Seaste uppdaterig, stressad och med risk för slarvfel October, 007 Det här är ite superkotrollerat och bör INTE betraktas som kompletta demostratioslösigar uta sarare som ett försök att ge er hjälp och tips. Det står måga gåger åt i stil med aväd formel X på sida Y me take är att du också ska kolla texte rut omkrig, bl.a. vilka förutsättigar som ska gälla för att metodvalet ska vara giltigt. Några av er kaske tycker att det här är dåligt och ite uppmutrar till ega studier. Adra kaske tycker det är bra. Ni som tror att i kommer tycka att det ite uppmutrar till ega studier ka sluta läsa här. Det fis svar till e massa uppgifter som ite står på lista över rekommederade uppgifter för di kurs. Vissa frågor har ädrats lite eftersom jag vet att de tabeller jag delar ut ite alltid räcker till. Eftersom boke kommit i y utgåva så har jag fått korrigera massor i de här skrife, och det är högst saolikt att jag gjort fel åstas. Hojta sabbt om du ser åt skumt! Om det står slumpmässigt urval eller vald på måfå eller likade i uppgifte så atar jag att det är oberoede mella obsara och i förekommade fall mella stickprove om det är möjligt och kommeterar ite att det är ett krav i lösigara om det reda ka ases uppfyllt. Till måga av uppgiftera fis kommetarer och hävisigar till teori eller exempel i boke, skriva med kursiv stil. Hävisigara fis ite med varje gåg de är avädbara eftersom det blir väldigt tjatigt. Det som visas här är e lösig me iblad ka det fis adra lika bra sätt att lösa probleme. Det här är avsett för 73G0, 73G0-A, 73G90-A, ht007 och om å aväder det på å aa kurs som jag ite har kotroll över så tar jag iget som helst asvar för bra, rätt och lämpligt det är. Ö0 sida 3 Se de klassiska saolikhetsdefiitioe sida Ö03 sida 3 a. 4 b. c. Se komplemetregel sida a. Nej, eftersom alla utfall ite har samma saolikhet. Förutsättigara eligt första stycket på sida är ite uppfyllda. b. Du ka utföra försöket själv, aars är det här åt som passar sig bra som datorsimulerig och kommer kaske med på å labb. c. Det fis 4 utfall, kroa,kroa, kroa,klave, klave,kroa och klave,klave. Vart och ett av dem har samma saolikhet P E kroa = ga N = 4 = 0.5. Se de klassiska saolikhetsdefiitioe sida. Ö04 sida 3 Det är ekelt att sätta upp det som e tabell. De första rade visar utfallet på de gula tärige, och tyvärr ka trycket se lite blekt ut om du skriver ut det. De första kolume visar utfallet på de blå tärige. I tabellcellera visas summa. Varje cell har samma saolikhet. 3 4 5 3 4 5 7 3 4 5 7 8 3 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 7 8 9 0 a. De möljliga gul,blå-utfalle är,,,3,4,5,,... och,. b. Ma ser i tabelle att summa ka ata alla heltal. c. 4 3 = 9 d. 3 = 30 e. 3 = 5 Ö05 sida 8 Se de klassiska saolikhetsdefiitioe sida. eligt de klassiska saolikhetsdefiitioe. geom de klassiska saolikhetsdefiitioe eller sabbare? geom att aväda komplemetregel Se komplemetregel sida tillsammas med svaret på delfråga d. f. P Summa 4 + P Summa > 4 =, Jfr t.ex. med svaret frå Ö0c sida 3. a. Du ka utföra försöket själv, aars är det här åt som passar sig bra som datorsimulerig och det kommer kaske med på å labb. Jfr bilde och texte sida 4. I figure på sida 4 sväger de relativa frekvese sabbt i rut 0.5, me iformatioe kommer ju bara frå e försöksserie och det fis ige garati att det ska bli lika syggt om ma kör e y serie. Det är yttigt att utföra såa försöka ågra gåger för att få e uppfattig om hur mycket variatio ma egetlige ka få av e slump.
b. Se texte sida 4 Ö0 sida 8 Kepig uppgift. Vi vet t.ex. ite om atalet födda bar ädras frå år till år och om vi därför borde sätt olika vikt på de olika åre. E uppskattig ka vara 03 055 04 0 055 5 03+000 055+000 04+000 0+000 055+000 0.545, me jag påstår ite att det är de bästa skattige. Ö30 sida 78 Kepig fråga. Ka det vara så att vilja att att skaffa ett tredje bar är större hos dem som har två flickor eller två pojkar ä hos dem som har e pojke och e flicka? Då blir kosekvese att..., ja vad blir det egetlige? Förädras eller förädras ite fördelige? Det fis fler frågor vars svar ka påverka modelles giltighet. Jämförelse mot verklighete gör ma väl geom att mäta verklighete. Ö30 sida 78 Om X är atal borgerliga sympatisörer i urvalet så tycker jag att saolikhetsmodelle för atalet borgerliga sympatisörer, alltså saolikhetsmodelle för X, är P X = k = 3 k 0.4 k 0.4 3 k. I bokes facit har de valt att räka ut det och skriva det som e tabell istället Se facit sida 449. Ma förutsätter att dragige sker med återläggig eller att ädlighetsprobleme ka igoreras samt att det råder oberoede mellad de valda idividera. Ö304 sida 8 Ö305 sida 8 a. Se vätevärde sida 79 E[x] = x px = 0 0.90 + 0.09 + 0.0 = 0.. b. Se beräkigsformel för varias sida 8 V [x] = x px µ = 0 0.90 + 0.09 + 0.0 0. = 0.79 Lite lurigt att se etydligt i formel hur lågt summatecket sträcker sig, me det ska tolkas som att µ ite igår i summa d.v.s. som x px µ. a. x px 00 0.0 5 0.04 5 0.0 0 0.75 b. Se vätevärde sida 79. Om X är brutto-viste så... E[X] = 0.0 00 + 0.04 5 + 0.0 5 + 0.75 0 = 3. Se Beräkigsformel för varias sida 8, V [X] = 00 0.0 + 5 0.04 + 5 +5 0.0 + 0 0.75 3 = och = V [X] = Ö30 sida 85 Se Lijära variabelrasformatioer sida 83 och sätt a = 3 och b =.8. µ F = 3 +.8µ C = 53. och F =.8 C =.3 Ö307 sida 89 OBS att jag här räkar med = 0 och att jag slagit upp saolikhetera i tabelle. Jag visar lite utförligt hur jag gjorde här me kommer ie göra det i alla följade likade uppgifter. a. F = 0.945 b. P X < = P X 5 = F 5 = 0.834 c. P X = = P X P X 5 = F F 5 = 0.945 0.834 = 0. d. P X > = P X = F = 0.055 Ö308 sida 89 Se bokes facit sida 449. Det går sabbt att lösa uppgifte geom att slå upp saolikheter i tabelle. Ö309 sida 90 Se bokes facit sida 449. Det går sabbt att lösa uppgifte geom att slå upp saolikheter i tabelle eller geom att räka 3 3 3 3 Ö30 sida 90 a. 0.879 eligt tabelle b. Se ruta sida 89 E[X] = π = 0 5 = och X = V [X] = π π = 0 5 5.49 Ö3 sida 90 Här räkar jag på 5 samtal a. 0.787 eligt tabelle b. 0.095 eligt tabelle Ö3 sida 90 Se ruta sida 89 E[X] = π = 800 0.30 = 40 och V [X] = π π = 800 0.3 0.7 = 8 Ö33 sida 90 X är det atal som dyker upp. X Bi0 ; 0.7 och P X > 7 = P X 7 = 0.95 = 0.035
Ö3 sida 98 a. 0.005 Ö3 sida 98 b. 0.005 eligt tabelle, me de är lite avrudad. Om ma räkar exakt blir det 8 4 0.9 4 0.9 8 4 = 0.004597. Här räkar jag på att ho riger 5 ggr. Då blir svaret 0.783 eligt tabelle. Ö33 sida 98 Går ej att slå i tabelle, måste råräkas. Atal gåger ho blir istägd uder dagar kallas X och om det är slumpmässig och oberoede så gäller X Bi ; 4. P X = P X = P X = 0 P X = = 0 0 4 0 4 4 4 0.09 0.3407 = 0.4483. I bokes facit Se sida 450 har de gjort e approximatio och därför ite fått samma svar. Ö35 sida 99 Jag delar upp i två steg och kallar dem a och b. Obs att författara i sitt svar gör e approximatio i steg a och ite får exakt samma svar. a. X är atalet defekta i e förpackig. X Bi00 ; 0.03 P X 3 = P X = k=0 P X = k = 00 k=0 k π k π 00 k = 00 0 0.030 0.987 00 00 0.03 0.987 99 00 0.03 0.987 98 = 0.987 00 00 0.03 0.987 99 4950 0.03 0.987 98 = 0.70 0.3559 0.30 = 0.858 = 0.49 b. Y är atalet askar med 3 eller fler defekta eheter om ma slumpar 0. Y Bi0 ; 0.49 P Y = k=0 P Y = k = 0 k=0 k π k π 0 k = 0 0 0.490 0.858 0 + 0 0.49 0.858 9 = 0.5 + 0.3580 = 0.5745 Ö3 sida 99 Om ige kompoet är skadad blir reparatioskostade 0. X är atal skadade kompoeter. X Bi4 ; 0.0 P X = 0 = 0.5 och P X = 0.99 eligt tabelle. Självklart är P X 4 =. Ur detta beräkar ma P X = 0 = 0.5, P X = 0.340 och P 3 X 4 = 0.004. Y är reparatioskostade E[Y ] = 0 0.5 + 00 0.340 + 000 0.004 = 38. Svaret 37.7 eligt bokes facit får ma om ma räkar saolikhetera med högre oggrahet ä vad jag har tagit med i tabelle. Ö405 sida 0 a. Jag skriver dehär som e a- och e b-uppgift äve om ite de ite är formulerad exakt så. 0 0 Vätevärdet är 7 och variase är 3 + 3 3 + 3 3 4 + 4 3 5 + 5 3 + 3 7 + 5 3 8 + 4 3 9 + 3 3 0 + 3 + 3 7 5.833 b. 0 0 Vätevärdet är 7 och variase är + 4 + + 8 + 0 + 7.7 Jag gör reflektioe att variase blir dubbelt så stor i b som de blev i a vilket stämmer bra med räkereglera Se sida 83 och 08. Om ma låte X vara atal ögo vid slag med e tärig så får ma E[X] = 3.5 och V [X] = 35 härleds ej här. I b bildar ma Y = X + X vars egeskaper ka sabbräkas med formlera på sida 08. I a bildar ma Y = 0 + X vars egeskaper ka sabbräkas med formlera på sida 83. Ö40 sida 0 Summa plakar jag direkt frå Ö405a. Differese följer här: -5 0 5 3
Vätevärdet är 0 och variase är 3 5 + 3 4 + 3 3 3 + 4 3 + 5 3 + 3 0 + 5 3 + 4 3 + 3 3 3 + 3 4 + 3 5 0 5.833 som ska jämföras med svaret i Ö405a. Jag gör reflektioe att summa och differese har samma varias vilket stämer bra med räkereglera Se sida 07. Om ma låter X vara atal ögo vid slag med e tärig så får ma E[X] = 3.5 och V [X] = 35 härleds ej här. I a räkar ma Y = X + X + 0 och i b räkar ma Y = X + X + 0. Variasera blir V [X ] + V [X ] respektive V [X ] + V [X ] som blir samma sak. Ö407 sida 0 För e slumpmässigt vald sida är atal fel, X, e slumpvariabel med E[x] == 0. och V [x] = 0.79, se lösige till Ö304. Atalet fel på två slumpmässigt valda sidor, Y är e summa och räkereglera Se Summor av slumpvariabler sida 08ger E[Y ] = 0. och V [Y ] = 0.358. Egetlige ka ma göra det lite lättare. Eftersom X och X har samma fördelig fis det sabb hjälp i boke Se ruta sida 9. Ö408 sida 0 Om X är atal pesioärer valda ur A och Y atal ur B så gäller, uder förutsättig att ma drar oberoede och igorerar ädlighetsprobleme: E[X] = 4.0, V [X] = 3.3, E[Y ] = 8.4 och V [Y ] =.3. Varför, jo, både X och Y är biomialfördelade kolla förutsättigara och se aväder jag räkereglera Se sida 89. Nästa steg är att beräka vätevärde och varias för X + Y och då aväder jag reglera för e summa Se sida 08 och får E[X + Y ] =.4 och V [X + Y ] = 9.99. Ö409 sida 0 X är atal fel i e förpackig. E[X] = 5 och V [X] = = 4. Y är atal fel i tolv förpackigar. Jag atar oberoede mella förpackigara, aars blir stadardavvikelse olöslig. Se summor av slumpvariabler sida 08. E[Y ] = 5 + 5 +... + 5 = 5 = 0 och Y = V [Y ] = 4 + 4 +... + 4 = 4.98. Äve här ka ma kaske se e sabbare lösig Se sida 9 för att bestämma egeskapera för Y efter att ha bestämt egeskapera för X. Ö40 sida 0 Ledige som ges i boke är smart. Se tvåpuktsfördelad slumpvariabel sida 85 och Se summor av slumpvariabler sida 08 X = om första försöket lyckas, aars 0. X och X 3 defiieras på motsvarade sätt. E[X ] = 0.5 och V [X ] = 0.5 0.5 = 0.5 E[X ] = 3 och V [X ] = 3 3 = 9 E[X 3 ] = 0.75 och V [X 3 ] = 0.75 0.75 = 0.875. Y = X + X + X 3, E[Y ] = E[X ] + E[X ] + E[X 3 ].97 och V [Y ] = V [X ] + V [X ] + V [X 3 ] 0.597 Ö4 sida 0 När ma blir slägd i haterige av slumpvariabler ser ma e ekel sabb lösig som går ut på att bara räka på atalet som kommer frå ort B. Låt X vara atal persoer frå B och kostatera att reseerättige blir 300 + 00 X eftersom det kostar mist 300 om alla kommer frå A och dessutom ökar det med 00 för varje A som byts mot ett B. E[300 + 00 X] = 300 + 00E[X] Se sida 83 P X = 3 = 3 0 4 3 7 3 0.4857 Se t.ex. exempel 0 sida 53 P X = = 3 4 0.54857 7 3 P X = = 3 4 0.34857 7 3 P X = 0 = 3 3 4 0 0.08574 7 3 Kotollera att summa är : OK! E[X] = Alla utfall x P X = x = 3 0.4857 +... + 0 0.08574 =.7485 E[300 + 00 X] = 300 + 00E[X] = 300 + 00.7485 47.43 De här uppgifte kaske stryks ur lista med rekommederade uppgifter. Jag måste kolla om det är rimligt att i ska kua käcka saolikhetera med take på vilka kapitel jag har sagt ska igå i kurse. Ö44 sida E[S] = π och V [S] = π π. Det här hadlar bara om att förstå att summa är biomialfördelad och att ma ka aväda räkereglera för biomial me att beräkigara ska göra med symboler istället för med siffror. Ö45 sida X är försäljige uder e vecka. E[X] = 7.9 och V [X] =. =.44 Y är summa av 30 X. Uppgifte är ej helt lösbar med tillgägliga data om ite veckora är oberoede. Se reglera i ruta sida 08. Vid oberoede gäller E[Y ] = 30 E[X] = 30 7.9 = 37 och V [Y ] = 30 V [X] = 30.44 = 43. S är viste. S = 50 Y E[S] = 50 E[Y ] = 35550 och V [S] = 50 V [Y ] = 97000 S = V [S] 985.90 Ö5XX sida 38 Om du har ett värde z och vill veta P Z < z om Z N 0 ; så beräkas eller kollas det geom Φz. Om du har de omväda situatioe att du vet att ΦZ < z = α för ett fixt α och du söker z så ska du lösa ut z ur ekvatioe Φz = α. Jag skriver det som z = Φ α. Ö50 sida Ite mycket att säga här. Det är bara att slå upp i tabelle. 4
Ö50 sida Ite mycket att säga här. Det är bara att slå upp i tabelle. Ö503 sida 3 Jag visar a för att visa stadardiserige. När de sitter blir det likadat som Ö50 P X < 5 = P Z < 5 0.5 där Z N 0 ; = P Z < = Φ = 0.977 eligt tabelle. Ma ka kaske få förklarige att flyta bättre om ma gör lite fler steg på väge. Om ma har e olikhet så får ma addera kostater till både höger- och västerled och ma får multiplicera med positiva kostaet i både höger- och västerled, det påverkar ite hur ma ska skriva olikhetstecket. Om jag försöker lösa fråga ige och skriver ut fler steg så blir det P X < 5 = P X µ < 5 µ = P X 0.5 < 5 0.5 = P Z < 5 0.5 = P Z < = Φ eftersom jag har gjort såa saker som jag får göra med olikhete och jag har då valt att göra såa saker så att västerledet i olikhete blir e stadardiserad ormalfördelig. Ö504 sida 3 a. P Z > z 0 = 0.05 ger z 0 =.9 och se ger z 0 = x0 50 7 att x 0 = 3.7 b. P Z < z 0 = 0.05 ger z 0 =.45 och se ger z 0 = x0 50 7 att x 0 = 38.485 Ö505 sida 3 a. X är iköpet hos e kud. P X < 70 = P Z < 70 40 0 = Φ0.5 0.95 b. X är iköpet hos e kud. P X > 0 = P X 0 = P Z 0 40 0 Φ 0.33 = 0.3707 = 0.93 c. X är iköpet hos e kud. P 0 X 55 = P X 55 P X < 0 =... 0.5987 0.3085 = 0.90 där de överhoppade stege följer samma schema som deluppgift a. d. Y är atalet kuder som hadlar för mer ä 0 och Y Bi3 ; 0.93. P Y = P Y = 0 = 3 0 0.93 0 0.93 3 0 0.949 Ö50 sida 3 Jag sätter z g = z vg och P z g < Z < z vg = 0.70 som ger z g =.04 och z vg =.04. Lite mer utförligt måste det ju vara så att Φz g = 0.5 och Φz vg = 0.85 d.v.s. z g = Φ 0.5 =.04 och z vg = Φ 0.85 =.04. Betygsgräsera för G och VG blir u de trasformerade värdea z g = xg µ och z vg = xvg µ och ma ka sätta i siffervärdea.04 = xg 80 0 och.04 = xvg 80 0 och lösa ut x g = 9. och x vg = 90.4. Ö507 sida 3 Uppgifte bladar ågra olika svårigheter och det gäller som valigt att hacka upp de i småbitar som var för sig har lösigar som vi ka hatera med de metoder som igår i kurse. Jämför med t.ex. Ö503a. Där har ma X N 0 ; 5 och får fråga att beräka P X < 5. Om ma hackar upp de i steg så får vi åt i stil med... a. Gör om gräse 5 till e gräs i de stadardiserade ormalfördelige geom att aväda stadardiserige sida 0 eller 83. b. Slå upp saolikhete i ormalfördeligstabelle. I Ö507 har vi fått saolikhete och ska göra om det till e gräs, och metode ka beskrivas m.h.a. av de två stege ova fast i omväd ordig. Vi har ju fått saolikhete me söker gräse, så om ma ska lika det vid det som står ova fullt ut så har vi fått svaret me har ite fått fråga i detalj. JAg löser de med åt i stil med... a. Bestäm de gräs som skär av 5% i de edre svase i e stadard-ormalfördelig. b. Aväd stadardiserige bakläges för att få gräse uttryckt i ormal500;80 Kolla också exempel sida. Livslägdera är ormalfördelade och jag ska leta rätt på e gräs som skär av där 5% av lampora har gått söder. Aväd ormalfördeligstabelle och leta efter 0.05 iuti tabelle och läs av margialera du kommer att välja -.4 eller -.5. Jag har sagt att i ite behöver iterpolera i tabelle me jag väljer att sätta gräse till -.45 i de fortsatta lösige. Nu har jag klarat pkt i de adra umrerade lista ova. z=-.45 gäller för de stadardiserade fördelige, me det var ju ite vad som efterfrågades. Däremot ka jag stadardiserige ruta sida 0 som e ekvatio och räka de bakläges. Vi har ju att Z = X µ me har bara avät de för att beräka Z vid giva X, µ,, me det är iget som hidrar oss frå att se det som e ekvatio där Z är give och X är obekat. Lös ekvatioe z = x µ efter att ha satt i käda värde, alltså.45 = x 500 80. Lösige på ekvatioe, och på hela problemet, är avrudigsvis 38. Ma ka täka sig att låta vilke som helst av x, z, µ, vara obekat, eller ma ka ha flera obekata om ma har flera ekvatioer. Om ma t.ex. säger såhär; glödlampor har e ormalfördelad livslägd med okät vätevärde och stadardavvikelse 50. Vi vet att efter 300 timmar har 0% gått söder. Bestäm vätevärdet. Kör med de två puktera i de adra lista ova. Du får z =.8 och se ekvatioe.8 = 300 µ 50 med lösige 49. 5
Ö508 sida 4 De här är lite lattjo jämfört med tidigare uppgifter eftersom ma har ett x och tillåts mickla med µ. z = Φ 0.0 =.33 och ekvatioe z = x µ med isatta värde.33 = 750 µ 0 har lösige µ = 79. Ö509 sida 3 a. X N 00 ; 3 med = 4 ger X N 00 ;.5 eligt uppgiftera om ett medelvärde Se ruta på sida 9. P X > 03 = P Z > 03 00.5 = P Z > = P Z = Φ = 0.977 = 0.8 b. Det är ju samma sak som i a me om ma vill ka ma köra eligt uppgiftera om e summa Se ruta på sida 9 och då blir det: Y är summa av 4 oberoede ljus. Y N 800 ; och P Y > 8 = P Z > 8 800 = P Z > = P Z = Φ = 0.977 = 0.8 Ö50 sida 3 a. X är medelvärdet i e klass. X N 00 ; 5 30 och P X > 05 = P X 05 = Φ Φ.83 = 0.94 = 0.033 b. Atal klasser med medeliq över 05 är biomialfördelat med vätevärde π = 000 0.033 = 33. c. Fattar ej fråga 05 00 5 30 Ö5 sida 33 X är vikte hos e perso med µ X = 75 och X = 0. Y är summa av 0 persoers vikt. E[Y ] = 500 och om viktera är oberoede så är Y = 0 0. Egeskapera µ Y och Y ges av räkereglera och Y bör vara ära NF om X är sällt fördelad. Saolikhete att krascha hisse är P Y > 00 = Φ Φ.4 = 0.9875 = 0.05 00 500 0 0 Ö5 sida 33 X är tide för att fatta ett beslut med µ X = 3 och X =. Y är tids-summa för att fatta 4 beslut. E[Y ] = och om tidera är oberoede så är Y = 4 där vätevärde och stadardavvikelse beräkas med räkereglera och fördeliges form ges av C.G.S. 4 duger om X ite är väldigt taskigt fördelad. Här ka ma i.o.f.s. misstäka att X är lite högerskev, me det ska og fuka ädå. Saolikhete att det är klart iom timmar är P Y < 0 = Φ 0 4 Φ 0.93 = 0.7 Ö53 sida 35 X Bi400 ; 80 och eligt räkereglera Se ruta sida 89 så är µ = 30 och = 4 och därmed = 8. Lämplig approximatio diskuteras i boke, Se kapitel 5.4 sida 33. a. Jag betraktar alla de tre följade lösigara som rätt. a P X 340 Φ 340 30 8 = Φ.5 = 0.9938 b P X 340 Φ 340.5 30 8 Φ.5 0.9948 c P X 340 = P X < 34 Φ 34 30 8 = Φ.3 = 0.9957 eller så avrudar ma till. och slår upp 0.995 beroede på vilka avrudigsregler ma har lärt sig. b. c. I boke verkar de köra med de adra av de tre lösigara ova. Jag kommer ite att skriva ut alla variater i fortsättige i de följade deluppgiftera och i de följade huvuduppgiftera, så om du ite får exakt samma svar som jag så får du själv kolla om det beror på att vi har valt lite olika variater. Ö54 sida 35 X är atal över 70 år och X Bi00 ; 0.0, me det blir jobbigt att räka på så sätt att X N 0 ; 4 approximativt eligt reglera Se sida 30. P X 5 Φ 5 0 4 = Φ.5 = 0.8944 Ö55 sida 35 Pope är så stor att ädlighetsprobleme ka igoreras a. X är atal mä och X Bi0 ; 0.5. P fler mä ä kvior = P X = P X 5 = 0.3 = 0.377 eligt tabelle. b. Y är atal mä och det är biomialfördelat, me det blir för jobbigt så approximera med Y N 50 ; 5 och P fler mä ä kvior = P X 5 = Φ 5 50 5 = Φ0. = 0.5793 = 0.307 Ö5 sida 35 X är atal persoer som dyker upp och X Bi70 ; 0.8 me det blir jobbigt. Approximera med X N 5 ;. och saolikhete att platsera räcker beräkas med P X 70 = Φ 0 5. Φ.0 0.8849 Ö57 sida 3 X är atal hushåll som tackar ja. Exakt gäller X Bi0 ; 0.5 och approximativt gäller X N 0 ; 5. a. Exakt: P X 8 = 0.5 eligt tabelle. Approximativt: P X 8 Φ 8 0 5 = Φ 0.89 = 0.87
b. 0.87 0.5 0.5 00 = 5.9% me här ka ma miska felet rejält geom kotiuitetskorrektio. Jfr bokes facit sida 45. Ö58 sida 3 X är det atal ma år och X Bi00 ; 0.5 om persoera är oberoede me det blir jobbigt. Med NF-approximatio blir det P X < 90 P Z < 90 µ X 90 300 X = Φ 50 Φ 0.8 = 0.0 Ö59 sida 3 X är felet i ett glas där µ X = 0.05 och X = 0.. Y är summa av 00 oberoede fel där Y N 5 ; där vätevärde och stadardavvikelse beräkas med räkereglera och fördeliges form ges av C.G.S. P Y < 0 = Φ = Φ.5 = 0.00 0 5 Ö50 sida 3 X är atal bilar per hushåll. Vätevärde och varias beräkas, Se formlera sida 79 och 8. E[X] = 0 0. + 0.7 + 0. =. V [X] = 0 0. + 0.7 + 0.. = 0.9 Y är atal bilar på 000 slumpmässigt oberoede valda hushåll. E[Y ] = 000. = 00 V [Y ] = 000 0.9 = 90 eligt reglera för e summa Se sida 9. Y har e fördelig som är beräkigstug om ma ska räka exakt, me här verkar det vara OK att NF-approximera. y är atalet platser som ska byggas. Lös ekvatioe P Y < y = 0.95 med Φ 0.95 =.45 som efter reskrivig ger y µ Y Y =.45. Med isatta värde blir det y 00 90 =.45 och lösige är y 8. B5 sida 3 X är livslägde för ett batteri. E[X] = 300 och V [X] = 5 = 5 Saolikhete att ett slumpmässigt valt batteri fukar efter 30 timmar är P X > 30 = P X < 30 = Φ 30 300 5 = Φ0.4 = 0.554 = 0.344 Y är atal fugerade batterier av 4 efter 30 timmar, Y Bi4 ; 0.344 P Y = P Y = k=0 P Y = k = 4 k=0 k 0.344 k 0.344 4 k = 0.845 + 0.388 = 0.57 = 0.474. B5 sida 3 Jag har ite lagt å tug vikt vid kvartiler i saolikhetsläradele, äve om de har ämts som mått i dele som hadlar om beskrivade statistik. Det vi ska göra är att bestämma tre värde som är sådaa att 5% har e lägd som är kortare ä det första sökta värdet, 5% har e lägd mella det första och det adra sökta värdet, 5% har e lägd mella det adra och det tredje sökta värdet. Därmed följer att 5% har e lägd som är lägre ä det tredje sökta värdet. Första gräse: lös ut de obekata q ur P X < q = 0.5. Ma ka t.ex. täka sig att först ta reda på vad som skär av 5% i e stadardormal och geom tabelle kolla att det blir -0.7 avrudat. Därefter kör ma stadardiserige som e ekvatio q 8 = 0.7 med lösige 7.98 som ka avrudas lämpligt. OM ma öskar sig e mer formeltug beskrivig steg för steg ka ma täka sig P X < q = 0.5 q 8 Φ = 0.5 q 8 = Φ 0.5 q 8 = 0.7 q = 8 0.7 De två adra gräsera beräkas med exakt samma upplägg och visas ej här. B54 sida 37 X är volyme vid e eskild drickig E[X] = och V [X] = 0. = 0.04 Y är summa av 3 drickigar. Uppgifte är ite lösbar med tillgägliga data om ite drickigara är oberoede. E[Y ] = 3 E[X] = 7 och V [Y ] = 3 V [X] =.44 P Y < 75 = Φ 75 7.44 = Φ.5 = 0.9938 B55 sida 37 X är betjäigstide för e kud. E[X] = 4 och V [X] = = Y är tide för 9 oberoede kuder. E[Y ] = 9 E[X] = 3 och V [Y ] = 9 V [X] = 9 Det återstår 30 miuter. P Y < 30 = Φ 30 3 9 = Φ = 0.08 7
B5 sida 37 låt X vara atal aställda/företag a. Se räkereglera sida 79 och 8 E[X] = Alla utfall xp X = x = 0 0.49 + 0.7 + 0.5 + 3 0.0 + 4 0.07 + 5 0.0 =.5 V [X] = Alla utfall x P X = x E[X] = 0 0.49+ 0.7+ 0.5+3 0.0+4 0.07+5 0.0.5 =.975 b. Y ar summa av 00 oberoede X. X är ej NF me urvalet är stort. Se C.G.S. sida 3 E[Y ] = 00 E[X] = 00.5 = 5 och V [Y ] = 00 V [X] = 9.75 39 5 9.75 P Y 40 = P Y 39 Φ Φ.7 = 0.954 = 0.043 om ma räkar uta kotiuitetskorrektio. Med korrektio blir det 0.040. B57 sida 38 X är atal passagerare som aläder. X Bi43 ; 0.85 E[X] = 43 0.85 =.55 och V [X] = 8.35 30.55 P X 30 Φ 8.35 Φ.98 = 0.97 om ma räkar uta kotiuiteskorrektio. Med korrektio blir det 0.98. Exakt blir det 0.98 B58 sida 38 Om X är simmad distas vid ett besök så E[X] = 800 och V [X] = 00 = 40000 Om Y är summa av 3 5 simigar så är E[Y ] = 75Y E[X] = 75 800 = 35000 och vid oberoede simigar V [Y ] = 75 V [X] = 3000000 40000 35000 P Y > 40000 = P Y 40000 = Φ 3000000 Φ.89 = 0.998 = 0.009 B59 sida 38 Om X är atal våfflor/perso så gäller P X = = 0.8 och P X = = 0. E[X] = 0.8 + 0. =. och V [X] = 0.8 + 0.. = 0. Y är summa av 90 obsar på X. Uppgifte är ej lösbar med tillgägliga data om ite besökara käkar oberoede. E[Y ] = 90 E[X] = 08 och V [Y ] = 90 V [X] = 4.4 Saolikhete för mist e över med ormalapproximatio uta kotiuitetskorrektio P Y 4 Φ 4 08 4.4 Φ.58 = 0.949 Med korrektio blir det ugefär 0.954 Exakt blir det 0.95. Vadå exakt? Jo, ma ka ju ekelt räka på atalet som vill ha. Om S är atalet som vill ha så kommer det att gå åt 90+S, och S Bi90 ; 0.. Det kommer att bli mist e över om S är högst 4. P S 4 beräkas exakt geom att aväda formler för biomialsaolikhet. Ö530 sida 38 a. X är atal persoer som dyker upp och X Bi0 ; 0.8 me det blir jobbigt, så approximera med X N 48 ; 9. och saolikhete att platsera ite räcker beräkas med P X 5 = P X 50 = Φ Φ0.5 = 0.74 = 0.578 50 48 9. Φ b. Ma har ett tillåtet högsta värde, x = 50, och e saolikhet för alädade π = 0.80 och e saolikhet 5% att ite för måga får aläda. Problemet skrivs exakt som e biomialfördeligsekvatio me de har ige vettig aalytisk lösig uta får stuket välj det högsta så att saolikhete... är högst 5%. Jag har lagt i e exakt x E[X] lösig eda. Problemet skrivs approximativt som e ormalfördeligsekvatio Φ = 0.95, eller x E[X] = V [X] V [X].45 och betraktar det som trillar ut som det högsta tillåta. Här föreslår jag att ma kotiuitetkorrigerar. Om ett icke-heltal trillar ut ska svaret avrudas edåt. π = 0.80 och π π = 0. E[X] = π = 0.8 och V [X] = π π = 0.. Lös ekvatioe 50.5 0.8 0. =.45 50.5 0.8 =.45 0. 50.5 + 0.4 80.8 =.45 0. 0.4 8.394 + 50.5 = 0.9505 + 3984.755 = 0 3.435 ±.543 där e lösig är falsk de ger saolikhete 95% att det ska aläda för måga. = 5.99 5. Exakt lösig, Ö50b sida 3 Det fis iget rimligt sätt att lösa det här exakt för had. Det skulle vara ekelt om er biomialtabell hade alla etals-steg av N och sträckte sig upp mot N = 0, me de tabelle skulle ju lika e telefokatalog i tjocklek. Allright, jag vet att det rätta svaret är ugefär 5 frå de approximativa beräkige. Jag provar med 55, 5, 57, 58 i Miitab. Utskrifte har klippts ed rätt hårt för att spara plats. MTB > cdf 50; SUBC> bio 55 0.8. 8
Cumulative Distributio Fuctio Biomial with = 55 ad p = 0.800000 x P X <= x 50.00 0.993 MTB > cdf 50; SUBC> bio 5 0.8. 50.00 0.978 MTB > cdf 50; SUBC> bio 57 0.8. 50.00 0.9549 MTB > cdf 50; SUBC> bio 58 0.8. 50.00 0.93 Jag ska välja ett så stort som möjligt uta att P X 50 går uder 0.95. Det exakta svaret är alltså 57. Ö53 sida 38 Uppgifte är, liksom måga adra, bara e fråga om hur ma hackar upp problemet i olika räkeregler. Mitt förslag: Helst skulle jag räka på fördelige för R = X + X + X 3 + X 4 + Y + Y + där alla X är vikter hos mä och Y är vikter hos kvior. Tyvärr har jag ige vettig regel för det, jo det har jag, me jag har det ite iom rame för de här kurse. Går det att lösa ädå? Ja, med lite tragglade med olika regler. Sätt t.ex. Att summa av de 4 mäes vikt kallas M och summa av de kvioras vikt kallas K. Egeskapera för M och K beräkas med reglera Se sida 9. Se beräkar jag R som e summa av delsummor, alltså R = M +K, med hjälp av adra regler Se sida 07. Se behöver vi e uppgift som säger att R är ormalfördelad, och de fis i boke Se första rade sida 9. Jag kör u e lösig eligt de steg och formler som jag föreslagit ova. M N 300 ; 4 eligt regler som fis i boke Se sida 9 K N ;.34 eligt regler som fis i boke Se sida 9 R N 4 ;.533 eligt regler som fis i boke Se sida 07 Nu ka jag slutlige beräka svaret på fråga. P R > 400 = P R < 400 = Φ 400 4.533 Φ 0.0 = 0.743 = 0.757 ÖXX, 7XX och 8XX sida 4 3 Se beräkigar av stickprovsvarias sida 4 Jag föreslår äve ett tredje sätt. Formel eligt boke: S = i= X i X Formel eligt boke: S = i= X i X Formel 3 eligt mig: S = i= X i i= X i jag uppfa de ite, me i får de av mig Ö0 sida 55 Popmedelvärdet är. Tabelle eda ger alla möjliga urval ja, ma ka ju ta med ordige också, och då blir de fler, me svaret kommer bli detsamma och alla urval har samma saolikhet urval media 0,5,5 5 0,5,35 5 0,5,45 5 0,5,35 5 0,5,45 5 0,35,45 35 5,5,35 5 5,5,45 5 5,35,45 35 5,35,45 35 Mediaes vätevärde är 0 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 35 + 35 + 35 = så mediae är e v.v.r. skattig. Ö0 sida 55 a. Se sida 47 µ skattas med x = 0++9+7+ 5 = 0 och skattas med s = 4 0 + + 9 + 7 + 5 0 = 4.5. b. Se sida 5 s = s = 4.5 5 = 0.9 0.9488 c. Se sida 5 Felmargiale är.9 0.9488 =.8594 9
Ö03 sida 55 a. a = 50. Jag täker mig X = µ + F där F är felet och att felet i skattige blir större ä kas krivas som F > d.v.s. vi kollar på felet storlek me igorerar dess tecke. Vi söker P X > µ + + P X < µ Båda saolikhetera beräkas med samma sorts beräkigar som förekommit i kapitel 5, alltså, P X > µ + + P X < µ = P X < µ + + P X < µ = Φ µ+ µ 8 50 + Φ φ.77 + φ.77 0.9 + 0.0384 = 0.078 b Med = 50 och = 300 blir uppställige likada som ova och jag skippar beräkigara här. µ µ 8 50 b. Nu söker vi ett sådat att P X > µ + + P X < µ = 0.95. Eftersom X har e symmetrisk fördelig krig µ så ka vi beräka så att P X µ µ < µ = 0.05. Lös ekvatioe Φ 8 = 0.05. Det blir 8 =.9 med lösig =.45. Ö04 sida 5 π skattas med P = 5 400 = 0.05. Medelfelet är Se sida 5 sida 5 avrudigsvis 0.037. Ö0 sida 57 Det fis färdiga formler för E[X ] och E[ X ]. Se mitt på sida 4 a. E [ X+X b. E [ x +x ] ] = E X = E[ X] + X = µ + = E[X ]+E[X ] = µ + +µ + = µ + P P = 0.0. Felmargiale är Se Ige av dem är vätevärdesriktig det blir ju ite µ och biase är lägre i de första skattige. Ö70 sida 4 x ± z 5 ger 40 ±.9 00 d.v.s. 40 ±.94 me läs kapitlet stora stickprov Se sida och framåt och kolla om du håller med om att förutsättigara är uppfyllda. s Ö70 sida 5 x = 3.9 och s 0.. Om ho häller upp ormalfördelat och oberoede så fukar x ± t som ger 3.9 ± 0.3437 med t 3 = 3.8. Se små stickprov, ormalfördelad variabel sida och framåt och kolla att du är helt med på otera. p p 0.335 0.335 Ö703 sida Om π s är adele S-sympatisörer i hela stora väljarkåre så ger p ± z [s] 0.335 ± 00 som efter beräkig blir 0.335 ± 0.07. Motsvarade beräkig för KD har exakt samma struktur. Ö704 sida 70 Jfr exempel 5 sida 8 = z p p 0.0 =.9 0.5 0.5 0.0 = 703 Ö705 sida 70 Samma uppställig som i Ö704 med två små ädrigar. Här har ma givit felmargiale istället för itervallets hela bredd, me täk på att itervallets bredd ite är åt aat ä *felmargiale. Här har ma i deluppgift b trixat med att ite asätta åt förhadsifo om adele. a. =.9 4 4 0.04 450.875 som ska avrudas lämpligt. b. Samma som ova me sätt p = 0.5 istället för 4, Se de avslutade diskussioe i exempel 5 sida 9 OBS att dethär svaret ite stämmer med bokes facit. Författara har kommeterat det på bokes webbsida. Ö70 sida 79 a. Se Små stickprov, ormalfördelad variabel sida. Om förutsättigara håller så blir det x ± t s med isatta värde 78 ±.0 98 sqrt8 o.s.v. Är det rimligt att tro att vi dragit stickprovet ur e ormalfördelig? Är det rimligt att tro att observatioera är oberoede? b. Samma stuk som i deluppgift-a, visas ej här. c. Om förutsätigara för deluppguftera a och b är OK och dessutom att stadardavvikelsera är åtmistoe s approximativt lika så ka vi aväda x N x D ± t N N + s D D. Håller du med? Se edre ruta sida 73. I så fall blir det 08 ± 3 med s p = 389.83 och t 30 =.04. pm p m Ö707 sida 79 p m p k ± z ger itervallgräsera -0.0409 0.77 för skillade mä kvior. Verkar förutsättigara OK? Se ruta sida 7. m + p k p k k 0
Ö708 sida 79 E blad flera täkbara lösigar är : Kör med xä x y ± t s p ä + y där svaret blir 5.4 ± 8.38 med s p 4.883 och t 99 t 00 =.984. Itervallskattige avser hur mycket lägre reaktiostid äldre har vid jämförelse med ygre. Håller du med om att förutsättigara för de här metode verkar vara uppfyllda? Ö709 sida 80 Se Parvisa observatioer sida 7 d s ± t d ger.0 ± 4.93 med d =.0, s d = 5.8797 och t 7 =.35. Kolla förutsättigara! Ö70 sida 80 a. Se ruta sida 5. P = 0 400 = 0.505 och itervallskattige blir 0.505 ± 0.049 b. Se ruta sida 5. P = 334 00 0.557 och itervallskattige blir 0.557 ± 0.05 med z =.575. c. Se ruta sida 7. Kofidesitervall för mä-kvior med p m p k ± z 0.0309 Ö7 sida 80 a. x ± t s ger 4.9 ± 0.85 med t 7 t 70 =.994. Verkar förutsättigara OK? pm p m m + p k p k k ger 0.057 ± b. Uppgifte är ite alls lätt att svara på, me om ma gissar att de två s jag har/kommer att få är ära varadra, och helst ära också, så får ma Se sida att =.9 3.5 0. = 7.49 som bör avrudas lämpligt. Vilket håll bör ma avruda åt? B7 sida 8 Om de första kallas A och de adra kallas B och det är oberoede stickprov så 95% K.I. för π A π B vid oberoede urval Se sida 8 p p A p B ± z A p A A + p B p B B, p A = 370 000 = 0.37 och p B = 49 500 0.3733 0.37 0.37 0.37 0.3733 ±.5758 000 + 0.3733 0.3733 500, 0.047 ± 0.0500 B73 sida 8 Jag skippar de t.v. eftersom de är så lik Ö705. Säg tillom du har åt problem med de här uppgifte. B74 sida 8 µ = 4 + + 4 + 3 = 5 a. Urval x x 3 Slukar µ? ˆµ = x +x 3,,4 4 ej.5,,3 3 ja 7.0,4,3 3 ja 7.0,4,3 3 ja 7.5 Kofidesgrade är 75% eftersom 3 itervall av 4 slukar µ b. E[ˆµ] = 4.5 + 7.0 + 7.0 + 7.5 =.0 5.0 så ˆµ är ej v.v.r. B75 sida 8 Som kofidesitervall betraktat är de lite udda, som saolikhetsuppift betraktad är de bra. Kofidesgrad är detsamma som saolikhete att itervallet ska sluka µ P Sluka µ = P Missa µ = P Alla obs > µ P Alla obs < µ = 0.5 5 0.5 5 = 5 Ö80 sida 90 De tidigare uppgifte 9% betraktas som e saig eftersom de kommer frå ett val meda deluppgifteras ya adelar betraktas som osäkra eftersom de kommer frå urval. Fråga gäller om sympatiera har ädrats me ige riktig ages. Testa H 0 : π = 0.9. Författara har ite agett å riskivå. Jag väljer 5% i de här lösige. H : π 0.9 Det fis ledtrådar i boke Se exempel 5 sida 8, me egetlige kommer de riktiga diskussioe först seare Se kapitel 8.5 sida 5 och jag kommer här att aväda beräkige som fis där Se sida 7. a. p = 33 p π 847 0.7488, z = q som ger z.57 efter att ha satt i p = 0.7488, π = 0.9 och = 847. π π Förkasta EJ H 0 eftersom z <.9. Ö80 sida 90 b. Samma uppställig som ova, visas ej i detalj här, z =.495, förkasta H 0. a. Om ma köper 0 aktier slumpmässigt och sätter att X är det atal som stiger i värde så gäller att X Bi0 ; 0.4. Repetera biomialfördelig och dess förutsättigar vid behov Se sida 8. P X 8 = P X 7 = 0.988 = 0.0 eligt tabelle.
b. De verkar vara skickliga. Saolikhete att få 8 eller fler av e slump är ju väldigt låg. Ö803 sida 9 Atal trasiga ka räkas som biomialfördelat om partiera är stora och lampora dras oberoede, våda villkore ka ases uppfyllda eligt uppgifte. a. P X = 0 = 0.0 eligt tabelle b. P Y = P Y = 0 = 0 0 0.05 0 0.05 0 0 0.45 där råräkig måste avädas eftersom du ite har saolikhete 0.05 i di tabell. Ö804 sida 9 Lite trassligt beroede på om ma ska eller ite ska ta med kotiuitetskorrektio. Här fis ett atal svar som jag skulle acceptera. Jag ger här ett svar uta kotiuitetskorrektio. Vätevärdet är π = 0 och variase är 9 0 π π = 9 Se ruta sida 89. P 8 X 9 = P X 9 P X 80 = Φ 80 0 9 Φ 9 Φ.0 Φ.04 0.9793 = 0.007 Ö805 sida 95 a. H 0 : µ = 0 H : µ > 0 b. Z = X µ c. Z N 0 ; d. Förkasta H 0 om Z >.45 3.8 0.0 e. z = 0 =.90 >.45, förkasta H 0. 00 Ö80 sida 07 a. Se facit sida 453 b. H 0 förkastas om x 30 4 >.33 fast i boke aväder de ett tabelltal med högre upplösig och de olikhete är 4 uppfylld för alla x > 3.5 c. Se ruta sida 9. X N 3 ; 0.5 d. P X 30 0.5 <.33 = P X < 3.5 = Φ 3.5 3 0.5 = Φ.7 = 0.0475 Ö807 sida 0 e. I d beräkades β d.v.s. saolikhete att göra ett typ-ii-fel ite förkasta H 0 trots att de är falsk. Styrka är β = 0.955. populatioe är µ. Populatioe är hela de mägd av tillverkade batterier som stickprovet har dragits ur, och medelvärdet i H 0 : µ = 50 N 0 ; om H H : µ > 50 0 är sa. Med 5% riskivå framgår ej av uppgifte så X µ q förkastas H 0 om q x µ 5 50 >.45. 8 =.5 så H 0 förkastas. Det är egetlige ite svar på fråga eftersom författara 00 bett oss beräka P-värdet. P-värdet är Φ.5 = 0.00. Därefter ka vi dra slutsatse att H 0 ska förkastas. Ö808 sida 4 µ är de förvätade tide för att rätta e teta. Det verkar som att författara har täkt sig att stickprovet ska betraktas som stort, aars blir der hopplöst att beräka P-värdet om ma ite har datorstöd. Ma måste också lita på att CGS Se sida 3 eftersom vi ite har å ifo om ursprugsfördelige me måste asätta att X är åtmistoe approximativt ormalfördelad. Sätt H 0 : µ = 0 H : µ > 0. z = q x µ = Φ Det är og rimligt att förkasta H 0, det är oklart vilke riskivå som öskas. 3 0 8 3 =.5 och P-värdet är Φ.5 0.0. Slutsatse måste begräsas rätt hårt. Vi har bara observatioer på e perso och ka bara yttra oss om de eda persoe. Är det tetor på flera olika kurser som rättats eller kommer alla frå samma kurs, som dessutom ka vara e kurs med ovaligt trasslig teta? Hur är det med oberoede mella olika tetor ka det t.ex. vara så att om e tar låg tid så sabbar ma omedvetet på är ma rättar ästa, eller ka det vara tvärt om? Jag tycker INTE ma ska försöka geeralisera dethär resultatet! Ö809 sida 4 Jfr uppgifte ova och fudera på om du ska se stickprovet som stort eller ite. De har ite frågat efter åt P-värde här och jag kör med t, vilket ite blir fel bara för att stickorvet är stort, jag bara avstår frå att göra e föreklig som författara aser är tillåte. Jag bestämmer riskivå till 0%, i verklighete måste de bestämmas i samråd med uppdragsgivare. x = 390 40 = 9.75, s = 453.5 40 390 39 = 9.0Se sida 9 i mia lösigar till boke, som du bläddrar i just u, t = q x µ = s = 0.53 > t 39 =.304, förkasta EJ H 0. Vi har ej fått ett tecke på att de ya maskie har kortare 9.75 0.00 9 40 iställigstid ä 0 miuter per arbetstimma.
0 Ö8 sida 9 Normalt borde adele pojkar vara 0+00 0.5453. Jag ska testa om det fis e avvikelse, me det ges H ige riktig på avvikelse och sätter 0 : π = 0.5453. Jag betraktar det som ett allvarligt äme och skruvar ed H : π 0.5453 riskivå till % för att udvika att vräka ur mig falska påståede. Det straffar sig med att jag löper e större risk att göra ett typ-ii-fel. Jag tror att jag har e bra metod Se sida 07. Håller du med? Jag ka äve köra exakt med biomialfördelig, me det blir räketugt. qp π π π = q 0.585507 0.5453 0.5453 0.5453 0+43 Om H 0 är sa så är approximativt 0.585507 och p π q π π N 0 ;, och jag förkastar H 0 om och det är P Z <.4 + P Z >.4 = Φ.4 = 0.004 = 0.008. Ö8 sida 8 q p π π π >.575. p = 0 0+43 =.3.4 så H 0 förkastas. Författara har bett mig beräka P-värdet Frågeställige avser om det ya programmet är bättre, alltså kör jag ekelsidigt test. xg x µg µ r med s p g + g s g + s g+ ger s p =.45 och t =.797, Se sida och fudera på förutsättigara. Med take på hur jag vät tecket i differese så ska slutsatse vara att förkasta H 0 om t >.70, 8 f.g. och jag har valt 5% riskivå. Förkasta H 0. Ö83 sida 8 Jfr och so s p frå Ö708. Sätt H 0 : µä µ y. E blad flera täkbara metoder är: H : µä > µ y Kostatera att Xä Xy µä µy s Sp ä + y «t 98 t 00 H 0 om ma samplar ur ormalfördeligar med samma varias. Förkasta H 0 om x ä xy µ ä µy s «>.0 ekelsidigt och ataget att 5% riskivå blir bra. x ä xy µ ä µy s s p ä + y.8 så H 0 förkastas ite. Ö84 sida 8 Se Jämförelse av proportiostal sida. p = p+p + riskivå ka H 0 ej förkastas då z <.9. s p ä + y = 0.47, z = r p p π π p p «= q4.883 79.3 73.9 0 40 + 0 +.05. På 5% Ö85 sida 8 Parvisa data, räka på differesera Jfr exempel 8 sida 5 H Om D = X A X B så blir det 0 : µ = 0 H : µ > 0. Om H 0 är sa och D är ormalfördelad så blir T = d 0 7 f.g. Förkasta H 0 om t >.894, t = 0.5 0.98/ = 0.04. Förkast ite H 8 0. s d / t-fördelad med H Ö87 sida 34 Sätt 0 : µ = 450 H : µ > 450 ur e ormalfördelig. Förkasta H 0 om q x µ s så H 0 förkastas. B88 sida 34 B89 sida 34 a. z = q p π π π b. z = q p π π π X µ och aväd att q är t-fördelad med 5 f.g. om H 0 är sa, förutsatt att ma samplat Jag kör här teste på 5% riskivå.0 >.45, förkasta H 0 0.80 <.45, förkasta ej H 0 c. z = r p p π π.9 <.9 där p = =p=+0p0 p p + =+ 0.585 förkasta ej H 0 S >.753 Jag chasar på 5% riskivå, ej givet i uppgifte. 454 450 8.3.98 a. Sigifikasivå är detsamma som riske att förkasta H 0 om H 0 är sa. Sätt att X är atalet pesioärer i urvalet. I dethär fallet blir riskivå då riske att få X > om adele i populatioe är 0.. Om H 0 är sa så gäller att X Bi00 ; 0. och riskivå beräkas efter ormalfördeligsapproximatio med P X > 0 Φ = Φ.5 = 0.933 = 0.08. Approximatioe ka förbättras geom 0. 0.00 kotiuitetskorrektio. 3
b. Styrka är saolikhete att dra slutsatse att H 0 är falsk förutsatt att H 0 är falsk. I dethär fallet P X > 5 om X Bi00 ; 5 som efter ormalfördeligsapproximatioblir Φ = Φ0.3 = 0.5 0.500 0.590 = 0.4090. Approximatioe ka förbättras geom kotiuitetskorrektio. Ö80 sida 34 Varje skrivig blir rättad av två persoer, och det fis ett starkt beroede mella vilke poäg e skrivig får av e rättare och vad samma skrivig får av de adra rättare. Aväd tekike med parvisa observatioer, Se exempel 8 sida 5. Beräka differesera för DocetKet-ProfessorW och sammaställ. Det blir d =.5, d µ 4.984, = 8. =.45. Ekelsidigt test med hypotetiskt värde µ d = 0. På 5% riskivå förkastas H 0 om s d q s t <.895. Förkasta ej H 0. B8 sida 35 a. Så som fråga är ställd måste det höra till tidigare kapitel, Se små stickprov ormalfördelad variabel sida. s x ± t 3 ger 4 ±.0 b. Svår bedömig av förutsättigara. Om ma tror att, åtmistoe approximativt, båda datamägdera samplats ur ormalfördeligar med samma varias så ka vi aväda x f x h µ f µ h r f + h s h och förkasta s p + f h med f s f + h H 0 om t >.740 ekelsidigt, 7 f.g. och ataget 5% riskivå. Med isatta siffror blir det s p.05, t =.973, förkasta H 0. B8 sida 35 Om π är de adel som tycker bäst om Dolt Hot, och ma förytsätetr att ige tycker att båda är exakt lika bra, så ska vi testa H 0 : π = 0.5 H : π 0.5 och jag klipper till med modiga 5% riskivå. Om H 0 är sa så gäller för atalet som tycker mer om Dolt Hot, X, att X Bi0 ; 0.5. Det blir jobbigt att räka exakt uta datorstöd så jag aväder ormalfördeligsapproximatio. Aväd och förkasta H 0 om z >.9. π = 39 0 = 0.5 ger z.338, förkasta H 0. p π q π π Det är ite helt ovaligt att studeter uppfattar det här som att de ska jämföra två adelar, Se jämförelse av proportiostal sida, me det är fel. Vi har ETT stickprov, problemet går att uttrycka som e adel och det råder ett stehårt beroede mella adele som tycker bäst om Dolt Hot och adele som tycker bäst om The Costat Gardeer adelelara måste summeras till så det här är INTE ett problem med att jämföra e adel i e populatio med motsvarade adel i e aa populatio. B83 sida 3 a. Hm, jag gissar att de testat på 5% riskivå att de satte hypotesera som H 0 : π = 0.04 där π är adele i H : π > 0.04 väljarkåre som uppger att de ska rösta på mådagspartiet. Förkasta H 0 om >.45. Då måste vara det mista heltal som uppfyller olikhete 0.047 0.040 q 0.04 0.04 p π q π π >.45 som har lösige =. Stämmer ej perfekt med bokes facit och jag tror att de satt gräse till.4 meda jag satt de till.45. b. Det blir samma ekvatiostake me med e aa obekat. Sätt q p 0.040 0.04 0.04 00 >.45 och lös ut mista p som uppfyller olikhete. Det blir p 0.0493 så mist 4.93% måste rösta på mådagspartiet. Egetlige borde jag og avruda lite uppåt. B84 sida 3 Små stickoprov, ite speciellt kostig fördelig, ugefär lika stor variatio. x G = 5.7, s G =.907844, G = 0, x R = 3.5, s R =.9547, R = 8, G s G + R s R x G + R = 8.475, G x R µ G µ R r =.774, f.g., H 0 s p + G R förkastas om t >.74 ataget ekelsidigt test på 5% riskivå. Se är väl kappast dethär världes mest geomtäka jämförelser av löer äve om de fukar som e övigsuppgift. Det borde fias mer data, ma kaske ska justera för vilka sorters utbildigar som ges och hur måga studeter ma har o.s.v. me det beror såklart på hur de täkta frågeställige är exakt formulerad. B85 sida 3 a. X Bi47 ; 0.05 eftersom ma kör 47 oberoede försök och eftersom saolikhete är 0.05 att förkasta H 0 i varje försök och försöke är oberoede. b. X N 3.8 ; 4.755 approximativt. Φ 0.95 =.45. x 0 = 3.8 + 4.755.45 = 3. 3. Om ma räkar exakt med biomialfördelig så blir svaret 3, me det är praktiskt överjobbigt att göra uta datorstöd. 4
Ö9XX sida Alla som fis med här har samma stuk, jag visar ite hur ma beräkar χ -summa eftersom det är så stadard, uta sackar bara om vad som jag tror är ka vara problem med hur ma förbereder ia ma hackar själva beräkige. H Ö905 sida 5 0 : Det fis ite ett sambad H : Det fis ett sambad ska testas. Författara har ej gett ågo riskivå, jag tar 5%. Tabelle visar observerat atal förvätat atal 30 9.90588 73 50.470 0 4.4470 78 5.40784 97 95.594 57 80.075 37.87 40 3.8353 99 53.4900 χ = 9.7594 och med 4 frihetsgrader är de kritiska gräse 9.488. Förkasta H 0. 4.889 0.377 39 3.853 3 0.44755 7.888 Ö905 sida 55 χ 3.888 7 0.74 4.349 3.5545 5.888 =.9098, f.g. 4, kritisk gräs 9.488, förkasta H 0. Det verkar som att författara har slagit ihop första och adra kolume är de räkat ut det svar som preseteras i bokes facit Se sida 454, me jag ser ite att jag ska vara tvuge att göra det, Se ruta sida 40. B90 sida 5 Du måste göra om sifferuppgiftera lite eftersom metode kräver att ma räkar på absoluta frekveser. Härled tabelle 4 54 99 88 7 58 och följ samma beräkigsschema som tidigare. Ö9 sida Du måste göra om sifferuppgiftera lite eftersom metode kräver att ma räkar på absoluta frekveser. Härled tabelle Skruvberget Älgkulle Skatvike Turmosse Atal moderater 85 78 Atal icke-moderater 88 474 5 7 och följ samma beräkigsschema som tidigare. B9 sida Du måste göra om sifferuppgiftera lite eftersom metode kräver att ma räkar på absoluta frekveser. Härled tabelle Föredrar de ea Föredrar de adra Mä 38 Kvior 8 4 och följ samma beräkigsschema som tidigare. Ö93 sida B94a sida Exakt samma upplägg som B9, försök och säg till om det trasslar. Exakt samma upplägg som B9, försök och säg till om det trasslar. 5