I avsnitt 5.2 konstaterades att ett första ordningens system kan beskrivas med differentialekvationen dy dt Dess Laplacetransform är K

Transkript

1 7. Frekvensanalys 7. Inledande exempel: första rdningens system I avsnitt 5. knstaterades att ett första rdningens system kan beskrivas med differentialekvatinen dy T + y( t Ku( t dt Dess Laplaetransfrm är K y( s u( s Ts + Om vi antar att insignalen är sinusfrmad (U knstant u( t U sin( t u ( s s U + KU y ( s ( Ts + ( s + Partialbråksuppdelning ger A Cs + D y ( s + ( Ts + ( s + A( s + + ( Cs + D( Ts + ( Ts + ( s Likhet måste gälla för gdtykliga värden på s eller alternativt för alla ptenser av s dvs s s s : A + D KU : C + DT : A + CT KUT A + T 3 KU T C ( KU + T 3 KU T D KU + T T D KU A + C ( KU A T A ( KU A T KUT C + T KU D + T h vi får KU y s + ( T T ( Ts + ( Ts + ( s + ( 7-

2 7. Frekvensanalys 7. Inledande exempel t T [ Te + sin( t T s( ] KU y( t t + ( T För stra t försvinner expnentialen KU y( t + ( T [ sin( t T s( t ] Vi har den trignmetriska likheten a s( t + a sin( t a3 sin( t + ϕ där 3 a a a + h a ϕ artan a sm ger i vårt fall KU y ( t sin( t + ϕ + ( T där ϕ artan ( T artan( T. ϕ kallas fasförskjutning h K + ( T beräknas på ett enklare sätt, sm ses i nästa avsnitt amplitudförhållande (AR. Dessa strheter kan 7. Frekvensfunktinen Amplitudförhållandet AR h fasförskjutningen ϕ för ett system G kan även bestämmas med substitutinen s j i G(s. Vi testar på exemplet i föregående avsnitt K Tj G( j (förlängning med knjugatet + Tj Tj K( Tj R( + I( j + ( T där K R( + ( T, KT I( + ( T kallas realdel respektive imaginärdel av frekvensfunktinen G( j. Amplitudförhållandet h fasförskjutningen ges av K AR R( + I( + ( T 7-

3 7. Frekvensanalys 7. Frekvensfunktinen I( ϕ artan artan( T artan( T R( Allmänt fås AR h ϕ för ett gdtykligt stabilt system G med substitutinen s j i G(s : G( j R( + I( j (7. AR( R ( + I( G( j (7. I( ϕ( artan G( j R( Tyvärr så är fasförskjutningen ej entydig beräknad på vanstående sätt, eftersm artan endast tar värden mellan π / h π /, emedan fasförskjutningen för ett system kan ta vilka värden sm helst. Man kan lösa detta genm att alltid faktrisera upp system i första rdningens system, andra rdningens system h dödtider. Dessa delelements frekvensfunktiner, h vad sm händer med en dylik seriekppling av delsystem, kmmer att behandlas i avsnitt 7.3. Im I (7.3 AR ϕ R Re Figur 7. Frekvensfunktinen i kmplexa talplanet I kursen Matematik I kallas AR abslutbelppet h ϕ argumentet av det kmplexa talet G( j. Vi kan alltså skriva där G( j ARe ϕj AR(s( ϕ + j sin( ϕ R + Ij R AR s( ϕ h I ARsin( ϕ För att kunna förstå hur frekvenssvaret kan beräknas på vanstående sätt brde man studera Furierserie-utvekling, dvs utvekling av peridiska funktiner i en (ändlig summa av sinus- h sinus-termer, samt Furiertransfrmen av en funktin f(t F( f ( t e jt dt sm ger frekvensinnehållet i funktinen f(t. Om f ( t, t < så är likheten med Laplaetransfrmen str, där j är ersatt med s σ + j. Det psitiva reella talet σ användes för att få knvergens m f(t är t.ex. expnentiellt växande (dvs instabil, medan Furiertransfrmen endast är definierad m 7-3

4 7. Frekvensanalys 7. Frekvensfunktinen f ( t dt < t.ex. m f(t är expnentiellt avtagande, dvs stabil. Detta är rsaken till att vi krävde att G måste vara stabil för beräkning av frekvenssvar. Frekvensfunktiner kan användas till att upprita diagram, t.ex. Bde- h Nyquist-diagram, sm kan användas för utläsning av systemets egenskaper, t.ex. stabilitet. Enklast att rita av dessa är Nyquist-diagrammet, där I ( ritas sm funktin av R (, för lika frekvenser. Om vi använder ett första rdningens system med K h T 3 sm exempel, så får vi följande frekvenssvar: 3j G ( j 3j + 3j R( 6 j I ( Förlängning med täljarens knjugattal behövdes för att slippa j i nämnaren. Uträknat för några frekvenser får vi följande: R ( I ( / Oh Nyquist-diagrammet ser ut enligt följande:.5 Im( G( j Re(.5 G( Figur 7. Nyquistdiagram Nyquist-diagram används främst i samband med Nyquists stabilitetskriterium (se kapitel 7.4, Bde-diagram är lättare att tlka, vilket ses i nästa avsnitt. 7-4

5 7. Frekvensanalys 7.3 Bdediagram 7.3 Bdediagram 7.3. Första rdningens system Vi har redan beräknat amplitudförhållandet AR h fasförskjutningen ϕ för ett första K rdningens system G ( s i föregående avsnitt: Ts + K AR( G( j (7.4 + ( T ϕ ( G( j artan( T (7.5 Detta kan framställas grafiskt i Bdediagram, där amplitudförhållandet h fasförskjutningen ritas sm funktin av frekvensen: AR/K Fasförskjutning (grader T T Figur 7.3 Bdediagram för ett första rdningens system Man ritar ftast AR h i lgaritmisk skala, h ϕ i grader i stället för radianer. AR ritas fta kså i enheten db, d.v.s. med mräkningen lg (AR. Faktrn har en elektrteknisk förklaring, man var intresserad av elektriska kretsars effektdämpning ( P RI U eller P, kvadraten lgaritmerad ger en tvåa framför sm funktin av ström eller R spänning. 7-5

6 7. Frekvensanalys 7.3 Bdediagram 7.3. Andra rdningens system Man kan även räkna ut AR h ϕ för ett andra rdningens system utan täljartidknstanter, n K G( s : s + ζ s + n n AR n K + 4ζ n (7.6 ζ n artan, < n n ϕ 9, (7.7 n ζ n 8 artan, > n n Frmel (7.7 illustrerar prblemet med att artan endast ger värden i intervallet [-9 9 ]. T.ex. i Matlab finns en funktin atan sm ger värden i intervallet [-8 8 ]. Dvs. det lönas att använda atan(i,r i stället för atan(i/r då man räknar ut fasförskjutningar. Man får dk samma prblem vid de nya intervallgränserna, men de blir mera uppenbara h lättare att åtgärda. I figur 7.4 på nästa sida är Bdediagram för andra rdningens system med lika värden på dämpningskeffiienten ξ. Den naturliga frekvensen n h förstärkningen K kan inkluderas i nrmeringen av frekvens- respektive amplitudförhållandeskalan. För små värden på dämpnings-keffieienten ζ fås en pik sm kallas resnanstpp. Då ζ < /.77 har AR-kurvan ett maximum K /(ζ ζ vid frekvensen n ζ. Detta betyder att peridiska insignaler i närhet av denna frekvens förstärks speiellt myket av ett andra rdningens system med låg dämpningsfaktr. Vid återkpplad reglering får man fta en sluten krets sm åtminstne liknar ett andra rdningens system. Det är ibland möjligt att direkt välja dämpningskeffiient ζ för den slutna kretsen, h då är det fta lämpligt att välja ζ mellan.5 h.7. Detta behandlas mera i kapitel

7 ζ. 7. Frekvensanalys 7.3 Bdediagram AR/K. / n ζ. fasförskjutning ( / n Figur 7.4 Bdediagram för ett andra rdningens system 7-7

8 7. Frekvensanalys 7.3 Bdediagram Dödtid Överföringsperatrn för en dödtid L har i kapitel 5.4 knstaterats vara ersätter s med j fås G( j e Lj AR e Amplitudförhållande h fasförskjutning fås således enkelt: jϕ G( s e Ls. Då man AR ( (7.8 ϕ( L (7.9 Vid växande frekvens så kmmer den negativa fasförskjutningen att öka begränsat, h dest snabbare dest större dödtid man har. Ingen dämpning erhålles överhuvudtaget. Denna kmbinatin kmmer att visa sig vara en myket skadlig egenskap i återkpplade regulatrer. Intuitivt kan man även förstå att det är dåligt m man måste vänta en lång tid på infrmatin m vad sm händer i ett systemet innan man kan vidta åtgärder. Bdediagrammet för en dödtid ges i nedanstående figur. AR fasförskjutning ( L 6 L Figur 7.5 Bdediagram för en dödtid L Dödtid är typexemplet på ett ike-minimum-fas system, den är ike den realisatin av dess amplitudförhållandet ( sm har minimal fasförskjutning. Förstärkningen är nämligen det, den har fasförskjutningen. Samma sak gäller för system med negativa tidknstanter i täljaren, Ts + Ts + sm redan nämndes i kapitel 5.5. T.ex. systemet har samma AR sm, men Ts + Ts + de har lika fasförskjutning, mellan h -8 respektive exakt. 7-8

9 7. Frekvensanalys 7.3 Bdediagram Element i serie I kapitel 5.6 knstaterades ttala överföringsperatrn av system i serie är lika med prdukten av de enskilda elementens peratrer. Vi betraktar först två element G h G, med amplitudförhållandena AR h AR samt fasförskjutningarna ϕ h ϕ, kpplade i serie G G G. Substitutin av j ϕ j ϕ j ϕ j+ϕ j G( i G ( j G ( j ARe AR e ARAR e Samma gäller för gdtykligt antal element i serie, dvs. det ttala AR för G fås genm att ta prdukten av delementens AR, h ttal ϕ fås genm att summera delementens. ϕ AR tt AR AR AR3 K (7. ϕ 3 tt ϕ + ϕ + ϕ +L (7. Vi kan ännu bservera att lgaritmering av en prdukt är lika med summan av lgaritmen av de enskilda faktrerna. AR lgaritmeras i Bdediagram, dvs man kan från Bde-diagrammen av de enskilda seriekpplade elementen få det ttala systemets Bdediagram. Kan vara av betydelse m man ritar Bdediagram för hand. Om AR är givet i db fås kså ttal AR genm summering av delelementens AR Täljartidknstanter Täljartidknstaner förekmmer ibland i system, t.ex. i samband med parallellkppling, se avsn. 5.5, men även i samband med PID-regulatrer. Det är inte möjligt i praktiken att ha ett system med endast en täljartidknstant, men sm vi såg i föregående avsnitt är det möjligt (h även behändigt att analysera system i så små delar sm möjligt. Så låt ss studera systemet genm att använda substitutinen Vilket ger amplitudförhållandet h fasförskjutningen. s j : G ( s Ts +, G( j Tj + + T j AR( + ( T (7. ϕ ( artan( T (7.3 Teknet på tidknstanten T påverkar ej amplitudförhållandet, medan psitiv tidknstant T ger psitiv fasförskjutning, medan negativt T ger lika str negativ fasförskjutning. Detta kmmer vi att se i kapitlena är en mera matematisk förklaringen till varför negativa täljartidknstanter är skadliga för reglersystem. Vi kmmer kså att se att i mtsvarande grad så är psitiva täljartidknstanter bra för reglersystem, t.ex. deriverande verkan i en PIDregulatr ger upphv till en psitiv täljartidknstant. 7-9

10 7. Frekvensanalys 7.3 Bdediagram Integrerande system Typexemplet på ett integrerande system är en vätskebehållare, se avsnitt 5.. Gemensamt för alla integrerande system att man har någn frm av uppsamlingsmekanism, sm t.ex. en kndensatr sm lagrar (dvs integrerar, se ekv, 3. strömmen genm kndensatrn h bildar en spänning över kndensatrn. Integrerande system kan beskrivas med överföringsfunktinen Sm vanligt gör vi substitutinen Vilket ger amplitudförhållandet h fasförskjutningen. s j : G ( s K s K K G( j j j K AR ( (7.4 K / π ϕ( artan artan( 9 (7.5 Bdediagrammet blir enkelt, AR är en rak linje (i ett diagram med lgaritmisk skala med lutningen - K, h ϕ är knstant. 7.4 Stabilitetskriterier för återkpplat system 7.4. Bdes stabiliteskriterium Betrakta nedanstående återkpplade system: r + G y G - G y m G m v p Figur 7.6 Återkpplat system Överföringsfunktinen för den öppna slingan (ett varv runt, utan att sluta kretsen ges av kretsöverföringen G L G G G G G (7.6 L m Observera att alla element i slingan skall vara med (samma element sm finns med i nämnaren för den slutna kretsen, även G! Observera kså att G ftast beteknas L, sm i detta m p v L 7-

11 7. Frekvensanalys 7.4 Stabilitetskriterier kmpendium reserverats åt dödtider..s e Antag G m G v, Gp h G K. Då blir.5s + Vid frekvensen G L.s Ke.5s + 7 rad / s fås fasförskjutningen K e.5s +.s ϕ artan( Den frekvens där kretsöverföringens ttala fasförskjutning är 8 (eller π -radianer kallas för systemets kritiska frekvens, vilket vi snart får veta varför. I vårt exempel är amplitudförhållandet vid den kritiska frekvensen Om / så fås AR(7. y m K K. K AR(7 7 + (.5 7 Om ledvärdet r sin( 7t h kretsen är öppen så blir AR(7 sin(7t π sin(7t efter en stund. Om kretsen samtidigt slutes h r, så blir insignalen till skillera av sig själv! Oh m G r ym sin( 7t, dvs samma sm tidigare, kretsen frtsätter att K ändras från detta gränsfall så händer någt av två följande:. Om K > 8.56 så är AR > vid 7. Om vi upprepar samma förfarande sm van blir y m AR sin(7t i öppen krets, h när kretsen slutes har insignalen till G y m större blir större expnentiellt ökande skillatiner kretsen är amplitud än tidigare, instabil!. Om K < 8.56 så är AR < vid 7. Vid slutning av kretsen fås då expnentiellt avtagande skillatiner kretsen är stabil! På basen av detta kan vi frmulera Bdes stabilitetskriterium: Ett återkpplat system är instabilt m AR vid den kritiska frekvensen för kretsöverföringen G, annars är det stabilt. OBS. Om vi testar Bdes stabilitetskriterium på L, så avgörs stabilitet för G L G L + G L, d.v.s. den slutna kretsen. GL får innehålla ett gdtykligt antal av delelementen i GL, berr i praktiken på hur myket sm finns på övre delen av slingan, jfr. bestämning av karakteristisk ekvatin. OBS. Teken beaktas ej i Bdes stabilitetskriterium, d.v.s. man måste se till att återkpplingen är negativ. För den slutna kretsen i figur 7.6 innebär detta att teknet för G G G G G (vid frekvensen måste vara psitivt. System med psitiv L m p v återkppling kan vara stabila, men detta kan inte avgöras med Bdes stabilitetskriterium. 7-

12 7. Frekvensanalys 7.4 Stabilitetskriterier I praktiken så bör följande två steg utföras vid test av Bdes stabilitetskriterium:. Bestäm den kritiska frekvensen, d.v.s. den frekvens sm med 8 kretsöverföringen fasförskjuter. Bestäm kretsöverföringens amplitudförhållande vid den kritiska frekvensen AR(. Om AR ( < så är den slutna kretsen stabil, annars instabil. Dessa två steg kan i sin tur utföras på två lika sätt: (. Grafiskt genm att rita Bde-diagram för kretsöverföringen. Den kritiska frekvensen kan utläsas ur fasförskjutningsdiagrammet, h amplitudförhållandet vid ur ARdiagrammet.. Numeriskt, genm att lösa ekvatinen π ϕ L (, där ϕ L avser kretsöverföringens fasförskjutning, m.a.p. frekvensen. Detta behandlas i nästa avsnitt 7.4. Iterativ beräkning av kritisk frekvens Vi utnyttjar det faktum att den ttala fasförskjutningen för ett system med flera element i serie fås genm att addera delelementens fasförskjutning. Anta för enkelhetens skull att vi har ett kretsöverföring sm kan delas upp i en dödtid h N styken första rdningens system i serie. Vid den kritiska förstärkningen Ls GL ( s Ke K T s + Ts + TN s + π L kan beräknas iterativt (gissa ett har vi fasförskjutningen N artan( T n n π T n L n N artan( π, dvs, sätt in i v.m., räkna ut nytt (7.7, sv. Om kretsöverföringen innehåller täljartidkstanter eller underdämpade andra rdningens system mdifieras (7.7 enligt frmlerna för fasförskjutningarna för respektive element. Frmel (7.7 knvergerar alltid för N, men för N 3 fås alltid divergens, dvs vi behöver ett trik: N + a a + π artan( Tn L n N a + π artan( Tn (7.8 + a L n Knstanten a skall vara psitiv, större a ger säkrare men långsammare knvergens. En frmel sm i praktiken fta fungerar är a.5n 3, N 3 Knvergensen i (7.7 är ftast ganska långsam då N. Snabbare knvergens fås ftast m 7-

13 7. Frekvensanalys 7.4 Stabilitetskriterier man i stället använder (7.8 med a.5. Startvärde på iteratinen kan fås genm att att anta att alla element ger lika strt bidrag till fasförskjutningen sm dödtiden: π, start L( N + Om dödtiden L så behövs ett liknande trik. Kritiska frekvensen fås genm att lösa ( N 3, annars är ϕ > π π N n artan( T n N + π artan( Tn, N 3 (7.9 b n där knstanten b väljes tillräkligt str så att man får knvergens, t.ex. b.5( N, N 3 Startvärde på iteratinen kan fås genm att att anta att alla element ger lika strt bidrag till fasförskjutningen sm medelvärdet av alla tidknstanter:, start tan( π / N T medel Övning 7. Bestäm kritiska frekvensen h amplitudförhållandet vid densamma för ett system med kretsöverföringen G s G ( s G ( s G ( s G ( s G (, där: G L ( 3 4 s 4s.5 ( s K, G ( s e, G ( s s + C, G s, G s + 3 ( 4.8 ( s 5s + 7-3

14 7. Frekvensanalys 7.4 Stabilitetskriterier Övning 7. kan även lösas med Bde-diagram. Det går enklast att tlka Bdediagrammet m den fria parametern K. G L G L

15 7. Frekvensanalys 7.4 Stabilitetskriterier Nyquists stabilitestskriterium Nyquists stabilitetskriterium baserar sig på Nyquistdiagram av kretsöverföringen G L. I Nyquistdiagram uppritas realdelen av G L, real( G L ( j, sm funktin av imaginärdelen av G L, imag( G L ( j. Den kurva sm uppstår kallas för Nyquistkurva. Vi börjar med den enklaste varianten av Nyquistkriteriet, sm är helt ekvivalent med Bdes stabilitetskriterium. Det förenklade Nyquist-kriteriet: Ett återkpplat system är instabilt m Nyquistkurvan ( L för kretsöverföringen skär negativa realaxeln till vänster m punkten (-,. Annars är det återkpplade systemet stabilt. Ex. Nyquist-kurvrna för systemet i Övning 7.. med K,.49, ser ut enligt följande:.5.5 Imag(G L (j.5.5 K, stabilt K.49, på gränsen 3 K, instabilt Real(G L (j 7-5

16 7. Frekvensanalys 7.4 Stabilitetskriterier Eftersm inte det förenklade Nyquistkriteriet ger någt nytt framm Bdes stabilitetskriterium, kan det vara ändamålsenligt att nämna ett aningen allmännare kriterium: Ett lite allmännare Nyquist-kriterium: Ett återkpplat system är instabilt m Nyquist-kurvan ( L för kretsöverföringen bildar ett tak över punkten (-,. Annars är systemet stabilt. OBS. Detta kriterium gäller helt allmänt så länge kretsöverföringen ej har pler eller nllställen i högra halvplanet. Det finns ett Nyquistkriterium sm beaktar även detta fall, sm dk är avsevärt mera kmplierat, se t.ex. Shmidtbauer eller Glad h Ljung. OBS. Det beaktar t.ex. kså teken, så man kan undersöka nedre stabilitetsgränsen för K i övning 7., sm följande figur illustrerar:.5 Imag(G L (j Real(G L (j Ex. Vi kan även undersöka stabilitet vid P-reglering av en dödtid, sm behandlas i GREIkmpendiet. Kretsöverföringen blir då Ls e.. Hur ser Nyquist-kurvan ut?. Vad blir stabilitetsintervallet för K? 7-6

17 7. Frekvensanalys 7.4 Stabilitetskriterier Övning 7. En press sm kan mdelleras sm en ren dödtid regleras med en P-regulatr. Reglerventilen h mätinstrumentet har försumbar dynamik h deras förstärkningar är.5 h K m.8. När en liten förändring av ledvärdet görs uppstår svängningar med en knstant amplitud h periden minuter. a Vilken är regulatrns förstärkning? b Hur str är dödtiden? K v 7-7

18 7. Frekvensanalys 7.5 Regulatrinställning 7.5 Regulatrinställning enligt Ziegler-Nihls I föregående avsnitt fann vi i flera repriser att det fanns en övre stabilitetsgräns för en P- regulatrförstärkning K. I praktiken vill man inte att ett reglersystem skall vara på gränsen till instabilitet. Detta p.g.a. två rsaker:. Ett system på gränsen till instabilitet håller på h svänger i all evighet, vilket knappast kan vara bra.. Man har aldrig perfekt mdell, dvs i praktiken kan systemet lika bra vara instabilt sm stabilt m man strävar efter stabilitetsgränsen. Av dessa rsaker vill man hålla ett visst avstånd till stabilitetsgränsen, en stabilitetsmarginal. Om man känner den maximala P-regulatrförstärkningen, så bör en mindre förstärkning ge en viss stabilitetsmarginal. Dessutm så säger den kritiska frekvensen någt m möjlig snabbheten i systemet. Att dessa båda strheter tillsammans kan ge infrmatin m vettiga regulatrparametrar upptäktes först av Ziegler h Nihls, sm år 94 publierade följande rekmmendatiner:. Sök den kritiska frekvensen för kretsöverföringen utan regulatr (dvs G G G. Beräkna AR( 3. Beräkna maximal stabiliserande förstärkning, dvs K,max AR( K, max AR( 4. Utgående från K h beräkna regulatrparametrar enligt nedanstående frmler,max P-regulatr: PI-regulatr: PID-regulatr: K K T i.5k, max.45k, max P π.. K T T i D.6K, max P P π π 8 P är peridtiden för svängningar med frekvensen , dvs bestämmas experimentellt, vilket vi får se i avsnitt P π. Denna peridtid kan OBS. Z-N rekmmendatiner garanterar ej gd reglering eller ens stabilitet. Man bör använda stabilitetsanalys eller testa regleringen i praktiken OBS. Z-N ger ganska kraftig reglering, man vill i praktiken fta ha lite försiktigare reglering (minska K, öka Ti. Detta berr delvis på att Z-N rekmmendatiner är tänkta för knstantreglering, ej servreglering, mera m detta i kapitel 8. m p v 7-8

19 7. Frekvensanalys 7.5 Regulatrinställning 7.5. Experimentell bestämning av K,max h För att experimentellt bestämma K,max h PID-regulatr tillgänglig. Följande steg bör utföras:. Sätt T h, dvs så vi får en P-regulatr. i T d : för ett system måste man ha en återkpplad. Pröva med ett värde på regulatrförtärkningen K. 3. Gör liten stegförändring i börvärdet, registrera utsignalens beteende. 4. Om vi får stående svängning, så har vi hittat K, max K, peridtiden för svängningarna är P, dvs de stående svängningarna har frekvensen. Om svängningarna är avtagande, så öka på K h återgå till punkt. Om svängningarna är växande, så minska på K h återgå till punkt. K h (eller egentligen P kan utnyttjas direkt för design av PID-regulatr enligt,max Ziegler-Nihls. Exempel 7. I övning 7. km vi fram till att K. 49. Stegsvarena för den slutna kretsen ser ut på följande sätt m vi väljer K.5K,max :, max K.K, max, K, max K respektive 3 utsignal K.K,max utsignal K K,max utsignal K.5K,max tid Sm vi ser erhålles stående svängning i den mittersta figuren med K K, max. Man kan även utläsa en peridtid på a 3 tidsenheter (avståndet mellan två efter varandra följande tppar P i svängningarna. Detta betyder att π / P.9, vilket är helt tillräkligt nära det mera exakta värdet.7 sm vi fik i övning

20 7. Frekvensanalys 7.5 Regulatrinställning Övning 7.3 Bestäm K,max för nedanstående system med frekvensanalys r + G y G - G v p G m G p, Gv, Gm, G K 5s + s + s + Övning 7.4 Ställ in en P-, PI- samt PID-regulatr för systemet i övning

21 7. Frekvensanalys 7.6 Stabilitetsmarginaler 7.6 Stabilitetsmarginaler Sm nämndes i början av kapitel 7.5 så behövs en viss stabilitetsmarginal för att en regulatr skall funka i praktiken. Man kan även kvantitativt räkna ut stabilitetetsmarginaler, i denna kurs skall förstärknings- h fasmarginal behandlas Förstärkningsmarginal Förstärkningsmarginalen A m (ibland amplitudmarginalen säger hur myket vi kan öka på regulatrförstärkningen utan att den slutna kretsen blir instabil. D.v.s. den är definerad sm A m (7. AR( där AR är amplitudförhållandet för kretsöverföringen. Vi ser att A m > för att vi skall kunna få stabilitet..s Ke Ex. I början av kapitel 7.4 studerade vi kretsöverföringen GL ( K P-regulatrförstärkning. Bestäm en P-regulatr sm har A m.7. Är den slutna kretsen frtfarande stabil.5s + m dödtiden i stället för. är.5 minuter? Lösning: Från tidigare: 7, AR (.7K Vi kan direkt använda definitinen på amplitudmarginal:.7 K 5..7K.7.7 Detta ger AR (.7K.585 <, d.v.s. kretsen är stabil. Om dödtiden är.5 h inte. får vi en ny : π.5 artan(.5 Iteratin ger π artan( Stabilitet fås m AR( K + ( T 5 + ( < Systemet är ännu stabilt! 7-

22 7. Frekvensanalys 7.6 Stabilitetsmarginaler 7.6. Fasmarginal Med fasmarginal ϕ m menas hur myket den negativa fasförskjutningen får öka vid den frekvens sm kretsöverföring förstärker med, utan att den slutna kretsen blir instabil. Bdes stabilitetskriterium säger att AR( <, dvs m vi vid en frekvens g har AR( g, så måste vi vid denna frekvens ha en mindre negativ fasförskjutning än 8 för stabilitet. Frekvensen kallas för överkrsningsfrekvens, då ju AR övergår från att vara större till att g vara mindre än vid denna frekvens. Uttrykt matematiskt så definieras fasmarginalen sm ϕ m ϕ( + 8, AR( g Igen så skall ϕ h AR beräknas för kretsöverföringen. För stabilitet krävs att >. g ϕ m ϕ m (7. Exempel 7. Bestäm den P-regulatr, för samma krets sm van, sm har ϕ m 3. Är den slutna kretsen frtfarande stabil m dödtiden i stället för. är.5 minuter? Lösning: Vi har g h AR( K + (.5 h ϕ (. artan(.5, önskar bestämma K så att AR ( g h ( K påverkar ej fasförskjutningen, så vi kan börja med att bestämma g ϕ g från ϕ( g π 6 5π. 6 artan(.5 g g Iteratin ger g.. Vårt andra mål var att se till att AR (, d.v.s att g K + (.5 g K + (.5 g 6.4 Om den dödtiden är.5 h inte. så förändras fasförskjutningen, ej AR, alltså är samma medan ϕ(.5 artan( < 8 g g g g den Systemet är instabilt! 7-

23 7. Frekvensanalys 7.6 Stabilitetsmarginaler Förstärknings- h fasmarginaler kan enkelt avläsas ur Bde-diagram. Vi använder ss av.s Ke kretsöverföringen GL igen, h ritar Bde-diagram med K 5..5s + G L g /A m G L 5 5 fasmarginal Man börjar med att avläsa h. Sedan drar man två ldräta linjer mellan amplitud h faskurvan vid dessa frekvenser, h får två nya skärningspunkter. Vid de nya skärningspunkten på amplitudkurvan kan AR ( / avläsas (ldrät linje till amplitudaxeln, h vid den nya skärningspunkten på faskurvan kan g A m ϕ( ϕ 8 g m avläsas (ldrät linje till faskurvan. 7-3