Icke-lineära ekvationer
|
|
- Jan-Olof Öberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Icke-lieära ekvatioer Exempel: Rote till ekvatioe x = cos( x) är lika med x -koordiate för skärigspukte mella kurvora y = x och y = cos( x). Vi ka plotta kurvora på itervallet [,] med följade Matlabkommado x=:.:;plot(x,x,x,cos(x)) Vi ser ur figure att ekvatioe har e rot i itervallet [.7,.8]. Vi skall i detta avsitt studera olika sätt att bestämma dea rot mera oggrat. Mer allmät skall vi studera metoder för att lösa ekvatioer av type f ( x ) =, där f atas vara e kotiuerlig reellvärd fuktio av e reell variabel. När så är lämpligt, kräver vi ytterligare regularitetsegeskaper (t.ex. att f är deriverbar) eller att de sökta rote x är e ekelrot (vilket iebär att f '( x ) ). I regel ka e icke-lieär ekvatio f ( x ) = ite lösas aalytiskt dvs. lösige ka ite ages explicit i e formel, som förutom de elemetära räkeoperatioera edast iehåller rotutdragigar. Algebraiska ekvatioer (dvs. ekvatioer där f ( x ) är polyom) ka lösas aalytiskt då gradtalet är midre ä lika med fyra, me ma ka visa, att detta i allmähet ite är möjligt för ekvatioer av högre gradtal. Ite heller lösigar x till trascedeta ekvatioer (som iehåller trascedeta fuktioer som e,si( x ) etc.) ka i allmähet ages explicit. Fuktioe f ( x ) behöver för övrigt ite es vara käd geom ett aalytiskt uttryck, uta ka t.ex. vara defiierad som lösige till e differetialekvatio. I alla dessa fall måste ma aväda umeriska metoder för att lösa ekvatioe.
2 De grudidé, som de flesta umeriska metoder för ekvatioslösig bygger på, är att först bestämma e grov approximatio x till rote x. Med utgågspukt frå x kostrueras seda e talföljd { } tidigare beräkade tale xk, k x, där varje tal x = i talföljde beräkas utifrå de <. Uder lämpliga förutsättigar kovergerar talföljde mot x (dvs. lim x = x ) och ma erhåller därför sucessivt bättre approximatioer till " rote geom att beräka x, =,,3,..., tills öskad oggrahet uppåtts. E metod som ger e såda talföljd kallas e iteratiosmetod. Vi skall eda beskriva ågra iteratiosmetoder och studera villkor för att talföljdera skall kovergera mot rote. Det är i måga sammahag också öskvärt att talföljde kovergerar sabbt. Vi defiierar därför begreppet kovergeshastighet och udersöker ågra metoder med avseede på detta. Vi diskuterar också feluppskattig och de oggrahet som ka uppås då ma räkar med begräsad precisio. Grovlokaliserig När ma skall lösa e ekvatio måste ma först grovlokalisera rote för att bestämma e begyelseapproximatio x. Detta ka göras i två steg. Geom att plotta grafe y = f ( x) ka vi bestämma ett itervall i vilket rote ligger. Vi ka seda systematiskt förbättra dea grova approximatio med de s.k. itervallhalverigsmetode. Dea metod bygger på att ma succesivt iesluter rote i midre och midre itervall. Exempel: Låt oss betrakta ekvatioe i föregåede exempel. Ekvatioe ka skrivas på forme f ( x ) =, där f ( x) = x cos( x). Vi plottar grafe till f ( x ) i itervallet [,] med Matlabkommadot x=:.:;plot(x,x-cos(x)),grid
3 Vi ser att fuktioe f ( x ) har ett ollställe (dvs. att ekvatioe f ( x ) = har e rot) i itervallet [.7,.8]. Detta bekräftas om vi beräkar fuktiosvärdea i ädpuktera på detta itervall. Vi får att f (.7) ".6 < och f (.8). >. Eftersom f ( x ) är kotiuerlig så följer det av satse om mellaliggade värde att det måste fias mist ett ollställe x i itervallet [.7,.8]. Geom att beräka fuktiosvärdet i mittpukte på detta itervall dvs.i x =.75 ka vi u bestämma rote ärmare. Eftersom f (.75). > så måste x ligga i itervallet [.7,.75]. Vi ka seda upprepa dea procedur till öskad oggrahet erhållits. Mittpukte på itervallet [.7,.75] är.75 och eftersom f (.75) ". < så måste x ligga i itervallet [.75,.75] etc. Följade Matlabkod implemeterar itervallhalverig fuctio [a,b]=ithalv(f,a,b,tol) a=a;b=b;fb=feval(f,b);fa=feval(f,a); if fafb> error('f(a) och f(b) måste ha olika tecke') ed while b-a>tol disp([a b]) x=(a+b)/; if feval(f,x)fb> b=x; else a=x; ed ed Om vi sparar ovaståede programrader i e m-fil med amet ithalv.m så ka itervallhalverige utföras med följade kommadorader: f=ilie('x-cos(x)');ithalv(f,.7,.8,.) as =.739 Ma iser omedelbart att dea metod alltid kovergerar, me kovergeshastighete är låg. Efter steg med metode så har rote ieslutits i ett itervall av lägde
4 gåger lägde av ursprugsitervallet. Då vi i vårt exempel startar med itervallet [.7,.8] måste vi t.ex. halvera itervallet 7 gåger för att få ett itervall som är kortare 6 ä (mittpukte i det itervallet är rote med sex korrekta decimaler). Iteratiosmetoder På grud av de lågsamma kovergese bör ma edast aväda itervallhalverigsmetode för att grovlokalisera rote. De metoder vi u skall beskriva har sabbare koverges, vi ka kalla dem iteratiosmetoder för fijusterig. De bygger på att ma med hjälp av dittills beräkad iformatio om fuktioe f och om rotes approximativa läge beräkar e y och oggraare approximatio. Allmät ka ma säga att ju mer iformatio om fuktioe ma aväder desto sabbare koverges ka uppås. Ett aturligt sätt att approximera fuktioe f ( x ) är att dra e taget till kurva y = f ( x). Atag att vi har ett ärmevärde x till rote. Vi drar då tagete till kurva i pukte ( x, f ( x ) och låter tagetes skärigspukt med x -axel vara ästa approximatio x till rote Tagetes ekvatio är y f ( x ) = f '( x )( x x ). Dess skärigspukt med x -axel får f ( x ) vi geom att sätta y = och lösa ut x ur dea ekvatio. Vi får då att x = x f '( x ). Om vi u på samma sätt fortsätter att beräka e y approximatio till rote med f ( x ) utgågspukt frå x så får vi x = x f '( x ). Vi ka seda upprepa dea process till öskad oggrahet har uppåtts. Detta sätt att erhålla approximativa lösigar på ekvatioer kallas för Newto-Raphsos metod. Newto-Raphsos metod f ( x ) x = x,,,,... + f '( x ) = I Newto-Raphsos metod aväder vi alltså både fuktiosvärdet och derivatavärdet är vi beräkar e y approximatio till rote. Vi ka därför förväta oss att metode ger e sabbt kovergerade talföljd. Exempel: Kvadratrote a (där a ) ka bestämmas geom att lösa ekvatioe x a =. Newto-Rahsos metod tillämpad på dea ekvatio ger talföljde a x = + ( x ) + x. Med a = 3 och x = så får vi
5 = : 3 7 x = ( + ) = 4 = : x = ( + ) = 4 7 / 4 56 = : x3 = ( + ) = / vilket är 3 med 7 korrekta decimaler. Exempel: Låt oss lösa vår illustratiosekvatio x cos( x) = med Newto-Raphsos metod. Med f ( x) = x cos( x) så har vi f '( x) = + si( x). Följade Matlabkod implemeterar Newto-Raphsos metod fuctio xut=nr(f,x,tol) h=.; fx=feval(f,x); fprimx=(feval(f,x+h)-feval(f,x))/h; format log disp(' x_ f(x_) f/fprim') disp([x fx fx/fprimx]) while abs(fx/fprimx)>tol x=x-fx/fprimx; fx=feval(f,x); fprimx=(feval(f,x+h)-feval(f,x))/h; disp([x fx fx/fprimx]) ed format short Om vi sparar ovaståede programrader i e m-fil med amet NR.m så ka Newto- Raphsos metod utföras med följade kommadorader: f=ilie('x-cos(x)');nr(f,.74,^(-9)) x_ f(x_) f/fprim Vi ser att metode i detta fall ger e sabbt kovergerade talföljd. Det är aturligt att fråga sig om metode alltid fugerar lika bra som i detta fall. Ma ka också fudera över hur stor oggrahete är i approximatioe Vi skall återkomma till dessa frågor lite lägre fram.
6 I ästa avsitt skall vi studera kovergesvillkor och kovergeshastighet hos iteratiosmetoder. För de diskusioe är det praktiskt att skriva Newto-Raphsos metod på forme x = + F( x ), där iteratiosfuktioe är f ( x) F( x) = x f '( x). Observera att ekvatioe x = F( x) är e ekvivalet omskrivig av ekvatioe f ( x ) = (dvs. ekvatioe f ( x ) = ka brigas på forme x = F( x) geom elemetära matematiska operatioer, och tvärtom). Eftersom x är e rot till ekvatioe f ( x ) = så gäller att x = F( x ). Ma säger därför att x är e fixpukt till fuktioe F( x) och iteratiosmetode x = F( x ) kallas för e fixpuktiteratio. + Fixpuktiteratioer ka fås geom att göra adra ekvivaleta omskrivigar ä de som leder till Newto-Raphsos metod. Ekvatioe i exemple ova ka t.ex. skrivas x = cos( x) och motsvarade iteratiosmetod är x cos( x ) = + Följade Matlabkod implemeterar fixpuktiteratio fuctio xut=fixit(f,x,tol) =; format log disp(' x_ x_-f(x_)') while abs(x-feval(f,x))>tol =+; x=feval(f,x); disp(), disp([x x-feval(f,x)]) ed format short Om vi sparar ovaståede programrader i e m-fil med amet fixit.m så ka fixpukiteratioe utföras med följade kommadorader: F=ilie('cos(x)');fixit(F,.74,^(-8)) x_ x_-f(x_)
7 Det ser ut som de geererade talföljde kovergerar och att skillade frå ett steg till ett aat dvs. x F( x ) reduceras med e faktor som är ugefär.7 i varje iteratio. E aa ekvivalet omskrivig av ekvatioe x cos( x) = är x = arccos( x). Iteratioe x+ = arccos( x ) divergerar emellertid, vilket framgår tydligt av edaståede beräkigar F=ilie('acos(x)');fixit(F,.74,.) x_ x_-f(x_) Uppebarlige behöver vi aalysera villkore på fuktioe F( x ) i fixpuktiteratioe x+ = F( x ), uder vilka de geererade talföljde kovergerar. Detta görs i ästa avsitt. Kovergesvillkor och kovergeshastighet Ett grudläggade kovergesvillkor för fixpuktiteratioer ges i följade sats.
8 Sats: Atag att x = F( x ), =,,,..., och att F ( x ) har e reell fixpukt x. Atag + vidare att det fis tal m och sådaa att F '( x) m Om x J så gäller då att <,för alla x " J = { x : x # x $ } a) x J, =,,3,... b) c) lim x = x " x är de eda rote till ekvatioe x F( x) = i itervallet J Bevis: Vi börjar med att bevisa påståedet i a) med iduktio. Atag att x " k J. Medlevärdessatse ger då att x " x = F( x ) " F( x ) = F '( )( x " x ), där k är ett tal mella x k och x. Eftersom x k och Av förutsättigara följer därför att k k " k k " x ligger i itervallet J så ligger äve k i J. x # x = F '( )( x # x ) $ m x # x $ m" < ", k k k # k # så vi har äve xk J. Vi har därmed visat att xk " J # xk " J, för alla k. Eftersom x J så följer det med iduktio att x J, för alla. Låt oss u bevisa påståedet i b). Ur beviset av a) ova så fick vi att xk x " m xk x, för alla k. Upprepad avädig av dea olikhet, med först k = och seda successivt med k =, k =, k = 3 etc., får vi att 3 x x " m x x " m x x " m x 3 x " " m x x "#"$ "#"$ Eftersom m < så följer det att 3 " m x x m x x x x " då ", och vi har därmed visat b). Etydighete i c) visas med ett motsägelsebevis. Atag att x är e aa fixpukt till F( x) i itervallet J dvs. att x J, x x och x = F( x ). Medelvärdessatse och atagadea ger då att x " x = F( x ) " F( x ) = F( )( x " x ) # m x " x < x " x vilket är e motsägelse. Exempel: Låt oss udersöka de två fixpuktiteratioera x = + cos( x ) och x+ = arccos( x ), för ekvatioe x = cos( x ) (se tidigare exempel). I det första fallet har vi F( x) = cos( x). Nära rote x så är F '( x) = si( x) " si(.73985) ".6736 <. Det följer därför av satse ova att iteratioe kovergerar, vilket vi äve kostaterade experimetellt i föregåede avsitt. I det adra fallet har vi F( x) = arccos( x). Nära rote x så är F '( x) = " " x.73985
9 .48 >, vilket iebär att det fis ett itervall I = { x : x " x < } krig rote vilket F '( x ) >. Talföljde kommer därmed ite att kovergera mot rote ises med ett motsägelseargumet: Om det vore så att ågot tal sådat att k lim x " x för x. Detta ka = x så skulle det fias x " x < x " x < för alla k. Detta stämmer emellertid ite ty x " x = F( x ) " F( x ) = F '( ) x " + x > x " x. Som exemplet ova visar så är villkoret F '( x) m <, i e omgivig av rote x, ite bara ett tillräckligt villkor, uta äve ett ödvädigt villkor, för att e fixpuktiteratio skall kovergera mot rote. Ur beviset av satse ser vi också att ju midre talet m är, desto sabbare kovergerar iteratioe. För de första metode i exemplet ova var m.7. Dea metod bör därför ge ågot lågsammare koverges ä itervallhalverigsmetode, vilket också ka utläsas ur resultate i föregåede avsitt. Låt oss u aalysera kovergeshastighete hos Newto-Raphsos metod. I de metode f ( x) är F( x) = x f '( x) och därmed f ( x) f ''( x) F '( x) = ( f '( x)). Om ma käer till ett litet itervall där rote ligger är det ofta lätt att verifiera att kovergesvillkoret för Newto- Raphsos metod är uppfyllt: f ( x) f ''( x) F '( x) = m ( f '( x)) < Eftersom f ( x ) = så är äve F '( x ) =, så Newto-Raphsos metod bör kovergera mycket sabbt är ma väl kommit ära rote. Låt oss udersöka kovergese hos metode i mer detalj. Som tidigare har vi x+ x = F( x ) F( x ). Istället för att aväda medelvärdessatse så ka vi Taylorutveckla F( x ) krig x : F ''( ) F( x ) = F( x ) + F '( x )( x " x ) + ( x " x ) där ligger mella x och x. Eftersom F '( x ) = så följer att F ''( ) x " x = F( x ) " F( x ) = + ( x x ) C x x " # ", för ågot C. Detta visar att felet i Newto-Raphsos metod i pricip kvadreras i varje steg. Speciellt kovergerar Newto-Raphsos metod sabbare ä fixpukiteratioer i allmähet. För att jämföra kovergeshastighete hos olika iteratiosmetoder iför vi följade defiitio. Defiitio: Låt { } x vara e talföljd som kovergerar mot ett tal x, och sätt = = x " x. Talföljdes kovergesordig sägs vara p, om p är det största tal + som är sådat att lim = C < #. Talet C kallas för de asymptotiska "# p
10 felkostate. Om p = sägs kovergese vara lieär och om p = kovergese vara kvadratisk. sägs Ofta säger vi att e iteratiosmetod har kovergesordige p om de geererar kovergeta talföljder med dea kovergesordig. Fixpuktiteratioer i allmähet har lieär koverges med asymptotisk felkostat F '( x ). Newto-Raphsos metod har kvadratisk koverges och dess asymptotiska felkostat är F x = f x. ''( ) ''( ) f '( x ) Exempel: Atag att e iteratiosmetod geererat e talföljd där x = + x,,,3,... 3 = med x =. Vi ser direkt att x så x =. Låt oss u udersöka kovergeshastighete hos dea talföljd. Vi har / 3 p om p + x+ " x " $ # > = = = x p p p % &, då " x " x 3 ' / 3 om p = så kovergese är lieär med asymptotisk felkostat 3. Det skall avslutigsvis påpekas att i praktike bryr ma sig ite om att kotrollera kovergesvillkoret F '( x) m < i förväg, eftersom ma upptäcker evetuell diverges vid själva iteratioe. Feluppskattig När ma beräkar approximatioer till e rot x med hjälp av ågo iteratiosmetod, görs avrudigsfel. Det framgår dock av fixpuktsatse ova att så läge som ma ite gör stora fel (så att ma hamar utaför itervallet J ) så har dessa fel ige iverka alls på de slutliga oggrahete. Ma brukar säga att iteratiosmetoder är självkorrigerade. Kovergesordige hos e iteratiosmetod ger e uppfattig om felets uppförade asymptotiskt, dvs. efter ett stort atal steg. I praktike måste ma dock avbryta iteratioe efter ett ädligt atal steg, och varke kovergesordige eller de asymptotiska felkostate ger oss upplysig om hur stort felet är. Ett sätt att uppskatta felet i e approximatio x till e rot medelvärdessatse. Medelvärdessatse ger ämlige att f ( x ) = f ( x ) " f ( x ) = f '( )( x " x ) där ligger mella x och ära x. Om x är e ekelrot så är x erhåller vi ur f '( x ), och om x ligger x så är äve f '( ) " ( f ' förutsättes kotiuerlig). Vi får således att
11 Om u f '( x) M för alla x ära f ( x ) x " x = f '( ) x så får vi följade feluppskattig f ( x ) x x " M Dea feluppskattig gäller oberoede av vilke metod som aväts för att beräka ärmevärdet och kallas därför för metodoberoede feluppskattig. Exempel: Vi har löst ekvatioe f ( x ) =, där f ( x) = x cos( x), med olika metoder i tidigare avsitt och kommit fram till att rote bör vara ugefär Vi skall u udersöka hur oggra dea approximatio är. Med x = så har vi 8 f ( x ) " 4.5# och f '( x ) = + si( x ).67. Nära rote är därför f '( x ).6 så de metodoberoede feluppskattige ger att 8 4.5" 8 7 x x # #.9" #.5".6 dvs. x = är e approximatio till rote x med 7 korrekta decimaler. Om ma avät fixpuktiteratio för att erhålla ett ärmevärde till e rot så ka ma uppskatta felet på ytterligare ett sätt. Ur beviset av fixpuktsatse framgår ämlige att x x " m x x. Exempel: I ett tidigare avsitt löste vi t.ex. ekvatioe x cos( x) = geom att utföra fixpukiteratioe x = F( x ), där F ( x ) = cos( x ) och x =.74. Vi vet frå + itervallhalverigsmetode att x [.75,.75]. Eftersom F '( x) = si( x) si(.76).7, för alla x [.75,.76], så följer det att F '( x ).7, för alla { :. } x J = x x " x <. Startapproximatioe x =.74 ligger i J så vi får uppskattige x x ".7.74 x ".7 #.. Efter 3 iteratioer erhöll vi tidigare ärmevärdet x = Vi ser u att felet i dea approximatio är ".7 #. ".58# ".5# så x = är ett ärmevärde till rote x med 4 korrekta decimaler.
12 Laboratioe med Matlab( Java) Aväd )itervallhalverigsmetode ) fixpuktiteratiosmetod 3)ewtosraphsos metod För att lösa följade ekvatioer a)x 4 = 4 x b) cos x = x c) x + 3 = x d)e x = l x + Glöm ite att rita via Matlab Kommetera dia resultat t.ex vilke metode som är lämplig ( sabbbast, hur stor är felet)
c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merAnmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merGrafisk analys av en skalär rekursion
Grafisk aalys av e skalär rekursio Aders Källé MatematikCetrum LTH aderskalle@gmail.om Sammafattig Här ska vi tittärmare på vad som häder med lösigara på rekursiosformler på forme +1 = f( ) då. Metode
Läs merInledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan
Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle
Läs merDel A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.
Läs merRäkning med potensserier
Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som
Läs merTentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs merEgna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)
- 1 - Vad är si? si är amet på e av måga ibyggda fuktioer i Ada (och de återfis i paketet Ada.Numerics.Elemetary_Fuctios) si är deklarerad att ta emot e parameter (eller ett argumet) av typ Float (mätt
Läs merSvar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Prov i matematik ES, K, KadKemi, STS, X ENVARIABELANALYS 0-03- Svar till teta 0-03-. Del A ( x Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y = f (x =
Läs merLösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =
Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs merAv Henrik 01denburg\ Radikaler. För att lösa ekv.: x n = a (n helt, pos. tal) konstruerar man kurvan
Av Herik 01deburg\ Eligt gymasiets kurspla skall av lära om poteser medtagas huvudsaklige vad som är behövligt för viade av e säker isikt i lära om logaritmer. Alla torde vara ese därom, att det är syerlige
Läs merθx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.
Läs merFöreläsning 2: Punktskattningar
Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,
Läs merTAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer
TAMS79: Föreläsig 9 Approximatioer och stokastiska processer Joha Thim 18 ovember 2018 9.1 Biomialfördelig Vi har reda stött på dea fördelig flera gåger. Situatioe är att ett slumpförsök har två möjliga
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet
Föreläsig 2 Algoritmaalys TDDC70/91: DALG Utskriftsversio av föreläsig i Datastrukturer och algoritmer 5 september 2013 Tommy Färqvist, IDA, Liköpigs uiversitet 2.1 Iehåll Iehåll 1 Aalys av värsta fallet
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merTNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter
TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri
Läs mer= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0
TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd
Läs merFourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL
Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Trasformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W --9 Sammafattig av föreläsigara - 6, 9/ - 8/,. De trigoometriska basfuktioera. Dea kurs hadlar i pricip om att uttrycka
Läs mer= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.
Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att
Läs mer4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grudkurs Tetame 07-0- - Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + =
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl
1 Matematiska Istitutioe, KTH Tetame SF1633, Differetialekvatioer I, de 22 oktober 2018 kl 08.00-13.00. Examiator: Pär Kurlberg OBS: Iga hjälpmedel är tillåta på tetamesskrivige. För full poäg krävs korrekta
Läs merRESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex
Avsitt 4 RESTARITMETIKER När ma adderar eller multiplicerar två tal som t ex 128 + 39..7 128 43..4 så bestämmer ma först de sista siffra. De operatioer som leder till resultatet kallas additio och multiplikatio
Läs merMinsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera
Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig
Läs merTenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2
Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska
Läs merBertrands postulat. Kjell Elfström
F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.
Läs merVisst kan man faktorisera x 4 + 1
Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp
Läs mer2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.
Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs merTrigonometriska polynom
Trigoometriska polyom Itroduktio Iga strägistrumet eller blåsistrumet ka producera estaka siustoer, blott lieära kombiatioer av dem, där de med lägsta frekvese kallas för grudtoe, och de övriga för övertoer.
Läs merAnalys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?
Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera
Läs merProblem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merIntervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej
Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator
Läs merx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x
Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel
Läs merAnalys av polynomfunktioner
Aals av polomfutioer Aals36 (Grudurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det tät du sa göra i aslutig till att du läser huvudtete. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall avisigar till
Läs mer. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje
Läs merInledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:
TATA79/TEN3 Tetame, 08-04-06 Iledade matematisk aalys. Utred med bevis vilket eller vilka av följade påståede är saa: (a) Om x 7 är x(x 3) 5; (b) Om (x )(x 6) 0 är x 6; (c) (x + 6)(x ) > 0 om x > 6. Solutio:
Läs merResultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.
Kommetarer till Christer Nybergs bok: Mekaik Statik Kommetarer kapitel 2 Sida 27 Resultatet av kryssprodukte i exempel 2.9 ska vara följade: F1 ( d cos β + h si β ) e z Det vill säga att lika med tecket
Läs mer1. Test av anpassning.
χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler
Läs mer7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter
7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett
Läs merKontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:
Läs merF10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,
Läs mer1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x
BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a) Maclauris formel ( ) f () f () f () f ( ) f () + f () + + + +!!! ( ) f ( c) där R och c är tal som ligger mella och ( + )! Amärkig Eftersom
Läs mer================================================
rmi Halilovic: ETR ÖVNINGR TVÅ STICKPROV Vi betraktar två oberoede ormalfördelade sv och Låt x, x,, x vara ett observerat stickprov, av storleke, på N (, ) och låt y, y,, y vara ett observerat stickprov,
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för
Läs merTentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Tetame i Lijär Algebra, SF164 14 december, 21. Kursexamiator: Sadra Di Rocco OBS! Svaret skall motiveras och lösige skrivas ordetligt och klart. Iga hjälpmedel är tillåta.
Läs merDigital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning
Istitutioe för data- oc elektrotekik 2-2- Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig Faltig ka uppfattas som ett kostigt begrepp me adlar i grude ite om aat ä att utgåede frå e isigal x [],
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give
Läs merFöreläsning 10: Kombinatorik
DD2458, Problemlösig och programmerig uder press Föreläsig 10: Kombiatorik Datum: 2009-11-18 Skribeter: Cecilia Roes, A-Soe Lidblom, Ollata Cuba Gylleste Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Delmägder E delmägd
Läs merTentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),
Läs merEnkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...
Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................
Läs mera) Beräkna E (W ). (2 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merJag läser kursen på. Halvfart Helfart
KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:
Läs merFör att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ
1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av
Läs mer4.2.3 Normalfördelningen
4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett
Läs merTFM. Avdelningen för matematik Sundsvall Diskret analys. En studie av polynom och talföljder med tillämpningar i interpolation
C-UPPSATS 00:0 TFM. Avdelige för matematik MITTHÖGSKOLAN 85 70 Sudsvall 060-4 86 00 Diskret aalys E studie av polyom och talföljder med tillämpigar i iterpolatio p(x + ) p(x + ) p(x + 3) p(x + 4) d p (x
Läs merUPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR Om vi betratar e futio ff() som är otiuerlig i itervallet [aa, bb] då atar futioe sitt mista
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa
Läs merSkattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?
Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har
Läs merDatastrukturer och algoritmer
Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell
Läs merREGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:
CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Om komplexa tal och fuktioer Aalys60 (Grudkurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det täkt du ska göra i aslutig till att du läser huvudtexte. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret
Läs merStokastiska variabler
TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,
Läs merTentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010
Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att
Läs merInnehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...
Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs mer1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level
Läs merTAMS15: SS1 Markovprocesser
TAMS15: SS1 Markovprocesser Joha Thim (joha.thim@liu.se) 21 ovember 218 Vad häder om vi i e Markovkedja har kotiuerlig tid istället för diskreta steg? Detta är ett specialfall av e kategori stokastiska
Läs mer