1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av dea stok. var. : j=1 1.1.1 V.v.r. och effektivitet E(ξ) =... = µ V.v.r. är e förkortig av vätevärdesriktig. Puktskattige ξ är v.v.r. ty E(ξ) = µ. Ex 1 Udersök om edaståede stok. var. är v.v.r. för ξ k, k = 1, 2 som är likafördelade med gemesamt v.v. µ. (a) 0.5ξ 1 + 0.3ξ 2 (b) 0.6ξ 1 + 0.4ξ 2 Lösig: (a) E(0.5ξ 1 + 0.3ξ 2 ) =... = 0.8µ. Alltså ej v.v.r. (b) E(0.6ξ 1 + 0.4ξ 2 ) =... = µ. Alltså v.v.r. Ex 2 För två oberoede stok. var. ξ 1 och ξ 2 med samma µ me med olika stadardavvikelse 2.0 respektive 1.0. De observerade värdea är käda. Fråga är hur dessa skall avädas för att få e så effektiv v.v.r. skattig som möjligt. Lösig: E v.v.r skattig är tξ 1 + (1 t)ξ 2 med varias V (tξ 1 + (1 t)ξ 2 ) = t 2 2.0 2 + (1 t) 2 1.0 2 =: V (t). Det gäller att fia det mista värdet av V (t). Detta motsvarar ett miimum. V (t) = 10t 2 = 0 t = 0.2. V mi = V (0.2) = 0.8 med motsvarade stadardavvikelse σ = 0.89. 1
1.2 Cetrala gräsvärdessatse 1 1.2 Cetrala gräsvärdessatse Vi har sett summa av två ober. stok. var. Som är diskreta. Ex 3 I ett tidigare exempel har vi ξ som atal datorer som säljs uder e vecka i affäre Datorörd. Vi atar vidare att frekvesfuktioe är x 0 1 2 P (ξ = x) 0.3 0.4 0.3 Vi låter vidare ξ 1, ξ 2 och ξ 3 vara atal sålda datorer uder vecka 1, 2 respektive 3. Vi atar att dessa är oberoede och har samma fördelig d.v.s. som i tabelle ova. Lösig: Det betyder att vi söker fördelige hos summa η = ξ 1 + ξ 2 + ξ 3. Det är självklart att η ka ata värdea 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hur fördelar sig saolikhetera för η? P (η = 0) = 0.3 3. Fördelige., d.v.s. frekvesfuktio (saolikhetsfuktio) är frå 0 till 6. 0.027, 0.108, 0.225, 0.28, 0.225, 0.108, 0.027 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 1 2 3 4 5 6 Geom att addera fler likafördelade stok. var., får ma e kurva, som allt mer likar e ormalfördelig. Sats 1 (Cetrala gräsvärdessatse) Låt ξ 1, ξ 2,..., ξ vara oberoede likafördelade stokastiska variabler (d.v.s. med gemesamt vätevärde µ och varias σ 2 ). Sätt Då gäller för stora att ζ = ξ k. k=1 ζ approximativt har fördelige N(µ, σ ) (1) 2
1.2 Cetrala gräsvärdessatse 1 Kommetarer Det följer att ξ har approximativt N(µ, σ/ ). Tumregel för approximatioe är 30. Ex 4 (a) Vad är saolikhete att ma i datoraffäre Datorörd säljer fler ä 54 datorer uder ett år? (b) Vad är saolikhete att det säljs i geomsitt högst 0.9 datorer i vecka? Förutsett att försäljige vecka för vecka är ober. Lösig: (a) Vätevärdet µ = 1 för försäljge uder e vecka. Motsvarade varias är V = (0 2, 1 2, 2 2 ) (0.3, 0.4, 0.3) 1 2 = 0.6, σ = 0.6. Saolikhete at ma säljer fler ä 54 datorer uder ett år är ( 54 1 1 Φ = 0.36 0.6 52 ) (b) Saolikhetsfördelige är N(1, 0.6/ 52) ζ och vi söker saolikhete ( ) 0.9 1 P := Φ = Φ( 0.930949...) = 0.17594 0.18. 0.6/ 52 Svar (b) Saolikhete att ma säljer högst 0.9 datorer per vecka är 0.18. Ex 5 För e produkt har ma fått följade värde: 47.72, 49.67, 46.7343, 49.15, 50.58, 49.29. Det ka ses som e observerade mätvärde av e ormalfördelad variabel ξ N(µ, 1.1). Stadardavvikelse är alltså käd. Producete påstår att mediavärdet är 50.00. Testa detta med ett symmetriskt kofidesitervall i (a) och (b) på sigifikasivå (a) 95% (b) 99% 1. Slutsatser? Lösig: 3
1.2 Cetrala gräsvärdessatse 1 (a) 95%: Vi får observerad puktskattig ξ = 48.8569. itervallet är [ x λ α/2σ, x + λ ] α/2σ 6 6 Det symmetriska Med blir kofidesitervallet [48.8567 λ α/2 = λ 0.025 = {tabell} = 1.96 x 1.96 1.1 1.96 1.1, x + ] = 6 6 1.96 1.1 1.96 1.1, 48.8567 + ] = [47.9765, 49.7368] 6 6 (b) 99%: Här är kvatile Motsvarade itervall är λ α/2 = λ 0.005 = 2.57583. [47.6999, 50.0134] (c) I (a) gäller att 50.00 / [47.9765, 49.7368] Det betyder att med 95% saolikhet så är µ 50.00. I (b) gäller att 50.00 [47.6999, 50.0134]. Vi ka alltså med 99% ite påstå att µ 50.00. Kommetarer Det som beskrivs i detta exempel är ett hypotestest. Att påstå att µ 50.00 Producetes påståede att µ = 50.00 är ollhypotese H 0. Etthypotese H 1 är µ 50.00. I exemplet förkastas H 0 på sigifikasivå 95% me förkastas ite på sigifikasivå 99%. Ia ma ger kofidesitervallet har ma e itervallskattig [ ξ λ α/2 σ, ξ + λ ] α/2 σ (2) Ia ästa exempel tar vi upp vilke fördelig som e summa ξ 1 + ξ 2 ka ha. 1. Om ξ k är biomialfördelade och oberoede samt ξ 1 Bi( 1, p) och ξ 2 Bi( 2, p), d.v.s. samma p, så är ξ 1 + ξ 2 Bi( 1 + 2, p) (Bevis m.h.a. idikatorvariabler). 2. Om ξ k N(µ l, σ k ), så är ξ 1 + ξ 2 N(µ 1 + µ 2, σ 2 1 + σ2 2 ). 4
1.3 Itervallskattig då σ okäd 1 Ex 6 Ett byggprojekt av bostäder åt studeter betår av två momet, lägga grud och sätta upp väggar och tak. Dessa momet är N(2.0, 0.4) och (N)(1.5, 0.3) i ehete 30 dagars perioder (d.v.s. 1.5 betyder 1.5 30 = 45 dagar etc). Var är saolikhete att byggtide totalt tar mer ä 120 dagar? Atag att de två mometes tidsåtgåg är oberoede. Lösig: Låt de två mometes tidsåtgåg vara ξ resp. ζ och sätt x = 4.0 (eftersom 30 4.0 = 120). Totala byggtide är då ξ + ζ N(2.0 + 1.5, 0.4 2 + 0.3 2 ). De sökta saolikhete är ( ) 4.0 3.5 1 Φ = 0.158655 16%. 0.5 Saolikhete att byggprojektet tar mer ä 120 dagar är 16%. 1.3 Itervallskattig då σ okäd Vi gör u det i fallet få σ måste skattas, d.v.s. är okäd. Vi puktskattar då σ = 1 (ξ k ξ) 1 2 Vi atar att det fis ett c, sådat att vid e symmetrisk itervallskattig med kofidesgrad 1 α, t k=1 P (ξ k σ < µ) = 1 α/2. Detta ka skrivas om till e jäm fuktio ( ) ξ µ P σ / < k = 1 α/2. De stokastiska variabel, obs! Både säljare och ämare är stok. var. ξ µ σ / är, ka ma visa, t fördelad med 1 frihetsgrader. Dea fördeligsfuktio är tabellerad. Ex 7 Vid mätig av strålig frå mobiltelefo har ma följade stickprov (Ehet mr/h), som atas vara observerade värde frå e ormafördeig. 0.50 5
1.3 Itervallskattig då σ okäd 1 mr/h är rekommederat maxvärde. Ett mobiltelefoföretag påstår att medelstrålige är 0.45 mr/h. {0.4, 0.48, 0.6, 0.15, 0.5, 0.8, 0.5, 0.36, 0.16, 0.89}. Ge ett edåt begräsat 99% kofidesitervall för strålige. Lösig: (Observerat) medelvärde och stadardavvikelse är x = 0.484 respektive σobs = s = 0.239824. Itervallet är ( ] s x t 1,0.99, +. = 10, så att tabellvärdet t 9,0.99 = 2.9 vilket ger itervallet [0.280, ). Vi ka ite förkasta företagets hypotes att medelstrålige är 0.45 mr/h, på 95% :s sigifikasivå. Om 0.45 hade varit t.v. om itervallets om itervallets edre gräs hade vi förkastat företagets hypotes (ollhypotese). Kommetarer Företagets hypotes, ollhypotese H 0 att µ = 0.45 ställs mot mothypotese H 1, som här är att µ > 50.0. H 0 ka ite förkastas på 95%.s sigifikasivå. t fördeligess frekvesfuktio beror på och ser ut så här ( ) /2 f (x) = c 1 + x2. 1 Med lite kuskaper om gräsvärde, ka ma visa att f (x) 1 2π e x2 /2 = ϕ(x) då Stadardormalfördeliges frekvesfuktio. Om stort ( 30) d.v.s. ett stickprov på e godtycklig fördelig blir det approximerade symmetriska kofidesitervallet [ x λ α/2 s, x + λ ] α/2 s. Ma aväder λ α/2 i ställer för t 1,α/2 ty f (x) ϕ(x) för 30. 6