8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K =, antages K > 0

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K =, antages K > 0"

Transkript

1 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret Bodediagram System av första ordningen K G ( s) =, antages K > 0 Ts + A R ( ω) = G( jω) = K + ( ωt ) ϕ( ω) = arg G( jω) = arctan( ωt) Detta kan framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det normerade amplitudförhållandet A R / K och fasförskjutningen ritas som funktioner av frekvensen: AR/K 0 Fasförskjutning (grader) ωt ωt 8-6

2 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Vi har tidigare härlett 2 n Kω G( s) =, antages K > 0 2 s + 2ζω s + ω n 2 n A R = n K ζω ωn ( ( ω/ ω ) ) + (2 / ) ϕ 2 ζω/ ω n arctan om ω 2 ( ω/ ωn ) = 2 ζω / ω n arctan om 2 ( ω/ ωn ) ω π ω ω n n Vi har också visat att vi vid vinkelfrekvensen ω = ω n 2ζ får en resonanstopp med amplitudförhållandet A R 2 K = 2 2ζ ζ 8-7

3 0 ζ = Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret AR/K ω/ω n ζ = 0. fasförskjutning ( o ) ω/ω n 8-8

4 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret Dödtid För en dödtid L med överföringsfunktionen Gs () = e Ls har vi härlett A R ( ω ) = ϕ( ω) = Lω Vid växande frekvens kommer den negativa fasförskjutningen att öka obegränsat, och desto snabbare ju större dödtiden är. 0 AR ω L 00 fasförskjutning ( o ) ω L 8-9

5 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret Element i serie För seriekopplade system med totala överföringsfunktionen G = G G G 2 n har vi visat att totala amplitudförhållandet och fasförskjutningen ges av A = A A A R R, R,2 R,n ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ 2 n Logaritmering av uttrycket för amplitudförhållandet ger log( A ) = log( A ) + log( A ) + + log( A ) R R, R,2 R, n Eftersom amplitudaxeln i Bodediagrammet är logaritmisk, fås totala amplitudförhållandet av ett seriekopplat system genom att helt enkelt addera de enskilda delsystemens logaritmerade amplitudförhållanden i Bodediagrammet. Eftersom fasförskjutningsaxeln är linjär, fås totala fasförskjutningen genom att addera de enskilda delsystemens fasförskjutningar. 8-20

6 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3. Bodes stabilitetskriterium r + y m G c G m G v G p y Överföringsfunktionen för den öppna slingan ges av kretsöverföringen G Antag Gm = Gv =, G G k k p G = G G G G k m p v c 0,s e = 0,5s + och Gc = Kc. Då blir 0,s Ke c Kc = = e 0,5s+ 0,5s+ 0,s Vid frekvensen ω = 7 rad/min (antages att dödtiden och tidskonstanten är uttryckta i minuter) fås fasförskjutningen ϕ = arctan(0,5 7) 0, 7 80 = π Den frekvens där kretsöverföringens totala fasförskjutning är 80 kallas för systemets kritiska frekvens ω c. Amplitudförhållandet vid den kritiska frekvensen blir Kc AR(7) = 0,7 K 2 + (0,5 7) Om K c = / 0,7 = 8,56 fås A R (7) =. c 8-2

7 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vi gör följande tankeexperiment: Antag att ledvärdet r = sin( 7t) och kretsen är öppen. Då blir y m = A R (7) sin(7 t π ) = sin(7 t ) efter en stund. Om kretsen då slutes med r = 0, blir G c :s insignal r y m = sin(7 t), dvs samma som tidigare. Kretsen fortsätter m.a.o. att oscillera av sig själv!. Antag att K c > 8,56, dvs A R > vid ω c = 7. Om vi upprepar samma som ovan, blir y m = A R sin(7 t) i öppen krets. y m:s amplitud är då större än r :s amplitud. När kretsen slutes, har insignalen till G c således större amplitud än tidigare, det nya y m blir ännu större, vilket medför exponentiellt ökande oscillationer. Kretsen är instabil! 2. Antag att K c < 8,56, dvs A R < vid ω c = 7. När kretsen slutes fås då exponentiellt avtagande oscillationer. Kretsen är stabil! Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är instabilt om A R > vid den kritiska frekvensen ω c för kretsöverföringen G k ; systemet är stabilt om AR( ω c) <. Märk att det är kretsöverföringen G k för det oreglerade ( öppna ) systemet som undersökes, men det avgör stabiliteten för det återkopplade ( slutna ) systemet med överföringsfunktionen, där G är en godtycklig stabil G + Gk överföringsfunktion. Vid följereglering är G= G. k 8-22

8 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vid kritiska frekvensen gäller som ger (j ) G arg G ( j ω ) = π Gk ω c = och k c jarg G (j ω ) jπ k c (j ω ) = G (j ω ) e = e k c k c = cos( π) jsin( π) = 0j = dvs s = jω är en lösning till karakteristiska ekvationen c + G ( s) = 0. k I praktiken bör följande två steg utföras vid stabilitetstest enligt Bodes stabilitetskriterium:. Bestäm den kritiska frekvensen ω c, d.v.s. den frekvens som kretsöverföringen fasförskjuter med π, dvs Bestäm kretsöverföringens amplitudförhållande vid den kritiska frekvensen ( = AR( ωc)). Om A R ( ω c ) <, är den slutna kretsen stabil, annars instabil. Dessa två steg kan i sin tur utföras på tre olika sätt:. Grafiskt genom att rita ett Bode-diagram för kretsöverföringen. Den kritiska frekvensen ω c kan utläsas ur fasdiagrammet, och amplitudförhållandet AR( ω c) vid ω c ur amplituddiagrammet. 2. Numeriskt, genom att lösa ekvationen π = ϕ k ( ω), där ϕ k ( ω ) är kretsöverföringens fasförskjutning. Lösningen är ω = ω c. Därefter beräknas AR( ω c) enligt kända formler. 3. Genom simulering av det återkopplade systemet med en P- regulator på samma sätt som K c,max och ω c bestämdes experimentellt i avsn Eftersom Kc,max AR ( ωc) =, A ( ω ) = / K. fås R c c,max 8-23

9 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övning 8.3 Bestäm kritiska frekvensen och amplitudförhållandet vid densamma för ett system med kretsöverföringen Gk() s = G() s G2() s G3() s G4() s där 4s,5 G() s = e, G2() s = 2s +, G 2 0,8 3() s =, G4() s = 0s+ 5s+ Grafisk lösning med Bodediagram G G L k ω ω 0 00 argg k G L ω ω 8-24

10 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övning 8.4 En process som kan modelleras som en ren dödtid regleras med en P-regulator. Reglerventilen och mätinstrumentet har försumbar dynamik och deras förstärkningar är K v = 0,5 och K m = 0,8. När en liten förändring av ledvärdet görs uppstår svängningar med en konstant amplitud och perioden 0 minuter. a) Vilken är regulatorns förstärkning? b) Hur stor är dödtiden? Nyquists stabilitetskriterium I ett Nyquistdiagram uppritas realdelen av G k, Re Gk (j ω ), som funktion av imaginärdelen av G k, Im Gk ( j ω ). Den kurva som uppstår kallas Nyquistkurva. Vi börjar med den enklaste varianten av Nyquistkriteriet, som är helt ekvivalent med Bodes stabilitetskriterium. Det förenklade Nyquist-kriteriet: Om kretsöverföringen G k inte har poler i högra halvplanet (dvs är stabilt, ev. med integrator) är det återkopplade systemet stabilt om Nyquistkurvan ( ω = 0 ) för G k skär negativa realaxeln till höger om punkten (-,0), annars är det återkopplade systemet instabilt. 8-25

11 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.2. Nyquistkurvorna för systemet i Övning 8.3, med K c =,, 49 och 2, visas i figuren. 0.5 ImG k Imag(G L (jω)) K c =, stabilt K c =.49, på gränsen 3 K c =2, instabilt Real(G L (jω)) ReG k Övning 8.5 Undersök stabilitet vid P-reglering av en dödtid. Kretsöverföringen är K. c e Ls a) Hur ser Nyquistkurvan ut? b) Vilket blir stabilitetsintervallet för K c? 8-26

12 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Stabilitetsmarginaler Förstärkningsmarginal Förstärkningsmarginalen (amplitudmarginalen) A m säger med vilken faktor kretsförstärkningen kan öka utan att den slutna kretsen blir instabil. Matematiskt ges förstärkningsmarginalen av Am = AR( ωc) där A R är amplitudförhållandet för kretsöverföringen. För stabilitet krävs att A m >. Förstärkningsmarginalen ger robusthet inte bara mot variationer i processförstärkningen, utan även mot variationer i andra processparametrar (dvs modellfel i allmänhet). Exempel 8.3. I början av avsnitt 8.3 studerade vi kretsöverföringen Gk =. Bestäm en P-regulator som har för- 0,s Ke c 0,5s + stärkningsmarginalen A m =, 7. Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0, är 0,5 minuter? Från tidigare har vi ω c = 7 rad/min, AR( ω c) = 0,7Kc. Vi kräver A ( ω ) = A = /,7 som ger K c = 5. R c m För att kontrollera om den slutna kretsen är stabil med K c = 5 om dödtiden L = 0,5 min, kan vi upprita ett Bodediagram för G k med dessa parametrar. Från diagrammet kan vi på samma sätt som i övning 8.3 avläsa kritiska frekvensen ω c och amplitudförhållandet AR( ω c). Om AR( ω c) <, är systemet stabilt. 8-27

13 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Ett annat sätt är att beräkna ω c och AR( ω c) numeriskt. För ett första ordningens system med tidskonstanten T och dödtiden L finner vi ω c genom att lösa ekvationen π = Lω arctan( Tω ) dvs här (efter teckenbyte) π = 0,5ω + arctan(0,5 ω ) c c Vi finner snabbt lösningen iterativt med direkt substitution från sambandet ω = [ π arctan(0,5 ω )] / 0,5 Lösningen är ω c =,6 rad/min. c Ett första ordningens system med förstärkningen K och tidskonstanten T (dödtiden påverkar inte) har amplitudförhållandet K AR ( ω) = 2 + ( Tω) T = 0,5, K = Kc = 5 och ω = ωc =,6 ger AR( ωc) 0,85<, vilket betyder att systemet fortfarande är stabilt om dödtiden förändras från L = 0, till L = 0,5 min. c c c 8-28

14 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Fasmarginal Fasmarginalen ϕ m anger hur mycket mer negativ fasförskjutningen kunde vara vid den frekvens där kretsöverföringen har förstärkningen utan att den slutna kretsen blir instabil. Fasmarginalen ger robusthet inte bara mot variationer i processens fasförskjutning, utan även mot variationer i andra processparametrar (dvs modellfel i allmänhet) Bodes stabilitetskriterium säger att AR( ω c) <, dvs om vi vid en frekvens ω g har AR( ω g) =, så kräver stabilitet att vi vid denna frekvens har en mindre negativ fasförskjutning än 80. Frekvensen ω g kallas (amplitudkurvans) överkorsningsfrekvens. Matematiskt definieras fasmarginalen (här uttryckt i radianer) ϕm = ϕω ( g) + π, där ω g ges av AR( ω g) =. För stabilitet krävs att ϕ m > 0. ϕ( ω g) och AR( ω g) skall givetvis beräknas för kretsöverföringen. Exempel 8.4. Bestäm den P-regulator, för samma krets som i exempel 8.3, som har ϕ m = 30. Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0, är 0,5 minuter? Vi söker först ω g så att ϕ( ωg ) = ϕm 80 = 50 = 5 π /6. För att finna lösningen, kan vi rita ett Bodediagram för processens överföringsfunktion G p (dvs G k med K c = ). Vi finner då ω g vid den frekvens där faskurvan skär 50. Det skall gälla att KcAR( ω g) =, där AR( ω g) är amplitudförhållandet för G p vid ω = ωg, som kan avläsas ur Bodediagrammet. Vi får då Kc = / AR( ωg). 8-29

15 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Förstärkningen påverkar inte fasförskjutningen. Precis som i exempel 8.3, är kritiska frekvensen för L = 0,5 min ω c =,6 rad/min. Vi kan avläsa AR( ω c) från Bodediagrammet för G p. A ( ω ) > / K, är systemet instabilt då L = 0,5. Om R c c Vi kan också göra beräkningarna rent numeriskt. Frekvensen ω g kan lösas ur 5 π / 6 = 0,ωg + arctan(0,5 ωg) Iterativ lösning genom direkt substitution från sambandet ω = [5 π / 6 arctan(0,5 ω )] / 0, g ger snabbt lösningen ω g = 2, rad/min. AR( ω g) = motsvarar Kc A R (2,) = = 2 + (0,5 2,) som har lösningen K c = 6,4. Om dödtiden L = 0,5 min, är som ovan konstaterats ω c =,6 rad/min. Vi får då 6,4 AR( ω c) = AR(, 6) =, 04 > 2 + (0,5,6) vilket betyder att processen är instabil om L = 0,5 min då K c = 6,4. g 8-30

16 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.5. Förstärknings- och fasmarginaler kan enkelt avläsas ur ett Bodediagram då regulatorn är given. För kretsöverföringen Gk = 0,s Ke c 0,5s + med K c = 5 fås Bodediagrammet nedan med angivna förstärknings- och fasmarginaler. 0 Gk G L 0 0 ω g /A m argg k G L ω 0 50 ω 50 fasmarginal ω 0 2 c ω 8-3

17 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Numerisk lösning av frekvenssamband I exempel 8.3 och 8.4 löstes fasekvationen m.a.p. frekvensen med en enkel numerisk iterationsmetod. Metoden förutsätter att systemet har en dödtid. Så är dock inte alltid fallet, men även om det finns en dödtid fungerar den enkla metoden inte alltid. Vi skall här ta fram en bättre metod för lösning av frekvensen både ur fasekvationen och amplitudekvationen för ett n :te ordningens system med eller utan dödtid. Fasekvationen Vi utgår från en allmän överföringsfunktion Gs () K e Ls = ( n ) ( N ) Ts Tns T + s + T s där systemets poler och nollställen behöver inte vara reella, trots att vi använder denna form. Fasekvationen för detta system har formen ϕ = Lω arctan( Tω) + arctan( Tω) r n N i i= i= n+ där ϕ r är fasförskjutningen uttryck i radianer/tidsenhet. Om vi önskar lösa ut kritiska frekvensen ω = ωc, är ϕr = π överkorsningsfrekvensen ω = ωg, är ϕr = π + ϕm, där ϕ m är fasmarginalen uttryckt i radianer/tidsenhet Vi definierar f ( ω) = ϕ Lω arctan( Tω) + arctan( Tω) r n N i i= i= n+ vilket innebär att vi vill lösa ekvationen f ( ω ) = 0. En iterativ lösning enligt formeln ωk+ = ωk + α f ( ωk) i i 8-32

18 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system konvergerar då om α väljes så att 2 < α f ( ω ) < 0, där k n N k i i L 2 2 k i= + Ti k i= n+ + Ti k d f( ω ) T T f ( ωk ) = + dω ( ω ) ( ω ) Av problemets natur följer att f ( ω) > 0 i närheten av lösningen till f ( ω ) = 0. Om vi som startlösning gissar ett ω 0 sådant att f ( ω ) > 0, kan vi på goda grunder välja 0 α = f ( ω ) Enklast är att starta iterationen från ω 0 = 0 om f (0) > 0. Vi fördubblar dock α :s värde och väljer n N α = 2 L+ Ti Ti i= i= n+ Det finns dock ingen garanti för att detta ger snabb konvergens. Man kan försöka förbättra konvergensen genom att t.ex. fördubbla α :s värde dock med risk för att det börjar divergera. Om systemet har komplexa poler eller nollställen uppträder dessa alltid som komplexkonjugerade sådana. Vi har då också i uttrycken ovan två komplexkonjugerade tidskonstanter T j och T j +, som satisfierar uttrycket j+ ζωn ωn ωn ( Ts+ )( T s+ ) = ( s + 2 s+ )/ j där ζ och ω n är de två polernas/nollställenas relativa dämpning respektive naturliga egenfrekvens. Vi har Tj + Tj+ = 2 ζ / ωn och 2ζωnω arctan( Tjω) + arctan( Tj+ ω) = arctan 2 2 ωn ω som kan substitueras i uttrycken ovan. 8-33

19 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Amplitudekvationen Om vi vill bestämma systemets fasmarginal med en given regulator behöver vi överkorsningsfrekvensen ω g, som satisfierar ekvationen Gk( ω g) =, där G k är kretsöverföringen, dvs det oreglerade systemet kopplat i serie med regulatorn. Ofta är regulatorn i detta skeda en P-regulator, men vi skall här också beakta att vi kan ha en regulator med integrerande verkan. Vi skriver kretsöverföringen i formen G () s = G () s G() s k där Gs ( ) har samma allmänna form som för fasekvationen. Om det finns en regulator med integrationstiden T i > 0 är GI() s = / Ts i, annars är GI () s =. Resten av regulatorns överföringsfunktion ingår i Gs. ( ) Amplitud- (eller förstärknings- eller belopps-) kurvan är Gk(j ω) = GI(j ω) G(j ω) där G (j ω) = / Tω Vi definierar G(j ω) = K I I n+ i 2 2 TNω 2 2 Tnω [ + ( T ω) ] [ + ( ) ] [ + ( Tω) ] [ + ( ) ] g( ω) = G(j ω) G (j ω) vilket innebär att vi vill lösa ekvationen g( ω ) = 0 för att finna lösningen till Gk( ω g) =. En iterativ lösning enligt formeln ωk+ = ωk + βg( ωk) konvergerar då om β väljes så att 2 < β g ( ωk ) < 0. Här är g (0) = 0 då G I () s =, vilket innebär att β = g ( ω0) är ett olämpligt val om man har för avsikt att starta iterationen från ω 0 = 0. Ett bättre startvärde torde ω0 = ωc vara, som ofta är I 8-34

20 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system känd, eller kan beräknas, när man vill beräkna ω g. Här föreslås dock n N β = 2 T0 + Ti { T Ti, i om I-verkan T 0 = i= i= n+ 0 annars dvs samma typ av val som vid lösning av fasekvationen. Märk att det finns en tidskonstant Ti = T0, i> n, om regulatorn är en PI- eller PID-regulator, vilket innebär att T 0 då i själva verket förkortas bort från β. Precis som ovan torde detta garantera konvergens om systemet inte har mycket speciella egenskaper, men snabb konvergens kan inte garanteras. Man har full frihet att t.ex. fördubbla β för att förbättra konvergensen. Liksom i fallet med fasekvationen, utgör komplexa poler eller nollställen inget problem. Ifall T j och T j + är komplexkonjugerade, vet vi redan hur summan Tj + T j + beräknas i uttrycket för β. I uttrycket för G(j ω ) fås ζ 2 2ζ 4 Tj+ 2 2 ωn ωn [ + ( Tjω) ][ + ( ω) ] = + 2 ω + ω Övning 8.6 Bestäm K c,max för nedanstående system med frekvensanalys. r G c G v G p y G m G =, G =, G =, G = K 5s+ 2s+ s+ p v m c c 8-35

21 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet I detta avsnitt skall vi visa hur PI-, PD- och PID-regulatorer kan dimensioneras så att givna frekvensplansbaserade stabilitets- och prestandakriterier uppfylls. De använda stabilitetskriterierna är förstärkningsmarginalen A m och fasmarginalen ϕ m. För väl inställda regulatorer gäller ofta A m 2 och ϕm 45 Överkorsningsfrekvensen ω g är ett prestandarelaterat mått ju högre överkorsningsfrekvens, desto snabbare reglering. Ofta anses att ωg 0,3ωc, där ω c är kritiska frekvensen när systemet regleras med en P-regulator, är ett bra värde Dimensionering av PI-regulatorer Överföringsfunktionen för en PI-regulator är + Ts i GPI() s = Kc + = Kc Ts i Ts i Integrationstiden Ti 5/ ωg är ofta ett lämpligt val för en PIregulator. Som Bodediagrammet för PI-regulatorn visar (på nästa sida), ger detta ca 0 fasförskjutning vid frekvensen ω = ω g. (Ekvation (8.28) ger det exaktare värdet,3º.) Man kan utnyttja detta för att t.ex. dimensionera en PI-regulator så att det reglerade systemet får en önskad fasmarginal ϕ. Tillvägagångssättet är följande: m. Beräkna ω g som den frekvens där fasmarginalen är ϕ m + ca. 0 extra som integreringen kommer att bidra med. 2. Bestäm regulatorförstärkningen K c så att AR( ω g) =. 3. Integrationstiden är Ti = 5/ ωg. 8-36

22 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Bode-diagrammet för en PI-regulator: G lag 0 2 GPI K c ωt i ω/t i argg PI 0 20 G lag ω/t i ωt i Exempel 8.7. Designa en PI-regulator för systemet som beskrivs av överföringsfunktionen s e Gs () = 0s + som ger a) ϕ m = 30 b) ϕ m = 60. Beräkna även regulatorinställningar enligt några metoder i avsnitt 7.4 och

23 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet a) ϕ m = 30 innebär att vi skall beräkna ω g för fasförskjutningen ϕ = = 40 = 7 π / 9. Enligt den iterativa lösningsmetoden har vi f ( ω) = 7 π / 9 ω arctan(0 ω) och α = 2 / ( + 0) 0,2. Lösning enligt ωk+ = ωk + α f ( ωk) med startlösningen ω 0 = 0 ger efter ganska många iterationer ω g = 0,975. Konvergensen är långsam, men man kan på vägen göra bättre gissningar av ω k när man ser ungefär vart man är på väg. Regulatorförstärkningen K c fås enligt sambandet 2 c r g g K = A ( ω ) = + (0 ω ) 9,8 och integrationstiden T i enligt T = 5/ ω 5,3 b) Löses på analogt sätt. Resultaten finns sammanställda i tabellen. 30 Z-N ITAE konst. i g CHR 0% konst. CHR 20% konst. K c 9,80 9,00 8,5 6,00 7,0 T i 5,3 3,33 3,0 4,00 2,30 60 ITAE följe CHR 0% följe CHR 20% följe K c 5,43 4,83 3,50 6,00 T i 9,36 9,87 2,0 0,0 8-38

24 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) ϕ m = 30 (heldragen), b) ϕ m = 60 (streckad). Vi kan även testa approximativa samband:, 4 6 stigtiden t s och insvängningstiden t 5% ω g ωgtan( ϕm). a) Formel: t s, 4 ; t 5% 0,7 Ur figur: t s 2,9 2, = 0,8; t 5%,5 = 0,5 b) Formel: t s 2,6; t 5% 6,5 Ur figur: t s 3,6 2,2 =, 4 ; t 5% 6,2 = 5,2 8-39

25 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Det är enkelt att göra PI-regulatordimensionering med hjälp av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås: G 0 0 G 0 argg G Man kan även kontrollera den erhållna slutna kretsen genom att rita Bodediagram för kretsöverföringen Gk = GPIG: G k G L argg k G L

26 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Dimensionering av PD-regulatorer En realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överföringsfunktionen GPDf () s = Kc ( + Td s) + Ts f PD-regulator lågpassfilter PDf-regulatorns fasförskjutning ges av ( Td Tf) ω arg GPDf (j ω) = arctan( Tdω) arctan( Tf ω) = arctan 2 + TT d fω Detta ger en positiv fasförskjutning då T d > T f. Man kan visa att maximal fasförskjutning fås vid frekvensen ω = ω, där ω max = ( TT) d f Den maximala fasförskjutningen är ϕ /2 T T = d f max arctan 2( /2 TT d f ) PDf-regulatorns amplitudförhållande är 2 + ( Tdω ) PDf ω = Kc 2 + ( Tf ω) G (j ) Vid ω = 0 (dvs stationärtillstånd) är GPDf (0) = Kc och när ω, GPDf (j ω) Kc Td / Tf. Vid frekvensen ω max fås G (j ω ) = K ( T / T ) PDf max c d f Med parameterdefinitionen b= Td / Tf fås ω = b / T, ϕ max = arctan[( b ) / (2 b)] max d GPDf (j ω max ) = b Kc, GPDf (j ) = b Kc /2 max 8-4

27 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Bodediagrammet för PDf-regulatorn: GPDf G lead K c b b / b b T /T d b/t d b/t d d argg G lead PDf ϕ max G lead,max 0 o ω Dimensioneringen av en PDf-regulator utgår ifrån att man önskar en given överkorsningsfrekvens ω g och en given fasmarginal ϕ m. Man vill med andra ord kombinera prestanda och robusthet. Det blir aktuellt att använda en PDf-regulator om det visar sig att önskad fasmarginal inte uppnås vid den önskade överkorsningsfrekvensen med en P- eller PI-regulator. I denna situation vet man hur stort faslyft som behövs för att nå den önskade fasmarginalen. Idén är att placera PDf-regulatorns maximala faslyft, lika med det behövliga faslyftet, vid frekvensen ω g. 8-42

28 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet För att göra detta, behöver man bl.a. bestämma parametern b utgående från ett önskat faslyft ϕ max. Ett sätt att uttrycka formeln som kan härledas är + sinϕmax b =, 0 ϕmax < 90 sinϕ max Sambandet finns också uppritat i nedanstående figur G lead,max ϕ max b Dimensioneringen går till på följande sätt:. Kontrollera utgående från det oreglerade systemet G (dvs G k utan regulator) om önskad fasmarginal uppnås vid överkorsningsfrekvensen ω g. 2. Om inte, beräknas behövligt faslyft enligt ϕ = ϕ arg G( j ω ) π max m g 3. Parametern b beräknas eller avläses från figuren ovan. 8-43

29 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet 4. Deriveringstiden Td = b / ωg beräknas. 5. Filtertidkonstanten T f = T d / b beräknas. 6. Regulatorförstärkningen Kc = sgn G(0) / ( b G(j ωg) ) beräknas. Det bör noteras att ovannämnda förfarande inte garanterar att designspecifikationerna nås exakt, eftersom PDf-regulatorn kommer att påverka den kritiska frekvensen ω c för kretsöverföringen Gk(j ω) = G(j ω) GPDf(j ω). Fasmarginalen för G k (j ω ) bör därför kontrolleras. Om det visar sig att den inte är tillräcklig, höjs ϕ max ytterligare och designen upprepas. Ytterligare bör noteras att stora värden på parametern b ger kraftig derivering. Detta medför bl.a. stora variationer i styrsignalen, vilket normalt inte är önskvärt. För robusthet räcker det inte att fasmarginalen är tillräcklig även förstärkningsmarginalen bör vara tillräcklig. Exempel 8.8. Designa en filtrerande PD-regulator för systemet som beskrivs av överföringsfunktionen s e Gs () = 0s + så att fasmarginalen ϕ m = 60 erhålles vid överkorsningsfrekvensen ω g = rad/tidsenhet. Vi har ϕω ( g) = ωg arctan(0 ωg) = 2, 47 = 42, men eftersom vi önskar ϕω ( ) = 20, skall fasen höjas med 22. g Vi väljer ϕ max = 25 för att ha litet extra marginal. Detta kräver b = 2,5, som ger T d =, 6 och T f = 0,63. Slutligen fås K c = + (0 ω ) / b = 6,3. g

30 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Dimensionering av PID-regulatorer Även om vi med en PD regulator kan erhålla snabbhet ( högt ω g i jämförelse med ω c) och önskad fasmarginal ( ϕ m ), kommer vi att få regleravvikelse då integrerande verkan saknas. Det är därför ändamålsenligt att inkludera också integrerande verkan. Enklast görs detta med serieformen av en PIDregulator, dvs en regulator där PI-delen och PD-delen seriekopplas som i blockschemat nedan. Dessa kan dimensioneras enligt principerna i de två föregående avsnittet. r G G u y + - PD PI G p Serieformen av PID-regulatorn med ett filter på derivatadelen har överföringsfunktionen + Ts i ( + Ts d ) GPIPDf () s = GPI() s GPDf () s = Kc Ts i + Tfs Dess amplitudkurva ges av och faskurvan av Tiω + Tdω PIPDf ω = Kc 2 + ( Tf ω) G (j ) [ ( ) ][ ( ) ] PIPDf = i d + f arg G (j ω) arctan[( Tω) ] arctan( T ω) arctan( Tω) Följande figur visar amplitudkurvans principiella ( asymptotiska ) utseende. 8-45

31 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Amplitudkurvan för serieformen av en PID-regulator med derivatafilter: GPIPDf K c G PID b b K c K c / b /T i =0.2ω g /T d b/t d =ω g b/t d b = ωg T d Vi kan dimensionera PID-regulatorn enligt följande principer utgående från en önskad överkorsningsfrekvens ω g och fasmarginal ϕ m :. Beräkna integrationstiden enligt Ti = 5/ ωg. 2. Beräkna fasförskjutningen ϕ( ωg) = arg G( j ω) + arg GPI( j ω) eller uppskatta den enligt ϕ( ωg) arg G(j ω) + π /8, där G är det oreglerade systemets överföringsfunktion. 3. Beräkna behövligt faslyft enligt ϕmax = ϕm arg G( j ωg ) π. 4. Beräkna deriveringstiden Td = b / ωg. 5. Beräkna filtertidkonstanten T f = T d / b. 6. Beräkna Kc = sgn G(0) / ( b GPI(j ωg) G(j ωg) ). 8-46

32 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet PIPDf-regulatorn kan också representeras på standardformen av en PID-regulator med filtrerad D-verkan, dvs τ ds GPIDf () s = κ + + τis + τfs Omräkningssambanden är τi TT i d τ = T + T T, κ = K, τ = T, τ = T T τ i i d f d f f f i i Exempel 8.8. En process har överföringsfunktionen 3 Gs () = 4/( + s). Bestäm en PID-regulator som ger ω g = 2 rad/s och fasmarginalen De olika stegen i ett Bodediagram:

EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK

EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK Föreläsning 6: Kompensering (forts.), robusthet och känslighet Kursinfo: Extra material Introduktion till Laplacetransformen: https://www.kth.se/social/upload/527ac1d0f276540a852d0

Läs mer

Liten MATLAB introduktion

Liten MATLAB introduktion Liten MATLAB introduktion Denna manual ger en kort sammanfattning av de viktigaste Matlab kommandon som behövs för att definiera överföringsfunktioner, bygga komplexa system och analysera dessa. Det förutsätts

Läs mer

A. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna.

A. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna. Man använder en observatör för att skatta tillståndsvariablerna i ett system, och återkopplar sedan från det skattade tillståndet. Hur påverkas slutna systemets överföringsfunktion om man gör observatören

Läs mer

Tentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30

Tentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30 Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20

Läs mer

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27 Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet Skrivet av: Hans Beijner 003-07-7 Inledning All text i detta dokument är skyddad enligt lagen om Copyright och får ej användas, kopieras eller citeras

Läs mer

Datorövning 2 Matlab/Simulink. Styr- och Reglerteknik för U3/EI2

Datorövning 2 Matlab/Simulink. Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Dator- och Elektroteknik 08/ Thomas Munther Datorövning 2 Matlab/Simulink i Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Laborationen förutsätter en del förberedelser

Läs mer

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den definieras

Läs mer

Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys

Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys Frekvensplanet och Bode-diagram Frekvensanalys Signaler Allt inom elektronik går ut på att manipulera signaler genom signalbehandling (Signal Processing). Analog signalbehandling Kretsteori: Nod-analys,

Läs mer

Simulering och reglerteknik för kemister

Simulering och reglerteknik för kemister Simulering och reglerteknik för kemister Gå till http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm och gå igenom några av följande exempel. http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm Följ gärna de beskrivningarna

Läs mer

Teori Se din kursbok under avsnitt PID-reglering, Ziegler-Nichols metod och olinjära system (avsnitt 7.7 i Modern Reglerteknik av Bertil Thomas).

Teori Se din kursbok under avsnitt PID-reglering, Ziegler-Nichols metod och olinjära system (avsnitt 7.7 i Modern Reglerteknik av Bertil Thomas). 03-10-14/TFE CJ, BT, BaE, SG Laboration i kurs Tillämpad reglerteknik Institutionen för tillämpad fysik och elektronik Umeå universitet PID - NIVÅREGLERING AV TANK Målsättning Målet med denna laboration

Läs mer

Exempel: reglering av en plattreaktor. Varför systemteknik/processreglering? Blockdiagram. Blockdiagram för en (del)process. Exempel: tankprocess

Exempel: reglering av en plattreaktor. Varför systemteknik/processreglering? Blockdiagram. Blockdiagram för en (del)process. Exempel: tankprocess Systemteknik/reglering Föreläsning Vad är systemteknik oc reglerteknik? Blockdiagram Styrstrategier Öppen styrning, framkoppling Sluten styrning, återkoppling PID-reglering Läsanvisning: Control:..3 Vad

Läs mer

Flervariabel reglering av tanksystem

Flervariabel reglering av tanksystem Flervariabel reglering av tanksystem Datorövningar i Reglerteori, TSRT09 Denna version: oktober 2008 1 Inledning Målet med detta dokument är att ge möjligheter att studera olika aspekter på flervariabla

Läs mer

Styr- och Reglerteknik för U3/EI2

Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Dator- och Elektroteknik 071111/ Thomas Munther LABORATION 3 i Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Målsättning: Bekanta sig med olika processer.

Läs mer

Laboration 1: Aktiva Filter ( tid: ca 4 tim)

Laboration 1: Aktiva Filter ( tid: ca 4 tim) 091129/Thomas Munther IDE-sektionen/Högskolan Halmstad Uppgift 1) Laboration 1: Aktiva Filter ( tid: ca 4 tim) Vi skall använda en krets UAF42AP. Det är är ett universellt aktivt filter som kan konfigureras

Läs mer

7. Sampling och rekonstruktion av signaler

7. Sampling och rekonstruktion av signaler Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Cédric Cano Uppsala 25-11-99 701005-0693 Mätsystem F4Sys. Pulsmätare med IR-sensor

Cédric Cano Uppsala 25-11-99 701005-0693 Mätsystem F4Sys. Pulsmätare med IR-sensor édric ano Uppsala 51199 010050693 Mätsystem F4Sys Pulsmätare med Isensor Sammanfattning Jag har valt att konstruera en pulsmätare som arbetar genom att utnyttja Iteknik. Då ett finger placeras på Isensorn

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper

Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper Bo R. ndersson Fluida och Mekatroniska System, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, Linköping, Sverige E-mail: bo.andersson@liu.se Sammanfattning

Läs mer

IT Termin 5 Vinjetter i reglerteknik

IT Termin 5 Vinjetter i reglerteknik Linköpings universitet Vinjetter Institutionen för systemteknik 4 november 213 Reglerteknik IT Termin 5 IT Termin 5 Vinjetter i reglerteknik 1 P, I och D Man kan reducera utsläppen från en hybridbil med

Läs mer

Växelström K O M P E N D I U M 2 ELEKTRO

Växelström K O M P E N D I U M 2 ELEKTRO MEÅ NIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Sverker Johansson Johan Pålsson 999-09- Rev.0 Växelström K O M P E N D I M ELEKTRO INNEHÅLL. ALLMÄNT OM LIK- OCH VÄXELSPÄNNINGAR.... SAMBANDET MELLAN STRÖM

Läs mer

IE1206 Inbyggd Elektronik

IE1206 Inbyggd Elektronik IE06 Inbyggd Elektronik F F3 F4 F Ö Ö PIC-block Dokumentation, Seriecom Pulsgivare I,, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Start för programmeringsgruppuppgift Kirchoffs lagar Nodanalys

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Mät- & reglerteknik 2, M112603 Föreläsningsanteckningar

Mät- & reglerteknik 2, M112603 Föreläsningsanteckningar Mät- & reglerteknik 2, M112603 Föreläsningsanteckningar Matias Waller 4 februari 2013 Föreliggande föreläsningsanteckningar skall tjäna som ett stöd för undervisningen i Mät- & reglerteknik 2 (M112603,

Läs mer

Laboration ( ELEKTRO

Laboration ( ELEKTRO UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Sverker ohansson ohan Pålsson 21-2-16 Rev 1.1 $.7,9$),/7(5 Laboration ( ELEKTRO Personalia: Namn: Kurs: Datum: Återlämnad (ej godkänd): Rättningsdatum Kommentarer

Läs mer

Sammanfattning av likströmsläran

Sammanfattning av likströmsläran Innehåll Sammanfattning av likströmsläran... Testa-dig-själv-likströmsläran...9 Felsökning.11 Mätinstrument...13 Varför har vi växelström..17 Växelspännings- och växelströmsbegrepp..18 Vektorräknig..0

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Kompletterande instruktioner, tips samt principer för bedömning av Laboration 2 Magnetiska fält (Elektromagnetism 12 hp)

Kompletterande instruktioner, tips samt principer för bedömning av Laboration 2 Magnetiska fält (Elektromagnetism 12 hp) Kompletterande instruktioner, tips samt principer för bedömning av Laboration 2 Magnetiska fält (Elektromagnetism 12 hp) I. Allmänt. 1. Du studerar noggrant labinstruktionen för att förstå den, och löser

Läs mer

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare SPICE-parametrar för halvledare IH1611 Halvledarkomponenter Ammar Elyas Fredrik Lundgren Joel Nilsson elyas at kth.se flundg at kth.se joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Shaho Moulodi moulodi

Läs mer

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012 Till eleven - Information inför den muntliga provdelen Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Innehåll. Innehåll. sida i

Innehåll. Innehåll. sida i 1 Introduktion... 1.1 1.1 Kompendiestruktur... 1.1 1.2 Inledning... 1.1 1.3 Analogt/digitalt eller tidskontinuerligt/tidsdiskret... 1.2 1.4 Konventioner... 1.3 1.5 Varför digital signalbehandling?... 1.4

Läs mer

Styrsignalsfördelning hos system med redundanta aktuatorer

Styrsignalsfördelning hos system med redundanta aktuatorer Styrsignalsfördelning hos system med redndanta aktatorer Linköpings Tekniska Högskola Tillämpningar Styrsignalsfördelning (eng. control allocation) Hr Hr ska ska den den önskade totala styrerkan fördelas

Läs mer

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform)

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform) Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL a + b, där a, b R (rektangulär form r(cosθ + snθ (polär form θ re (potensform Om a + b och a, b R då gäller: a kallas realdelen av och betecknas Re( b kallas magnärdelen

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Dagens föreläsning (F15)

Dagens föreläsning (F15) Dagens föreläsning (F15) Problemlösning med datorer Carl-Mikael Zetterling bellman@kth.se KP2+EKM http://www.ict.kth.se/courses/2b1116/ 1 Innehåll Programmering i Matlab kap 5 EKM Mer om labben bla Deluppgift

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

RADIATORTERMOSTATER RUMSTEMPERATUR TILLOPPSTEMPERATUR TRYCKFÖRHÅLLANDEN

RADIATORTERMOSTATER RUMSTEMPERATUR TILLOPPSTEMPERATUR TRYCKFÖRHÅLLANDEN Värt att veta om ENERGIMÄTNING av fjärrvärme RADIATORTERMOSTATER RUMSTEMPERATUR TILLOPPSTEMPERATUR TRYCKFÖRHÅLLANDEN i fjärrvärmenätet TRYCK OCH FLÖDE 1 VÄRT ATT VETA För att informera om och underlätta

Läs mer

Mätningar med avancerade metoder

Mätningar med avancerade metoder Svante Granqvist 2008-11-12 13:41 Laboration i DT2420/DT242V Högtalarkonstruktion Mätningar på högtalare med avancerade metoder Med datorerna och signalprocessningens intåg har det utvecklats nya effektivare

Läs mer

Ellära och Elektronik. Föreläsning 7

Ellära och Elektronik. Föreläsning 7 Ellära och Elektronik Moment Filter och OP Föreläsng 7 Bandpassilter och Bodediagram Ideala OPörstärkare OPörstärkarkopplgar Bandpass och bandspärrilter För att konstrera denna typ av ilter krävs både

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

090423/TM IDE-sektionen. Laboration 3 Simulering och mätning på elektriska kretsar

090423/TM IDE-sektionen. Laboration 3 Simulering och mätning på elektriska kretsar 090423/TM IDE-sektionen Laboration 3 Simulering och mätning på elektriska kretsar 1 Förberedelseuppgifter inför Laboration 3: 1. Tag reda för figur 4. Vilket värde på V1 som krävs för att potentialen i

Läs mer

Övningar med Digitala Filter med exempel på konstruktion och analys i MatLab

Övningar med Digitala Filter med exempel på konstruktion och analys i MatLab Övningar med Digitala Filter med exempel på konstruktion och analys i MatLab Eddie Alestedt Vt-2002 Digitala filter Digitala filter appliceras på samplade signaler och uppvisar helt andra egenskaper än

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

AC-kretsar. Växelströmsteori. Lund University / Faculty / Department / Unit / Document / Date

AC-kretsar. Växelströmsteori. Lund University / Faculty / Department / Unit / Document / Date AC-kretsar Växelströmsteori Signaler Konstant signal: Likström och likspänning (DC) Transienta strömmar/spänningar Växelström och växelspänning (AC) Växelström/spänning Växelström alternating current (AC)

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Teori... SME118 - Mätteknik & Signalbehandling SME118. Johan Carlson 2. Teori... Dagens meny

Teori... SME118 - Mätteknik & Signalbehandling SME118. Johan Carlson 2. Teori... Dagens meny Tidigare har vi gått igenom Fourierserierepresentation av periodiska signaler och Fouriertransform av icke-periodiska signaler. Fourierserierepresentationen av x(t) ges av: där a k = 1 T + T a k e jkω

Läs mer

Formelsamling finns sist i tentamensformuläret. Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7,5hp Kurskod: HÖ1004 Tentamenstillfälle 1

Formelsamling finns sist i tentamensformuläret. Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7,5hp Kurskod: HÖ1004 Tentamenstillfälle 1 Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7,5hp Kurskod: HÖ1004 Tentamenstillfälle 1 Datum 2011-06-01 Tid 4 timmar Kursansvarig Åsa Skagerstrand Tillåtna hjälpmedel Övrig information Resultat:

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Tentamen i Digitalteknik, EIT020

Tentamen i Digitalteknik, EIT020 Elektro- och informationsteknik Tentamen i Digitalteknik, EIT020 4 april 2013, kl 14-19 Skriv namn och årskurs på alla papper. Börja en ny lösning på ett nytt papper. Använd bara en sida av pappret. Lösningarna

Läs mer

Elektricitetslära och magnetism - 1FY808

Elektricitetslära och magnetism - 1FY808 Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Laborationshäfte för kursen Elektricitetslära och magnetism - 1FY808 Ditt namn:... eftersom labhäften far runt i labsalen. 1 1. Instrumentjämförelse

Läs mer

FÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter

FÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter FÖRELÄSNING 3: Analoga o p. Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Analoga filter Ideala filter Butterworthfilter (kursivt här, kommer inte på tentan, men ganska bra för förståelsen) Kausalitet t oh

Läs mer

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) -01416 resp -0046 b) -0001593 resp -000051 c) 000165

Läs mer

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred.

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred. Rekursion. Inledning En trädgårdsmästare skall lägga en gång med cementplattor. Gången skall vara en fot bred. Han har tre slags plattor. En är omönstrad och kvadratisk med sidan en fot, två är rektangulära

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall,

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall, Huvudspänningar oc uvudspänningsriktningar n från: Huvudtöjningar oc uvudtöjningsriktningar n från: (S I)n = 0 ) det(s I) =0 ösningsskisser till där S är spänningsmatrisen Tentamen 0i Hållfastetslära för

Läs mer

Kinetik. Föreläsning 1

Kinetik. Föreläsning 1 Kinetik Föreläsning 1 Varför kunna kinetik? För att till exempel kunna besvara: Hur lång tid tar reaktionen till viss omsättningsgrad eller hur mycket produkt bildas på viss tid? Hur ser reaktionens temperaturberoende

Läs mer

Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7 hp Kurskod: HÖ1015 Tentamenstillfälle 4

Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7 hp Kurskod: HÖ1015 Tentamenstillfälle 4 IHM Kod: Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7 hp Kurskod: HÖ115 Tentamenstillfälle 4 Datum 213-11-7 Tid 4 timmar Kursansvarig Susanne Köbler Tillåtna hjälpmedel Miniräknare Linjal

Läs mer

Solar cells. 2.0 Inledning. Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1.

Solar cells. 2.0 Inledning. Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1. Solar cells 2.0 Inledning Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1. Figure 2.1 Utrustning som används i experiment E2. Utrustningslista (se Fig. 2.1): A, B: Två solceller C: Svart plastlåda

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Gör Din egen kurvkatalog

Gör Din egen kurvkatalog 86 Gör Din egen kurvkatalog Hans Riesel KTH Krav på utrustning. För denna uppgift måste du ha tillgång till en grafisk dataterminal, så att Du kan rita kurvor på dataskärmen. Du behöver inte ha tillgång

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen

Läs mer

Labbrapport. Isingmodel

Labbrapport. Isingmodel Labbrapport Auhtor: Mesut Ogur, 842-879 E-mail: salako s@hotmail.com Author: Monica Lundemo, 8524-663 E-mail: m lundemo2@hotmail.com Handledare: Bo Hellsing Göteborgs Universitet Göteborg, Sverige, 27--

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

Roterande värmeväxlare

Roterande värmeväxlare Lars Jensen Avdelningen för installationsteknik Institutionen för bygg- och miljöteknologi Lunds tekniska högskola Lunds universitet, 26 Rapport TVIT--6/76 Lunds Universitet Lunds Universitet, med nio

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

Laboration i Fourieroptik

Laboration i Fourieroptik Laboration i Fourieroptik David Winge Uppdaterad 30 januari 2015 1 Introduktion I detta experiment ska vi titta på en verklig avbildning av Fouriertransformen. Detta ska ske med hjälp av en bild som projiceras

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Moment 1 - Analog elektronik. Föreläsning 2 Transistorn del 2

Moment 1 - Analog elektronik. Föreläsning 2 Transistorn del 2 Moment 1 - Analog elektronik Föreläsning 2 Transistorn del 2 Jan Thim 1 F2: Transistorn del 2 Innehåll: Fälteffekttransistorn - JFET Karakteristikor och parametrar MOSFET Felsökning 2 1 Introduktion Fälteffekttransistorer

Läs mer

Diagramritning med Excel och figurritning med Word

Diagramritning med Excel och figurritning med Word 1(11) Inför fysiklaborationerna Diagramritning med Excel och figurritning med Word Del 1. Uppgift: Excel Målet med denna del är att du skall lära dig grunderna i Excel. Du bör kunna så mycket att du kan

Läs mer

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:...

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:... DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Namn:... Klass/Grupp:... Del I 1. Bestäm värdet av 25 3x om x = 2 Svar: (1/0/0) 2. Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma? 2 3 + + 1 =1 Svar: (1/0/0) 9

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Figur 1. Stadens påverkan på meterologi och hydrologi högre maxflöden!

Figur 1. Stadens påverkan på meterologi och hydrologi högre maxflöden! Lecture notes -VVR145 Lecture 23, 24 Urban hydrology 1. Stadens påverkan och vattenbalans Meterologiska parametrar Ökad temperatur Ökad nederbörd Ökad molnighet Minskad avdunstning Minskad/ändrad vind

Läs mer

1 Modell för upphandling

1 Modell för upphandling SvK1000, v3.3, 2014-03-26 Svenska kraftnät balansansvarsavtal@svk.se 2015-09-16 2015/1057 REGELDOKUMENT Regler för upphandling och rapportering av FCR-N och FCR-D Detta regeldokument beskriver upphandling,

Läs mer

Snabb processreglering med transient börvärde. Filip Hornborg

Snabb processreglering med transient börvärde. Filip Hornborg Snabb processreglering med transient börvärde. Filip Hornborg Examensarbete Elektroteknik 2012 EXAMENSARBETE Arcada Utbildningsprogram: Elektroteknik Identifikationsnummer: 8018 Författare: Filip Alexander

Läs mer

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Thomas Lingefjärd Göteborg 9 Thomas Lingefjärd Introduktion till Graphmatica 1 Kort om Graphmatica Graphmatica har funnits

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Föreläsning 13 Innehåll

Föreläsning 13 Innehåll Föreläsning 13 Innehåll Exempel på problem där materialet i kursen används Hitta k största bland n element Histogramproblemet Schemaläggning PFK (Föreläsning 13) VT 2013 1 / 15 Hitta k största bland n

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

System för autonom kollisionsavvärjning och adaptiv farthållning Med Microsoft Kinect

System för autonom kollisionsavvärjning och adaptiv farthållning Med Microsoft Kinect System för autonom kollisionsavvärjning och adaptiv farthållning Med Microsoft Kinect CARL RETZNER CHRISTIAN MÅRTENSSON CHRISTOFFER FOUGSTEDT ERIK SKOG JOHAN LARSSON JOSIP ZEKIC Institutionen för Signaler

Läs mer