Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Examiator för SF1917/1919: Jörge Säve-Söderbergh, 08-790 65 85. Examiator för SF1918: Camilla Ladé, 08-790 61 97. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig i Matematisk statistik utdelas vid tetame), miiräkare. Tetame består av två delar, beämda del I och del II. Del I består av uppgiftera 1-12. På dea del skall edast svar ages, atige i form av ett umeriskt värde med tre värdesiffrors oggrahet eller i form av val av ett av de möjliga svarsalterative. Studeter som är godkäda på kotrollskrivige behöver ej besvara uppgift 1-3, uta får tillgodoräka sig dessa tre uppgifter. Gräse för godkät är prelimiärt 9 poäg. Möjlighet att komplettera ges för tetader med, prelimiärt, 8 poäg. Tid och plats för kompletterig kommer att ages på kurses hemsida. Del II består av uppgiftera 13-16 och varje korrekt lösig ger 10 poäg. Del II rättas bara för studeter som är godkäda på del I och poäg på del II krävs för högre betyg ä E. På dea del skall resoemag och uträkigar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Iförda beteckigar skall förklaras och defiieras och umeriska svar skall ages med mist två värdesiffrors oggrahet. Studeter som är godkäda på datorlaboratioe får 4 bouspoäg på del II på ordiarie tetamestillfället och det första omtetamestillfället. Tetame kommer att vara rättad iom tre arbetsveckor frå skrivigstillfället och kommer att fias tillgäglig på studetexpeditioe mist sju veckor efter skrivigstillfället. Del I Uppgift 1 För hädelsera A och B gäller att P A B ) = 0.2, P A B) = 0.4 och P A B) = 0.8. Bestäm P A B). A: 0.25 B: 0.33 C: 0.50 D: 0.67
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 2 Uppgift 2 E stokastisk variabel X har fördeligsfuktioe Bestäm E e X). 0, x < 0 x F X x) = 2, 0 x 2 1, x > 2 A: 0.432 B: 0.500 C: 0.568 D: 0.787 Uppgift 3 På julbordet ligger tre skivor kallrökt lax, fyra skivor gravad lax och fem skivor varmrökt lax. Lille Nisse tar två skivor helt på måfå. Vad är saolikhete att Lille Nisse får två skivor gravad lax? Uppgift 4 Låt X och Y vara två oberoede stokastiska variabler sådaa att X Po 3) och Y Po 4). Beräka P X + Y = 2). Uppgift 5 Låt X och Y vara två oberoede stokastiska variabler där X N 2, 3) och Y N 4, 2). Låt Z = 2Y X. Beräka P Z > 4). A: 0.345 B: 0.468 C: 0.532 D: 0.655
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 3 Uppgift 6 Låt X Exp 5), d v s itesitete är lika med fem. Bestäm E X 2 ) Uppgift 7 Låt X 1 och X 2 vara två oberoede likafördelade stokastiska variabler sådaa att X i Exp λ), d v s itesitete är lika med λ. Beräka maximum-likelihood-skattige av λ då x 1 = 4 och x 2 = 6. A: 0.082 B: 0.205 C: 0.200 D: 0.503 Uppgift 8 Atag att X 1,..., X utgör ett stickprov på N µ, σ), där σ är käd. Tyko öskar testa ollhypotese H 0 : µ = 2 mot H 1 : µ < 2 med hjälp av ett lämpligt kofidesitervall för µ. Vilket av edaståede kofidesitervall för µ skall väljas? A: I µ =, x + σ ) λ α B: I µ =, x + σ ) λ α/2 C: I µ = D: I µ = x + σ ) λ α, x + σ ) λ α/2, Uppgift 9 Atag att X 1,..., X utgör ett stickprov på N µ, σ). Frå tjugo observatioer erhölls följade värde x = 0.46, samt s = 0.43. Age edre gräse för det tvåsidiga kofidesitervallet för σ med kofidesgrad 99%. A: 0.158 B: 0.302 C: 0.316 D: 0.000
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 4 Uppgift 10 Två stickprov frå två populatioer. Varje stickprov uppfattas som observatioer på N µ i, σ i ), där vi atar att σ 1 = σ 2. Frå de två stickprove beräkades följade sammafattade mått: frå stickprov 1 1 = 4 x 1 = 1007.25 s 1 = 143.66 frå stickprov 2 2 = 4 x 2 = 817.75 s 2 = 73.627 Beräka de udre gräse i ett 95%-igt tvåsidigt kofidesitervall för µ 1 µ 2. A: 13.14 B: -18450 C: 44.53 D: -8.25 Uppgift 11 Två udersökigar gjordes på två grupper av patieter som hade blivit vaccierade respektive ite hade blivit vaccierade. Femhudra vaccierade udersöktes där fyrtioio hade blivit viterkräksjuka. I de icke vaccierade gruppe udersöktes sexhudra där femtioåtta hade fått viterkräksjuka. Låt p 1 stå för adele patieter som blivit viterkräksjuka trots att de har vaccierats och låt p 2 stå för adele patieter som blivit viterkräksjuka uta att ha vaccierats. Vi är itresserade av parameter p 1 p 2. Bestäm medelfelet för skattige av p 1 p 2. A: 0.0180 B: 0.419 C: 0.297 D: 0.441 Uppgift 12 E forskare har gjort tio försök som ases vara oberoede av varadra där saolikhete för lyckat försök är p. Låt X stå för atalet lyckade försök. Forskare öskar pröva H 0 : p = 1/2 mot H 1 : p > 1/2. Resultatet av de tio försöke var åtta lyckade försök. Beräka p-värdet! A: 0.0107 B: 0.0440 C: 0.100 D: 0.0547
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 5 Del II Uppgift 13 a) I ett system är två kompoeter kopplade eligt figure. Systemet fugerar om både kompoet 1 och 2 fugerar. A Komp 1 Komp 2 B Atag att livslägdera T 1 och T 2 för kompoet 1, respektive 2 är obeoroede stokastiska variabler med fördeligsfuktioer F 1 x) = 1 e x/5 för x 0, respektive F 2 x) = 1 e x/8 för x 0. Beräka systemets förvätade livslägd. 4 p) b) Ma vill få reda på adele p av persoer i e stor populatio med e viss egeskap som ger svaret Ja på e käslig fråga. Ett par exempel: Har du uder det seaste året avät arkotika? eller Har du ågo gåg sattat? ). För att få ökad persolig sekretess och ett mer korrekt udersökigsresultat) lät ma de tillfrågade först dra ett kort. Med saolikhete 2/3 drar de ett kort av typ I som säger de skall svara ärligt Ja/Nej på de käsliga fråga och med saolikhete 1/3 drar de ett kort av typ II som säger att de skall svara ärligt Ja/Nej på e irrelevat fråga, t ex Är de sista siffra i ditt persoummer ett jämt tal?. Vilke typ av kort de får vet edast de tillfrågade själva. De tillfrågade visar alltså ite kortet för ågo aa och får själva dra ett kort på måfå). Atag att ma geomfört e udersökig eligt ovaståede pricip och att ma fick 40% Jasvar. Vad är p =, dvs adele idivider som t ex uder det seaste året avät arkotika? Du får ata att de irrelevata fråga var Är de sista siffra i ditt persoummer ett jämt tal? och att saolikhete för ett jämt tal som sista siffra i ett persoummer är lika stor som saolikhete för ett udda tal som sista siffra. 6 p) Ledig: Du får utgå frå att totala saolikhete för svaret Ja är/skattas som 0.4. Uppgift 14 E stressad klassförälder hade lovat att se till att det fas lussebullar till bare i första klass som skulle gå luciatåg på luciadage. De skulle gå ett luciatåg på morgoe och ett på eftermiddage och fika efter båda tåge. Atalet bar i första klass på skola är 55. På morgoe äter e elev i årskurs 1 ige lussebulle med saolikhet 0.1, e lussebulle med saolikhet 0.7 och två lussebullar med saolikhet 0.2. Fördelige över atalet äta lussebullar är desamma på eftermiddage, dock fis det ett beroede mella atal äta lussebullar på morgoe och eftermiddage som resulterar i e egativ korrelatioskoefficiet på ρ = 7/29. Det fis iget beroede mella hur måga bullar olika elever äter. Beräka approximativt atalet lussebullar som förälder borde ha bakat för att alla bar med saolikhet 95% skulle få så måga bullar som de ville. Alla gjorda approximatioer skall motiveras. 10 p)
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 6 Uppgift 15 a misstäkte att ett roulettebord på ett kasio var maipulerat och geomförde ett test med 8000 försök. Om roulette är korrekt skall röd, svart och grö olla) komma upp i proportioera 18:18:1. Testresultatet gav röd: 3751, svart: 4018, grö: 231. Avgör med felriske 1% om roulette är korrekt. Det måste klart framgå av svaret vad slutsatse är. 10 p) Uppgift 16 a) Täthetsfuktioe för χ 2 1)-fördelige ges av ft) = 1 1 e t/2 t 0. 2 π t Visa att om X N0, 1) så gäller att Y = X 2 χ 2 1). 3 p) b) För att bestämma area θ av e kvadrat gör ma observatioer x 1,..., x av stokastiska variabler X i i = 1,...,, där X i N θ, σ), σ är käd och X i :a atas oberoede. MK-skattige av θ baserat på observatioera x 1,..., x ges av θ obs = x 2 = 1 ) 2 x i. Visa att om ma tar fram ett dubbelsidigt kofidesitervall med kofidesgrad 1 α för θ utgåede frå fördelige för ) 2 X θ σ/ så kommer ma att få fram samma itervall som är ma utgår frå fördelige för i=1 X θ σ/. För att full poäg skall utdelas måste lösige vara väl motiverad, speciellt måste sambadet mella de två fördeligaras kvatiler klart framgå. 7 p) Ledig: Precis som vid χ 2 -test måste ma titta på variabel och täka efter vad som ka ases som bekymmersamma utfall. Lycka till!
Avd. Matematisk statistik LÖSNINGSFÖRSLAG TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Del I Uppgift 1 Vi ska beräka P A B) = P A B) /P B). Med hjälp av ett Ve-diagram är det lätt att se att A B = A B ) A B) A B), samt att de tre sitte är disjukta. Eligt Kolmogorovs tredje axiom har vi därför eller P A B) = P A B ) + P A B) + P A B) P A B) = P A B) P A B ) P A B) = 0.8 0.2 0.4 = 0.2 Återige med samma metod ser vi att och de är disjukta. Så B = A B) A B), P B) = P A B) + P A B) = 0.2 + 0.4 = 0.6 Därmed blir P A B) = P A B) P B) = 0.2 0.6 = 1 3 = 0.333 E e X) = 2 0 Uppgift 2 e x 1 [ 2 dx = 12 ] x=2 e x = 1 x=0 2 1 2 e 2 = 0.432 Uppgift 3 P två gravade laxar) = 3 ) 4 ) 5 0 2 0) 12 ) = 2 4 2) 12 2 ) = 4 3 12 11 = 1 11 = 0.0909
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 2 Uppgift 4 Då X Po 3) och oberoede av Y Po 4), uttalar additiosegeskape att X + Y Po 7). Därmed blir P X + Y = 2) = 72 2! e 7 = 0.0223 Uppgift 5 Om vi aväder sats 6.5 i Blom et al har vi att 2Y X N 6, 5). P Z > 4) = 1 P Z 4) Z 6 = 1 P 5 = 1 Φ 0.40) = Φ 0.40) = 0.655 4 6 ) 5 Uppgift 6 Notatioe X Exp 5) betyder att E X) = 1 5 och Var X) = 1 5 2. Vi ka äve skriva beräkigsformel för variase Var X) = E X 2 ) E X)) 2 som E X 2) = Var X) + E X)) 2 = 1 5 2 + 1 5 Uppgift 7 ) 2 = 2 25 = 0.08 Notatioe X i Exp λ) betyder att täthete för X i är f Xi x) = λe λx i. Därmed blir likelihoodfuktioe L λ) = λe λx 1 λe λx 1 = λ 2 e λx 1+x 2 ) Då blir log-likelihoodfuktioe Om vi maximerar l L λ) m a p λ har vi l L λ) λ Då x = 5 är ML-skattige 1/5=0.2 l L λ) = 2 l λ λ x 1 + x 2 ). = 2 λ x 1 + x 2 ) = 0 λ = 2 x 1 + x 2 = 1 x. Alterativ A är rätt. Se boke. Uppgift 8 Uppgift 9 De udre gräse i ett kofidesitervall för σ ges av f k 1 s = χ 2 α/2 f) s f = 1
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 3 Då = 20 och α = 0.01, blir f = 19 och χ 2 0.005 19) = 38.6. Eftersom s = 0.43 blir de udre gräse f 19 k 1 s = χ 2 α/2 f) s = 0.43 = 0.302 38.6 Uppgift 10 s = Q 1 + Q 2 1 1) + 2 1) = 1 1)s 2 1 + 2 1)s 2 2 1 1) + 2 1) = 3 143.662 + 3 73.627 2 3 + 3 = 114.147 1 x 1 x 2 t α/2 f)s + 1 1 2 189.5 2.45 114.147 1 = 1007.25 817.75 t 0.025 1 + 2 2) 114.147 + 1 = 1 + 1 = 8.25 4 4 4 4 x 1 1 ) 1 x 1 1 + 1 ) x 2 2 1 x 2 2 2 = 49 500 Uppgift 11 ) 1 49 500 + 500 Uppgift 12 ) 58 600 1 58 600 600 = 0.01795352 = 0.0180 P X 8) = 1 P X 7) = Tabellvärde där p = 1 = 1 0.9453 = 0.0547 2
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 4 Del II Uppgift 13 a) Låt T =systemets livslägd. Då gäller att T = mi{t 1, T 2 } och F T t) = P T t) = P mi{t 1, T 2 } t) = 1 P mi{t 1, T 2 } > t) = 1 P T 1 > t, T 2 > t) = {oberoede} = 1 P T 1 > t)p T 2 > t) = 1 [1 P T 1 t)] [1 P T 2 t)] = 1 [ 1 1 e t/5 ) ] [ 1 1 e t/8 ) ] = 1 e t1/5+1/8) = 1 e t 13/40 Atige käer ma reda u ige fördeligfuktioe för e expoetialfördelig med parameter λ = 13/40 eller också deriverar ma för att få f T t) = d dt F T t) = d dt 1 e t 13/40 ) = 13 e t 13/40. 40 Käer ma u ige täthetsfuktioe för e expoetialfördelige med parameter λ = 13/40 får ma mha formelsamlige att systemets förvätade livslägd är ET ) = 40/13 3.0769 aars ka de beräkas geom att ma löser itegrale b) Iför följade hädelser ET ) = tf T t)dt). JA = hädelse att ma svarar ja på e fråga N oses = hädelse att ma får svara på e osesfråga Kaslig = hädelse att ma får svara på e käslig fråga Vi vet då att P JA) = 0.4, P Noses) = 1 3, P Kaslig) = 2 3 samt att P JA Noses) = 1/2. Vidare ger lage om total saolikhet att P JA) = P JA Noses)P Noses) + P JA Kaslig)P Kaslig) Eftersökt är p = P JA Kaslig) och med isatta värde fås varför p=0.35. 0.4 = 1 2 1 3 + p 2 3 Uppgift 14 Låt X j =atal lussebullar elev j äter på morgoe och Y j =atal lussebullar elev j äter på eftermiddage. Vi får EX j ) = 0 0.1 + 1 0.7 + 2 0.2 = 1.1 EX 2 j ) = 0 2 0.1 + 1 2 0.7 + 2 2 0.2 = 1.5 V X j ) = EX 2 j ) [EX j )] 2 = 1.5 1.1 2 = 0.29 DX j ) = 0.29
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 5 och då X j och Y j är likafördelade har de samma vätevärde och varias. Låt vidare Z j = X j +Y j. Då gäller att EZ j ) = EX j )+EY j ) = 1.1+1.1 = 2.2 för j = 1, 2,, 55. Vi får V Z j ) = V X j +Y j ) = V X j )+V Y j )+2CX j, Y j ) = 0.29+0.29+2ρX j, Y j )DX j )DY j ) = 0.29 + 0.29 + 2 7/29) 0.29 0.29 = 0.44 Totala atalet lussebullar som äts blir S = Z 1 +Z 2 + +Z 55 som är approximativt ormalfördelad eligt Cetrala gräsvärdessatse ty Z 1,, Z 55 är oberoede och likafördelade och gaska måga. S är approximativt N55 2.2, 55 0.44) och för att lussebullara skall räcka med saolikhet 95% måste vi ha, med x= atal lussebullar som bakas, att eller P P S x) = 0.95 S 121 24.2 x 121 24.2 ) = 0.95 Vi ser u att x 121 24.2 = λ 0.05 = 1.6449 dvs ma bör baka x = 121 + 1.6449 24.2 130 bullar. Här har vi avrudat uppåt till hela bullar för att vara säkra på att det skall räcka till. Uppgift 15 Vi gör ett χ 2 -test av H 0 : Roulette är korrekt. Vi har 8000 P röd) = 8000 18/37 3891.89, 8000 P svart) 3891.89 och 8000 P grö) = 8000/37 216.22. Villkoret p i > 5 är alltså uppfyllt med råge. Testvariabel är alltså Q = 3751 3891.89)2 3891.89 + 4018 3891.89)2 3891.89 + 231 216.22)2 216.22 10.20 Vi testar e give fördelig, så detta är e observatio av e χ 2 -fördelad variabel med 3-1=2 frihetsgrader. Eftersom Q > χ 2 α2) = 9.21 förkastar vi H 0 med felriske 1%, dvs. vi drar slutsatse att roulette är felaktig. a) Vi har att fördeligsfuktioe för Y ges av Uppgift 16 F Y y) = P Y y) = P X 2 y) = P y X y) = {kotiuerlig fördelig} = P y < X y) = P X y) P X y) = F X y) F X y). Här krävs uppebarlige att y 0. Geom att derivara får vi täthetsfuktioe för Y som f Y y) = d dy F Y y) = d dy [F X y) F X y)] = f X y) 1 1 f X y) 1 ) 1 2 y 2 y = 1 1 ϕ y) + 1 1 ϕ y) 2 y 2 y
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 6 för y 0. Ur formelsamlige hämtar ma att täthetsfuktioe för e stadard ormalfördelig ges av ϕx) = 1 e x2 /2. 2π Isatt i uttrycket för f Y y) ger detta att f Y y) = 1 1 1 e y 2 /2 + 1 1 1 e y) 2 /2 = 1 1 y e y/2 2 y 2π 2 y 2π 2π för y 0, vilket överesstämmer med det giva uttrycket för täthetsfuktioe för e χ 2 1)- fördelig. b) Det gäller att X θ σ/ N0, 1) Det dubbelsidiga kofidesitervallet för θ med kofidesgrad 1 α ma får baserat på fördelige för ovaståede variabel är det valiga ) I θ = σ σ x λ α/2, x + λ α/2 1) för e härledig se läroboke avsitt 12.3 a)). Det gäller se del a) av dea uppgift) att ) 2 X θ σ/ χ 2 1) Vi får därför att ) 2 P X θ σ/ χ 2 α1) = 1 α, eller P X θ σ/ Vi ka ta bort beloppstecket och får då P ) χ 2 α1) = 1 α. χ 2 α1) X θ σ/ χ 2 α1) ) = 1 α. Detta ka omformas till se till att få θ esamt i mitte) P X χ 2 α1) σ θ X + χ 2 α1) σ ) = 1 α. Ett dubbelsidigt kofidesitervall för θ med kofidesgrad 1 α ges alltså av I θ = x χ 2 α1) σ, x + χ 2 α1) σ )
forts tetame i SF1917/SF1918/SF1919 2019-01-08 7 Geom att jämföra med itervallet i 1) ser vi att χ 2 α1) = λ α/2, vilket ma också iser eftersom det, med beteckigar frå deluppgift a), gäller att vilket är detsamma som eller Då X N0, 1) gäller också att och vi måste ha att χ 2 α1) = λ α/2. P Y χ 2 α1)) = 1 α, P X χ 2 α1)) = 1 α P χ 2 α1) X χ 2 α1)) = 1 α. P λ α/2 X λ α/2 ) = 1 α