8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K =, antages K > 0

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K =, antages K > 0"

Transkript

1 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret Bodediagram System av första ordningen K G ( s) =, antages K > 0 Ts + A R ( ω) = G( jω) = K + ( ωt ) ϕ( ω) = arg G( jω) = arctan( ωt) Detta kan framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det normerade amplitudförhållandet A R / K och fasförskjutningen ritas som funktioner av frekvensen: AR/K 0 Fasförskjutning (grader) ωt ωt 8-6

2 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Vi har tidigare härlett 2 n Kω G( s) =, antages K > 0 2 s + 2ζω s + ω n 2 n A R = n K ζω ωn ( ( ω/ ω ) ) + (2 / ) ϕ 2 ζω/ ω n arctan om ω 2 ( ω/ ωn ) = 2 ζω / ω n arctan om 2 ( ω/ ωn ) ω π ω ω n n Vi har också visat att vi vid vinkelfrekvensen ω = ω n 2ζ får en resonanstopp med amplitudförhållandet A R 2 K = 2 2ζ ζ 8-7

3 0 ζ = Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret AR/K ω/ω n ζ = 0. fasförskjutning ( o ) ω/ω n 8-8

4 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret Dödtid För en dödtid L med överföringsfunktionen Gs () = e Ls har vi härlett A R ( ω ) = ϕ( ω) = Lω Vid växande frekvens kommer den negativa fasförskjutningen att öka obegränsat, och desto snabbare ju större dödtiden är. 0 AR ω L 00 fasförskjutning ( o ) ω L 8-9

5 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret Element i serie För seriekopplade system med totala överföringsfunktionen G = G G G 2 n har vi visat att totala amplitudförhållandet och fasförskjutningen ges av A = A A A R R, R,2 R,n ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ 2 n Logaritmering av uttrycket för amplitudförhållandet ger log( A ) = log( A ) + log( A ) + + log( A ) R R, R,2 R, n Eftersom amplitudaxeln i Bodediagrammet är logaritmisk, fås totala amplitudförhållandet av ett seriekopplat system genom att helt enkelt addera de enskilda delsystemens logaritmerade amplitudförhållanden i Bodediagrammet. Eftersom fasförskjutningsaxeln är linjär, fås totala fasförskjutningen genom att addera de enskilda delsystemens fasförskjutningar. 8-20

6 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3. Bodes stabilitetskriterium r + y m G c G m G v G p y Överföringsfunktionen för den öppna slingan ges av kretsöverföringen G Antag Gm = Gv =, G G k k p G = G G G G k m p v c 0,s e = 0,5s + och Gc = Kc. Då blir 0,s Ke c Kc = = e 0,5s+ 0,5s+ 0,s Vid frekvensen ω = 7 rad/min (antages att dödtiden och tidskonstanten är uttryckta i minuter) fås fasförskjutningen ϕ = arctan(0,5 7) 0, 7 80 = π Den frekvens där kretsöverföringens totala fasförskjutning är 80 kallas för systemets kritiska frekvens ω c. Amplitudförhållandet vid den kritiska frekvensen blir Kc AR(7) = 0,7 K 2 + (0,5 7) Om K c = / 0,7 = 8,56 fås A R (7) =. c 8-2

7 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vi gör följande tankeexperiment: Antag att ledvärdet r = sin( 7t) och kretsen är öppen. Då blir y m = A R (7) sin(7 t π ) = sin(7 t ) efter en stund. Om kretsen då slutes med r = 0, blir G c :s insignal r y m = sin(7 t), dvs samma som tidigare. Kretsen fortsätter m.a.o. att oscillera av sig själv!. Antag att K c > 8,56, dvs A R > vid ω c = 7. Om vi upprepar samma som ovan, blir y m = A R sin(7 t) i öppen krets. y m:s amplitud är då större än r :s amplitud. När kretsen slutes, har insignalen till G c således större amplitud än tidigare, det nya y m blir ännu större, vilket medför exponentiellt ökande oscillationer. Kretsen är instabil! 2. Antag att K c < 8,56, dvs A R < vid ω c = 7. När kretsen slutes fås då exponentiellt avtagande oscillationer. Kretsen är stabil! Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är instabilt om A R > vid den kritiska frekvensen ω c för kretsöverföringen G k ; systemet är stabilt om AR( ω c) <. Märk att det är kretsöverföringen G k för det oreglerade ( öppna ) systemet som undersökes, men det avgör stabiliteten för det återkopplade ( slutna ) systemet med överföringsfunktionen, där G är en godtycklig stabil G + Gk överföringsfunktion. Vid följereglering är G= G. k 8-22

8 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vid kritiska frekvensen gäller som ger (j ) G arg G ( j ω ) = π Gk ω c = och k c jarg G (j ω ) jπ k c (j ω ) = G (j ω ) e = e k c k c = cos( π) jsin( π) = 0j = dvs s = jω är en lösning till karakteristiska ekvationen c + G ( s) = 0. k I praktiken bör följande två steg utföras vid stabilitetstest enligt Bodes stabilitetskriterium:. Bestäm den kritiska frekvensen ω c, d.v.s. den frekvens som kretsöverföringen fasförskjuter med π, dvs Bestäm kretsöverföringens amplitudförhållande vid den kritiska frekvensen ( = AR( ωc)). Om A R ( ω c ) <, är den slutna kretsen stabil, annars instabil. Dessa två steg kan i sin tur utföras på tre olika sätt:. Grafiskt genom att rita ett Bode-diagram för kretsöverföringen. Den kritiska frekvensen ω c kan utläsas ur fasdiagrammet, och amplitudförhållandet AR( ω c) vid ω c ur amplituddiagrammet. 2. Numeriskt, genom att lösa ekvationen π = ϕ k ( ω), där ϕ k ( ω ) är kretsöverföringens fasförskjutning. Lösningen är ω = ω c. Därefter beräknas AR( ω c) enligt kända formler. 3. Genom simulering av det återkopplade systemet med en P- regulator på samma sätt som K c,max och ω c bestämdes experimentellt i avsn Eftersom Kc,max AR ( ωc) =, A ( ω ) = / K. fås R c c,max 8-23

9 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övning 8.3 Bestäm kritiska frekvensen och amplitudförhållandet vid densamma för ett system med kretsöverföringen Gk() s = G() s G2() s G3() s G4() s där 4s,5 G() s = e, G2() s = 2s +, G 2 0,8 3() s =, G4() s = 0s+ 5s+ Grafisk lösning med Bodediagram G G L k ω ω 0 00 argg k G L ω ω 8-24

10 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övning 8.4 En process som kan modelleras som en ren dödtid regleras med en P-regulator. Reglerventilen och mätinstrumentet har försumbar dynamik och deras förstärkningar är K v = 0,5 och K m = 0,8. När en liten förändring av ledvärdet görs uppstår svängningar med en konstant amplitud och perioden 0 minuter. a) Vilken är regulatorns förstärkning? b) Hur stor är dödtiden? Nyquists stabilitetskriterium I ett Nyquistdiagram uppritas realdelen av G k, Re Gk (j ω ), som funktion av imaginärdelen av G k, Im Gk ( j ω ). Den kurva som uppstår kallas Nyquistkurva. Vi börjar med den enklaste varianten av Nyquistkriteriet, som är helt ekvivalent med Bodes stabilitetskriterium. Det förenklade Nyquist-kriteriet: Om kretsöverföringen G k inte har poler i högra halvplanet (dvs är stabilt, ev. med integrator) är det återkopplade systemet stabilt om Nyquistkurvan ( ω = 0 ) för G k skär negativa realaxeln till höger om punkten (-,0), annars är det återkopplade systemet instabilt. 8-25

11 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.2. Nyquistkurvorna för systemet i Övning 8.3, med K c =,, 49 och 2, visas i figuren. 0.5 ImG k Imag(G L (jω)) K c =, stabilt K c =.49, på gränsen 3 K c =2, instabilt Real(G L (jω)) ReG k Övning 8.5 Undersök stabilitet vid P-reglering av en dödtid. Kretsöverföringen är K. c e Ls a) Hur ser Nyquistkurvan ut? b) Vilket blir stabilitetsintervallet för K c? 8-26

12 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Stabilitetsmarginaler Förstärkningsmarginal Förstärkningsmarginalen (amplitudmarginalen) A m säger med vilken faktor kretsförstärkningen kan öka utan att den slutna kretsen blir instabil. Matematiskt ges förstärkningsmarginalen av Am = AR( ωc) där A R är amplitudförhållandet för kretsöverföringen. För stabilitet krävs att A m >. Förstärkningsmarginalen ger robusthet inte bara mot variationer i processförstärkningen, utan även mot variationer i andra processparametrar (dvs modellfel i allmänhet). Exempel 8.3. I början av avsnitt 8.3 studerade vi kretsöverföringen Gk =. Bestäm en P-regulator som har för- 0,s Ke c 0,5s + stärkningsmarginalen A m =, 7. Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0, är 0,5 minuter? Från tidigare har vi ω c = 7 rad/min, AR( ω c) = 0,7Kc. Vi kräver A ( ω ) = A = /,7 som ger K c = 5. R c m För att kontrollera om den slutna kretsen är stabil med K c = 5 om dödtiden L = 0,5 min, kan vi upprita ett Bodediagram för G k med dessa parametrar. Från diagrammet kan vi på samma sätt som i övning 8.3 avläsa kritiska frekvensen ω c och amplitudförhållandet AR( ω c). Om AR( ω c) <, är systemet stabilt. 8-27

13 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Ett annat sätt är att beräkna ω c och AR( ω c) numeriskt. För ett första ordningens system med tidskonstanten T och dödtiden L finner vi ω c genom att lösa ekvationen π = Lω arctan( Tω ) dvs här (efter teckenbyte) π = 0,5ω + arctan(0,5 ω ) c c Vi finner snabbt lösningen iterativt med direkt substitution från sambandet ω = [ π arctan(0,5 ω )] / 0,5 Lösningen är ω c =,6 rad/min. c Ett första ordningens system med förstärkningen K och tidskonstanten T (dödtiden påverkar inte) har amplitudförhållandet K AR ( ω) = 2 + ( Tω) T = 0,5, K = Kc = 5 och ω = ωc =,6 ger AR( ωc) 0,85<, vilket betyder att systemet fortfarande är stabilt om dödtiden förändras från L = 0, till L = 0,5 min. c c c 8-28

14 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Fasmarginal Fasmarginalen ϕ m anger hur mycket mer negativ fasförskjutningen kunde vara vid den frekvens där kretsöverföringen har förstärkningen utan att den slutna kretsen blir instabil. Fasmarginalen ger robusthet inte bara mot variationer i processens fasförskjutning, utan även mot variationer i andra processparametrar (dvs modellfel i allmänhet) Bodes stabilitetskriterium säger att AR( ω c) <, dvs om vi vid en frekvens ω g har AR( ω g) =, så kräver stabilitet att vi vid denna frekvens har en mindre negativ fasförskjutning än 80. Frekvensen ω g kallas (amplitudkurvans) överkorsningsfrekvens. Matematiskt definieras fasmarginalen (här uttryckt i radianer) ϕm = ϕω ( g) + π, där ω g ges av AR( ω g) =. För stabilitet krävs att ϕ m > 0. ϕ( ω g) och AR( ω g) skall givetvis beräknas för kretsöverföringen. Exempel 8.4. Bestäm den P-regulator, för samma krets som i exempel 8.3, som har ϕ m = 30. Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0, är 0,5 minuter? Vi söker först ω g så att ϕ( ωg ) = ϕm 80 = 50 = 5 π /6. För att finna lösningen, kan vi rita ett Bodediagram för processens överföringsfunktion G p (dvs G k med K c = ). Vi finner då ω g vid den frekvens där faskurvan skär 50. Det skall gälla att KcAR( ω g) =, där AR( ω g) är amplitudförhållandet för G p vid ω = ωg, som kan avläsas ur Bodediagrammet. Vi får då Kc = / AR( ωg). 8-29

15 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Förstärkningen påverkar inte fasförskjutningen. Precis som i exempel 8.3, är kritiska frekvensen för L = 0,5 min ω c =,6 rad/min. Vi kan avläsa AR( ω c) från Bodediagrammet för G p. A ( ω ) > / K, är systemet instabilt då L = 0,5. Om R c c Vi kan också göra beräkningarna rent numeriskt. Frekvensen ω g kan lösas ur 5 π / 6 = 0,ωg + arctan(0,5 ωg) Iterativ lösning genom direkt substitution från sambandet ω = [5 π / 6 arctan(0,5 ω )] / 0, g ger snabbt lösningen ω g = 2, rad/min. AR( ω g) = motsvarar Kc A R (2,) = = 2 + (0,5 2,) som har lösningen K c = 6,4. Om dödtiden L = 0,5 min, är som ovan konstaterats ω c =,6 rad/min. Vi får då 6,4 AR( ω c) = AR(, 6) =, 04 > 2 + (0,5,6) vilket betyder att processen är instabil om L = 0,5 min då K c = 6,4. g 8-30

16 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.5. Förstärknings- och fasmarginaler kan enkelt avläsas ur ett Bodediagram då regulatorn är given. För kretsöverföringen Gk = 0,s Ke c 0,5s + med K c = 5 fås Bodediagrammet nedan med angivna förstärknings- och fasmarginaler. 0 Gk G L 0 0 ω g /A m argg k G L ω 0 50 ω 50 fasmarginal ω 0 2 c ω 8-3

17 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Numerisk lösning av frekvenssamband I exempel 8.3 och 8.4 löstes fasekvationen m.a.p. frekvensen med en enkel numerisk iterationsmetod. Metoden förutsätter att systemet har en dödtid. Så är dock inte alltid fallet, men även om det finns en dödtid fungerar den enkla metoden inte alltid. Vi skall här ta fram en bättre metod för lösning av frekvensen både ur fasekvationen och amplitudekvationen för ett n :te ordningens system med eller utan dödtid. Fasekvationen Vi utgår från en allmän överföringsfunktion Gs () K e Ls = ( n ) ( N ) Ts Tns T + s + T s där systemets poler och nollställen behöver inte vara reella, trots att vi använder denna form. Fasekvationen för detta system har formen ϕ = Lω arctan( Tω) + arctan( Tω) r n N i i= i= n+ där ϕ r är fasförskjutningen uttryck i radianer/tidsenhet. Om vi önskar lösa ut kritiska frekvensen ω = ωc, är ϕr = π överkorsningsfrekvensen ω = ωg, är ϕr = π + ϕm, där ϕ m är fasmarginalen uttryckt i radianer/tidsenhet Vi definierar f ( ω) = ϕ Lω arctan( Tω) + arctan( Tω) r n N i i= i= n+ vilket innebär att vi vill lösa ekvationen f ( ω ) = 0. En iterativ lösning enligt formeln ωk+ = ωk + α f ( ωk) i i 8-32

18 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system konvergerar då om α väljes så att 2 < α f ( ω ) < 0, där k n N k i i L 2 2 k i= + Ti k i= n+ + Ti k d f( ω ) T T f ( ωk ) = + dω ( ω ) ( ω ) Av problemets natur följer att f ( ω) > 0 i närheten av lösningen till f ( ω ) = 0. Om vi som startlösning gissar ett ω 0 sådant att f ( ω ) > 0, kan vi på goda grunder välja 0 α = f ( ω ) Enklast är att starta iterationen från ω 0 = 0 om f (0) > 0. Vi fördubblar dock α :s värde och väljer n N α = 2 L+ Ti Ti i= i= n+ Det finns dock ingen garanti för att detta ger snabb konvergens. Man kan försöka förbättra konvergensen genom att t.ex. fördubbla α :s värde dock med risk för att det börjar divergera. Om systemet har komplexa poler eller nollställen uppträder dessa alltid som komplexkonjugerade sådana. Vi har då också i uttrycken ovan två komplexkonjugerade tidskonstanter T j och T j +, som satisfierar uttrycket j+ ζωn ωn ωn ( Ts+ )( T s+ ) = ( s + 2 s+ )/ j där ζ och ω n är de två polernas/nollställenas relativa dämpning respektive naturliga egenfrekvens. Vi har Tj + Tj+ = 2 ζ / ωn och 2ζωnω arctan( Tjω) + arctan( Tj+ ω) = arctan 2 2 ωn ω som kan substitueras i uttrycken ovan. 8-33

19 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Amplitudekvationen Om vi vill bestämma systemets fasmarginal med en given regulator behöver vi överkorsningsfrekvensen ω g, som satisfierar ekvationen Gk( ω g) =, där G k är kretsöverföringen, dvs det oreglerade systemet kopplat i serie med regulatorn. Ofta är regulatorn i detta skeda en P-regulator, men vi skall här också beakta att vi kan ha en regulator med integrerande verkan. Vi skriver kretsöverföringen i formen G () s = G () s G() s k där Gs ( ) har samma allmänna form som för fasekvationen. Om det finns en regulator med integrationstiden T i > 0 är GI() s = / Ts i, annars är GI () s =. Resten av regulatorns överföringsfunktion ingår i Gs. ( ) Amplitud- (eller förstärknings- eller belopps-) kurvan är Gk(j ω) = GI(j ω) G(j ω) där G (j ω) = / Tω Vi definierar G(j ω) = K I I n+ i 2 2 TNω 2 2 Tnω [ + ( T ω) ] [ + ( ) ] [ + ( Tω) ] [ + ( ) ] g( ω) = G(j ω) G (j ω) vilket innebär att vi vill lösa ekvationen g( ω ) = 0 för att finna lösningen till Gk( ω g) =. En iterativ lösning enligt formeln ωk+ = ωk + βg( ωk) konvergerar då om β väljes så att 2 < β g ( ωk ) < 0. Här är g (0) = 0 då G I () s =, vilket innebär att β = g ( ω0) är ett olämpligt val om man har för avsikt att starta iterationen från ω 0 = 0. Ett bättre startvärde torde ω0 = ωc vara, som ofta är I 8-34

20 8. Frekvensanalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system känd, eller kan beräknas, när man vill beräkna ω g. Här föreslås dock n N β = 2 T0 + Ti { T Ti, i om I-verkan T 0 = i= i= n+ 0 annars dvs samma typ av val som vid lösning av fasekvationen. Märk att det finns en tidskonstant Ti = T0, i> n, om regulatorn är en PI- eller PID-regulator, vilket innebär att T 0 då i själva verket förkortas bort från β. Precis som ovan torde detta garantera konvergens om systemet inte har mycket speciella egenskaper, men snabb konvergens kan inte garanteras. Man har full frihet att t.ex. fördubbla β för att förbättra konvergensen. Liksom i fallet med fasekvationen, utgör komplexa poler eller nollställen inget problem. Ifall T j och T j + är komplexkonjugerade, vet vi redan hur summan Tj + T j + beräknas i uttrycket för β. I uttrycket för G(j ω ) fås ζ 2 2ζ 4 Tj+ 2 2 ωn ωn [ + ( Tjω) ][ + ( ω) ] = + 2 ω + ω Övning 8.6 Bestäm K c,max för nedanstående system med frekvensanalys. r G c G v G p y G m G =, G =, G =, G = K 5s+ 2s+ s+ p v m c c 8-35

21 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet I detta avsnitt skall vi visa hur PI-, PD- och PID-regulatorer kan dimensioneras så att givna frekvensplansbaserade stabilitets- och prestandakriterier uppfylls. De använda stabilitetskriterierna är förstärkningsmarginalen A m och fasmarginalen ϕ m. För väl inställda regulatorer gäller ofta A m 2 och ϕm 45 Överkorsningsfrekvensen ω g är ett prestandarelaterat mått ju högre överkorsningsfrekvens, desto snabbare reglering. Ofta anses att ωg 0,3ωc, där ω c är kritiska frekvensen när systemet regleras med en P-regulator, är ett bra värde Dimensionering av PI-regulatorer Överföringsfunktionen för en PI-regulator är + Ts i GPI() s = Kc + = Kc Ts i Ts i Integrationstiden Ti 5/ ωg är ofta ett lämpligt val för en PIregulator. Som Bodediagrammet för PI-regulatorn visar (på nästa sida), ger detta ca 0 fasförskjutning vid frekvensen ω = ω g. (Ekvation (8.28) ger det exaktare värdet,3º.) Man kan utnyttja detta för att t.ex. dimensionera en PI-regulator så att det reglerade systemet får en önskad fasmarginal ϕ. Tillvägagångssättet är följande: m. Beräkna ω g som den frekvens där fasmarginalen är ϕ m + ca. 0 extra som integreringen kommer att bidra med. 2. Bestäm regulatorförstärkningen K c så att AR( ω g) =. 3. Integrationstiden är Ti = 5/ ωg. 8-36

22 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Bode-diagrammet för en PI-regulator: G lag 0 2 GPI K c ωt i ω/t i argg PI 0 20 G lag ω/t i ωt i Exempel 8.7. Designa en PI-regulator för systemet som beskrivs av överföringsfunktionen s e Gs () = 0s + som ger a) ϕ m = 30 b) ϕ m = 60. Beräkna även regulatorinställningar enligt några metoder i avsnitt 7.4 och

23 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet a) ϕ m = 30 innebär att vi skall beräkna ω g för fasförskjutningen ϕ = = 40 = 7 π / 9. Enligt den iterativa lösningsmetoden har vi f ( ω) = 7 π / 9 ω arctan(0 ω) och α = 2 / ( + 0) 0,2. Lösning enligt ωk+ = ωk + α f ( ωk) med startlösningen ω 0 = 0 ger efter ganska många iterationer ω g = 0,975. Konvergensen är långsam, men man kan på vägen göra bättre gissningar av ω k när man ser ungefär vart man är på väg. Regulatorförstärkningen K c fås enligt sambandet 2 c r g g K = A ( ω ) = + (0 ω ) 9,8 och integrationstiden T i enligt T = 5/ ω 5,3 b) Löses på analogt sätt. Resultaten finns sammanställda i tabellen. 30 Z-N ITAE konst. i g CHR 0% konst. CHR 20% konst. K c 9,80 9,00 8,5 6,00 7,0 T i 5,3 3,33 3,0 4,00 2,30 60 ITAE följe CHR 0% följe CHR 20% följe K c 5,43 4,83 3,50 6,00 T i 9,36 9,87 2,0 0,0 8-38

24 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) ϕ m = 30 (heldragen), b) ϕ m = 60 (streckad). Vi kan även testa approximativa samband:, 4 6 stigtiden t s och insvängningstiden t 5% ω g ωgtan( ϕm). a) Formel: t s, 4 ; t 5% 0,7 Ur figur: t s 2,9 2, = 0,8; t 5%,5 = 0,5 b) Formel: t s 2,6; t 5% 6,5 Ur figur: t s 3,6 2,2 =, 4 ; t 5% 6,2 = 5,2 8-39

25 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Det är enkelt att göra PI-regulatordimensionering med hjälp av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås: G 0 0 G 0 argg G Man kan även kontrollera den erhållna slutna kretsen genom att rita Bodediagram för kretsöverföringen Gk = GPIG: G k G L argg k G L

26 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Dimensionering av PD-regulatorer En realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överföringsfunktionen GPDf () s = Kc ( + Td s) + Ts f PD-regulator lågpassfilter PDf-regulatorns fasförskjutning ges av ( Td Tf) ω arg GPDf (j ω) = arctan( Tdω) arctan( Tf ω) = arctan 2 + TT d fω Detta ger en positiv fasförskjutning då T d > T f. Man kan visa att maximal fasförskjutning fås vid frekvensen ω = ω, där ω max = ( TT) d f Den maximala fasförskjutningen är ϕ /2 T T = d f max arctan 2( /2 TT d f ) PDf-regulatorns amplitudförhållande är 2 + ( Tdω ) PDf ω = Kc 2 + ( Tf ω) G (j ) Vid ω = 0 (dvs stationärtillstånd) är GPDf (0) = Kc och när ω, GPDf (j ω) Kc Td / Tf. Vid frekvensen ω max fås G (j ω ) = K ( T / T ) PDf max c d f Med parameterdefinitionen b= Td / Tf fås ω = b / T, ϕ max = arctan[( b ) / (2 b)] max d GPDf (j ω max ) = b Kc, GPDf (j ) = b Kc /2 max 8-4

27 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Bodediagrammet för PDf-regulatorn: GPDf G lead K c b b / b b T /T d b/t d b/t d d argg G lead PDf ϕ max G lead,max 0 o ω Dimensioneringen av en PDf-regulator utgår ifrån att man önskar en given överkorsningsfrekvens ω g och en given fasmarginal ϕ m. Man vill med andra ord kombinera prestanda och robusthet. Det blir aktuellt att använda en PDf-regulator om det visar sig att önskad fasmarginal inte uppnås vid den önskade överkorsningsfrekvensen med en P- eller PI-regulator. I denna situation vet man hur stort faslyft som behövs för att nå den önskade fasmarginalen. Idén är att placera PDf-regulatorns maximala faslyft, lika med det behövliga faslyftet, vid frekvensen ω g. 8-42

28 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet För att göra detta, behöver man bl.a. bestämma parametern b utgående från ett önskat faslyft ϕ max. Ett sätt att uttrycka formeln som kan härledas är + sinϕmax b =, 0 ϕmax < 90 sinϕ max Sambandet finns också uppritat i nedanstående figur G lead,max ϕ max b Dimensioneringen går till på följande sätt:. Kontrollera utgående från det oreglerade systemet G (dvs G k utan regulator) om önskad fasmarginal uppnås vid överkorsningsfrekvensen ω g. 2. Om inte, beräknas behövligt faslyft enligt ϕ = ϕ arg G( j ω ) π max m g 3. Parametern b beräknas eller avläses från figuren ovan. 8-43

29 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet 4. Deriveringstiden Td = b / ωg beräknas. 5. Filtertidkonstanten T f = T d / b beräknas. 6. Regulatorförstärkningen Kc = sgn G(0) / ( b G(j ωg) ) beräknas. Det bör noteras att ovannämnda förfarande inte garanterar att designspecifikationerna nås exakt, eftersom PDf-regulatorn kommer att påverka den kritiska frekvensen ω c för kretsöverföringen Gk(j ω) = G(j ω) GPDf(j ω). Fasmarginalen för G k (j ω ) bör därför kontrolleras. Om det visar sig att den inte är tillräcklig, höjs ϕ max ytterligare och designen upprepas. Ytterligare bör noteras att stora värden på parametern b ger kraftig derivering. Detta medför bl.a. stora variationer i styrsignalen, vilket normalt inte är önskvärt. För robusthet räcker det inte att fasmarginalen är tillräcklig även förstärkningsmarginalen bör vara tillräcklig. Exempel 8.8. Designa en filtrerande PD-regulator för systemet som beskrivs av överföringsfunktionen s e Gs () = 0s + så att fasmarginalen ϕ m = 60 erhålles vid överkorsningsfrekvensen ω g = rad/tidsenhet. Vi har ϕω ( g) = ωg arctan(0 ωg) = 2, 47 = 42, men eftersom vi önskar ϕω ( ) = 20, skall fasen höjas med 22. g Vi väljer ϕ max = 25 för att ha litet extra marginal. Detta kräver b = 2,5, som ger T d =, 6 och T f = 0,63. Slutligen fås K c = + (0 ω ) / b = 6,3. g

30 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Dimensionering av PID-regulatorer Även om vi med en PD regulator kan erhålla snabbhet ( högt ω g i jämförelse med ω c) och önskad fasmarginal ( ϕ m ), kommer vi att få regleravvikelse då integrerande verkan saknas. Det är därför ändamålsenligt att inkludera också integrerande verkan. Enklast görs detta med serieformen av en PIDregulator, dvs en regulator där PI-delen och PD-delen seriekopplas som i blockschemat nedan. Dessa kan dimensioneras enligt principerna i de två föregående avsnittet. r G G u y + - PD PI G p Serieformen av PID-regulatorn med ett filter på derivatadelen har överföringsfunktionen + Ts i ( + Ts d ) GPIPDf () s = GPI() s GPDf () s = Kc Ts i + Tfs Dess amplitudkurva ges av och faskurvan av Tiω + Tdω PIPDf ω = Kc 2 + ( Tf ω) G (j ) [ ( ) ][ ( ) ] PIPDf = i d + f arg G (j ω) arctan[( Tω) ] arctan( T ω) arctan( Tω) Följande figur visar amplitudkurvans principiella ( asymptotiska ) utseende. 8-45

31 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet Amplitudkurvan för serieformen av en PID-regulator med derivatafilter: GPIPDf K c G PID b b K c K c / b /T i =0.2ω g /T d b/t d =ω g b/t d b = ωg T d Vi kan dimensionera PID-regulatorn enligt följande principer utgående från en önskad överkorsningsfrekvens ω g och fasmarginal ϕ m :. Beräkna integrationstiden enligt Ti = 5/ ωg. 2. Beräkna fasförskjutningen ϕ( ωg) = arg G( j ω) + arg GPI( j ω) eller uppskatta den enligt ϕ( ωg) arg G(j ω) + π /8, där G är det oreglerade systemets överföringsfunktion. 3. Beräkna behövligt faslyft enligt ϕmax = ϕm arg G( j ωg ) π. 4. Beräkna deriveringstiden Td = b / ωg. 5. Beräkna filtertidkonstanten T f = T d / b. 6. Beräkna Kc = sgn G(0) / ( b GPI(j ωg) G(j ωg) ). 8-46

32 8. Frekvensanalys 8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet PIPDf-regulatorn kan också representeras på standardformen av en PID-regulator med filtrerad D-verkan, dvs τ ds GPIDf () s = κ + + τis + τfs Omräkningssambanden är τi TT i d τ = T + T T, κ = K, τ = T, τ = T T τ i i d f d f f f i i Exempel 8.8. En process har överföringsfunktionen 3 Gs () = 4/( + s). Bestäm en PID-regulator som ger ω g = 2 rad/s och fasmarginalen De olika stegen i ett Bodediagram:

ÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I

ÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I INSTITUTIONEN FÖR KEMITEKNIK Laboratoriet för reglerteknik ÅBO AKADEMI DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIK I Grundkurs Kurt-Erik Häggblom Biskopsgatan 8 FIN-20500

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 7

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 7 Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 7 Sammanfattning av föreläsning 6 Kretsformning Lead-lag design Labförberedande exempel Instabila nollställen och tidsfördröjning (tolkning i frekvensplanet)

Läs mer

Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens ω och amplitud A,

Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens ω och amplitud A, Övning 8 Introduktion Varmt välkomna till åttonde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Frekvenssvar Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens

Läs mer

Överföringsfunktioner, blockscheman och analys av reglersystem

Överföringsfunktioner, blockscheman och analys av reglersystem Övning 3 i Mät- & Reglerteknik 2 (M112602, 3sp), MT-3, 2013. Överföringsfunktioner, blockscheman och analys av reglersystem Som ett led i att utveckla en autopilot för ett flygplan har man bestämt följande

Läs mer

ERE 102 Reglerteknik D Tentamen

ERE 102 Reglerteknik D Tentamen CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE 02 Reglerteknik D Tentamen 202-2-2 4.00 8.00 Examinator: Bo Egar, tel 372. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Lösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!)

Lösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!) Lösningar till tentamen i styr- och reglerteknik (Med fet stil!) Uppgift 1 (4p) Figuren nedan visar ett reglersystem för nivån i en tank.utflödet från tanken styrs av en pump och har storleken V (m 3 /s).

Läs mer

Reglerteknik, TSIU 61

Reglerteknik, TSIU 61 Reglerteknik, TSIU 61 Föreläsning 8 Störningar, modellfel och svårstyrda system Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(15) 1. Sammanfattning av föreläsning 7 2. Känslighet mot störningar

Läs mer

2. Reglertekniska grunder

2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler och system 2.1 Signaler och system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende utsignaler, som beskriver dess beteende Beroende på sammanhanget

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Reglerteknik 6. Kapitel 10. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se

Reglerteknik 6. Kapitel 10. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se Reglerteknik 6 Kapitel Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Föreläsning 6 kap Reglersystemets egenskaper Stabilitet är den viktigaste egenskapen. Ett ostabilt system är oanvändbart. Stabilitet är

Läs mer

Lösningar till övningar i Reglerteknik

Lösningar till övningar i Reglerteknik Lösningar till övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system 5. Ett polynom av andra ordningen har båda rötterna i vänstra halvplanet (Res < ) precis då alla (3) koefficienterna har samma

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1. REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK M TSRT15 för M3. Lycka till!

TENTAMEN I REGLERTEKNIK M TSRT15 för M3. Lycka till! TENTAMEN I REGLERTEKNIK M TSRT5 för M3 TID: 9 april 006, klockan 4-9. ANSVARIG LÄRARE: Inger Klein, tel 8 665, alt 0730-96 99. TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori

Läs mer

Reglerteknik 1. Kapitel 1, 2, 3, 4. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se

Reglerteknik 1. Kapitel 1, 2, 3, 4. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se Reglerteknik 1 Kapitel 1, 2, 3, 4 Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Reglerteknik 1. Givare för yttertemperatur 2, 3. Givare för inomhustemperaturer Behaglig innetemperatur med hjälp av reglerteknik!

Läs mer

Reglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27

Reglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27 Reglerteknik M3, 5p Tentamen 2008-08-27 Tid: 08:30 12:30 Lokal: M-huset Kurskod: ERE031/ERE032/ERE033 Lärare: Knut Åkesson, tel 0701-749525 Läraren besöker tentamenssalen vid två tillfällen för att svara

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK

TENTAMEN I REGLERTEKNIK TENTAMEN I REGLERTEKNIK SAL: TER2 TID: 22 oktober 25, klockan 4-9 KURS: TSRT3 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-339 BESÖKER SALEN: 5., 7. KURSADMINISTRATÖR:

Läs mer

2. Reglertekniska grunder

2. Reglertekniska grunder 2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler oc system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som åverkar systemets beteende, oc utsignaler, som beskriver dess beteende. Beroende å sammananget

Läs mer

INLÄMNINGSUPPGIFT I. REGLERTEKNIK I för STS3 & X4

INLÄMNINGSUPPGIFT I. REGLERTEKNIK I för STS3 & X4 SYSTEMTEKNIK, IT-INSTITUTIONEN UPPSALA UNIVERSITET DZ 2015-09 INLÄMNINGSUPPGIFTER REGLERTEKNIK I för STS3 & X4 INLÄMNINGSUPPGIFT I Inlämning: Senast fredag den 2:a oktober kl 15.00 Lämnas i fack nr 30,

Läs mer

Nyquistkriteriet. Henrik Sandberg. Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014

Nyquistkriteriet. Henrik Sandberg. Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014 Nyquistkriteriet Henrik Sandberg Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014 Upplägg Harry Nyquist Frekvensanalys i sluten loop Nyquistkriteriet Exempel Argumentvariationsprincipen Harry Nyquist (1889-1976)

Läs mer

n ζω ωn π ω ω System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Bodediagram System av första ordningen K K 2 2 2

n ζω ωn π ω ω System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Bodediagram System av första ordningen K K 2 2 2 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret 8.. Bodediagram System av första ordige K G ( s) =, atages K > Ts + A ( ) = G( j) = R K + ( T ) ϕ( ) = arg G( j) = arcta( T) Detta ka framställas

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system

Läs mer

EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK

EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK Föreläsning 6: Kompensering (forts.), robusthet och känslighet Kursinfo: Extra material Introduktion till Laplacetransformen: https://www.kth.se/social/upload/527ac1d0f276540a852d0

Läs mer

Reglerteknik AK. Tentamen kl

Reglerteknik AK. Tentamen kl Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 20 0 20 kl 8.00 3.00 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

Reglerteknik, TSIU 61

Reglerteknik, TSIU 61 Reglerteknik, TSIU 61 Föreläsning 7 Regulatorkonstruktion i Bodediagram Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(18) 1. Sammanfattning av föreläsning 6 2. Hur ställer man in en PID-regulator

Läs mer

A. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna.

A. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna. Man använder en observatör för att skatta tillståndsvariablerna i ett system, och återkopplar sedan från det skattade tillståndet. Hur påverkas slutna systemets överföringsfunktion om man gör observatören

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00 REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 05 04 08, kl. 8.00 3.00. (a) Signalen u har vinkelfrekvens ω = 0. rad/s, och vi läser av G(i0.) 35 och arg G(i0.)

Läs mer

REGLERTEKNIK Laboration 3

REGLERTEKNIK Laboration 3 Lunds Tekniska Högskola Avdelningen för Industriell Elektroteknik och Automation LTH Ingenjörshögskolan vid Campus Helsingborg REGLERTEKNIK Laboration 3 Modellbygge och beräkning av PID-regulator Inledning

Läs mer

Reglerteknik M3. Inlämningsuppgift 3. Lp II, 2006. Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:...

Reglerteknik M3. Inlämningsuppgift 3. Lp II, 2006. Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:... Reglerteknik M3 Inlämningsuppgift 3 Lp II, 006 Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:... Uppskattad tid, per person, för att lösa inlämningsuppgiften:... Godkänd Datum:... Signatur:... Påskriften av

Läs mer

Reglerteknik Z2. Kurskod: SSY 050 och ERE080. Tentamen 2006-08-24

Reglerteknik Z2. Kurskod: SSY 050 och ERE080. Tentamen 2006-08-24 Reglerteknik Z2 Kurskod: SSY 050 och ERE080 Tentamen 2006-08-24 Tid: 14:00-18:00, Lokal: V-huset Lärare: Goran Cengic tel 3729, 073-903 70 10 Tentamen omfattar 25 poäng, där betyg tre fordrar 10 poäng,

Läs mer

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK

TENTAMEN I REGLERTEKNIK TENTAMEN I REGLERTEKNIK SAL: TER TID: 22 augusti 2, klockan 4. - 9. KURS: TSRT3, TSRT5, TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR: ANSVARIG LÄRARE: Svante Gunnarsson, 3-28747,

Läs mer

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Martin Enqvist Överföringsfunktioner, poler och stegsvar Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(8) Repetition: Öppen styrning & återkoppling 4(8)

Läs mer

Tentamen i Reglerteknik, 4p för D2/E2/T2

Tentamen i Reglerteknik, 4p för D2/E2/T2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Data- och Elektroteknik (IDE) Tentamen i Reglerteknik, 4p för D2/E2/T2 Tid: Måndagen den 28 maj kl.9.-13. 27 Sal: R1122 Tillåtna hjälpmedel: Valfri

Läs mer

TENTAMEN I TSRT19 REGLERTEKNIK

TENTAMEN I TSRT19 REGLERTEKNIK SAL: XXXXX TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK TID: 25-8-2 kl. 8:-3: KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Inger Erlander Klein, tel. 3-28665,73-9699 BESÖKER

Läs mer

Liten MATLAB introduktion

Liten MATLAB introduktion Liten MATLAB introduktion Denna manual ger en kort sammanfattning av de viktigaste Matlab kommandon som behövs för att definiera överföringsfunktioner, bygga komplexa system och analysera dessa. Det förutsätts

Läs mer

Tentamen i Reglerteknik, för D2/E2/T2

Tentamen i Reglerteknik, för D2/E2/T2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Data- och Elektroteknik (IDE) Tentamen i Reglerteknik, för D2/E2/T2 Tid: Lördagen den 15 Augusti kl.9.-13. 29 Sal: Tillåtna hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)

Fredrik Lindsten Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) Innehåll föreläsning 12 2 Reglerteknik, föreläsning 12 Sammanfattning av kursen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY) 1. Sammanfattning

Läs mer

Tentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30

Tentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30 Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20

Läs mer

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 25 oktober 2013, kl. 13.00-16.00 Plats: Magistern Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 018-4713070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 14.30. Tillåtna

Läs mer

REGLERTEKNIK I BERÄKNINGSLABORATION 2

REGLERTEKNIK I BERÄKNINGSLABORATION 2 UPPSALA UNIVERSITET Systemteknik/IT-institutionen HN 0608, 1001 REGLERTEKNIK I BERÄKNINGSLABORATION 2 1. Bode och Nyquistdiagram och stabilitetsmarginaler 2. Systemdynamik, stabilitet och rotort Förberedelseuppgifter:

Läs mer

Tentamen i Styr- och Reglerteknik, för U3 och EI2

Tentamen i Styr- och Reglerteknik, för U3 och EI2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Data- och Elektroteknik (IDE) Tentamen i Styr- och Reglerteknik, för U3 och EI2 Tid: Onsdagen den 12 Augusti kl. 9-13, 29 Sal: - Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 4. Sammanfattning av föreläsning 3 Rotort Mer specifikationer Nollställen (om vi hinner)

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 4. Sammanfattning av föreläsning 3 Rotort Mer specifikationer Nollställen (om vi hinner) Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 4 Sammanfattning av föreläsning 3 Rotort Mer specifikationer Nollställen (om vi hinner) Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi introducerade PID-regulatorn

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4 Föreläsningar 1 / 16 TSRT91 glerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist glerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27 Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet Skrivet av: Hans Beijner 003-07-7 Inledning All text i detta dokument är skyddad enligt lagen om Copyright och får ej användas, kopieras eller citeras

Läs mer

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10 Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 10: Fasplan Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av föreläsning 9. Nyquistkriteriet 2(25) Im G(s) -1/k Re -k Stabilt om G inte omsluter 1/k. G(i w) Sammanfattning

Läs mer

Reglerteknik. Datum: 20/ Tid: Examinator: Leif Lindbäck ( ) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga, miniräknare.

Reglerteknik. Datum: 20/ Tid: Examinator: Leif Lindbäck ( ) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga, miniräknare. Tentamen i Reglerteknik (IE1304) 20/3-2014 ES, Elektroniksystem Reglerteknik Kurskod: IE1304 Datum: 20/3-2014 Tid: 09.00-13.00 Examinator: Leif Lindbäck (7904425) Hjälpmedel: Formelsamling, dimensioneringsbilaga,

Läs mer

Datorövning 2 Matlab/Simulink. Styr- och Reglerteknik för U3/EI2

Datorövning 2 Matlab/Simulink. Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Dator- och Elektroteknik 08/ Thomas Munther Datorövning 2 Matlab/Simulink i Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Laborationen förutsätter en del förberedelser

Läs mer

Kompletterande anteckningar för Mät- & Reglerteknik 1

Kompletterande anteckningar för Mät- & Reglerteknik 1 Kompletterande anteckningar för Mät- & Reglerteknik 1 Matias Waller 12 september 2011 Föreliggande anteckningar skall tjäna som ett stöd för undervisningen i Mät- & Reglerteknik 1: Någon ambition att göra

Läs mer

Tentamen i Styr- och Reglerteknik, för U3 och EI2

Tentamen i Styr- och Reglerteknik, för U3 och EI2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Data- och Elektroteknik (IDE) Tentamen i Styr- och Reglerteknik, för U3 och EI2 Tid: Onsdagen den 2 december kl. 9-13, 29 Sal: R1122 Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

TENTAMEN REGLERTEKNIK TSRT15

TENTAMEN REGLERTEKNIK TSRT15 TENTAMEN REGLERTEKNIK TSRT5 SAL: TER3+4 TID: 8 december 2, klockan 4-9 KURS: TSRT5 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL BLAD: 3 exklusive försättsblad ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg JOURHAVANDE

Läs mer

7. Inställning av PID-regulatorer

7. Inställning av PID-regulatorer 7. Inställning av PID-regulatorer PID-regulator är en generisk benämning på en typ av regulatorer där en linjär kombination av proportionell, integrerande och deriverande verkan av ett reglerfel används

Läs mer

REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN

REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN Automatisk styra processer. Generell metodik Bengt Carlsson Huvudantagande: Processen kan påverkas med en styrsignal (insignal). Normalt behöver man kunna mäta

Läs mer

Tentamen i Reglerteknik, för D2/E2/T2

Tentamen i Reglerteknik, för D2/E2/T2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Data- och Elektroteknik (IDE) Tentamen i Reglerteknik, för D2/E2/T2 Tid: Torsdagen den 3 Juni kl.9.-13. 21 Sal: R1122 Tillåtna hjälpmedel: Valfri

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK I

TENTAMEN I REGLERTEKNIK I TENTAMEN I REGLERTEKNIK I SAL: TER2 TID: 6 mars 2, klockan 8-3 KURS: TSRT9, Reglerteknik I PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD): 9 ANSVARIG

Läs mer

ERE 102 Reglerteknik D Tentamen

ERE 102 Reglerteknik D Tentamen CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE Reglerteknik D Tentamen 5--3 8.3.3 M Examinator: Bo Egardt, tel 37. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd

Läs mer

Fjärde upplagan och tredje upplagan (båda 2006)

Fjärde upplagan och tredje upplagan (båda 2006) Hans Norlander, IT-inst., Uppsala universitet, 2007-01-25 Reglerteknik Grundläggande teori Torkel Glad och Lennart Ljung En jämförelse mellan fjärde upplagan (2006) och tredje (2006) respektive andra upplagan

Läs mer

ÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I

ÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I INSTITUTIONEN FÖR KEMITEKNIK Laboratoriet för reglerteknik ÅBO AKADEMI DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIK I Grundkurs Kurt-Erik Häggblom Biskopsgatan 8 FIN-0500

Läs mer

LABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK. Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS

LABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK. Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS LABORATIONSINSTRUKTION DIGITAL REGLERTEKNIK Lab nr. 3 DIGITAL PI-REGLERING AV FÖRSTA ORDNINGENS PROCESS Obs! Alla förberedande uppgifter skall vara gjorda innan laborationstillfället! Namn: Program: Laborationen

Läs mer

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2 UPPSALA UNIVERSITET AVDELNINGEN FÖR SYSTEMTEKNIK EKL och PSA, 2002 BC, 2009 MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM DATORSTÖDD RÄKNEÖVNING OCH INLUPP 2 1. Överföringsfunktioner 2. Tillståndsmetodik Förberedelseuppgifter:

Läs mer

Processidentifiering och Polplacerad Reglering

Processidentifiering och Polplacerad Reglering UmU/TFE Laboration Processidentifiering och Polplacerad Reglering Introduktion Referenser till teoriavsnitt följer här. Processidentifiering: Kursbok kap 17.3-17.4. Jämför med det sista exemplet i kap

Läs mer

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den definieras

Läs mer

Reglerteknikens grunder

Reglerteknikens grunder Reglerteknikens grunder Formelsamling Bengt Lennartson Introduktion Öppen styrning v r Styrfunktion u Styrdon System y Återkopplad reglering v r e Regulator u Styrdon System y y = processens utsignal

Läs mer

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2

MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2 UPPSALA UNIVERSITET AVDELNINGEN FÖR SYSTEMTEKNIK EKL och PSA, 2002, rev BC 2009, 2013 MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM DATORSTÖDD RÄKNEÖVNING OCH INLUPP 2 1. Överföringsfunktioner 2. Tillståndsmetodik Förberedelseuppgifter:

Läs mer

Stabilitetsanalys och reglering av olinjära system

Stabilitetsanalys och reglering av olinjära system Laboration i Reglerteori, TSRT09 Stabilitetsanalys och reglering av olinjära system Denna version: 18 januari 2017 3 2 1 0 1 2 3 0 10 20 30 40 50 REGLERTEKNIK Namn: Personnr: AUTOMATIC LINKÖPING CONTROL

Läs mer

Impulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar

Impulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar 6 Sjätte lektionen 6.1 Transformvärlden 6.1.1 Repetera Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop och hur de betecknas. Vad beskriver de? Impulssvaret Amplitudsvaret (frekvensgången)

Läs mer

Simulering och reglerteknik för kemister

Simulering och reglerteknik för kemister Simulering och reglerteknik för kemister Gå till http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm och gå igenom några av följande exempel. http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm Följ gärna de beskrivningarna

Läs mer

Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys

Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys Frekvensplanet och Bode-diagram Frekvensanalys Signaler Allt inom elektronik går ut på att manipulera signaler genom signalbehandling (Signal Processing). Analog signalbehandling Kretsteori: Nod-analys,

Läs mer

Datorövning Matlab/Simulink. Styr- och Reglerteknik för U3/EI2

Datorövning Matlab/Simulink. Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Dator- och Elektroteknik 0803/ Thomas Munther Datorövning Matlab/Simulink i Styr- och Reglerteknik för U3/EI Laborationen förutsätter en del förberedelser

Läs mer

1. Inledning. 1. Inledning

1. Inledning. 1. Inledning För de flesta människor är ett relativt okänt begrepp trots att var och en i det dagliga livet ständigt kommer i kontakt med och t.o.m. själv utövar. Reglerteknik är varje rationell metod att styra eller

Läs mer

TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 9 december 03, kl. 8.00-.00 Plats: Magistern Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell

Läs mer

8.1.1 Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid

8.1.1 Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid 8. Frekvesaalys Vi har hittills studerat systems egeskaper både i tidsplaet (t.ex. stegsvar) och i Laplaceplaet (t.ex. stabilitet). I detta kapitel skall vi aalysera systemegeskaper i frekvesplaet geom

Läs mer

Styr- och Reglerteknik för U3/EI2

Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Dator- och Elektroteknik 071118/ Thomas Munther LABORATION 4 i Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Målsättning: Använda tumregler för att ställa

Läs mer

Tentamen i Systemteknik/Processreglering

Tentamen i Systemteknik/Processreglering Institutionen för REGLERTEKNIK Tentamen i Systemteknik/Processreglering 22 augusti 2011 kl 14 19 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen

Läs mer

Avsnitt 5, introduktion.

Avsnitt 5, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Temperaturreglering. En jämförelse mellan en P- och en PI-regulator. θ (t) Innehåll Målsättning sid 2

Temperaturreglering. En jämförelse mellan en P- och en PI-regulator. θ (t) Innehåll Målsättning sid 2 2008-02-12 UmU TFE/Bo Tannfors Temperaturreglering En jämförelse mellan en P- och en PI-regulator θ i w θ θ u θ Innehåll Målsättning sid 2 Teori 2 Förberedelseuppgifter 2 Förutsättningar och uppdrag 3

Läs mer

Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19

Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.

Läs mer

Tentamen i reglerteknik SSY310/ERE091. Torsdagen den 4 juni 2015 kl. 14:00

Tentamen i reglerteknik SSY310/ERE091. Torsdagen den 4 juni 2015 kl. 14:00 Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för signaler och system Avdelningen för reglerteknik, automation och mekatronik Tentamen i reglerteknik SSY31/ERE91 Torsdagen den 4 juni 215 kl. 14: 1. Längd: 4

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av föreläsning 7 2(27) H 2 - och H - syntes. Gör W u G wu, W S S, W T T små. H 2

Läs mer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med

Läs mer

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y (TSRT12)

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y (TSRT12) TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y (TSRT12) SAL: U1, U3, U4 TID: 10 juni 2011, klockan 14-19 KURS: TSRT12 PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR: 12 ANSVARIG LÄRARE: David Törnqvist, 013-281882,

Läs mer

EXAMENSARBETE. Optimering av stripper och metanolanläggning

EXAMENSARBETE. Optimering av stripper och metanolanläggning EXAMENSARBETE 2008:020 CIV Optimering av stripper och metanolanläggning Peter Segerstedt Luleå tekniska universitet Civilingenjörsprogrammet Elektroteknik Institutionen för Systemteknik Avdelningen för

Läs mer

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren

Läs mer

7. Sampling och rekonstruktion av signaler

7. Sampling och rekonstruktion av signaler Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid

Läs mer

Förstärkarens högfrekvensegenskaper. Återkoppling och stabilitet. Återkoppling och förstärkning/bandbredd. Operationsförstärkare.

Förstärkarens högfrekvensegenskaper. Återkoppling och stabilitet. Återkoppling och förstärkning/bandbredd. Operationsförstärkare. FÖRELÄSNING 5 Förstärkarens högfrekvensegenskaper Återkoppling och stabilitet Återkoppling och förstärkning/bandbredd Operationsförstärkare Kaskadkoppling Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola

Läs mer

Styr- och Reglerteknik för U3/EI2

Styr- och Reglerteknik för U3/EI2 Högskolan i Halmstad Sektionen för Informationsvetenskap, Dator- och Elektroteknik 08/ Thomas Munther LABORATION i Styr- och Reglerteknik för U/EI Målsättning: Använda tumregler för att ställa in regulatorer

Läs mer

En översikt av Kap 7. Tillbakablick, återkoppling Informationsteknologi Reglering av vätskenivån i en tank. Framkoppling. Informationsteknologi

En översikt av Kap 7. Tillbakablick, återkoppling Informationsteknologi Reglering av vätskenivån i en tank. Framkoppling. Informationsteknologi Bengt Carlsson Avd f... och även i reningsverk En översikt av Kap 7 Tekniken i Kap 7 är vanlig i många industriella tillämpningar (t ex kärnkraftver och för klimatreglering i byggnader llbakablick, återkoppling

Läs mer

Exempel 1: Flöde och temperatur i dusch. Processreglering Föreläsning Y. Exempel 2: Nivå och temperatur i tank

Exempel 1: Flöde och temperatur i dusch. Processreglering Föreläsning Y. Exempel 2: Nivå och temperatur i tank Processreglering Föreläsning Y Exempel : Flöde och temperatur i dusch Multivariabel reglering Flera in- och utsignaler Stabilitet och interaktion Para ihop in- och utsignaler (RGA) Eliminera interaktion

Läs mer

TENTAMEN I TSRT07 INDUSTRIELL REGLERTEKNIK

TENTAMEN I TSRT07 INDUSTRIELL REGLERTEKNIK TENTAMEN I TSRT07 INDUSTRIELL REGLERTEKNIK SAL: ISY:s datorsalar (Asgård) TID: 2016-08-17 kl. 8:00 12:00 KURS: TSRT07 Industriell reglerteknik PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG

Läs mer

Industriella styrsystem, TSIU04. Föreläsning 1

Industriella styrsystem, TSIU04. Föreläsning 1 Industriella styrsystem, TSIU04 Föreläsning 1 Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Mål Ge kunskaper och färdigheter om reglerteknik närmare verkligheten. Mera precist: Trimning av PID-regulatorer.

Läs mer

System, Modeller och Metoder

System, Modeller och Metoder SMS27 Laboration 2 System, Modeller och Metoder Seriekopplade, parallellkopplade och återkopplade system Due Date: February 7 För att bli godkänd krävs: att samtliga figurer är korrekt ifyllda att figurerna

Läs mer

Industriell reglerteknik: Föreläsning 4

Industriell reglerteknik: Föreläsning 4 Föreläsningar / 25 Industriell reglerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]

1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ] TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift

Läs mer

Elektro och Informationsteknik LTH Laboration 4 Tidsplan, frekvensplan och impedanser

Elektro och Informationsteknik LTH Laboration 4 Tidsplan, frekvensplan och impedanser Elektro och Informationsteknik LTH Laboration 4 Tidsplan, frekvensplan och impedanser Elektronik för D ETIA01 Andrés Alayon Glasunov Palmi Thor Thorbergsson Anders J Johansson Lund Mars 2009 Laboration

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Transformer och differentialekvationer (MVE100) Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 19 januari 211 Transformer och differentialekvationer (MVE1) Styckvis definierade funktioner forts. Laplacetransformen Som nämnts i inledningen

Läs mer