Stången: Cylindern: G :

Relevanta dokument
Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

Resultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.

Stela kroppens rotation kring fix axel

Övning 3 - Kapitel 35

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

Svar till tentan

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Lösningar till problemtentamen

Mekanik Föreläsning 8

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

Föreläsning G70 Statistik A

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar

101. och sista termen 1

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

Linköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare.

Om komplexa tal och funktioner

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Begreppet rörelsemängd (eng. momentum) (YF kap. 8.1)

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

S0005M V18, Föreläsning 10

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan Lärare: Jan Rohlén

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Dagens föreläsning. Partikelrörelse. Föreläsning 2 Rörelselagar och simuleringar - ett steg i taget

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

Repetition Mekanik, grundkurs

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Grundläggande matematisk statistik

Introduktion till statistik för statsvetare

Föreläsning G04: Surveymetodik

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.

m 1 + m 2 v 2 m 1 m 2 v 1 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen , kl KTH Mekanik

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs

Höftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund - Exempel på tavlan

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n

TAMS15: SS1 Markovprocesser

" = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G.

Andra ordningens lineära differensekvationer

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Lösningar till problemtentamen

TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektrovetenskap. Tentamen i Digital Signalbehandling ESS040 (ETI240/ETI275)

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Laboration 2 Mekanik baskurs

SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

9, 10. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelkinetik-energi Magnus Johansson,IFM, LiU

Lösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Transkript:

mekaik I, 09084- A V H f mg G N B 3 d Frilägg cylider och de lätta ståge! Ståge påverkas av kraftparsmometet M samt kotaktkrafter i A och O. Cylider påverkas av kotaktkrafter i A och B samt tygdkrafte mg. Betrakta först cylider och iför f och N vid B! Iför kompoetera H och V vid A! Utyttja seda lage om verka och motverka för kraftera på ståge i A. O H Jämvikt fordrar för: Ståge: M V O : M H 4d V 3d = 0 () H V A 3d 4d Cylider: G : 3 d ( V f )= 0 () : H f = 0 (3) : N mg V = 0 (4) Eftersom gräsfallet mot glidig skall udersökas ka friktiosvillkoret f asättas direkt. Det sökta kraftparsmometet ges av (). = µ N Ekvatioera () - (3) ger H = V = f = µ N (5) Ekvatio (4) ger då N = mg µ (6) Isättig i ekv () ger M = µ N 4d+ µ N 3 d (7) M = 7µ N d (8) M = 7µ mgd µ

) A E partikel med massa m rör sig på isida av e cirkelformad skea med radie som är fäst på yta av ett lutade pla med lutigsvikel. Partikel ges i de lägsta pukte A e tillräckligt stor fart v som möjliggör dess rörelse lägs skea. Ma observerar att ormalkrafte frå skea på partikel i A har halverats efter ett varv. Bestäm friktiosförlustera eller friktioskrafteras arbete då partikel har rört sig ett varv frå A och åter till A. Lösig ) Formulera kraftekvatioe i ormalriktige i A, N0 va e : m = N mgsi N A e va N = mgsi + m. Normalkraftera frå skea i börja och efter ett varv i A blir: mg v v N = mgsi + m, N = mgsi + m, mgsi där v = v och v är farte i A efter ett varv. ) Bestäm sambadet mella v och v. Vi har N = N, vilket ger v v mg si + m = mg si m v v gsi + = 3) Aväd lage om de kietiska eergi och beräka friktiosarbetet. Obs att tygkraftes arbete är oll frå A till A. Vi har: m U = T T= mv mv = m v gsi v v gsi = + 4 eftersom v = v

HE 09 08 4 KTH Mekaik 009 08 4 Uppgift 3: E kropp skjuts upp frå e plaet. Frå börja har de precis så stor hastighet v e att de just år oädlighete med farte oll. v e kallas flykthastighete. Atag att plaete är ett klot med massa M och radie. a) Beräka flykthastighete uttryckt i M och samt Newtos gravitatioskostat G. Atag u att e satellit avfyras med v e i e horisotell riktig frå e pukt på plaete. b) Vilke höjd h har satellite är de passerar i zeit 90 bort på plaete i avfyrigsrikige? Frå atmosfär och luftmotståd bortses. Ledig: I cyliderkoordiater ges baa vid cetralrörelse av r = l/( + e cos θ), där r är avstådet frå kraftcetrum och e kallas excetricitete. Vad måste e vara om r precis ka bli oädligt? h M Figur : Lösig 3: a) Eergis bevarade T + V = E ger oss i detta fall mv e GmM = m0 GmM = 0 där E = 0 följer av iformatioe om sluttillstådet. Ur dea ekvatio löser ma lätt: Svar a: GM v e = b) I uttrycket för baa ka excetricitete vara e = 0 vilket ger e cirkelbaa, eller 0 < e < vilket ger baor som ite ka å oädlighete, alltså ellipser. För e = ka oädlihete precis uppås (är θ = π). Alltså svarar e = mot e baa med flykthastighete vid plaetyta. Vid uppskjutige har ma då = r(0) = l/[ + cos(0)] = l/. Detta ger att l =. Vid 90 = π/ får ma då avstådet till r(π/) = /[ + cos(π/)] =. De sökta höjde h fås om subtraheras frå detta avståd. Alltså fås Svar b: h =

mekaik I, 09084-4 x kx S S Mg I figure har de två kroppara frilagts. Kroppara har samma fart eftersom tråde är oelastisk. Ma ka välja att starta med att skriva upp kraftekvatioe för vardera kroppe, me eftersom de maximala fjäderförkortige iträffar vid ett vädläge (då farte är oll), väljer vi här att börja med att skriva upp e eergiekvatio, förslagsvis lage om mekaiska eergis bevarade T + V = T0 + V0 () mx + Mx Mgx + kx = 0+ 0+ 0+ 0 () Vädläge iebär att ẋ = 0. Isättig i ekv () ger då lösige x = 0 (startläget) och Mg de maximala fjäderförkortige x =. k örelseekvatioe, kraftekvatioe för hela systemet, fås om de två kraftekvatioera för partiklara adderas. Alterativt tidsderiveras eergiekvatioe (): vilket betyder att m xx + M xx Mgx + k xx = 0 (3) ( ) + = Svägigsekvatioe på stadardform blir M+ m x k x Mg (4) x + k M m x Mg = + M+ m (5) Jämförelse med teoris stadardekvatio x + ω x = kostat ger svägigstide τ π = = ω π M+ m k Vi ser att båda kroppara bidrar till tröghete. Svägigsekvatioe säger att acceleratioe är oll för "mitteläget" x = Mg /. k