försummats, vikt är ht ok i d fsta appikationr. Värmstråningn är därmot myckt viktig vid höga tmpraturr. ysr dt rött ska stråningsbidragt dfinitivt tas md! x kys gödtrådn i gödampor nästan utsutand gnom stråning. uriosa: ör d fsta fuidr är värmtransportn via värmdning försumbar i jämförs md konvktionsbidragt. Dt finns förstås undantag där värmdningn gnom fuidn får btyds, antingn för att fuidn har n hög värmdningsförmåga (t x mtasmätor), r där strömning är förhindrad (t x uft i n dunjacka). Matmatiskt stt är dt ingn skinad. Man mätr bara värmövrgångstat, h, och dunkar in dt i bräkningarna som vanigt. () ()

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 Strukturn modras md två mnt: Emnt : N N N N B B B B x x N dn dx dn B dx ka v ka dxka dx ormbad B B B B A är aran av dn bit av väggn vi modrar. Vi modrar n d av n stor vägg, så i sidd (y r z d), finns bara mr vägg. Dt finns atså ingn konvktiv kyning åt sidan. k Nod står i kontakt md dn kaa vintruftn konvktion på rand. Ingn konvktion på nod. ha r, r k h ka ha () A k v k r r k k Väggn är (förhoppningsvis) int radioaktiv, så ingn värm gnrras i matriat. q N qadx I annan ittratur kan värmgnrationn kaas q, och q A. (3) idigar konstatrad vi att vi int vi int har konvktiv kyning i y r z d. N h P dx dssa två hör atid ihop () k k Notra att h k, int är dtsamma som h! Varj yta har tt gt h, som bror på många paramtrar. (3) () b rån randvikorn vt vi att nod kys via konvktion, och nod dr bort värm. ha ha () r r

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 Emnt : Myckt är ikt i mnt och. v ka k Ingn konvktion på varkn nod r. Nod hås på konstant tmpratur, vikt tokas som att man dr in prcis så myckt värm som nodn kys, dvs tt raktionsföd. Jämför åst R D åst. r r R k ka () A k v k r r R b r R Assmbra: k k k k h k k k k A k k h ha d ka A dx x R R A C 3

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 k k h h k k k k C k k R A A A () Obs! Notra att C 3, man får int stryka radr och koonnr som vi tidigar gjort. Dtta åtgärdas dock ätt md n snabb omskrivning. Dt här sku motsvara n förskrivn förskjutning i håf. EM. k k k 3 3 k k k3 k 3 3 k k k33 k k k3 k33 3 3 k3 k3 k333 3 k3 k3 k33 3 k333 k3 k 3 3 k 3 33 k k h h k k k k k C k k R k A (6) Nu kan man ta fram sitt rducrad kvationssystm prcis som vanigt. k k h h.8 k rd rd C k k k C.6 rd rd.8.6 C rd (7) (8) mpratur varirar injärt man nodrna, och så sku dt faktiskt också s ut i vrkightn. k k k.w cm A A (9) R R () 3 3 Värmförustn är dt raktionsvärm som måst pumpas in i väggn för att håa C. Dt ngativa tcknt btydr att värmfödt är i ngativ x riktning.

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 Såhär kan tmpraturprofir s ut i vrkightn vid stady stat. I soidr varirar tmpraturn (approximativt) injärt, r styckvis injärt om dt är fra agr, som i dn här uppgiftn. Bidrna är snodda från Ragnhid Auns föräsningsantckningar i kursn ransportfnomn.

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 7.3 Värm + Easticitt Givt: C, C, 3 C P kn h. W cm k 3.9 W cm.8 E GPa cm b cm Sökt: a) mpraturprofi vid stady stat. b) örskjutningar och spänningar. ösning: a) mpraturprofi Vi börjar md vänstrdn, mnt och. Båda mntn har samma gomtri och matria. ka kb v, v, () 6

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 Båda kys md konvktion från sidan md samma värmövrgångsta. hb hb k, k, N hp N dx hb dx N N 3 3 P ormbad b, b, hpdx hb d hb hb b hb N N (3) Randnodrna dr bort sitt värm. Nodr och 3 har åst tmpratur raktionsföd. () R R r,, r, r R3 R3 Dags att sänga ihop dbidragn ti mntmatrisr och assmbra: kb hb kb hb 3 3.8.7 W.7.69.7.7.8 Man bör ta md åtminston värdsiffror ftrsom rsutatt ska användas i b), och avrundningsft ffortpantas, mn jag tar bara md så att vi sippr skriva så myckt. R R b r hb W C 3 C R3 R3.8.7 () R.7.69.7.7.8 R3 Atrnativ Vi man göra dt amänt kan man skriva om som i förra uppgiftn och får då.8.7 R.8 ().7.69.7.7.7,.7.8 R3.8 och härifrån kan man rducra sitt kvationssystm. 7

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 Atrnativ Man koar på rad dirkt: ().7.69.7.6 C.7.7.69 Utan avrundningn i styvhtsmatrisn had dt bivit.76 C, så vi användr dt i framtida bräkningar som invovrar på..76 C () ör högrdn är mntmatrisrna i princip idntiska som d vi just räknad ut, mn nu. kb hb kb hb 3 3 3..3 W.3..3.3. Nod är isorad R. Dt här kan jämföras md fri nod i strukturanays, D fri R. R R3 b r hb 8 W 3 C R3 Rducra systmt från..3 8.3.3 utan avrundning C.3. 38.87 (6) mp [ o C] 8 6 3 x [cm] 8

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 b) örskjutningar och Spänningar Randvikorn gr oss: R D 3 R, nodast D R D D P N (7) Bräkna styvhtsmatrisn: Eb Eb, 3 Eb Eb 3 rd 3 (8) ägg på trmisk ast (antag att stångn var C när dn spänds fast, C EA dx Eb d i, B x ): Eb d Eb Eb i, Eb 3 3 3968. 9. 3 3 Eb Eb 3. 3 3 6877. 9. N (9) 9

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 R 3968. 9. 9. rd () 6877. 6877. R 9. (7) (9) 3. N 3. N ös dt rducrad systmt: 3 Eb D 6877. 3.3 D 9..7 D 3 3. 7.83 6 m () 3 örskjutning [m] 3 x [cm] Notra hur matriat nära nod 3 xpandrar av värmn. Rsutatt bir att nod och nod fyttar sig bort från nod 3. Bräkna spänningar Här får man håa ko på att förskjutningn bstår av båd astisk och trmisk töjning. Spänningn bror på astisk töjning, så dn trmiska bitn måst dras bort. D D i E i, i EBd, i i E i, där i är mntts gnomsnittiga tmpraturökning. D E D i () Sätt in nodförskjutningar och nodtmpraturr för rspktiv mnt. oa nhtrna när ni sättr in ängdrna, ätt att råka sätta in sakr i cm. 3 7,9 MPa 9,9 MPa Dt här var mina sista övningsantckningar. Hoppas ni haft hjäp av dm, och ycka ti på tntan. //Rickard Shn

9 3 rshn@kth.s Värmtranport 7 73 7 9 Biaga ormr i värmtransport D N N N dn B dx B B N Styvhtsmatris i v k r r v B i B k N ik N r r ka dx hp dx hira om konvktion vid randnod om konvktion vid randnod hir A astvktor b r r om dt gnrras värm i matriat: N qadx b konvktion ut från sidan: N hpdx ik ir r r h A r r hir A