Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi betraktar e följd hädelser A, A 2, A 3,... och är itresserade av fråga om oädligt måga av dessa iträffar eller om möjlige bara ett ädligt atal av dem iträffar. Vi bildar F = A k och G = A k. Att G iträffar iebär att alla A k för k iträffar. Om det fis ågot sådat iebär det alltså att frå och med detta iträffar alla A k för k. Med H = G = iebär detta att om H iträffar fis ett så att alla A k med k iträffar. Iblad beteckas H med lim if A k. Att F iträffar iebär att det fis ågot A k för k som iträffar. Om F iträffar för alla iebär detta att oädligt måga av A k :a iträffar. Vi bildar därför E = F = A k. Om E iträffar, så iträffar alltså oädligt måga av A k :a. Iblad skrives detta lite behädigt som E = {A i.o.} där i.o. står för ifiitely ofte, dvs oädligt måga gåger. E beteckas iblad med lim sup A k. Ma oterar att F avtar i och att alltså P (E) = P ( A k F ) = lim P (F ) = lim P ( A k ).
Vi har dock eligt Booles sats att P ( A k ) P (A k ) och dea serie 0 då om serie P (A k) kovergerar. Detta iebär att vi visat följade sats som kallas Borel-Catellis sats. Sats Borel-Catellis sats Om P (A ) < så gäller att P (E) = P (A i.o) = 0, dvs att med saolikhet iträffar bara ädligt måga A. Ma ka otera att det i satse ite krävs ågo form av oberoede uta satse gäller helt geerellt. Det fis e omvädig av Borel-Catellis sats om ma atar att hädelsera A, A 2,... är oberoede. Sats 2 Omvädig till Borel-Catellis sats Om A, A 2,... är oberoede och P (A ) = så gäller att P (E) = P (A i.o) =, dvs att det med saolikhet iträffar oädligt måga A. Bevis: Vi har P ( A k) = P (A k) = ( P (A k )). Eftersom x e x erhålls P (A k ) e P (A k) och vi får P ( A k) exp( P (A k )). Om u P (A ) = så gäller att serie i expoete divergerar och ma får P ( A k) = 0. Alltså gäller äve som iebär att P ( P ( A k ) = P ( A k) = 0. A k) = 0 = dvs att oädligt måga A k : iträffar med saolikhet. 2
2 Några exempel på tillämpigar Exempel 2. Låt X, X 2, X 3... vara oberoede likafördelade med kotiuerlig fördelig. Vi låter { om X > X j för j =, 2,... U = 0 aars. Detta betyder att U = om X utgör ett rekord, dvs är det hitills största värdet. Vi låter A = {U = }. Ma iser att P (U = ) = / eftersom saolikhete att det största av värde skall komma i omgåg är / av symmetriskäl. Vidare är A, A 2,... oberoede. Vi har ju P (A m A m+... A m+k ) = P (A m A m+... A m+k )P (A m+... A m+k ) och A m och A m+... A m+k är aturligtvis oberoede eftersom A m bara berör storleksförhålladea blad de första m av X-variablera. Vi får då eftersom P (A ) = = att P (A i.o.) = dvs oädligt måga A iträffar. Vi får oädligt måga rekord ett resultat som kaske (?) är självklart. Vidare får vi E( U U + ) = E(U U + ) = P (A )P (A + ) = ( + ) < och alltså är U U + ädlig med saolikhet. Slutsatse är att det bara iträffar ett ädligt atal dubbelrekord, dvs rekord två gåger i rad ett resultat som på itet sätt är trivialt. Exempel 2.2 Låt X, X 2,... vara oberoede och likafördelade. Då gäller att E( X ) = me också E( X ) = 0 P ( X > x)dx = + P ( X > x)dx + P ( X > x)dx P ( X > ) + P ( X > ), P ( X > + ) = P ( X > ). Om u E( X ) < ser vi att P ( X > ) < som eligt Borel- Catellis sats medför P ( X > i.o.) = 0. Å adra sida, om E( X ) = och alltså P ( X > ) =, så ger omvädige till Borel-Catellis sats att P ( X > i.o.) =. Om E( X k ) är ädligt (respektive oädligt) kommer X att bli större ä oädligt måga gåger med saolikhet 0 (respektive ). 3
3 Bevis av stora tales lag i stark form Vi låter X, X 2,... vara oberoede likafördelade med E(X i ) = m och V (X i ) = σ 2 < och defiierar S = X + X 2 + + X. Vi är itresserade att visa att med saolikhet gäller att S / m då. Detta betyder alltså att vi vill visa att S P ( lim = m) =, dvs att det fis e mägd Ω 0 med P (Ω 0 ) = där för varje ω Ω 0 gäller att lim S m = 0. Vi behöver alltså visa att för varje ω Ω 0 och för varje ε > 0 fis ett N(ω, ε) så att om N(ω, ε) gäller att S / m ε. Det räcker att visa att lim P ( S m > ε ågot N) = 0. N Notera skillade mot stora tales lag i svag form, som säger att för alla ε > 0 P ( S m > ε) 0 då. I stora tales lag i stark form måste S / m vara litet för alla tillräckligt stora för alla ω Ω 0 där P (Ω 0 ) =. Vid slatsiglig ka vi koda kroa och klave som 0 respektive, och ka idetifiera ett ω med ett på måfå valt tal på itervallet [0, ] där biärbråksutvecklige ger sekvese. Vad stora tales lag då säger är att vi med saolikhet får ett tal sådat att adele :or i sekvese kovergerar mot /2. Det ka fias udatags -ω - t ex är vid slatsiglig sekvese 000... möjlig, me sådaa udatagssekveser har sammalagt saolikhet 0. Uta iskräkig ka vi ata att E(X i ) = m = 0 eftersom vi aars ka betrakta X i m. Vi har V (S ) = σ 2. Eligt Tjebyshovs olikhet gäller P ( S > ε) V (S ) (ε) 2 = σ2 (ε) 2 = σ2 ε 2. Tyvärr divergerar de harmoiska serie / så vi ka ite aväda Borel- Catellis sats direkt. Dock gäller /2 < och detta betyder att vi ka aväda satse för 2, =, 2,.... Vi har P ( S 2 > 2 ε) σ2 2 ε 2. Alltså gäller eligt Borel-Catellis sats att P ( S 2 > ε i.o.) = 0 som visar att 2 (med saolikhet ) S/ 2 2 0. Vi har alltså lyckats visa att för delsekvese 2, =, 2,... så har vi koverges med saolikhet. Återstår att reda ut vad som ka häda mella dessa 2. Vi defiierar därför D = max S k S 2, 2 k<(+) 2 4
dvs de största avvikelse frå S 2 som ka iträffa mella 2 och ( + ) 2. Vi får (+) 2 D 2 = max 2 k<(+) 2(S k S 2) 2 (S k S 2) 2, 2 där vi gjort de grova uppskattige att max( x, y ) ( x + y ). Detta ger E(D 2 ) (+) 2 2 E((S k S 2) 2 ). Me E((S k S 2) 2 ) = (k 2 )σ 2 2σ 2 då 2 k < ( + ) 2 och det är 2 termer i summa och det ger Med Tjebyshovs olikhet ger detta E(D 2 ) (2)(2)σ 2 = 4 2 σ 2. P (D > 2 ε) 42 σ 2 ( 2 ε) 2 = 4σ2 2 ε 2. Alltså gäller D / 2 0 med saolikhet. Till slut ger detta för k mella 2 och ( + ) 2 S k k S 2 + D S 2 + D 0. k 2 Detta iebär att vi lyckats visa att S / 0 med saolikhet. Vi har gjort detta uder tilläggsvillkoret att V (X i ) = σ 2, me med stor möda ka ma visa att detta tilläggsvillkor ej är ödvädigt. 5