EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Baires ategorisats och dess tillämpigar av Kristia Nilsso 007 - No 4 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 069 STOCKHOLM

Baires ategorisats och dess tillämpigar Kristia Nilsso Examesarbete i matemati 0 poäg, påbyggadsurs Hadledare: Adrzej Szuli 007

Sammafattig Arbetet går ut på att bevisa Baires ategorisats och att redogöra för vissa av dess tillämpigar. Speciellt aväder vi dea sats för att visa ågra lassisa resultat i futioalaalyse: satse om de öppa avbildige, Baachs sats och Baach-Steihaus sats. Dem tillämpar vi seda bl.a. för att visa att de flesta otiuerliga futioer ite är otiuerligt deriverbara samt att det fis otiuerliga periodisa futioer vilas Fourierserier divergerar i vissa puter.

Författares tac Jag sulle vilja rita ett stort tac till mi hadledare Adrzej Szuli för itressata disussioer, mycet bra förlarigar av teori och ett stort tålamod med dea gravida och iblad smått orade författare. Ett stort tac äve till mi ma, Ulf, som har ommit med värdefulla åsiter och frågor och hjälpt mig med uderveret Microsoft Word. Och till sist vill jag ge e stor ram till mia härliga och busiga bar som i tid och otid stört mig i pluggadet geom åre och fått mig att få perspetiv på tillvaro! 3

4

INNEHÅLL INTRODUKTION...7 DEFINITIONER...0 3 BAIRES KATEGORISATS...4 3. DEFINITION...4 3. BAIRES KATEGORISATS...5 4 BANACHRUM OCH DERAS ELEMENTÄRA EGENSKAPER...8 4. DEFINITIONER...8 4. EXEMPEL PÅ BANACHRUM...8 4.. Det reella rummet R och det omplexa rummet C....8 4.. Futiosrummet Cab...9 [, ] 4.3 LINJÄRA OPERATORER MELLAN BANACHRUM...0 5 SATSEN OM DEN ÖPPNA AVBILDNINGEN OCH DESS KONSEKVENSER... 5. SATSEN OM DEN ÖPPNA AVBILDNINGEN (OPEN-MAPPING THEOREM)... 5. BANACHS SATS...4 5.3 EN TILLÄMPNING AV BANACHS SATS...5 6 BANACH-STEINHAUS SATS OCH DESS TILLÄMPNINGAR...6 6. BANACH-STEINHAUS SATS...6 6. EN ENKEL TILLÄMPNING...8 6.3 TILLÄMPNING PÅ FOURIERSERIER...9 7 REFERENSER...3 5

6

Equatio Sectio Itrodutio Jag börjar arbetet med att i apitel, Defiitioer, göra e sammaställig av de defiitioer som ommer att avädas seare i arbetet, detta för att läsare på ett elare sätt sa ua sätta sig i i satsera uta att subbla på uttryc som aväds. Se i apitel 3, Baires ategorisats, går jag vidare till själva grudsatse för detta arbete, Baires ategorisats. Satse visar att om ett metrist rum är fullstädigt så är det av adra ategori. Ia jag går i på själva satse och beviset för dea så defiierar jag Baires ategorier som är e ödvädighet för reste av arbetet. I apitel 4, Baachrum och deras elemetära egesaper, så börjar jag med att defiiera vad ett Baachrum är, därefter så går jag igeom tre exempel på Baachrum: det reella rummet R, det omplexa rummet C och till sist det rum som vi ommer att aväda i seare satser, futiosrummet Cab. [, ] Jag går äve igeom lijära operatorer mella Baachrum i detta apitel. Där visar jag att om de lijära operator T är bijetiv så är ocså iverse lijär. Till sist i detta apitel visas de vitiga satse att de lijära operator, T, är otiuerlig om och edast om de är begräsad. Kapitel 5, Satse om de öppa avbildige och dess oseveser, behadlar satse om de öppa avbildige, som säger att e surjetiv och begräsad lijär operator, T, mella två Baachrum är e öppe avbildig, d.v.s. de lijära operator, T, avbildar surjetivt öppa mägder på öppa mägder. Detta apitel tar äve upp Baachs sats, avsitt 5., som säger att bilde av ett Baachrum, TX, atige är av första ategori i dess målmägd, Y, eller så är bilde lia med hela målmägde, TX = Y, och iverse, T, är då e begräsad lijär avbildig. För att ua bevisa Baachs sats så aväder jag mig av satse om de öppa avbildige. Och slutlige i detta apitel så går jag igeom e tillämpig av Baachs sats, avsitt 5.3. Dea tillämpig säger att rummet C [ 0,] av otiuerligt deriverbara futioer på itervallet [ 0, ] är av första ategori i rummet C [ 0,] av otiuerliga futioer på [ 0, ]. Detta iebär att de flesta otiuerliga futioer ite är otiuerligt deriverbara. I apitel 6, Baach-Steihaus sats, går jag igeom Baach-Steihaus sats. Dea sats säger att om X och Y är två Baachrum och ( T α ) är e familj lijära operatorer mella dessa rum, samt om dessa operatorer är liformigt begräsade i varje put x X så är de liformigt begräsade. Med adra ord så säger satse att liformig begräsig i varje put x implicerar x -oberoede liformig begräsig. I avsitt 6., E eel tillämpig, aväder jag mig se av Baach-Steihaus sats för att visa att det ormerade rummet X av polyom x( t) = α0 + α t+... + α t ite är fullstädigt. 7

Och äve i avsitt 6.3, Tillämpig på Fourierserier, aväder jag mig av Baach-Steihaus sats för att visa att det existerar reellvärda otiuerliga periodisa futioer vilas Fourierserier divergerar i vissa puter. 8

Baires ategorisats Baachrum Lijära operatorer Satse om de öppa avbildige Baach-Steihaus sats Baachs sats Det ormerade rummet av alla polyom är ite fullstädigt. C [0,] är av första ategori i C[0,] Det existerar otiuerliga periodisa futioer vilas Fourierserier divergerar i vissa puter. 9

Equatio Sectio (Next) Defiitioer För läsares bevämlighet har vi här sammaställt återommade defiitioer i arbetet. Defiitioera redovisas i bostavsordig. Baachrum: Ett Baachrum är ett fullstädigt ormerat rum. bijetiv: Låt X och Z vara två mägder och f e futio, f : X Z. Då sägs f vara bijetiv om det för alla z Z fis exat ett elemet x X sådat att f ( x) = z. f är bijetiv om f är både ijetiv och surjetiv. 3 4 A B C D Cauchyföljd: E följd x av elemet i ett metrist rum X allas för e Cauchyföljd om det till varje ε > 0 fis ett N sådat att d( xm, x) < ε om m, N. Alterativt a detta uttrycas som att d( x, x ) 0 då mi( m, ). m defiitiosmägd: Låt X och Z vara två mägder och f e futio, f : X Z, då allas mägde X för e defiitiosmägd till f. fullstädigt: Ett metrist rum sägs vara fullstädigt om varje Cauchyföljd är overget. lijärt futiosrum: Ett lijärt rum allas för ett lijärt futiosrum om dess elemet är (salär- eller vetorvärda) futioer defiierade på e mägd M, och additio och multipliatio med salär ser putvis, d.v.s. f + g och cf defiieras geom ( f + g)( x) = f( x) + g( x) och ( cf )( x) = cf ( x). gräsvärde av följd: E (oädlig) följd x i ett metrist rum X sägs ha gräsvärdet x om det för varje ε > 0 existerar ett N sådat att > N medför att d( x, x) < ε. (Ädliga följder ases ite ha ågot gräsvärde). hopigsput: Låt S vara e delmägd till ett metrist rum X. E put x sägs vara x av puter, alla silda frå x, i S såda att hopigsput till S om det fis e följd ( ) x x då. igestas tät: E delmägd E till ett metrist rum X sägs vara igestas tät i X om det sluta höljet till E ite har ågra ire puter. 0

ijetiv: Låt X och Z vara två mägder och f e futio, f : X Z. Då sägs f vara ijetiv om f ( x) = f ( z) implicerar att x = z. Alterativt uttryct är futioe ijetiv om varje värde i dess värdemägd motsvaras av exat ett värde i dess defiitiosmägd. 3 A B C D ire put: Pute x sägs vara e ire put till mägde M X, om det fis ett lot B med medelpute i x sådat att B M. lot: Om a är e put i ett metrist rum X, allas mägde { x : d( x, a) r} för det sluta lotet med medelput a och radie r. Det öppa lotet, som betecas med B( ar, ), defiieras på motsvarade sätt fast med sträg olihet <. otiuerlig: Om X och Z är metrisa rum är futioe f : X Z otiuerlig i x om det för varje ε > 0 existerar ett 0 d f x, f z ε d x, z < δ. overges av serie: E serie om delsummora s = 0 ( ) δ > sådat att ( ) ( ) < om ( ) x i ett ormerat rum sägs vara overget med summa s = 0 = x har gräsvärdet s då. liformig otiuitet: Om X och Z är metrisa rum är futioe f : X Z liformigt otiuerlig om det för varje ε > 0 existerar ett δ > 0 sådat att det för alla x, x X med (, ) < δ gäller att ( ), ( ) d x x ( ) d f x f x < ε. (Sillade mot valig otiuitet är att för liformigt otiuerliga futioer går det att fia ett δ som är avädbart över hela rummet.) metri: Låt M vara e mägd. E reellvärd futio d: M M R sägs vara e metri på M om de uppfyller följade villor: a) (positivitet) d( x, y) 0 för alla x, y och d( x, y ) = 0 då och edast då x = y. b) (symmetri) d( x, y) = d( y, x) för alla x, y. c) (triagelolihete) d( x, y) d( x, z) + d( z, y) för alla x, yz, M. målmägd: Låt X och Z vara två mägder och f e futio, f : X Z, då allas mägde Z för e målmägd till f.

orm: E reellvärd futio x a N( x) på ett lijärt rum V (reellt eller omplext) allas för e orm om de uppfyller följade tre villor: a) (homogeitet) N( cx) = c N( x) för alla salärer c och alla x V. b) (triagelolihet) N( x+ y) N( x) + N( y) för alla x, y V. c) (strit positivitet) N( x) 0 för alla x och N( x ) = 0 om och edast om x = 0. Normer betecas ofta med x. ormerat rum: Ett lijärt rum V försett med e orm. förses med metrie d( x, y) = x y. allas för ett ormerat rum. Det omgivig: Låt M vara e delmägd till ett metrist rum X. M sägs vara e omgivig till pute x, om det fis ett ε > 0 sådat att varje put y med avståd < ε till x ligger i M. radput: Pute x sägs vara e radput till mägde M, om det godtycligt ära x fis både puter i M och puter utaför M. slute mägd: E mägd är slute om dess omplemet är e öppe mägd. Alterativt: de iehåller alla sia radputer. slutet hölje: Låt M vara e delmägd till ett metrist rum X. Med det sluta höljet M av M meas de mista sluta mägd i X som iehåller M. De a ocså arateriseras som mägde av ire puter och radputer till M eller mägde av alla puter som är gräsvärde till ågo overgerade följd i mägde M. surjetiv: Låt X och Z vara två mägder och f e futio, f : X Z. Då sägs f vara surjetiv, om det för varje z i Z fis ett x i X sådat att f ( x) = z. Detta iebär att varje värde i e surjetiv futios målmägd motsvaras av mist ett värde i dess defiitiosmägd, eller evivalet, att futioes målmägd är lia med dess värdemägd. 3 4 A B C tät: Låt M och N vara delmägder till ett metrist rum X, M N. Om M N så sägs M vara tät i N. Detta a ocså uttrycas så att varje put i N är gräsvärde av e följd av puter i M. värdemägd: E värdemägd eller bildmägd är mägde av alla värde e futio a ata. Givet e futio f frå mägde X till mägde Y så är f ( X ) värdemägde till f. Observera att värdemägde till f ite säert är samma sa som målmägde Y, uta begräsas till de värde som f verlige atar, värdemägde är alltså e delmägd av Y.

yttre put: Låt M vara e delmägd till ett metrist rum X. Pute x sägs vara e yttre C put till mägde M, om dess omplemet i X, M, är e omgivig till x. öppe mägd: E mägd är öppe om de är e omgivig till alla sia puter. Alterativt: de iehåller ige av sia radputer. övre begräsig: Talet K sägs vara e övre begräsig till futioe f på mägde M om f ( x) K för alla x M. 3

Equatio Sectio (Next) 3 Baires ategorisats 3. Defiitio (Teori i detta avsitt ommer frå referesera [], [4] och [5].) E delmägd E till ett metrist rum X sägs vara a) igestas tät i X om det sluta höljet till E ite har ågra ire puter. b) av första ategori i X om E är uioe av uppräeligt måga igestas täta mägder. c) av adra ategori i X om E ite är av första ategori i X. Varje reellt tal betratat som e mägd är e igestas tät delmägd av R. Så e specifi put i Q är igestas tät i R och tar ma alla dessa puter, som är e uppräelig mägd, så är de av första ategori i R, eligt b) i defiitioe ova. Alltså är Q samtidigt av första ategori i R och e tät delmägd av R. Q är e tät delmägd i R eftersom varje itervall, hur litet det ä är, iehåller ratioella tal. Sats. E uppräelig uio, av mägder av första ategori, är av första ategori. Bevis. Låt A = U A, där varje = A är av första ategori. Eligt defiitio är då A = U A, m, där varje A, är igestas tät. m= Eftersom mägde {( m, ) : N, m N} är uppräelig (eligt [4], Sats.) och A= U A, d.v.s. A är e uppräelig uio av igestas täta mägder så är A av första m, = ategori. m, V.s.b. m Rummet R är fullstädigt, och därmed av adra ategori i sig självt eligt Baires ategorisats eda. E vitig slutsats frå satse ova är att irratioella tal är av adra ategori i R, för aars vore R=Q (R-Q) av första ategori i R. Vi oterar ocså att rummet R, betratat som { (, ) x y R : y = 0 } (och därmed e delmägd av R ) är igestas tät i R. Alltså är R av adra ategori i sig självt me av första ategori i R. Slutsatse är att det är meigslöst att tala om ategori av e viss mägd A uta att age det rum i vilet A betratas. 4

3. Baires ategorisats (Teori i detta avsitt ommer frå referesera [] och [5].) Sats. Om ett metrist rum X är fullstädigt, så är det av adra ategori i sig självt. Notera. Det följer då att om X är fullstädigt och (3.) X = U A = där alla A är sluta, då iehåller åtmistoe e av mägdera delmägd. A, e ice-tom öppe Bevis. Atag att det fullstädiga metrisa rummet X är av första ategori. Låt (3.) X = U M = och varje M är igestas tät i X. Vi sall ostruera e Cauchyföljd ( p ) med hopigsput p som ite fis i ågo M, d.v.s. vi hittar e motsägelse till (3.). Geom atagade så är M igestas tät i X, d.v.s. M iehåller iga ire puter i X. Me X iehåller ire puter eftersom ett metrist rum alltid är öppet i sig självt. Detta iebär då att M X och då får vi att M C = X M är e öppe och ice-tom mägd, C eftersom vi tagit bort e slute mägd. Vi a således välja e put p i M och ett öppet lot, B, med medelpute i p och radie ε. Vi a dessutom ata att ε <. X M B p C ( ; ε) B = B p M ε < Vi forsätter u vidare med att ostatera att M geom atagadet är igestas tät i X och som M ova så iehåller M iga ire puter i X. M iehåller då ite heller det öppa lotet B( p; ε ). Eftersom B a me ite behöver sära M får vi u e av följade två situatioer: 5

) Att B ite sär M : X M B p M ) Att B sär M : X M B p M Vile av situatioera som jag u väljer spelar ige roll eftersom jag ommer att aväda mig av sittet mella B och M. C 6

C Vi har u att M I B( p; ε) är e ice-tom och öppe mägd. Vi a u återige välja e put p i de mägde och ett öppet lot, B, med medelpute i p och radie ε. Vi har alltså att C B = B( p; ε ) M I B( p; ε), ε < ε B B p p M Vi fortsätter på ovaståede sätt och får då till slut e följd av lot: B = B( p, ε ), ε < så att B I M = och B+ B( p; ε ) B,,,... = Vi har då för varje m och > m att så är B B( pm; ε m) Bm och det följer att om, d( p, ) (, ) (, ) p d p pm + d pm p < ε <. Alltså är ( p ) e Cauchyföljd, och de overgerar mot ett p X eftersom X är fullstädigt. Då pm B för m, måste ocså p B, och detta gäller för alla. Eftersom B m C m M så ser vi att p M m för ågot m, så att p Mm = X. Detta motsäger att p X. V.s.b. U m= > m, Att X är fullstädigt är vitigt, för t.ex. om ma tar X = Q, som ite är fullstädigt, så är Q av första ategori i sig självt. Equatio Sectio (Next) 7

4 Baachrum och deras elemetära egesaper 4. Defiitioer (Teori i detta avsitt ommer frå referes [].) E orm på ett lijärt rum X är e futio : X R såda att a) x 0 b) x = 0 x = 0 c) αx = α x d) x + y x + y (Triagelolihete) x och y ova är godtycliga vetorer i X och α e godtyclig salär. Ett lijärt rum med e orm allas för ett ormerat rum. E metri d på X defiieras geom orme på följade sätt: d( x, y) = x y ( x, y X) Det följer ur a)-d) att d( x, y ) = 0 om och edast om x = 0, d( x, y) d( y, x) d( x, y) x y ( x z) ( z y) x z z y d( x, z) d( z, y) = och = = + + = +. Alltså är d verlige e metri. Ett ormerat rum som är fullstädigt m.a.p. metrie d ova allas för Baachrum. 4. Exempel på Baachrum 4.. Det reella rummet R och det omplexa rummet C. (Teori i detta avsitt ommer frå referes [].) Rummet R består av mägde av alla ordade -tuplar av reella tal, som vi sriver på forme x = ( ξ,..., ξ ), y = ( η,..., η ) osv, och metrie för detta rum defiieras eligt (4.) ( ) ( ) ( ) d x, y = ξ η +... + ξ η. Rummet C består av mägde av alla ordade -tuplar av omplexa tal med e metri defiierad eligt (4.) ( ) d x, y = ξ η +... + ξ η. När = så har vi det omplexa plaet C med de valiga metrie defiierad eligt d x, y = x y. ( ) 8

C är ett omplext lijärt rum meda R är ett reellt lijärt rum. De är ormerade med e orm defiierad eligt (4.3) j... x = ξ = ξ + + ξ. j= Vi sa u visa att R och C är fullstädiga, d.v.s. att de är Baachrum: Sats. Rumme R och C är fullstädiga. Bevis. Vi tittar på rummet R och vi har metrie defiierad eligt (4.). Vi tittar u på e godtyclig Cauchyföljd ( x m ) i R ( ) ( ) och sriver dea på forme m m x = ξ,..., ξ. m ( ) Eftersom ( x m ) är e Cauchyföljd så har vi att för varje ε > 0 så fis det ett N sådat att ( m) ( r) (4.4) d( xm, xr) = ( ξj ξj ) < ε, ( m, r > N ). j= ( m) ( r) () ( ) Eftersom ( ξj ξj ) d( xm, xr) < ε för varje j, så är följde ( ξ j, ξ j,... ) e Cauchyföljd av reella tal för varje j =,...,. Eftersom R är fullstädigt, se [] sats.4-4, så ( m) overgerar följde till ågot ξ j, d.v.s. ξj ξj då m. Om vi aväder dessa st gräsvärde så a vi defiiera x = ( ξ,..., ξ ) R. Geom att låta r får vi u frå (4.4) att d( xm, x) ε om m> N. Det här visar att x är gräsvärdet till ( x m ) och bevisar att R är fullstädigt eftersom ( x m ) var e godtycligt vald Cauchyföljd. Att visa att C är fullstädigt görs på samma sätt som för det reella rummet R, med de ( m) ( r) ( m) ( r) sillade att ξ ξ ersätts med ξ ξ. V.s.b. ( ) j j Metrie för dessa rum, som fås frå (4.3), ser alltså ut på följade sätt: ( ) d x, y = x y = ξ η +... + ξ η, och detta är stadardmetrie på R respetive C. j j 4.. Futiosrummet Cab [, ] (Teori i detta avsitt ommer frå referes [].) Med Cab [, ] betecar vi mägde av alla reellvärda futioer x, y,... av e variabel som är defiierade och otiuerliga på ett givet ompat itervall J = [ ab, ]. Vi defiierar orme som (4.5) x = max xt ( ). t J 9

Det är lätt att verifiera att x uppfyller a)-d) ova. Vi sall u visa att futiosrummet Cab [, ] är fullstädigt. Sats. Rummet C[ a, b ] med orme (4.5) är fullstädigt. Bevis. Låt ( m ) Cab., Givet ett ε > 0 sådat att för alla m, > N har vi att (4.6) d( x, x ) max x ( t) x ( t) ε J ab,. x vara e Cauchyföljd på [ ] = < där [ ] m m t J, så fis det alltså ett N För varje fixerat t = t0 J, har vi då xm( t0) x( t0) < ε ( m, > N). Detta visar att ( x( t0), x( t 0),...) är e Cauchyföljd av reella tal. Eftersom R är fullstädigt så overgerar följde, xm ( t0 ) x ( t0 ) då m. På det här sättet a vi till varje t J associera ett uit reellt tal x( t ). Detta defiierar (putvis) e futio x på J och vi visar att x Cab [, ] och x m x : frå (4.6) och med så har vi att max x ( t) x( t) ε ( m> N). t J m Och då för varje t J, xm () t x() t ε ( m> N). Detta visar att ( xm ( t )) overgerar liformigt mot x( t ) på J. Eftersom dessa x m är otiuerliga på J och overgese liformig, så är gräsvärdet x otiuerlig på J. Härav så följer att x Cab [, ] och äve att x m x. Detta bevisar att C[ a, b ] är fullstädigt och är då ett Baachrum. V.s.b. 4.3 Lijära operatorer mella Baachrum (Teori i detta avsitt ommer frå referesera [] och [3].) Låt X och Y vara två Baachrum, och låt T vara e avbildig frå X till Y. T allas äve för e operator, vilet ommer att avädas i detta arbete. Om y = Tx så allar vi y för bilde av x och mägde T ( y) för iversa bilde av y. För e delmägd A av X så sriver vi T( A) = { Tx: x A}. Mägde T( X ), som äve betecas TX, allas för värdemägde av T. T allas för e lijär operator frå X till Y om T( λx+ λx) = λtx+ λtxför alla x, x i X och alla salärer λ, λ. Det följer att T(0) = T( 0) = T(0), så att T (0) = 0. Om TX Tx Om = Y så säger vi att T avbildar X på Y, eller att T är e surjetiv avbildig. = Tx medför att x = x så allas T för e ijetiv avbildig. Och T allas för e bijetiv avbildig är de är både surjetiv och ijetiv. 0

Sats. Låt X och Y vara vetorrum, båda reella eller båda omplexa. Låt T : X Y vara e lijär operator. Då gäller att: (a) Iverse T : TX X existerar om och edast om Tx = 0 medför att x = 0. (b) Om T existerar så är det e lijär operator. Bevis. (a) Atag att Tx = 0 implicerar att x = 0. Låt Tx = Tx. Eftersom T är lijär, så har vi att: T( x x) = Tx Tx = 0 så att x x = 0 eligt vårt atagade. Då följer u att Tx = Tx implicerar att x = x och T existerar eftersom T är e bijetio. Och motsatse gäller ocså, d.v.s. om T existerar och Tx = 0 så är Tx T 0= 0. Alltså måste x = 0 p.g.a. ijetivitet. T (b) Vi atar att existerar och sa då visa att T är lijär. Vi betratar x, x X och deras bilder: y = Tx och y = Tx. Då gäller att x = T y och x = T y. T är lijär, så för alla salärer, α och β, gäller det då att αy + βy = αtx + βtx = T αx + βx. Eftersom vi har fått att ( ) x j = T yj så ger detta att ( α β ) α β α β T y + y = x + x = T y + T y, och detta bevisar att T är lijär. V.s.b. Låt X och Y vara lijära metrisa rum. E lijär operator T frå X till Y allas för otiuerlig om Tx Tx då x x. Om X och Y är Baachrum så allas e lijär operator T begräsad om det fis e ostat M så att det för alla x gäller att Tx M x. Det mista sådat M allas för orme av T och vi betecar de med T. Således får vi följade: T Tx = sup x X x. x 0

Sats. E begräsad lijär operator är liformigt otiuerlig. Om e lijär operator är otiuerlig i e put så är de begräsad. Bevis. Atag T är begräsad, då gäller att: ε Tx Tx T x x < ε för alla x och x i X med x x <, T alltså är T liformigt otiuerlig. Atag u att T är e lijär operator som är otiuerlig i x 0. Då fis det ett δ > 0 sådat att Tx Tx 0 < för alla x sådaa att x x0 < δ. För varje z 0 i X så sätter vi och w ηz z η Tz = Tw = T w + x T x z η z ( ) ( ) =, där η ( 0, δ ) 0 0 ( ) ( ) Tz = T w + x T x <, eftersom 0 0 w+ x0 x0 = w = η < δ. Kosevese av detta blir att Tz z och T är då begräsad. V.s.b. η är fixerat. Då har vi att: Det följer speciellt att T är otiuerlig om och edast om de är begräsad. Equatio Sectio (Next) 5 Satse om de öppa avbildige och dess oseveser 5. Satse om de öppa avbildige (Ope-mappig theorem) (Teori i detta avsitt ommer frå referesera [5] och [].) Defiitio. X ε betecar det öppa lotet B( 0, ) det öppa lotet B( 0, δ ) i Y. ε i X och Y δ betecar då, på samma sätt, Sats. Låt X och Y vara Baachrum och låt T vara e begräsad lijär avbildig frå X till Y. Om TX = Y, så avbildar T öppa mägder av X på öppa mägder av Y. Bevis. Beviset ges i tre delar. (a) Atag att vi har visat att: (5.) för alla ε > 0 så existerar det ett δ > 0 sådat att TX Y. ε δ

Låt G vara e öppe mägd i X. Vi vill visa att TG är öppe, d.v.s. att för alla y0 existerar det ett δ > 0 sådat att y0 + Yδ TG. TG så Låt y0 = Tx0 och seda väljer vi ett ε > 0 sådat att x0 + Xε G. Välj seda äve δ > 0 som i (5.), och då om (5.) gäller så fås: TG T ( x0 + Xε ) = y0 + TXε y0 + Yδ. Lihetstecet gäller pga att det är e lijär avbildig. Det återstår u att visa (5.). (b) Till del (b) aväds Baires ategorisats. Det gäller att X = U X ε / vilet ger att = U U. Y = TX = TX TX ε/ ε/ = = Vi aväder u Baires ategorisats vilet ger att TX ε / har ire puter för ågot, vilet i si tur ger att TX ε / har ire puter, eftersom om y Y är e ire put i TX ε /, så är y Ye ire put till TX ε /. Låt y Y vara e ire put i TX ε / då existerar ett δ > 0 sådat att y + Yδ TXε /. Om vi u låter y Y δ, så gäller det att y + y TX ε / (och y TX ε / ) och att det existerar två följder: y i = Tx i TX /, y ε i = Tx i TXε / sådaa att y i y, y i y + y. Nu sätter vi xi = x i x i, då gäller att: Txi = Tx i Tx i vilet går mot y + y y = y. Dessutom så gäller det att x x + x < ε, d.v.s. xi X ε. i i i Vi har u visat att: (5.) för alla ε > 0 så existerar det ett δ > 0 sådat att för alla y Y δ och för alla δ 0 > 0 så existerar x X ε sådat att y Tx < δ0. Vi vill u omma fram till att y = Tx och i del (c) visar vi detta mha (5.). (c) Vi sa u alltså visa att x i (5.) a väljas så att Tx = y. Låt ε > 0 vara givet och låt ε = ε. För varje ε = ε a vi välja ett δ = δ sådat att (5.) gäller, som δ 0 väljer vi δ +. Eftersom δ i (5.) a göras midre så a vi ata att δ 0. Givet ett fixt y Y δ så existerar det eligt (5.) ett y: = y Tx Y δ. På samma sätt ser vi att det existerar ett x y : y Tx y Tx Tx Y δ 3 = =. X ε x sådat att y Tx < δ, d.v.s. X ε sådat att y Tx < δ3, d.v.s. 3

Om vi u fortsätter på samma sätt så får vi till slut ett x sådat att: y = y Tx... Tx Y δ +. Och eftersom δ 0 så ger detta att y 0. Nu sa vi visa att s = x +... + x är e Cauchyföljd och det gör vi geom att aväda triagelolihete: Nu följer att s l l l x x < ε ε. = + = + = + x för ågot x X och då får vi att y = y Ts y Tx och eftersom y 0 ger det att y = Tx. Det gäller äve att, d.v.s. att x X ε = = = x = x x < ε = ε X ε. Alltså får vi slutsatse att varje y Y δ ommer frå ett x X ε, d.v.s. TX vi visat (5.). V.s.b. ε Y δ. Därmed har Som e följdsats till satse om de öppa avbildige så sall vi visa följade resultat: 5. Baachs sats (Teori i detta avsitt ommer frå referesera [5] och [].) Sats. Låt X och Y vara Baachrum och låt T vara e ijetiv, begräsad lijär avbildig frå X till Y. Då är TX atige av första ategori iy eller så är TX = Y och T e begräsad lijär avbildig. Bevis. Beviset ges i två delar. (a) TX Om TX ite är av första ategori så är det av adra ategori och då sa vi visa att = Y. Vi börjar med att visa att TX = Y : Låt oss då ata att TX är av adra ategori och vi aväder ett liade resoemag som i satse om de öppa avbildige. Låt X { x X : x } = < och TX = U TX. Eftersom TX är av adra ategori så medför = det att TX har ire puter för ågot och detta i si tur medför att TX har e ire put. Låt u y vara e ire put till TX, då existerar det ett δ > 0 sådat att y + y TX α för alla y med y < δ. Eftersom y TX, så existerar det ett x X sådat att Tx = y. Nu tittar vi på mägde 4

( ) ( ) T X x = T X y. Eftersom x X, iehåller TX x origo, och eftersom y är e ire put till TX, är origo e ire put till TX y. Detta ger att TX = Y. Det sista ises geom att låta y Y och seda välja ett a > 0, så litet att ay TX, och eftersom TX är ett lijärt rum så måste äve y TX. Då detta a göras för varje y Y, så får vi att TX = Y. Vi har u visat att om TX är av adra ategori så gäller att TX = Y. (b) Det återstår att visa att T är begräsad. T T Att är begräsad är evivalet med att är otiuerlig, som vi visat i avsitt 4.3. Vi behöver således visa att för varje delmägd G X som är öppe så gäller det att varje ( T ) ( G) är öppe. Me vi har ju att ( ) T G = TG är öppe eligt satse om de öppa avbildige. Att T är lijär, om de existerar, har visats i avsitt 4.3. V.s.b. 5.3 E tillämpig av Baachs sats (Teori i detta avsitt ommer frå referesera [5] och [].) Sats. Rummet C [ 0,] är av första ategori i rummet [ 0,] C. Bevis. Vi har att X = C [ 0,] är det ormerade rummet av alla otiuerligt deriverbara futioer på J = [ 0,] med e orm defierad eligt x = xt () + x () t. X max ( ) t J Vi visar i seare sats i detta avsitt att X är fullstädigt, vilet vi atar tills vidare. Låt Y = C[ 0,] med e orm defiierad eligt x max xt ( ) Y = och låt T : X Y där Tx = x. Tx är alltså samma futio som x, me vi glömmer att de är deriverbar i rummet Y. Vi får då att Tx = x = x t x t + x t = x. max () max ( () ()) t J Y Y t J t J X Alltså är T e begräsad operator med T och de är uppebart ijetiv. Eftersom det fis otiuerliga futioer som ite är otiuerligt deriverbara, t.ex. om t T X Y. yt ( ) =, så tillhör y rummet Y me ej rummet X, så är alltså ( ) 5

Eftersom T( X) Y så medför u Baachs sats att C [ 0,] är av första ategori i [ 0,] d.v.s. att de flesta otiuerliga futioer i C [ 0,] ite tillhör C [ 0,]. V.s.b. C, Mägde av otiuerligt deriverbara futioer är alltså e udatagsmägd i mägde av alla otiuerliga futioer. Sats. X = C [ 0,] är fullstädigt. Bevis. Låt ( x ) vara e Cauchyföljd. Eftersom ( x ) och ( x ) är Cauchyföljder i C [ 0,] vi u ata att x x och x y eligt satse i delavsitt 4... Det återstår då att visa att y = x : Vi har att () ( 0) ( ) x t x = x s ds. 0 Låt u, vilet ger () ( 0) ( ) 0 x t x = y s ds. t t (Gräsvärdet av itegrale är lia med itegrale av gräsvärdet eftersom x y liformigt.) Vi deriverar u båda lede och detta ger x t = y t. V.s.b. ( ) ( ), a Equatio Sectio (Next) 6 Baach-Steihaus sats och dess tillämpigar 6. Baach-Steihaus sats (Teori i detta avsitt ommer frå referesera [5] och [].) Sats. Låt T α, α Λ, vara begräsade lijära operatorer frå ett Baachrum X till ett ormerat rum Y. Om mägde { Tx α } α Λ tal c x sådat att (6.) Tx cx α α Λ så är äve mägde { T α } α Λ (6.) Tα c för alla α Λ. är begräsad för varje x X begräsad, d.v.s. det fis ett tal c sådat att, d.v.s. det fis ett 6

Bevis. Låt X { x X : Tα x för alla α } = Λ. X är slute och det visas på följade sätt: Om x x så får vi att Tx α Tx α och eftersom det gäller att Tx α så gäller det äve att Tx α, d.v.s. vi har att alla X är sluta. Atag u att det existerar ett 0 sådat att X 0 har e ire put, säg x 0. Då existerar det ett ε > 0 sådat att x + ε x X för alla x med x. 0 0 För dessa x så gäller följade: Tα( x0 + εx) = Tα( x0 εx) 0 eftersom x0 ± ε x X 0. Detta medför att Tα( εx) = Tα( x0 + εx) + Tα( x0 + εx) 0 + 0 = 0 för alla α Λ, dvs ε x X 0 för alla x med x. Nu följer det att 0 är e ire put till X 0 och 0 ε Tx α = Tα( εx) 0, d.v.s. Tx α för alla x med x och för alla α Λ. ε Då får vi följade: 0 Tα = sup Tαx = c. x ε Det återstår att visa att ågot X 0 verlige måste ha ire puter. Atag u att alla X saar ire puter. Eftersom de är sluta, är de igestas täta. Eligt Baires ategorisats så följer det u att X U X eftersom alla = %. Mägde { } X är av första ategori. Nu tar vi ett godtycligt x X Tx α % är begräsad eligt atagadet, d.v.s. α Λ Tx α % för ågot. Då får vi att varje x% X tillhör ågot X, d.v.s. X = U X. = Vi får då e motsägelse och vi har u visat att det fis e ire put vilet var det vi ville uppå. V.s.b. 7

6. E eel tillämpig (Teori i detta avsitt ommer frå referese [].) Sats. Det ormerade rummet X av alla polyom x( t) = α0 + α t+... + αt med e orm defiierad eligt (6.3) x = max α j ( α0, α,... oefficietera till x) j är ite fullstädigt. Bevis. Vi aväder oss av Baach-Steihaus sats. Vi ostruerar e följd av begräsade lijära operatorer frå X till R, som uppfyller (6.) me ite (6.) så att X ite a vara fullstädigt. Vi a u sriva ett polyom xt ( ) 0 av grad N x på forme () x t = j α jt ( α ) N 0, α 0 för x j j Nx j= 0 = >. Som e följd av operatorer frå X till R så tar vi ( T ) defiierad eligt (6.4) T 0= 0, Tx = α0 + α+... + α. T är lijär och äve begräsad. Det seare ises geom (6.3) där vi har att α j x så att Tx x. Vidare så har vi, för varje fixt x X, att följde ( Tx ) uppfyller (6.) eftersom ett polyom x( t ) av grad N har N + oefficieter. Då får vi eligt (6.4), x ( ) Tx N + maxα = c, x j x j x som är på samma form som (6.). T ite uppfyller (6.), d.v.s. att det ite fis ågot c som uppfyller: Vi sa u visa att ( ) T c för alla. Detta gör vi geom att välja ett speciellt polyom som defiieras eligt: x( t) = + t+... + t. Då är x = eligt (6.3) och Tx = + +... + = = x. Vi har då fått följade: Tx T =, d.v.s. att ( T ) är obegräsad. x Om rummet X vore fullstädigt sulle (6.) medföra (6.) eligt Baach-Steihaus sats, alltså a ite X vara fullstädigt. V.s.b. 8

6.3 Tillämpig på Fourierserier (Teori i detta avsitt ommer frå referes [].) Låt x vara e π periodis futio såda att x är itegrerbar över [ 0,π ]. Vi vill utvecla x i e Fourierserie, d.v.s. sriva x på forme (6.5) x( t ) ~ a0 + ( amcos mt+ bmsi mt), m= där tecet ~ betyder att x svarar mot serie ova. Fourieroefficietera a0, a, b ges av: m m π π π π (6.6) am = x() t cos mtdt, bm = x() t si mtdt. 0 0 Detta är ett aturligt val eftersom om ma ersätter ~ med ett lihetstece i (6.5), multiplicerar båda led t.ex. med si mt, 0 itegrerar och räar formellt (d.v.s. utgår frå att itegrale av summa är lia med summa av itegralera), så får ma b m 0 som i (6.6). E aturlig fråga är: är är x( t ) lia med högerledet i (6.5) för alla t? Det är ät att om x är otiuerlig och periodis med period π samt om x är stycvis otiuerlig på [ 0,π ] så råder lihet för alla t, se [6], avsitt 3, sats på s. 90. Eligt referese ova overgerar serie för alla x äve om x (och x ) ebart är stycvis otiuerlig. Detta visar att otiuitet ite är e ödvädighet för att högerledet i (6.5) sa overgera. Överrasade og så är otiuitet ite heller tillräcligt för att serie (6.5) sa overgera. Sats. Det existerar reellvärda otiuerliga futioer vilas Fourierserier divergerar i e give put t. 0 Bevis. Vi aväder oss av Baach-Steihaus sats. Låt X vara det ormerade rum av alla reellvärda otiuerliga futioer med period π. Norme för X defiieras eligt x = max xt. (6.7) ( ) t R X är ett Baachrum, vilet vi sall visa i ästa sats. Och uta att begräsa geeralitete a vi ta t 0 = 0. Vi sa aväda Baach-Steihaus sats på T f f x är värdet vid t = 0 för de :te partiella summa av Fourierserie till x. Eftersom siustermera är 0 och cosiustermera är vid t = 0 så ser vi frå (6.5) och (6.6) att π f ( x ) 0 m () cos a a x t m mt = + = π + dt. = m= 0 =, där ( ) 9

Vi vill bestämma summa i itegrale och vi beräar då si t cos mt = si tcos mt = si m t si m t m m + + = = m= = = si t+ si + t där sista uttrycet ommer frå att ma a strya uttryce mella första och sista terme. Om vi dividerar detta uttryc med si t och adderar på båda sidor så får vi: si + t + cosmt =. m= si t x srivas på forme: π si + t =. π 0 si t Om vi aväder detta så a vi visa att de lijära avbildige f är begräsad. Eligt (6.7) och (6.8) har vi Följatlige så a f ( ) (6.8) f ( x) = x() t q () t dt där q () t π π x f x max x t q t dt q t dt ( ) () () = (). π π 0 0 Vi ser då att f är begräsad. Vidare geom att ta supremum över alla x med orme så får vi π f q() t dt π. 0 Vi sall u visa att vi istället a sätta lihetstece i olihete ova. Låt oss först sriva + för varje t sådat att q ( t) 0 q( t) = y( t) q( t) där yt () = aars. Futioe y är ite otiuerlig, me geom att ta ett godtycligt ε > 0 så a vi modifiera de till ett otiuerligt x med orm sådat att π xt yt q tdt< ε π, (6.9) () () () t.ex. på ett följade sätt: Vi ser att: 0 yt ( ) = för yt ( ) = för Vi defiierar u: xt ( ) = för xt () = för 0 t < π +, π + < t < π + osv. 0 t < π + α, π + + α < t < π + α 30

och låter x( t ) vara de sträca som förbider pute π + α, med π + + α,, seda fortsätter vi vidare på samma sätt. Eftersom () () x t = y t utom på itervall av lägde α, är det u lätt att se att (6.9) gäller om α väljs tillräcligt litet. Geom att sriva (6.9) som två itegraler och äve aväda (6.8) så får vi π π π π π 0 0 0 Eftersom ε > 0 var godtycligt valt och x = så bevisar detta att: π (6.0) f = q() t dt π. x() t q() t dt y() t q() t dt = f( x) q() t dt < ε. 0 Vi sa slutlige visa att följde { f } är obegräsad. Om vi i (6.0) substituerar uttrycet för q frå (6.8), aväder olihete si t < t för t ( 0,π ] och gör variabelbytet: t v + =, så får vi: f π si + t = dt π > 0 si t π π 0 si + t t dt > π ( ) + π si v dv = v 0 eftersom ( + ) π si v = dv π = 0 v π π = 0 + divergerar. ( ) = 0 + Följatlige så är ( ) π ( + ) π si vdv= π π = 0 + då, f obegräsad så att (6.) (med Tα = f ) ite gäller. Eftersom X är fullstädigt så säger detta att (6.) ite a gälla för alla x. Det måste då fias ett x X sådat att ( f ( x ) ) är obegräsad. Me eligt defiitioe av f så betyder det att Fourierserie för detta x divergerar för t = 0. V.s.b. Sats. Rummet X ova är ett Baachrum. Bevis. Låt ( x ) vara e Cauchyföljd. På samma sätt som i avsitt 4. visar ma att det x liformigt. Eftersom x ( t+ π ) x( t+ π ), existerar ett x sådat att x ( ) ( ) och x ( t+ π ) = x ( t), är x( t π ) x( t) x t x t + =, d.v.s x är periodis. Så x X. V.s.b. 3

7 REFERENSER [] Erwi Kreyszig, -Itroductory fuctioal aalysis with applicatios-, Wiley, New Yor, 978 ISBN 0-47-5073-8 [] Aver Friedma, -Foudatios of Moder Aalysis- Holt, New Yor, 970 SBN 03-089-7 [3] H. L. Royde, -Real Aalysis- Toroto, 968, secod editio [4] Walter Rudi, -Priciples of Mathematical Aalysis- McGraw-Hill, Auclad, 976, third editio ISBN 0-07-08563-3 [5] Adrzej Szuli, Föreläsigsatecigar i futioalaalys (opublicerade) [6] James Ward Brow & Ruel V. Churchill, - Fourier series ad boudary value problems-, McGraw-Hill, Bosto, 00, sixth editio ISBN 0-07-3570-4 3