n ζω ωn π ω ω System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Bodediagram System av första ordningen K K 2 2 2

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "n ζω ωn π ω ω System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Bodediagram System av första ordningen K K 2 2 2"

Transkript

1 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret 8.. Bodediagram System av första ordige K G ( s) =, atages K > Ts + A ( ) = G( j) = R K + ( T ) ϕ( ) = arg G( j) = arcta( T) Detta ka framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det ormerade amplitudförhålladet A R / K och fasförskjutige ritas som fuktioer av frekvese: 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret System av adra ordige Ett system av adra ordige har överförigsfuktioe Vi har tidigare härlett ϕ K G( s) =, atages K > s + ζ s + A R = K ζ ( ( / ) ) + ( / ) ζ/ arcta om ( / ) = ζ / arcta om ( / ) π AR/K Fasförskjutig (grader) T T Vi har också visat att vi vid vikelfrekvese = ζ får e resoastopp med amplitudförhålladet A R K = ζ ζ

2 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret AR/K ζ = Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret Dödtid För e dödtid L med överförigsfuktioe Gs () = e Ls har vi härlett A R ( ) = ϕ( ) = L Vid växade frekves kommer de egativa fasförskjutige att öka obegräsat, och desto sabbare ju större dödtide är. / AR ζ =. fasförskjutig ( o ) fasförskjutig ( o ) 3 4 L 8 / 5 6 L

3 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret Elemet i serie För seriekopplade system med totala överförigsfuktioe G = G G G har vi visat att totala amplitudförhålladet och fasförskjutige ges av A = A A A R R, R, R, ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ Logaritmerig av uttrycket för amplitudförhålladet ger log( A ) = log( A ) + log( A ) + + log( A ) R R, R, R, Eftersom amplitudaxel i Bodediagrammet är logaritmisk, fås totala amplitudförhålladet av ett seriekopplat system geom att helt ekelt addera de eskilda delsystemes logaritmerade amplitudförhållade i Bodediagrammet. Eftersom fasförskjutigsaxel är lijär, fås totala fasförskjutige geom att addera de eskilda delsystemes fasförskjutigar. 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3. Bodes stabilitetskriterium r + y m Överförigsfuktioe för de öppa sliga ges av kretsöverförige G k G = G G G G Atag Gm = Gv =, G G G c k p G m k m p v c,s e =,5s + och Gc = Kc. Då blir,s c G v Ke Kc = = e,5s+,5s+,s G p y Vid frekvese = 7 rad/mi (atages att dödtide och tidskostate är uttryckta i miuter) fås fasförskjutige ϕ = arcta(,5 7), 7 8 = π De frekves där kretsöverföriges totala fasförskjutig är 8 kallas för systemets kritiska frekves c. Amplitudförhålladet vid de kritiska frekvese blir Kc AR(7) =,7 K + (,5 7) Om K c = /,7 = 8,56 fås A R (7) =. c 8-8-

4 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vi gör följade takeexperimet: Atag att ledvärdet r = si( 7t) och kretse är öppe. Då blir y m = A R (7) si(7 t π ) = si(7 t ) efter e stud. Om kretse då slutes med r =, blir G c :s isigal r y m = si(7 t), dvs samma som tidigare. Kretse fortsätter m.a.o. att oscillera av sig själv!. Atag att K c > 8,56, dvs A R > vid c = 7. Om vi upprepar samma som ova, blir y m = A R si(7 t) i öppe krets. y m:s amplitud är då större ä r :s amplitud. När kretse slutes, har isigale till G c således större amplitud ä tidigare, det ya y m blir äu större, vilket medför expoetiellt ökade oscillatioer. Kretse är istabil!. Atag att K c < 8,56, dvs A R < vid c = 7. När kretse slutes fås då expoetiellt avtagade oscillatioer. Kretse är stabil! Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är istabilt om A R > vid de kritiska frekvese c för kretsöverförige G k ; systemet är stabilt om AR( c) <. Märk att det är kretsöverförige G k för det oreglerade ( öppa ) systemet som udersökes, me det avgör stabilitete för det återkopplade ( sluta ) systemet med överförigsfuktioe, där G är e godtycklig stabil G + Gk överförigsfuktio. Vid följereglerig är G= G. k 8-8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vid kritiska frekvese gäller Gk(j c) = och arg Gk( j c) = π som ger jarg Gk(j c) jπ Gk(j c) = Gk(j c)e = e = cos( π) jsi( π) = j = dvs s = jc är e lösig till karakteristiska ekvatioe + G ( s) =. k I praktike bör följade två steg utföras vid stabilitetstest eligt Bodes stabilitetskriterium:. Bestäm de kritiska frekvese c, d.v.s. de frekves som kretsöverförige fasförskjuter med π, dvs 8.. Bestäm kretsöverföriges amplitudförhållade vid de kritiska frekvese ( = AR( c)). Om A R ( c ) <, är de sluta kretse stabil, aars istabil. Dessa två steg ka i si tur utföras på tre olika sätt:. Grafiskt geom att rita ett Bode-diagram för kretsöverförige. De kritiska frekvese c ka utläsas ur fasdiagrammet, och amplitudförhålladet AR( c) vid c ur amplituddiagrammet.. Numeriskt, geom att lösa ekvatioe π = ϕ k ( ), där ϕ k ( ) är kretsöverföriges fasförskjutig. Lösige är = c. Därefter beräkas AR( c) eligt käda formler. 3. Geom simulerig av det återkopplade systemet med e P- regulator på samma sätt som K c,max och c bestämdes experimetellt i avs Eftersom Kc,max AR ( c) =, A ( ) = / K. fås R c c,max 8-3

5 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övig 8.3 Bestäm kritiska frekvese och amplitudförhålladet vid desamma för ett system med kretsöverförige Gk() s = G() s G() s G3() s G4() s där 4s,5 G() s = e, G() s = s +, G,8 3() s =, G4() s = s+ 5s+ Grafisk lösig med Bodediagram G L k G 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övig 8.4 E process som ka modelleras som e re dödtid regleras med e P-regulator. Reglervetile och mätistrumetet har försumbar dyamik och deras förstärkigar är K v =,5 och K m =,8. När e lite förädrig av ledvärdet görs uppstår svägigar med e kostat amplitud och periode miuter. a) Vilke är regulators förstärkig? b) Hur stor är dödtide? 8.3. Nyquists stabilitetskriterium I ett Nyquistdiagram uppritas realdele av G k, Re Gk (j ), som fuktio av imagiärdele av G k, Im Gk ( j ). De kurva som uppstår kallas Nyquistkurva. Vi börjar med de eklaste variate av Nyquistkriteriet, som är helt ekvivalet med Bodes stabilitetskriterium. argg k G L 3 Det föreklade Nyquist-kriteriet: Om kretsöverförige G k ite har poler i högra halvplaet (dvs är stabilt, ev. med itegrator) är det återkopplade systemet stabilt om Nyquistkurva ( = ) för G k skär egativa realaxel till höger om pukte (-,), aars är det återkopplade systemet istabilt

6 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.. Nyquistkurvora för systemet i Övig 8.3, med K c =,, 49 och, visas i figure. ImG k Imag(G L (j)) K c =, stabilt K c =.49, på gräse K c =, istabilt Real(G L (j)) ReG k Övig 8.5 Udersök stabilitet vid P-reglerig av e dödtid. Kretsöverförige är Kc e Ls. a) Hur ser Nyquistkurva ut? b) Vilket blir stabilitetsitervallet för K c? 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Stabilitetsmargialer Förstärkigsmargial Förstärkigsmargiale (amplitudmargiale) A m säger med vilke faktor kretsförstärkige ka öka uta att de sluta kretse blir istabil. Matematiskt ges förstärkigsmargiale av Am = AR( c) där A R är amplitudförhålladet för kretsöverförige. För stabilitet krävs att A m >. Förstärkigsmargiale ger robusthet ite bara mot variatioer i processförstärkige, uta äve mot variatioer i adra processparametrar (dvs modellfel i allmähet). Exempel 8.3. I börja av avsitt 8.3 studerade vi kretsöverförige Gk =. Bestäm e P-regulator som har för-,s Ke c,5s + stärkigsmargiale A m =, 7. Är de sluta kretse fortfarade stabil om dödtide i stället för, är,5 miuter? Frå tidigare har vi c = 7 rad/mi, AR( c) =,7Kc. Vi kräver A ( ) = A = /,7 som ger K c = 5. R c m För att kotrollera om de sluta kretse är stabil med K c = 5 om dödtide L =,5 mi, ka vi upprita ett Bodediagram för G k med dessa parametrar. Frå diagrammet ka vi på samma sätt som i övig 8.3 avläsa kritiska frekvese c och amplitudförhålladet AR( c). Om AR( c) <, är systemet stabilt

7 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Ett aat sätt är att beräka c och AR( c) umeriskt. För ett första ordiges system med tidskostate T och dödtide L fier vi c geom att lösa ekvatioe π = Lc arcta( Tc) dvs här (efter teckebyte) π =,5c + arcta(,5 c) Vi fier sabbt lösige iterativt med direkt substitutio frå sambadet c = [ π arcta(,5 c)] /,5 Lösige är c =,6 rad/mi. Ett första ordiges system med förstärkige K och tidskostate T (dödtide påverkar ite) har amplitudförhålladet K AR ( ) = + ( T) T =,5, K = Kc = 5 och = c =,6 ger AR( c),85<, vilket betyder att systemet fortfarade är stabilt om dödtide förädras frå L =, till L =,5 mi. 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Fasmargial Fasmargiale ϕ m ager hur mycket mer egativ fasförskjutige kude vara vid de frekves där kretsöverförige har förstärkige uta att de sluta kretse blir istabil. Fasmargiale ger robusthet ite bara mot variatioer i processes fasförskjutig, uta äve mot variatioer i adra processparametrar (dvs modellfel i allmähet) Bodes stabilitetskriterium säger att AR( c) <, dvs om vi vid e frekves g har AR( g) =, så kräver stabilitet att vi vid dea frekves har e midre egativ fasförskjutig ä 8. Frekvese g kallas (amplitudkurvas) överkorsigsfrekves. Matematiskt defiieras fasmargiale (här uttryckt i radiaer) ϕm = ϕ ( g) + π, där g ges av AR( g) =. För stabilitet krävs att ϕ m >. ϕ( g) och AR( g) skall givetvis beräkas för kretsöverförige. Exempel 8.4. Bestäm de P-regulator, för samma krets som i exempel 8.3, som har ϕ m = 3. Är de sluta kretse fortfarade stabil om dödtide i stället för, är,5 miuter? Vi söker först g så att ϕ( g ) = ϕm 8 = 5 = 5 π / 6. För att fia lösige, ka vi rita ett Bodediagram för processes överförigsfuktio G p (dvs G k med K c = ). Vi fier då g vid de frekves där faskurva skär 5. Det skall gälla att KcAR( g) =, där AR( g) är amplitudförhålladet för G p vid = g, som ka avläsas ur Bodediagrammet. Vi får då Kc = / AR( g)

8 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Förstärkige påverkar ite fasförskjutige. Precis som i exempel 8.3, är kritiska frekvese för L =,5 mi c =,6 rad/mi. Vi ka avläsa AR( c) frå Bodediagrammet för G p. A ( ) > / K, är systemet istabilt då L =,5. Om R c c Vi ka också göra beräkigara ret umeriskt. Frekvese g ka lösas ur 5 π / 6 =,g + arcta(,5 g) Iterativ lösig geom direkt substitutio frå sambadet = [5 π / 6 arcta(,5 )] /, g ger sabbt lösige g =, rad/mi. AR( g) = motsvarar Kc A R (,) = = + (,5,) som har lösige K c = 6,4. Om dödtide L =,5 mi, är som ova kostaterats c =,6 rad/mi. Vi får då 6,4 AR( c) = AR(, 6) =, 4 > + (,5,6) vilket betyder att processe är istabil om L =,5 mi då K c = 6,4. g 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.5. Förstärkigs- och fasmargialer ka ekelt avläsas ur ett Bodediagram då regulator är give. För kretsöverförige Gk =,s Ke c,5s + med K c = 5 fås Bodediagrammet eda med agiva förstärkigs- och fasmargialer. G L Gk argg k G L /A m 5 5 fasmargial c g

9 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Numerisk lösig av frekvessambad I exempel 8.3 och 8.4 löstes fasekvatioe m.a.p. frekvese med e ekel umerisk iteratiosmetod. Metode förutsätter att systemet har e dödtid. Så är dock ite alltid fallet, me äve om det fis e dödtid fugerar de ekla metode ite alltid. Vi skall här ta fram e bättre metod för lösig av frekvese både ur fasekvatioe och amplitudekvatioe för ett :te ordiges system med eller uta dödtid. Fasekvatioe Vi utgår frå e allmä överförigsfuktio Gs () K e Ls = ( ) ( N ) Ts Ts T + s + T s där systemets poler och ollställe behöver ite vara reella, trots att vi aväder dea form. Fasekvatioe för detta system har forme ϕ = L arcta( T) + arcta( T) r N i i= i= + där ϕ r är fasförskjutige uttryck i radiaer/tidsehet. Om vi öskar lösa ut kritiska frekvese = c, är ϕr = π överkorsigsfrekvese = g, är ϕr = π + ϕm, där ϕ m är fasmargiale uttryckt i radiaer/tidsehet Vi defiierar f ( ) = ϕ L arcta( T) + arcta( T) r N i i= i= + vilket iebär att vi vill lösa ekvatioe f ( ) =. E iterativ lösig eligt formel k+ = k + α f ( k) i i Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system kovergerar då om α väljes så att < α f ( ) <, där k N k i i L k i= + Ti k i= + + Ti k d f( ) T T f ( k ) = + d ( ) ( ) Av problemets atur följer att f ( ) > i ärhete av lösige till f ( ) =. Om vi som startlösig gissar ett sådat att f ( ) >, ka vi på goda gruder välja α = f ( ) Eklast är att starta iteratioe frå = om f () >. Vi fördubblar dock α :s värde och väljer N α = L+ Ti Ti i= i= + Det fis dock ige garati för att detta ger sabb koverges. Ma ka försöka förbättra kovergese geom att t.ex. fördubbla α :s värde dock med risk för att det börjar divergera. Om systemet har komplexa poler eller ollställe uppträder dessa alltid som komplexkojugerade sådaa. Vi har då också i uttrycke ova två komplexkojugerade tidskostater T j och T j +, som satisfierar uttrycket j+ ζ ( Ts+ )( T s+ ) = ( s + s+ )/ j där ζ och är de två poleras/ollställeas relativa dämpig respektive aturliga egefrekves. Vi har Tj + Tj+ = ζ / och ζ arcta( Tj) + arcta( Tj+ ) = arcta som ka substitueras i uttrycke ova. 8-33

10 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Amplitudekvatioe Om vi vill bestämma systemets fasmargial med e give regulator behöver vi överkorsigsfrekvese g, som satisfierar ekvatioe Gk( g) =, där G k är kretsöverförige, dvs det oreglerade systemet kopplat i serie med regulator. Ofta är regulator i detta skeda e P-regulator, me vi skall här också beakta att vi ka ha e regulator med itegrerade verka. Vi skriver kretsöverförige i forme Gk() s = GI() s G() s där Gs ( ) har samma allmäa form som för fasekvatioe. Om det fis e regulator med itegratiostide T i > är GI() s = / Ts i, aars är G I () s =. Reste av regulators överförigsfuktio igår i Gs. ( ) Amplitud- (eller förstärkigs- eller belopps-) kurva är Gk(j ) = GI(j ) G(j ) där G (j ) = / T I i TN T [ + ( T+ ) ] [ + ( ) ] G(j ) = K [ + ( T ) ] [ + ( ) ] Vi defiierar g( ) = G(j ) GI (j ) vilket iebär att vi vill lösa ekvatioe g( ) = för att fia lösige till Gk( g) =. E iterativ lösig eligt formel k+ = k + βg( k) kovergerar då om β väljes så att < β g ( k ) <. Här är g () = då G I () s =, vilket iebär att β = g ( ) är ett olämpligt val om ma har för avsikt att starta iteratioe frå =. Ett bättre startvärde torde = c vara, som ofta är Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system käd, eller ka beräkas, är ma vill beräka g. Här föreslås dock N T β = T + Ti Ti, { i om I-verka T = i= i= + aars dvs samma typ av val som vid lösig av fasekvatioe. Märk att det fis e tidskostat Ti = T, i>, om regulator är e PI- eller PID-regulator, vilket iebär att T då i själva verket förkortas bort frå β. Precis som ova torde detta garatera koverges om systemet ite har mycket speciella egeskaper, me sabb koverges ka ite garateras. Ma har full frihet att t.ex. fördubbla β för att förbättra kovergese. Liksom i fallet med fasekvatioe, utgör komplexa poler eller ollställe iget problem. Ifall T j och T j + är komplexkojugerade, vet vi reda hur summa Tj + T j + beräkas i uttrycket för β. I uttrycket för G(j ) fås ζ ζ 4 Tj+ [ + ( Tj) ][ + ( ) ] = + + Övig 8.6 Bestäm K c,max för edaståede system med frekvesaalys. r G c G m G v G p G =, G =, G =, G = K 5s+ s+ s+ p v m c c y 8-35

11 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet I detta avsitt skall vi visa hur PI-, PD- och PID-regulatorer ka dimesioeras så att giva frekvesplasbaserade stabilitets- och prestadakriterier uppfylls. De aväda stabilitetskriteriera är förstärkigsmargiale A m och fasmargiale ϕ m. För väl iställda regulatorer gäller ofta A m och ϕ m = 45 Överkorsigsfrekvese g är ett prestadarelaterat mått ju högre överkorsigsfrekves, desto sabbare reglerig. Ofta ases att g,3c, där c är kritiska frekvese är systemet regleras med e P-regulator, är ett bra värde Dimesioerig av PI-regulatorer Överförigsfuktioe för e PI-regulator är + Ts i GPI() s = Kc + = Kc Ts i Ts i Itegratiostide Ti 5/ g är ofta ett lämpligt val för e PIregulator. Som Bodediagrammet för PI-regulator visar (på ästa sida), ger detta ca fasförskjutig vid frekvese = g. (Ekvatio (8.8) ger det exaktare värdet,3º.) Ma ka utyttja detta för att t.ex. dimesioera e PI-regulator så att det reglerade systemet får e öskad fasmargial ϕ. Tillvägagågssättet är följade: m. Beräka g som de frekves där fasmargiale är ϕ m + ca. extra som itegrerige kommer att bidra med.. Bestäm regulatorförstärkige K c så att AR( g) =. 3. Itegratiostide är Ti = 5/ g Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Bode-diagrammet för e PI-regulator: G lag GPI K argg PI G lag c T i /T i /T i T i Exempel 8.7. Desiga e PI-regulator för systemet som beskrivs av överförigsfuktioe s e Gs () = s + som ger a) ϕ m = 3 b) ϕ m = 6. Beräka äve regulatoriställigar eligt ågra metoder i avsitt 7.4 och

12 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet a) ϕ m = 3 iebär att vi skall beräka g för fasförskjutige ϕ = = 4 = 7 π / 9. Eligt de iterativa lösigsmetode har vi f ( ) = 7 π /9 arcta( ) och α = / ( + ),. Lösig eligt k+ = k + α f ( k) med startlösige = ger efter gaska måga iteratioer g =,975. Kovergese är lågsam, me ma ka på väge göra bättre gissigar av k är ma ser ugefär vart ma är på väg. Regulatorförstärkige K c fås eligt sambadet c r g g K = A ( ) = + ( ) 9,8 och itegratiostide T i eligt T = 5/ 5,3 b) Löses på aalogt sätt. Resultate fis sammaställda i tabelle. 3 Z-N ITAE kost. i g CHR % kost. CHR % kost. K c 9,8 9, 8,5 6, 7, T i 5,3 3,33 3, 4,,3 6 ITAE följe CHR % följe CHR % följe K c 5,43 4,83 3,5 6, T i 9,36 9,87,, Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) ϕ m = 3 (heldrage), b) ϕ m = 6 (streckad). Vi ka äve testa approximativa sambad:, 4 6 stigtide t s och isvägigstide t 5% g gta( ϕm). a) Formel: t s, 4 ; t 5%,7 Ur figur: t s,9, =,8; t 5%,5 =,5 b) Formel: t s,6; t 5% 6,5 Ur figur: t s 3,6, =, 4 ; t 5% 6, = 5, 8-39

13 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Det är ekelt att göra PI-regulatordimesioerig med hjälp av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås: G G argg G 5 5 Ma ka äve kotrollera de erhålla sluta kretse geom att rita Bodediagram för kretsöverförige Gk = GPIG: G k G L argg k G L Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet 8.4. Dimesioerig av PD-regulatorer E realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överförigsfuktioe GPDf () s = Kc ( + Td s) + Ts f PD-regulator lågpassfilter PDf-regulators fasförskjutig ges av ( Td Tf) arg GPDf (j ) = arcta( Td) arcta( Tf ) = arcta + TT d f Detta ger e positiv fasförskjutig då T d > T f. Ma ka visa att maximal fasförskjutig fås vid frekvese =, där max = ( TT) d f De maximala fasförskjutige är ϕ / T T = d f max arcta ( / TT d f ) PDf-regulators amplitudförhållade är + ( Td ) PDf = Kc + ( Tf ) G (j ) Vid = (dvs statioärtillståd) är GPDf () = Kc och är, GPDf (j ) Kc Td / Tf. Vid frekvese max fås G (j ) = K ( T / T ) PDf max c d f Med parameterdefiitioe b= Td / Tf fås = b / T, ϕ max = arcta[( b ) / ( b)] max d / max GPDf (j max ) = b Kc, GPDf (j ) = b Kc 8-4

14 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Bodediagrammet för PDf-regulator: GPDf G lead K c b b / b argg G lead PDf /T d b/tb d b/t d Td 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet För att göra detta, behöver ma bl.a. bestämma parameter b utgåede frå ett öskat faslyft ϕ max. Ett sätt att uttrycka formel som ka härledas är + siϕmax b =, ϕmax < 9 siϕ max Sambadet fis också uppritat i edaståede figur ϕ max G lead,max G lead,max ϕ max 4 3 o Dimesioerige av e PDf-regulator utgår ifrå att ma öskar e give överkorsigsfrekves g och e give fasmargial ϕ m. Ma vill med adra ord kombiera prestada och robusthet. Det blir aktuellt att aväda e PDf-regulator om det visar sig att öskad fasmargial ite uppås vid de öskade överkorsigsfrekvese med e P- eller PI-regulator. I dea situatio vet ma hur stort faslyft som behövs för att å de öskade fasmargiale. Idé är att placera PDf-regulators maximala faslyft, lika med det behövliga faslyftet, vid frekvese g Dimesioerige går till på följade sätt:. Kotrollera utgåede frå det oreglerade systemet G (dvs G k uta regulator) om öskad fasmargial uppås vid överkorsigsfrekvese g.. Om ite, beräkas behövligt faslyft eligt ϕ = ϕ arg G( j ) π max m g 3. Parameter b beräkas eller avläses frå figure ova. b 8-43

15 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet 4. Deriverigstide Td = b / g beräkas. 5. Filtertidkostate T f = T d / b beräkas. 6. Regulatorförstärkige Kc = sg G() / ( b G(j g) ) beräkas. Det bör oteras att ovaämda förfarade ite garaterar att desigspecifikatioera ås exakt, eftersom PDf-regulator kommer att påverka de kritiska frekvese c för kretsöverförige Gk(j ) = G(j ) GPDf(j ). Fasmargiale för G k (j ) bör därför kotrolleras. Om det visar sig att de ite är tillräcklig, höjs ϕ max ytterligare och desige upprepas. Ytterligare bör oteras att stora värde på parameter b ger kraftig deriverig. Detta medför bl.a. stora variatioer i styrsigale, vilket ormalt ite är öskvärt. För robusthet räcker det ite att fasmargiale är tillräcklig äve förstärkigsmargiale bör vara tillräcklig. Exempel 8.8. Desiga e filtrerade PD-regulator för systemet som beskrivs av överförigsfuktioe s e Gs () = s + så att fasmargiale ϕ m = 6 erhålles vid överkorsigsfrekvese g = rad/tidsehet. Vi har ϕ ( g) = g arcta( g) =, 47 = 4, me eftersom vi öskar ϕ ( g) =, skall fase höjas med. Vi väljer ϕ max = 5 för att ha litet extra margial. Detta kräver b =,5, som ger T d =, 6 och T f =,63. Slutlige fås K c = + ( ) / b = 6,3. g Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Dimesioerig av PID-regulatorer Äve om vi med e PD regulator ka erhålla sabbhet ( högt g i jämförelse med c) och öskad fasmargial ( ϕ m ), kommer vi att få regleravvikelse då itegrerade verka sakas. Det är därför ädamålseligt att ikludera också itegrerade verka. Eklast görs detta med serieforme av e PIDregulator, dvs e regulator där PI-dele och PD-dele seriekopplas som i blockschemat eda. Dessa ka dimesioeras eligt pricipera i de två föregåede avsittet. r G G u y + - PD Serieforme av PID-regulator med ett filter på derivatadele har överförigsfuktioe + Ts i ( + Ts d ) GPIPDf () s = GPI() s GPDf () s = Kc Ts i + Tfs Dess amplitudkurva ges av och faskurva av PI G p + Ti + Td PIPDf = Kc + ( Tf ) G (j ) [ ( ) ][ ( ) ] PIPDf = i d + f arg G (j ) arcta[( T) ] arcta( T ) arcta( T) Följade figur visar amplitudkurvas pricipiella ( asymptotiska ) utseede. 8-45

16 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Amplitudkurva för serieforme av e PID-regulator med derivatafilter: GPIPDf K c G PID b K c K c / b b 4 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet PIPDf-regulator ka också represeteras på stadardforme av e PID-regulator med filtrerad D-verka, dvs τ ds GPIDf () s = κ + + τis + τfs Omräkigssambade är τi TT i d τi = Ti + Td Tf, κ = K, τd = Tf, τf = Tf T τ i Exempel 8.8. E process har överförigsfuktioe 3 Gs () = 4/( + s). Bestäm e PID-regulator som ger g = rad/s och fasmargiale 35. De olika stege i ett Bodediagram: i /T =. /T i g d b/t = b/t b d g d = g Td Vi ka dimesioera PID-regulator eligt följade priciper utgåede frå e öskad överkorsigsfrekves g och fasmargial ϕ m :. Beräka itegratiostide eligt Ti = 5/ g.. Beräka fasförskjutige ϕ( g) = arg G( j ) + arg GPI( j ) eller uppskatta de eligt ϕ( g) arg G(j ) + π /8, där G är det oreglerade systemets överförigsfuktio. 3. Beräka behövligt faslyft eligt ϕmax = ϕm arg G( j g ) π. 4. Beräka deriverigstide Td = b / g. 5. Beräka filtertidkostate T f = T d / b. 6. Beräka Kc = sg G() / ( b GPI(j g) G(j g) )

8.1.1 Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid

8.1.1 Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid 8. Frekvesaalys Vi har hittills studerat systems egeskaper både i tidsplaet (t.ex. stegsvar) och i Laplaceplaet (t.ex. stabilitet). I detta kapitel skall vi aalysera systemegeskaper i frekvesplaet geom

Läs mer

8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K =, antages K > 0

8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K =, antages K > 0 8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret 8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K G ( s) =, antages K > 0 Ts + A R ( ω) = G( jω) = K + ( ωt ) ϕ( ω) = arg G( jω) = arctan(

Läs mer

8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K

8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K 8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K ( s) =, K > Ts + A R ( ω) = ( jω) = K + ( ωt ) ϕ ( ω) = ( jω) = artan( ωt ) Detta kan framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det normerade amplitudförhållandet

Läs mer

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R. P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt

Läs mer

För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, och vi återkommer till negativt K senare.

För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, och vi återkommer till negativt K senare. 8. Frekvensanalys För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, oh vi återkommer till negativt K senare. 8.1. Första ordningens system K y( s u( s Ts 1 Om vi antar att insignalen

Läs mer

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då

Läs mer

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren? Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1 duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a

Läs mer

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning Istitutioe för data- oc elektrotekik 2-2- Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig Faltig ka uppfattas som ett kostigt begrepp me adlar i grude ite om aat ä att utgåede frå e isigal x [],

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 5/11 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10 2 8

Läs mer

3 Signaler och system i tidsplanet Övningar 3.1 Skissa följande signalers tidsförlopp i lämpligt tidsintervall

3 Signaler och system i tidsplanet Övningar 3.1 Skissa följande signalers tidsförlopp i lämpligt tidsintervall Sigaler och sstem i tidsplaet. Skissa följade sigalers tidsförlopp i lämpligt tidsitervall a) 0 6 [ ] b) [ ] c) 07 [ ] 0 [ ] d) u [ ] e) 06u[ ] u[ ] [ ] f) r [ ] 0 r[ ] r[ ] r[ 6] 0 r[ 8] g) 08 cos π h)

Läs mer

Andra ordningens lineära differensekvationer

Andra ordningens lineära differensekvationer Adra ordiges lieära differesekvatioer Differese Differese f H + L - f HL mäter hur mycket f :s värde förädras då argumetet förädras med de mista ehete. Låt oss betecka ämda differes med H Df L HL. Eftersom

Läs mer

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b]. MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera. Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Bo Styf rasformmetoder, 5 hp gyl, I, W, X 20-0-26 Att repetera. Vi samlar här e del material frå tidigare urser som a vara avädbart uder urses gåg. Serier. E serie

Läs mer

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas

Läs mer

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri

Läs mer

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a. Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras

Läs mer

101. och sista termen 1

101. och sista termen 1 Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +

Läs mer

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt

Läs mer

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp) KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser. Lasse Björkma 999 . Rita följade tidssekveser. a) δ e) u b) δ f) u u c) δ + δ g) u d) u h) u. Givet tidssekvese x i edaståede figur. Rita följade tidssekveser. a) x c) x b) x + 3 d) x 3. Givet tidssekvesera

Läs mer

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2 Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5

Läs mer

Stort massflöde Liten volym och vikt Hög verkningsgrad. Utföranden Kolv (7) Skruv (4) Ving (4) Roots (1,5) Radial (2-4) Axial (1,3) Diagonal.

Stort massflöde Liten volym och vikt Hög verkningsgrad. Utföranden Kolv (7) Skruv (4) Ving (4) Roots (1,5) Radial (2-4) Axial (1,3) Diagonal. Komressorer F1 F Skillad mot fläktar: Betydade desitetsförädrig, ryk mäts ormalt som absolut totaltryk. vå huvudgruer av komressorer: Förträgigskomressorer urbokomressorer Egeskaer Lågt massflöde Höga

Läs mer

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process. Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade

Läs mer

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1. Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att

Läs mer

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10 KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel

Läs mer

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a) Maclauris formel ( ) f () f () f () f ( ) f () + f () + + + +!!! ( ) f ( c) där R och c är tal som ligger mella och ( + )! Amärkig Eftersom

Läs mer

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e

Läs mer

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik Pla rörelse Kiematik vid rotatio av stela kroppar Iledade kiematik för stela kroppar. För de två lijera, 1 och, i figure bredvid gäller att deras vikelpositioer, θ 1 och θ, kopplas ihop av ekvatioe Θ =

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00.

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00. Tekiska Högskola i Lud Istitutioe för Elektroveteskap Tetame i Elektroik, ESS010, del 2 de 14 dec 2009 klocka 14:00 19:00. Uppgiftera i tetame ger totalt 60p. Uppgiftera är ite ordade på ågot speciellt

Läs mer

Föreläsning 2: Punktskattningar

Föreläsning 2: Punktskattningar Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,

Läs mer

Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens ω och amplitud A,

Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens ω och amplitud A, Övning 8 Introduktion Varmt välkomna till åttonde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Frekvenssvar Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens

Läs mer

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) = Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Svar till tentan

Svar till tentan UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Prov i matematik ES, K, KadKemi, STS, X ENVARIABELANALYS 0-03- Svar till teta 0-03-. Del A ( x Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y = f (x =

Läs mer

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =. Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a

Läs mer

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl 1 Matematiska Istitutioe, KTH Tetame SF1633, Differetialekvatioer I, de 22 oktober 2018 kl 08.00-13.00. Examiator: Pär Kurlberg OBS: Iga hjälpmedel är tillåta på tetamesskrivige. För full poäg krävs korrekta

Läs mer

Specifikationer i frekvensplanet ( )

Specifikationer i frekvensplanet ( ) Föreläsning 7-8 Specifikationer i frekvensplanet (5.2-5.3) Återkopplat system: Enligt tidigare gäller att där och Y (s) =G C (s)r(s) G C (s) = G O(s) 1+G O (s) G O (s) =F (s)g(s) är det öppna systemet

Läs mer

5. Enkla dynamiska system

5. Enkla dynamiska system 5. Ekla dyamiska system I kapitel 3 härleddes modeller för ett atal dyamiska system frå olika tekikområde. Gemesamt för systeme var att de kude beskrivas med ordiära differetialekvatioer av låg ordig.

Läs mer

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex Avsitt 4 RESTARITMETIKER När ma adderar eller multiplicerar två tal som t ex 128 + 39..7 128 43..4 så bestämmer ma först de sista siffra. De operatioer som leder till resultatet kallas additio och multiplikatio

Läs mer

Reglerteknik 7. Kapitel 11. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist

Reglerteknik 7. Kapitel 11. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist Reglerteknik 7 Kapitel Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Föreläsning 7 kap Dimensionering av analoga reglersystem. Tumregelmetoder Bodediagram (Kompenseringsfilter) Simulering MATLAB-programmet

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Av Henrik 01denburg\ Radikaler. För att lösa ekv.: x n = a (n helt, pos. tal) konstruerar man kurvan

Av Henrik 01denburg\ Radikaler. För att lösa ekv.: x n = a (n helt, pos. tal) konstruerar man kurvan Av Herik 01deburg\ Eligt gymasiets kurspla skall av lära om poteser medtagas huvudsaklige vad som är behövligt för viade av e säker isikt i lära om logaritmer. Alla torde vara ese därom, att det är syerlige

Läs mer

Övning 3 - Kapitel 35

Övning 3 - Kapitel 35 Övig 3 - Kapitel 35 7(1). Brytigsidex får vi frå Eq. 35-3: c = = v. 998 10 8 19. 10 8 ms ms = 156.. 6(4). (a) Frekvese för gult atriumljus är,998 10 589 10 5,09 10 (b) När ljuset färdas geom glas blir

Läs mer

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator

Läs mer

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6 SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de

Läs mer

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Visst kan man faktorisera x 4 + 1 Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa

Läs mer

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y (för Y och D) (TSRT) 008-06-0. (a) Vi har systemet G(s) (s3)(s) samt insignalen u(t) sin(t). Systemet är stabilt ty det har sina poler i s 3 samt s. Vi kan

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Trasformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W --9 Sammafattig av föreläsigara - 6, 9/ - 8/,. De trigoometriska basfuktioera. Dea kurs hadlar i pricip om att uttrycka

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

1. Test av anpassning.

1. Test av anpassning. χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler

Läs mer

Resultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.

Resultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken. Kommetarer till Christer Nybergs bok: Mekaik Statik Kommetarer kapitel 2 Sida 27 Resultatet av kryssprodukte i exempel 2.9 ska vara följade: F1 ( d cos β + h si β ) e z Det vill säga att lika med tecket

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Icke-lineära ekvationer

Icke-lineära ekvationer Icke-lieära ekvatioer Exempel: Rote till ekvatioe x = cos( x) är lika med x -koordiate för skärigspukte mella kurvora y = x och y = cos( x). Vi ka plotta kurvora på itervallet [,] med följade Matlabkommado

Läs mer

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) = Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),

Läs mer

Föreläsning 10: Kombinatorik

Föreläsning 10: Kombinatorik DD2458, Problemlösig och programmerig uder press Föreläsig 10: Kombiatorik Datum: 2009-11-18 Skribeter: Cecilia Roes, A-Soe Lidblom, Ollata Cuba Gylleste Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Delmägder E delmägd

Läs mer

Övning 3. Introduktion. Repetition

Övning 3. Introduktion. Repetition Övning 3 Introduktion Varmt välkomna till tredje övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Nästa gång är det datorövning. Kontrollera att ni kan komma in i XQ-salarna. Endast en kort genomgång,

Läs mer

Reglerteknik AK, FRT010

Reglerteknik AK, FRT010 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt

Läs mer

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas? Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har

Läs mer

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:

Läs mer

Trigonometriska polynom

Trigonometriska polynom Trigoometriska polyom Itroduktio Iga strägistrumet eller blåsistrumet ka producera estaka siustoer, blott lieära kombiatioer av dem, där de med lägsta frekvese kallas för grudtoe, och de övriga för övertoer.

Läs mer

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då Stat. teori gk, ht 006, JW F7 ENKEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT.5-.7) Statistisk iferes rörade β Vi vet reda att b är e vätevärdesriktig skattig av modellparameter β. Vi vet också att skattige b har

Läs mer

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Bertrands postulat. Kjell Elfström F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index. F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Egna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)

Egna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions) - 1 - Vad är si? si är amet på e av måga ibyggda fuktioer i Ada (och de återfis i paketet Ada.Numerics.Elemetary_Fuctios) si är deklarerad att ta emot e parameter (eller ett argumet) av typ Float (mätt

Läs mer

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT 206 / 7 Innehåll föreläsning 6 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 6 Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning Gustaf Hendeby ˆ Sammanfattning av föreläsning

Läs mer

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 23 oktober 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl

Läs mer

Övningar i Reglerteknik

Övningar i Reglerteknik Övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system Ett system är stabilt om utsignalen alltid är begränsad om insignalen är begränsad. Linjära tidsinvarianta system är stabila precis då alla poler

Läs mer

Reglerteknik 7. Kapitel 11. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist

Reglerteknik 7. Kapitel 11. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist Reglerteknik 7 Kapitel Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Föreläsning 7 kap Dimensionering av analoga reglersystem. umregelmetoder Bodediagram (Kompenseringsfilter) Simulering MALAB-programmet Simulink

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer