Ett system är asymptotiskt stabilt om det efter en övergående störning återgår till sitt begynnelsetillstånd.

Transkript

1 6. Stabilitet Såom framgått i de två iledade kaitle förutätter e lyckad regulatordeig komromier mella retada ( abbhet ) och tabilitet. Ett ytem om oreglerat är tabilt ka bli itabilt geom för aggreiv reglerig. Å adra ida exiterar det ockå ytem om oreglerade är itabila och om kräver reglerig för att tabiliera. Vi ka kotatera att tabilitet är ett ödvädigt, me ite tillräckligt, villkor för e god reglerig. Det är uebart att vi behöver ytematika metoder för att avgöra om ett ytem reglerat eller oreglerat är tabilt eller itabilt. 6. Stabilitetdefiitioer Stabilitet ka defiiera å flera olika ätt mer eller midre matematikt och med måvariatioer i grädragige dem emella. För alla raktika ädamål är de olika defiitioera dock ekvivaleta för lijära ytem, me e vi defiitio ka i e give ituatio vara behädigare att aväda ä e aa. Därför är det ädamåleligt att här ta u de valigate tabilitetdefiitioera. Följade två rätt kokreta tabilitetdefiitioer är allmäa åtillvida, att de gäller både för lijära och olijära ytem och oberoede av tye av ytembekrivig (modell). 6.. Aymtotik tabilitet Ett ytem är aymtotikt tabilt om det efter e övergåede törig återgår till itt begyeletilltåd. E tyik övergåede törig (dv e iigal om i ågot kede återgår till itt begyeletilltåd och därefter förblir där) är e ul och i raktike blir evetuella beräkigar eklat om vi atar att ule är e imul. Ob. att e tegförädrig ite är e övergåede törig. Amärkig. Aymtotik tabilitet defiiera ofta i mer matematika termer ä ova, vilket medför att defiitioera er aorluda ut. De är dock ekvivaleta. 6.. Iigal-utigaltabilitet Ett ytem är iigal-utigaltabilt om e begräad iigal ger e begräad utigal. E tyik begräad iigal är e tegförädrig. Amärkig. Av defiitioe följer att ett iigal-utigaltabilt ytem har ädlig förtärkig vid alla frekveer (e ka. 7). 6. Poler och tabilitet För att vara avädbara vid matematik aaly och deig måte de verbala tabilitetdefiitioera ova formulera i mer matematika termer. Vi kall härleda e åda formulerig geom att betrakta tidvaret (traietvaret) för ett godtyckligt ytem (uta dödtid) är det utätt för del e övergåede, del eller betåede, iigalförädrig. 6

2 6. Stabilitet 6. Poler och tabilitet 6.. Tidvaret för ett ytem I elighet med avitt 4.3 och ekvatio (4.7) ka överförigfuktioe för ett ytem uta dödtid allmät kriva m m b 0 + b + + bm + bm G () = (6.) + a + + a + a där A() + a + + a + a (6.) är ytemet karakteritika olyom. Atag att det karakteritika olyomet ka faktoriera om A() = ( )( ) ( ) (6.3) där k, k =,,, är olyomet olltälle, om amtidigt är ytemet oler. Om vi iledigvi atar att olera är reella och ditikta (dv alla k, k =,,, är reella och olika tora) amt att ytemet är trikt roert (dv m< ), exiterar artialbråkudelige C C C G () = (6.4) där kotatera C k, k =,,, ka betämma åom bekrivit i avitt Sytemet utigal Y( ) ge då av C C C Y() = U() (6.5) där U() är de iigal. Atag att iigale är e imul, dv e övergåede törig om i defiitioe av aymtotik tabilitet. Imule Lalacetraform är om bekat U() = I. Iättig i (6.5) och ivertraformerig ger då tidvaret t yt () = CIe + CIe + + CIe, t 0 (6.6) Villkoret för aymtotik tabilitet är att yt ( ) 0 är t. Vi er att detta ufyll om och edat om alla k < 0, k =,,. Atag att iigale i tället är e tegförädrig, dv e betåede törig om i defiitioe av iigal-utigaltabilitet. Om teget har torleke u teg, har iigale Lalacetraforme U() = u /. Iättig i (6.5) amt ivertraformerig ger då teg t teg teg teg yt ( ) = Cu ( e ) + Cu ( e ) + + Cu ( e ), t 0 (6.7) Utigale är begräad om och edat om alla e kt, k =,,, är begräade för t 0. Preci om ova gäller detta om och edat om alla k < 0, k =,,. Komlexa olltälle för det karakteritika olyomet uträder om komlexkojugerade ar. Dylika ar ka ammalå till e faktor av adra ordige åom gjorde vid artialbråkudelige i avitt Å adra ida ka ma ockå räka med komlexa tal vid 6

3 6. Stabilitet 6. Poler och tabilitet artialbråkudelige. Atag att = σ + jω och = σ jω. De två förta termera å högra ida i (6.6) ger då bidraget ( σ + j ω) t ( σ j ω) t σt jωt jωt + = + = + σt = Ie (( C+ C)co( ωt) + j( C C)i( ωt) ) y () t C Ie C Ie Ie ( Ce C e ) där de ita likhete följer av Euler formel. Efterom igale y + () t måte vara reell, följer att C och C är komlexkojugerade. Högra ledet i (6.8) är då ockå reellt. Efterom de trigoometrika fuktioera i (6.8) är begräade (ädliga), gäller att y + () t 0 då t om och edat om σ < 0, dv Re( k ) < 0. Samma villkor ger ockå e begräad utigal då iigale är e betåede törig åom e tegförädrig. Ifall det karakteritika olyomet iehåller multila olltälle, få e artialbråkudelig var ivertraform förutom likade termer om i uttrycke ova, äve iehåller rodukter av exoetialfuktioer och tide t uhöjd till e vi ote. Efterom exoetialfuktioe e k t med Re( k ) < 0 avtar abbare ä vad t växer, kommer ådaa termer att gå mot oll är t. Därmed gäller ova giva tabilitetvillkor äve är ytemet har multila oler. 6.. Stabilitetvillkor uttryckt med ytemet oler Utgåede frå aalye ova ka vi uttrycka tabilitetvillkoret med hjäl av ytemet oler: Ett tidkotiuerligt ytem är tabilt om och edat om ytemet alla oler k, k =,,, ligger i det komlexa tallaet vätra halva, dv om Re( k ) < 0, k =,, (6.9) Sytemet oler är olltälle till de karakteritika ekvatioe A () = 0. Amärkig 3. För lijära ytem är tabilitet e ytemegeka, dv om tabilitetvillkoret ufyll för ågo övergåede eller begräad iigal å ufyll det för alla dylika iigaler. Detta behöver ite vara fallet för olijära ytem Återkolade ytem Reultate ova gäller givetvi äve för återkolade (reglerade) ytem. Vi kall dock härleda ett avädbart uttryck för de karakteritika ekvatioe om fuktio av de igåede komoetera i ett ekelt reglerytem. Betrakta figur 6., där G beteckar G c R () överförigfuktioe för e roce, Figur 6.. Återkolad reglerkret. för e regulator och G m för ett mätitrumet. Med blockchemaalgebra ka ma härleda GG c Y = R+ V (6.0) + GGG + GGG + c m c m V() + G c G () + G m () Y () (6.8) 6 3

4 6. Stabilitet 6. Poler och tabilitet där + GGG = 0 (6.) c m efter hyfig ger de karakteritika ekvatioe. E förvårade omtädighet är att rocee ofta iehåller e dödtid. För att utyttja ova härledda tabilitetvillkor är ma u tvuge att aroximera dödtide med ett ratioellt uttryck (e avitt 5.4). Stabilitetaalye blir givetvi då ockå aroximativ. Övig 6.. Via att ytemet G = 0 är itabilt. Uderök om det ka tabiliera med e P-regulator. Övig 6.. Är ytemet G = tabilt eller itabilt? Uderök om de luta krete är tabil då + + ytemet reglera med e PI-regulator med (a) K c =, T i = 0,5 ; (b) K c = 5, T i = 0,5 ; (c) K c = 5, T i = 0, Aalymetoder Avädig av tabilitetvillkoret defiierat med hjäl av ytemet oler kräver att ma ka betämma olera. För ytem av högre ordig ä ka det vara vårt eller ret av omöjligt att betämma olera aalytikt, me om alla ytemarametrar är giva, åom i övig 6., ka ma givetvi beräka dem umerikt. Ofta har ma dock itree av att utreda tabilitetgräera om fuktio av e eller flera obetämda arametrar (t.ex. regulatorarametrar), och gära å att gräera ka age med aalytika uttryck. Då ger e hög ytemordig roblem. E aa komlikatio utår om ytemet iehåller dödtid å att de igår i de karakteritika ekvatioe. Som åekat ova, utår dea ituatio om ett ytem med dödtid återkola. Beräkig av ytemet oler kräver då att dödtide aroximera med ett ratioellt uttryck, vilket iebär att olera edat ka betämma aroximativt. Av dea oraker har det utvecklat ett atal tabilitetaalymetoder, om ger aalytika uttryck eller i rici exakta (umerika) löigar för ytem med dödtid. Följade metoder behadla i dea kur:. Bode tabilitetkriterium, om behadla i avitt 7.4. Detta är e.k. frekveaalytik metod, om klarar av dödtider uta aroximatio. Aalye ka göra grafikt eller umerikt.. Nyquit tabilitetkriterium, om behadla i avitt 7.4, dock edat ytligt. Detta är e mera allmägiltig variat av Bode tabilitetkriterium. Ockå i detta fall ka aalye göra grafikt eller umerikt. 3. Routh-Hurwitz tabilitetkriterium, om behadla i avitt Dea metod ka ge tabilitetitervall med aveede å olika arametrar, t.ex. regulatorarametrar. Hög ytemordig medför iga eciella roblem, me dödtider ka ite behadla exakt. 4. Stabilitetaaly geom direkt ubtitutio, om behadla i avitt I dea metod utyttja det faktum att ytemet oler, dv de karakteritika ekvatioe olltälle, måte ligga å det komlexa tallaet imagiära axel vid tabilitetgräe. Dödtider ka behadla exakt, me för ytem av hög ordig tederar beräkigara bli bevärliga. 6 4

5 6. Stabilitet 6.3 Aalymetoder 6.3. Routh Hurwitz tabilitetkriterium Avädige av Routh-Hurwitz tabilitetkriterium förutätter att karakteritika ekvatioe ka kriva om ett olyom, 0 A () = a + a + + a + a = 0 (6.) där koefficiete a 0, äve ikluderat. Såom ova åekat, bör e evetuell dödtid ( e L ) aroximera med ett ratioellt uttryck, t.ex. e Padé-aroximatio. Stabilitetkriteriet blir i detta fall givetvi aroximativt. Bekrivige eda förutätter att koefficietera tecke i karakteritika ekvatioe valt å, att a 0 > 0 (ofta har vi a 0 = ). Efter valet a 0 > 0 kotrollerar ma koefficietera tecke i de karakteritika ekvatioe.. Om ågo koefficiet är icke-oitiv (dv är oll eller egativ) ka ma geat äga att ytemet är itabilt. Detta beror å att de karakteritika ekvatioe då måte ha mit ett olltälle (och ytemet därmed mit e ol) om har icke-egativ realdel.. Om alla koefficieter är oitiva, ka ytemet vara tabilt, me iga äkra lutater ka äu dra. Ett tillräckligt och ödvädigt tabilitetvillkor få med hjäl av edatåede chema. a0 a a4 a a3 a5 c0 c c d0 d d aa aa aa aa aa aa c c c i+ 0 i+ 3 0 =, =,, i = a a a ca 0 3 ac ca 0 5 ac ca 0 i+ 3 ac i+ 0 =, =,, i = c0 c0 c0 d d d (6.3) Routh-Hurwitztablå till väter i (6.3) bilda å följade ätt: Elemete i de två förta radera i tablå erhålle direkt frå karakteritika ekvatioe. Ifall adra rade iehåller e koefficiet midre ä de förta, iför e olla om ita elemet å att båda radera har lika måga elemet. Tredje och fjärde rade elemet erhålle eligt formlera till höger i (6.3). I formlera behövliga elemet om kulle fia i e kolum till höger om tablå ätt lika med oll. Därmed blir beräkade elemet i tablå ita kolum alltid lika med oll. Elemet i efterföljade rader beräka eligt amma rici om tredje och fjärde rade elemet. Vid beräkig av ett elemet i kolum j få täljare termer då geom korvia multilikatioer av elemete i de två föregåede radera förta kolum och kolum j +, meda ämare är lika med förta kolume elemet i föregåede rad. För ett :te ordige ytem erhålle e tablå med + rader (varav är beräkade). Ifall det förta elemetet i e rad blir oll är det fi adra elemet i rade om ka bli olika oll, erätt det förta elemetet med ε (ett litet oitivt tal), om eda aväd i de fortatta beräkigara. När alla elemet i tablå är betämda, får elemet iehållade ε det värde om uttrycket går mot är ε 0. Stabilitetvillkoret är att alla elemet i tablå förta kolum kall vara trikt oitiva. Ifall ågot elemet i förta kolume är icke-oitivt är ytemet itabilt; atalet teckeväxligar i fört kolume är lika med atalet ytemoler med oitiv realdel. Amärkig. I blad ka det uder beräkige gåg framgå att alla oberäkade elemet måte bli lika med oll. Då ka ma aturligtvi avbryta beräkigara. 6 5

6 6. Stabilitet 6.3 Aalymetoder Amärkig. Om ågot elemet i förta kolume är lika med oll motvara detta av e ol med realdele oll. Amärkig 3. Stabilitetvillkoret att alla elemet i förta kolume kall vara oitiva ka givetvi aväda för att beräka tabilitetgräer med aveede å obetämda arametrar om igår i de karakteritika ekvatio, t.ex. regulatorarametrar om ytemet är ett återkolat ytem. Övig 6.3. Via att följade tabilitetvillkor gäller då karakteritika ekvatioe är av forme (6.) med a 0 =. (a) Ett godtyckligt adra ordige ytem är tabilt om och edat om a > 0 och a > 0. (b) Ett godtyckligt tredje ordige ytem är tabilt omm a > 0, a 3 > 0 och aa > a3. Övig 6.4. Uderök om det återkolade ytemet till höger är tabilt amt, ifall det är itabilt, hur måga oler det har i högra halvlaet. Övig 6.5. Lö övig 6. med hjäl av Routh-Hurwitz tabilitetkriterium. R() ( ) Y() Övig 6.6. För vilka värde å regulatorförtärkige G =, Gv = 5+ + Gm =, C = K + c K c är edatåede ytem tabilt? Övig 6.7. Uderök med R-H kriteriet för vilka värde å regulatorförtärkige ytem med amma truktur om ova är tabilt är 4e G =, G = 0,5, G =, C = K 5 + v m c Erätt dödtide med e Padé-aroximatio av förta ordige. K c ett återkolat 6.3. Betämig av tabilitetgräe via direkt ubtitutio När olera för ett ytem avbilda å det komlexa tallaet utgör de imagiära axel tabilitetgräe. När ett ytem befier ig å gräe till itabilitet måte därför åtmitoe ett olltälle till de karakteritika ekvatioe ligga å de imagiära axel. Dylika olltälle, om har forme =± jω (där ω äve ka vara oll), måte atifiera de karakteritika ekvatioe vid itabilitetgräe. Om de karakteritika ekvatioe iehåller okäda arametrar, 6 6

7 6. Stabilitet 6.3 Aalymetoder t.ex. regulatorarametrar, ka detta utyttja vid betämig av tabilitetgrävärde för dea arametrar. Som aalye eda viar, ka dödtider behadla exakt. Subtitutio av = jω i de karakteritika ekvatioe A ( ) = 0 ger efter hyfig med j = ett uttryck av forme A(j ω) = C( ω) + j D( ω) = 0 (6.4) där C och D är fuktioer av ω och evetuella obekata arametrar. Ekvatioytemet C( ω) = 0 (6.5) D( ω) = 0 ger då ω amt ett uttryck för evetuella obekata arametrar om defiierar tabilitetgräe med aveede å dea. E dödtid e L medför iga riciiella roblem efterom ma ka utyttja Euler formel jωl e = co( Lω) ji( Lω) (6.6) Övig 6.8. Lö övig 6.6 med direkt ubtitutio av = jω. Övig 6.9. Lö övig 6.7 med direkt ubtitutio uta att aroximera dödtide. 6 7