Tntamn i Matmatik HF9 7 januai kl 7 Hjälpmdl: Endast omlblad miniäkna ä int tillåtn Fö godkänt kävs poäng av möjliga poäng Btgsgäns: Fö btg A B C D E kävs 9 6 spktiv poäng Dn som uppnått 9 poäng å btgt F och ha ätt att kompltta Fullständiga lösninga skall psntas till alla uppgit Eaminato: Amin Halilovic Ansvaig läa: Elias Said Uppgit : a Bäkna gänsvädt: p b Bäkna gänsvädt: sin cos 6 c Låt g då A då Bstäm A så att g bli kontinulig i punktn p p Uppgit : a Gnom punktn på kuvan > md östa koodinatn a das tangntn till kuvan Dnna kuva avgänsa tillsammans md -aln och -aln n tiangl Vilkt ä dt stösta vädt som tianglns aa kan anta? p b Bstäm lutningn på kuvan i punktn - p Uppgit : Btakta unktionn: Bstäm unktionns vntulla asmptot samtliga tmpunkt min och ma och ita gan till unktionn p VAR GOD VÄND!
Uppgit : a Bstäm n pimitiv unktion till p b Bäkna öljand intgal d p c Bstäm volmn av dn kopp som uppstå då omådt som bgänsas av kuvona till unktionna och g samt linjna och ota king -aln p Uppgit : a Bstäm divatan till: cos sin sin p b Bstäm ö t > vädt på t så att öljand gäll t ln d p Uppgit 6: a Bstäm koodinatna z ö vntulla stationäa punkt till z p Bstäm ävn dssa punkts kaaktä min/ma/sadlpunkt b Bäkna volmn gnom att använda dubblintgal av n kopp som dinias av: { z : z } p Lcka till!
Lösningsöslag: Uppgit : a { L Hospital} sin cos b { } L Hospital cos cos sin sin c g ä kontinulig i punktn om g g A 6 A Rättningsmall: c Rätt uppställt samband p Uppgit : a Etsom a ha tangntn i punktn a kvationn a a a a a a Skäningn md -aln gs av: a a a a Skäningn md -aln gs av: a a a a a a a a Tianglaa: T a a a a T a a a a a T a a a En nkl tcknstudi skall psntas visa att a g tianglaans stösta väd T a b Lutningn i punktn - hålls via implicit diving av d d d d d 6 6 d d d d d 6 Rättningsmall: a Rätt uppställt aa uttck p Rätt a p Rätt bäknad aa
Uppgit : Lösning: Dinitionsmängd Ekvationn ± sakna lla lösninga nämnan ha inga lla nollställn Dämd ä unktionn diniad och kontinulig ö alla Asmptot a Funktionn ä diniad och kontinulig ö alla Ingn vtikal lodät asmptot b ä n hög hoisontll vågät asmptot Samma sultat å vi i dtta mpl om ä n hög hoisontll vågät asmptot Alltså ha unktionn n hoisontll vågät asmptot Stationäa punkt Inga snda asmptot Vi ha 8 8 och och 7 Divatans tckntabll: Nota att nämnan ä > ö alla och dämd int påvka divatans tckn Vi bhöv int inkluda dnna tm i tablln MAX MIN visa att ä n lokal maimipunkt unktionns maimiväd ä
mdan ä n lokal minimipunkt unktionns minimiväd ä Motsvaand punkt på gan ä S och S Funktionns ga Rättningsmall: - Fl asmptotbstämning -p - Saknas någon asmptot -p - Rätt bäkning av stationäa punkt samt dss kaaktä p - Gan hlt l -p Uppgit : a d d Intgaln löss via patillintgation d d C C En pimitiv unktion till ä b d d { Patialbåksuppdlning} d
[ ln ln ] ln ln ln ln ln 8 c Rotation king -aln Figun visa att g ä dn öv unktionn Volmn V: V π g d π d V π 9 V π v d π d Rättningsmall: c - Rätt uppställd intgal p - Rätt bäknad volm p Uppgit : a cos sin sin sin sin cos sin t t cos sin sin sin b ln d [ ln ] t t lnt t t lnt t t lnt cos sin sin sin sin cos sin t lnt t 6 cos sin cos
7 Rättningsmall: a Fl tillämpning av divingsgl -p Enstaka tcknl -p b Rätt bäknad intgal p Uppgit 6: a z d d d d Fån kvation å vi som substitua i kvation : Två stationäa punkt och ä hållna C B A 6 6 Stationä punkt : Fö punktn hålls sadlpunkt ä B AC 9 < Stationä punkt : Fö punktn hålls t minimipunk ä A och B AC 7 > > 9 b Volmn av tt ömål som dinias av öljand omåd D: : z z gs via dubblintgaln: D dd Omvandling till poläa koodinat: dd dd sin cos g { } 8 v d d vaiablsubstitution d d dd dd D D π π π π Rättningsmall: 6a - Rätt bäknad stationäa punkt p
- Rätt kaaktä p 6b - Rätt uppställd intgal md ätt poläa koodinat p - Rätt bäknad volm p 8