5. Enkla dynamiska system

Transkript

1 5. Ekla dyamiska system I kapitel 3 härleddes modeller för ett atal dyamiska system frå olika tekikområde. Gemesamt för systeme var att de kude beskrivas med ordiära differetialekvatioer av låg ordig. I flera fall var differetialekvatioera olijära, me dessa ka lijäriseras krig ett referestillståd, valigtvis ett jämviktsläge, såsom visats i avsitt 3.3. I detta kapitel skall vi studera egeskapera hos vissa typer av ekla, lijära, dyamiska system. Speciellt härleds tidssvaret för systemes utsigaler för väldefiierade isigalförädrigar såsom impulser och steg. Aalys av systemegeskaper med hjälp av dylika isigaler kallas trasietaalys. Ekla grafiska metoder för experimetell bestämig av e modell utgåede frå systemets stegsvar geomgås också. Bestämig av systemegeskaper, t.ex. överförigsfuktioe, utgåede frå mätigar av i- och utsigalera kallas systemidetifierig. 5. Itegrerade system Vi skall ileda med att studera itegrerade system, som är de eklaste type av dyamiskt system som ka beskrivas med e differetialekvatio. Det förmodlige mest typiska processexemplet på ett itegrerade system är e vätskebehållare. Exempel 5.. Vätskebehållare. Betrakta vätskebehållare i figur 5.. Volyme vätska i behållare beteckas V, volymströmme vätska som tillförs behållare beteckas F och volymströmme vätska som strömmar ut ur behållare beteckas F. Märk att V är att betrakta som systemets utsigal, meda F och F är isigaler (se avsitt.3). E massbalas krig behållare ger uder atagade av kostat desitet (som ka förkortas bort) modelle dv dt F F. () Dea ekvatio är lijär och vi ka direkt ersätta variablera med -variabler så att vi får dv dt F F. () Laplacetrasformerig med beaktade av att begyelstillståde är oll ger s V ( s) F ( s) F ( s), eller V ( s) F ( s) F ( s). (3) s s Systemets två överförigsfuktioer är V ( s) V ( s) och. (4) F ( s) s F ( s) s som eligt Laplacetrasforme motsvaras av itegraler i tidsplaet. F V Figur 5.. Vätskebehållare. F 5

2 5. Ekla dyamiska system 5. Itegrerade system Allmät ka ett lijärt itegrerade system med isigale u och utsigale y beskrivas med differetialekvatioe d y d y Ku eller T u. (5.) dt dt Systemets överförigsfuktio är Y ( s) K G( s). (5.) U ( s) s Ts Övig 5.. Härled och skissera upp (a) impulssvaret, (b) stegsvaret och (c) rampsvaret för V (t) vid e förädrig i iströmme F till vätskebehållare i figur System av första ordige Såsom framgått i avsitt 4.4. ka ett lijärt system av första ordige beskrivas med differetialekvatioe d y T y Ku, (5.3) dt där K är systemets förstärkig och T dess tidskostat. Systemet har överförigsfuktioe Y ( s) K G ( s). (5.4) U ( s) Ts 5.. Trasietsvar Systemets tidssvar y (t) för e give isigal u (t) ka ekelt bestämmas geom ivers Laplacetrasformerig med hjälp av e Laplacetrasformtabell. Två ofta betraktade isigalfuktioer är impulsfuktioe och stegfuktioe (se avsitt 4..). Om systemets isigal är e impuls med tidsitegrale ( area ) I, dvs u( t) I ( t), där (t) är ehetsimpulse (Diracs deltafuktio), gäller eligt Laplacetrasformtabelle U ( s) I. Ivers Laplacetrasformerig av KI Y ( s) G( s) U ( s) Ts ger då impulssvaret K I t / T y( t) e. (5.5) T Om isigale är e stegförädrig av storleke u steg, dvs u( t) usteg ( t), där (t) är ehetssteget, gäller U s) u / s. Ivers Laplacetrasformerig av ( steg ger då stegsvaret Y ( s) G( s) U ( s) Ku steg Ts s t / T y( t) Ku e. (5.6) steg 5

3 5. Ekla dyamiska system 5. System av första ordige KI/T y Ku steg y T T 3T 4T t Figur 5.. Impulssvaret för ett system av första ordige. T T 3T 4T t Figur 5.3. Stegsvaret för ett system av första ordige. Figur 5. avbildar impulssvaret och figur 5.3 stegsvaret för ett system av första ordige. E detalj som ka vara till ytta vid uppritadet av dessa trasietsvar är att kurvas begyelseriktig (dvs dess derivata) fås geom att dra e hjälplije mot pukte t T på slutvärdesasymptote (det ya jämviktsläget). Dessutom gäller att svarets avståd till dea asymptot vid tide t T är / e. 368 av totala utsigalförädrige. I teori tar det oädligt låg tid ia det ya jämviktsläget ås, me i praktike brukar ma ofta age att det åtts vid tide t 4T. Härvid är utsigales förädrig ca 98 % av totala förädrige. 5.. Idetifierig frå stegsvar Av ovaståede är det uppebart att systemets förstärkig och tidskostat ka idetifieras (dvs bestämmas) frå trasietsvaret, som ka geereras experimetellt geom e lämplig förädrig av isigale. Härvid aväder ma sig valigtvis av stegförädrigar, bl.a. för att e väldefiierad impuls är svår att åstadkomma. Vid idetifierig geom stegförsök fås systemets förstärkig eligt K y / u steg, (5.7) där u steg är storleke av isigales stegförädrig och y är de totala utsigalförädrige är t. Olika metoder existerar för bestämig av systemets tidskostat och e ev. dödtid (se avsitt 5.4). I det följade geomgås ågra ekla grafiska metoder. 63 % av totala förädrige Såsom framgår av figur 5.3 ka systemets tidskostat bestämmas utgåede frå skärigspukte mella slutvärdesasymptote och tagete till stegsvaret i de pukt där förädrige börjar. Eftersom det i praktike är svårt att bestämma tagetes riktig (dvs stegsvarets begyelsederivata) med god oggrahet är dea metod dock midre lämplig. Bättre är att utyttja de pukt där stegsvaret ått 63, % av totala förädrige. Ma ka ekelt visa att stegsvaret för ett första ordiges system år dea pukt är e tid lika med systemets tidskostat har förflutit seda stegsvarets börja. Tidskostate ges med adra ord av tidskoordiate för de pukt där 63, % av totala förädrige ås. Allmät ka ma kalla tidskostate som fås frå 63, % av totala förädrige för ekvivalet tidskostat äve om systemet ite är av första ordige. I praktike iehåller ett system ofta e dödtid, t.ex. på grud av e trasportfördröjig. Detta iebär att stegsvaret fördröjs med motsvarade tid, vilket bör beaktas vid idetifierige. Ett första ordiges system med e dödtid L har överförigsfuktioe 5 3

4 5. Ekla dyamiska system 5. System av första ordige y/y y/y.63 y i /y L L+T t Figur 5.4. Idetifierig av första ordiges system via 63 % av totala förädrige. L t i L+T t Figur 5.5. Idetifierig av första ordiges system med tagetmetode. och stegsvaret Y ( s) G( s) U ( s) Ls Ke T s t / T (5.8) y( t L) K u e. (5.9) steg E stegförädrig vid t ger således ett stegsvar som startar vid tidpukte L och år 63, % av totala förädrige vid tidpukte L T. Båda parametrara fås följaktlige ekelt frå stegsvaret. Se illustratioe i figur 5.4, där stegsvaret ormerats geom divisio med y. Tagetmetode I praktike har ma kappast ågosi ett perfekt första ordiges system (med eller uta dödtid). Ofta har stegsvaret ite si brataste lutig geast i börja, vilket ett system av första ordige skulle ha, uta ågot seare. Det betyder att systemet är av högre ordig ä första ordige. Iblad vill ma ädå approximera systemet som ett första ordiges system med dödtid. Figur 5.5 illustrerar e metod för bestämig av e såda modell. Systemets förstärkig beräkas på ormalt sätt eligt ekvatio (5.7). För att bestämma dödtide och tidskostate drar ma e taget geom stegsvarets iflektiospukt ( t i, yi ), dvs de pukt där lutige är bratast. Tagetes skärigspukt med tidsaxel ger dödtide L och dess skärigspukt med slutvärdesasymptote har tidskoordiate L T. Såväl Ziegler-Nichols som vissa adra stegsvarsbaserade rekommedatioer för iställig av PID-regulatorer (se avsitt 7.5) utgår ifrå att modelles parametrar bestämts eligt tagetmetode. Såsom figur 5.5 visar ka modelles stegsvar (de streckade lije) dock avvika avsevärt frå det verkliga stegsvaret. Eftersom stegsvaret för ett första ordiges system har si brataste lutig i börja, där de är lika med de uppdraga tagetes lutig, och därefter avtar, är det lätt att ise att modelles stegsvar kommer att ligga uder det verkliga stegsvaret. De på detta sätt bestämda tidskostate är med adra ord för stor. Modifikatio av tagetmetode E beaktasvärd modifikatio av ovaämda två metoder erhålles om ma kombierar dem. Dödtide bestäms då eligt tagetmetode och tidskostate utgåede frå de ekvivaleta tidskostate, dvs de tid det tar för det verkliga stegsvaret att å 63, % av totala förädrige. Såsom figur 5.6 visar ger detta förfarade e modell vars stegsvar (de streckade lije) 5 4

5 5. Ekla dyamiska system 5. System av första ordige y/y.63 y i /y.85 y/y.35 L t i L+T t Figur 5.6. Idetifierig av första ordiges system geom modifierade tagetmetode. t 35 t 85 t Figur 5.7. Idetifierig av första ordiges system utgåede frå 35 % och 85 % av totala förädrige. överesstämmer betydligt bättre med det verkliga stegsvaret. Dea metod är också midre störigskäslig ä de ordiarie tagetmetode eftersom ma utyttjar två pukter av stegsvaret för att bestämma modelles parametrar. Förutom ova diskuterade brist har tagetmetode ämlige också de ackdele att ma försöker bestämma både dödtide och tidskostate utgåede frå stegsvarets egeskaper i e eda pukt, iflektiospukte, som dessutom är svår att lokalisera i praktike. Sudaresa-Krishaswamys metod Iflektiospukte och de pukt där stegsvaret år 63, % av totala förädrige ligger ofta relativt ära varadra. E bättre apassig av modelles stegsvar till det verkliga stegsvaret ka förvätas om ma aväder två pukter som ligger ågot lägre ifrå varadra. Sudaresa och Krishaswamy (977) har föreslagit att ma skall välja modelles parametrar så att dess stegsvar går geom de två pukter där det verkliga stegsvaret år 35 % resp. 85 % av de totala förädrige. Eligt dem miimerar detta approximativt itegrale av det kvadratriska felet mella det uppmätta stegsvaret och modelles stegsvar; se figur 5.7. Om tidskoordiate för de två puktera beteckas t 35 resp. t 85, ka ma med hjälp av ekvatio (5.9) visa att tidskostate och dödtide ges av uttrycke T,68( t 85 t ), (5.) 35 L t35, 43T. (5.) Förstärkige K beräkas eligt ekvatio (5.7). Logaritmmetode Det fis ett ekelt sätt att kotrollera hur väl ett experimetellt stegsvar överesstämmer med stegsvaret för ett första ordiges system (med eller uta dödtid) uta att egetlige bestämma modelles parametrar. Frå ekvatio (5.9) ka ma härleda sambadet y y t t L ( ) l y, (5.) T där y Kusteg. Om uttrycket till väster i ekvatioe, dvs aturliga logaritme av de relativa återståede förädrige, uppritas som fuktio av t, fås för ett system av första ordige e rät lije som har lutigskoefficiete / T och som skär tidsaxel (dvs har värdet oll) i pukte t L. Samma uttryck ka ekelt beräkas och uppritas för ett godtyckligt experi- 5 5

6 5. Ekla dyamiska system 5. System av första ordige z z = l( y/y ) y/y L L+T t Figur 5.8. Idetifierig av första ordiges system med logaritmmetode. t Figur 5.9. Stegsvaret för första ordiges system idetifierat med logaritmmetode. metellt stegsvar. Om det erhålla sambadet är lijärt är systemet av första ordige. Samtidigt erhåller ma systemets tidskostat utgåede frå de räta lijes lutigskoefficiet och dess evetuella dödtid frå lijes skärigspukt med tidsaxel. Om sambadet är måttligt olijärt ka ma täka sig att bestämma e approximativ modell av första ordige geom att apassa e rät lije till sambadet. Det ligger då ära till hads att såsom i figur 5.8 dra lije så att de asymptotiskt sammafaller med det uppritade sambadet är t går mot oädlighete. Detta leder dock till e för stor dödtid och för lite tidskostat, vilket framgår av figur 5.9, där stegsvaret för de approximativa modelle (streckad lije) jämförs med det verkliga stegsvaret (heldrage lije). Sammafattigsvis ka ma säga att de modifierade tagetmetode och metode föreslage av Sudaresa och Krishaswamy säkerlige är de bästa av de här preseterade ekla grafiska metodera för idetifierig av ett första ordiges system med dödtid. 5.3 System av adra ordige Ett strikt propert lijärt system av adra ordige ka beskrivas med differetialekvatioe och överförigsfuktioe d y d y du a a y b b u (5.3) dt dt dt Y ( s) b s b G( s). (5.4) U ( s) s a s a Vi skall edast behadla system med b och i detta avsitt edast fall där b, dvs system med överförigsfuktioer som sakar ollställe. I avsitt 5.5 behadlas fall med b. För att framhäva systemets geerella egeskaper skrivs överförigsfuktioe ofta på forme Gs () s K s, (5.5) där K är systemets förstärkig, beämes relativ dämpig och odämpad egefrekves eller aturlig frekves. Systemet sägs vara uderdämpat om, kritiskt dämpat om och överdämpat om. Om är systemet istabilt. Iblad aväds också forme 5 6

7 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige Gs () T s K T s, (5.6) där T /. Någo allmät vedertage beämig på T fis ite, både aturlig period och adra ordiges tidskostat förekommer Trasietsvar Trasietsvaret till e give isigalförädrig ka på ormalt sätt bestämmas geom ivers Laplacetrasformerig. Härvid bör ma beakta att lösiges form är olika beroede på om systemet är uderdämpat, överdämpat eller kritiskt dämpat. Ett uderdämpat system ( ) har ämlige komplexa poler (dvs röttera till de karakteristiska ekvatioe är komplexa), ett överdämpat system ( ) har reella poler och ett kritiskt dämpat system ( ) har e reell dubbelpol. Kritiskt dämpat system Överförigsfuktioe för ett kritiskt dämpat system skrivs ofta på forme Gs () Ts K, (5.7) där T /. Impuls- och stegsvaret fås geom ivers Laplacetrasformerig av uttrycket Y ( s) G( s) U ( s). För e impuls av storleke I är U ( s) I, vilket ger impulssvaret KIt yt () e t T /. (5.8) T För e stegförädrig av storleke u steg gäller U ( s) usteg / s, vilket ger stegsvaret / steg. (5.9) yt () Ku ( t/ T)e t T Svare fis avbildade i figur 5. och 5. ( ). Överdämpat system Överförigsfuktioe för ett överdämpat adra ordiges system skrivs valigtvis i forme K G ( s), (5.) T s T s där T och T, är relaterade till och eligt (vi atar att T T ) Omvät gäller Systemet har impulssvaret T,, TT T. (5.) T T. (5.) T T K I t / T t / T y( t) e e (5.3) T T 5 7

8 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige och stegsvaret t / T t / T y ( t) Ku steg T e T e. (5.4) T T Svare fis avbildade i figur 5. och 5. ( ). Uderdämpat system Det faktum att karakteristiska ekvatioe för ett uderdämpat system har komplexa rötter gör att de aalytiska uttrycke för systemets trasietsvar iehåller trigoometriska fuktioer. För impulssvaret fås där Stegsvaret blir där () t e si( ) y t KI t, (5.5),. (5.6) () t steg e si( ) yt Ku t, (5.7) arccos( ),. (5.8) Alterativt ka stegsvaret med hjälp av trigoometriska sambad (eller e aa form av Laplacetrasforme) uttryckas med si( t) och cos( t). Svare ses i figur 5. och 5. ( ). Normerade trasietsvar Figur 5. visar impulssvaret och figur 5. stegsvaret för olika system av adra ordige uta ollställe. När svaret och tide ormeras såsom i figurera bestäms svare etydigt av dämpigsfaktor. Märk att detta äve gäller för kritiskt dämpade och överdämpade system. Ma ka otera att trasietsvare för ett uderdämpat system är oscillerade, meda trasietsvare för ett kritiskt dämpat och ett överdämpat system är mera mootoa. För dessa system har impulssvaret visserlige e vädpukt aars kude ju ite utsigale återgå till sitt iitialvärde me stegsvaret sakar översläg. I det avseedet likar stegsvaret för ett kritiskt dämpat eller överdämpat adra ordiges system stegsvaret för ett första ordiges system. E väsetlig skillad är dock att stegsvaret för ett första ordiges system har si brataste lutig geast i börja av svaret meda ett adra ordiges system ite har det. Med ledig av detta ka ma avgöra om ett givet stegsvar ka vara svaret för ett första ordiges system eller ite. y KIω ζ = y Ku steg ζ = ω t Figur 5.. Impulssvar för system av adra ordige uta ollställe. 5 ω t Figur 5.. Stegsvar för system av adra ordige uta ollställe. 5 8

9 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige 5.3. Idetifierig av överdämpat system I detta avsitt beskrivs e ekel metod för idetifierig av ett överdämpat adra ordiges system uta ollställe utgåede frå dess stegsvar. Systemets överförigsfuktio ges av ekvatio (5.), eller ifall e dödtid L ikluderas, G( s) Ke Ls T s T s. (5.9) Liksom tidigare bestäms systemets förstärkig K eligt ekvatio (5.7). E evetuell dödtid ges av de tid som stegsvarets iitialrespos är fördröjd i förhållade till stegförädrige. Huvudproblemet är således att bestämma systemets tidskostater T och T. I det följade atas att T T. Som gräsfall ka systemet vara kritiskt dämpat ( T T ) eller av första ordige ( T ). Modifierad Harriotts metod Harriott (964) har utvecklat e relativt ekel grafisk metod för bestämig av överförigsfuktioer av type (5.9) utgåede frå stegsvar. Eftersom umeriska beräkigar av de typ som ligger till grud för metode ite utgör ågot problem uförtide, preseteras här e modifierig av Harriotts metod. Modifierige är ågot oggraare ä origialmetode och har också de fördele, att ekvatioer ka avädas i stället för de hjälpdiagram som behövs i origialmetode. Pricipiell beskrivig Alla system av type (5.9) har ett stegsvar som år 7 % av slutliga totala förädrige vid e tidpukt t L,5( T T ). Om ma först uppskattar dödtide L får ma ekelt summa av tidskostatera utgåede frå stegsvaret vid dea tidpukt. Vidare gäller att stegsvare för system med olika värde på parameter z T T är väl separerade vid tidpukte t L,5( T T). Parameter z ger e god karakteristik av systemets egeskaper eftersom ett första ordiges system har z, ett kritiskt dämpat system har z, och för ett överdämpat adra ordiges system gäller z. Figur 5. visar stegsvaret för ett första ordiges system, ett kritiskt dämpat adra ordiges system samt ett överdämpat adra ordiges system med z,. Stegsvare är ormerade så att utsigale y dividerats med de slutliga förädrige y och tide uttrycks med variabel ( t L) ( T T ). Av figure framgår att stegsvare år 7 % av totala förädrige T t L vid tide 7, 5 och de z T T T är väl separerade vid tide z,5. Figur 5.. Stegsvar för överdämpade system med olika värde på z. 5 9

10 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige Tidskostateras summa T ka uppskattas utgåede frå de tid det tar att å 7 % av de totala förädrige y meda stegsvarets värde vid de ormerade tide z ka avädas för e uppskattig av parameter z eligt diagrammet i figur 5.3. I verklighete varierar faktor 7, 5, som behövs för uppskattige av T, med drygt % beroede på värdet av parameter z. I Harriotts ursprugliga metod beaktades ite dea variatio, me här preseteras e metod där variatioe ka beaktas. När T och z är käda ka ma ekelt beräka tidskostatera T och T. Det är tack vare tidsaxels ormerig i figur 5. som stegsvare år 7 % vid ugefär samma ormerade tidpukt 7 samt har god separerig vid e aa ormerad tidpukt z. Dea ormerig förutsätter att ma käer tidskostateras summa samt de evetuella dödtide, vilket ma dock ite gör är ma skall idetifiera systemet. Lyckligtvis ka metode dock formuleras så att de verkliga tidsvariabel t aväds i stället för de ormerade tide. Kokret arbetsgåg. Bestäm de statiska förstärkige K eligt ekvatio (5.7).. Bestäm dödtide L visuellt frå stegsvaret. Valigtvis väljer ma e dödtid som är aige större ä tide för de första urskiljbara förädrige av utsigale, me midre ä vad tagetmetode skulle ge. 3. Avläs ur stegsvaret hur läge det tar att å 7 % av totala förädrige y och betecka de tide t Beräka tide t z, där stegsvare för olika system av type (5.9) är väl separerade, eligt t, 4t,6L. (5.3) z 7 5. Avläs stegsvarets värde y yz vid tide t z och beräka förhålladet yz y. (a) Om förhålladet ligger i itervallet, 7 y, 4, (5.3) z y avläses z frå diagrammet i figur 5.3. Alterativt ka z beräkas eligt formel z,67 l y y,687,85 y y. (5.3) z (b) Om yz y ite ligger i itervallet (5.3), ka stegsvaret vid tide t tz ite erhållas med e modell av type (5.9) och de valda dödtide L. Om ma ädå vill bestämma e såda modell, ka ma förfara eligt följade: (i) Om yz y, 7, väljes z. Tide t tz avläses frå stegsvaret vid y,7 y. (ii) Om yz y, 4, väljes z. Tide t tz avläses frå stegsvaret vid y,4y. I båda falle beräkas e y dödtid L frå ekvatio (5.3). Tide t 7 ädras ite. Alterativt ka ma mauellt (i) öka L om yz y, 7, (ii) miska L om y y, 4, och fortsätta frå pukt 4. z 6. Avläs 7 frå figur 5.4 eller beräka parameter (approximativt) eligt 7 z,8z,73,7z. (5.33) 8 z 5

11 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige 7. Beräka tidskostateras summa eligt T ( t L)/. (5.34) Beräka tidskostatera eligt T T ( z), T T T. (5.35) Figur 5.3. y z som fuktio av z. Figur som fuktio av z. 5

12 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige Exempel 5.. Approximativ idetifierig med första och adra ordiges system. Vi skall utgåede frå ehetsstegsvaret för ett system som beskrivs av överförigsfuktioe G ( s), () 6s 4 s s bestämma a) e approximativ modell av första ordige med dödtid eligt modifierade tagetmetode; b) e approximativ modell av adra ordige med dödtid eligt Harriotts modifierade metod. För jämförelses skull skall vi också bestämma optimalt apassade modeller av första och adra ordige samt jämföra de olika modelleras stegsvar med det exakta stegsvaret. I e verklig situatio mäter vi hur utsigale varierar är isigale är e stegförädrig. Här skall vi dock för illustratioes skull först beräka stegsvaret för systemet. För ekelhets skull räkar vi med dimesioslös tid. Eftersom isigale u är ett ehetssteg, är dess Laplacetrasform U ( s) / s. Vi får då ehetsstegsvaret Y ( s) G( s) U ( s). () (6s )(4s )(s ) s Detta uttryck fis ite i vår Laplacetrasformtabell, vilket iebär att vi behöver göra e partialbråksuppdelig. Vi förbigår detaljera och kostaterar att iverstrasformerig av det allmäa uttrycket F( s) T s T s T 3s s (3) ger tidsfuktioe f ( t) ( T då T T T3 T T )( T e T ). I vårt fall får vi med 6 3 t / T T t / T T 3 t / T e e 3 ( T T )( T T3 ) ( T3 T )( T3 T ) T, T 4 och T 3 stegsvaret. (4) 9 t / 6 t / 4 t / y( t) e 4e e (5) som fis uppritat i figur 5.5. För både a)- och b)-fallet behövs systemets förstärkig K. För ett ehetssteg är u steg och eligt figur 5.5 är y. Ekvatio (5.7) ger då förstärkige K. a) Vi skall bestämma e modell av första ordige med dödtid eligt modifierade tagetmetode. Figur 5.5 ka avädas för de grafiska kostruktioer som behövs. Vi börjar med att dra e taget geom de pukt där stegsvaret har si brataste lutig och avläser var tagete skär tidsaxel. Skärigspukte har tidskoordiate t, 5, vilket ger dödtide L, 5. Vid 63 % av totala förädrige y är y y63,63 y, 63. Detta värde uppås vid t, 5 (mycket approximativt), vilket betyder att LT,5. Vi har därmed bestämt ett system av första ordige med K, T och L, 5, dvs ett system med överförigsfuktioe,5s G ( s) e. (6) s 5

13 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige y(t) Ehetsstegsvar för systemet t Figur 5.5. Ehetsstegsvaret för systemet G (s). Ehetssteget U ( s) / s samt iverstrasformerig av Y s) G ( s) U ( ) ger ehetsstegsvaret y t / ( t,5) e ( s. (7) Detta stegsvar fis uppritat i figur 5.6 tillsammas med det verkliga systemets stegsvar. a) Apassat första ordiges system y(t) t Figur 5.6. Ehetsstegsvare för G (s) (heldrage lije) och G ( ) (streckad lije). s 5 3

14 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige Ma ka äve bestämma modellparametrara umeriskt geom miimerig av kvadratsumma av skillade mella modelles och det verkliga systemets stegsvar i ett atal pukter. E såda optimerig ger K,, T 9, 5 och L 3, 83. Modelles stegsvar fis uppritat i figur 5.7 tillsammas med det verkliga stegsvaret. Felkvadratsumma blir midre ä för G ( ), me det är klart att dödtide är för stor och äve försärkige är aige för hög. s Optimerat första ordiges system y(t) t Figur 5.7. Ehetsstegsvare för G (s) (heldrage lije) och optimerat första ordiges system (streckad lije). b) Vi skall bestämma e modell av adra ordige med Harriotts modifierade metod. Vi börjar med att bestämma de tidpukt då systemet ått 7 % av de totala förädrige. Eligt figur 5.5 får vi t 7 5. Eligt stegsvaret ser det ut som om det skulle behövas e dödtid ugefär av storleke. I allmähet får ma dock som helhet e bättre apassig geom att välja e dödtid som är aige större ä de verkliga, vilket äve framgår av a)-fallet. Låt oss därför välja L, 5. Eligt ekvatio (5.3) får vi då t 6,9. Nästa steg är att avläsa z z y y vid t 6,9. Stegsvaret i figur 5.5 ger y,75. Eftersom y, ger figur 5.3 z,6 (,6 eligt ekv. (5.3)). För detta värde på z ger figur 5.4 7, 67 (ekv. (5.33) ger,63). Ekvatio (5.34) ger u T,69 varefter ekv. (5.35) ger T 6,6 och T 4,. Vi har därmed bestämt ett system av adra ordige med överförigsfuktioe,5s G () s e, (8) (6,6s)(4,s) som har ehetsstegsvaret t/6,6 t/4, y ( t,5),4 6,6e 4,e. (9) Detta stegsvar fis avbildat i figur 5.8 tillsammas med det verkliga systemets stegsvar. Eligt figure förefaller apassige mycket god. z 5 4

15 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige E optimerig av parametrara för ett adra ordiges system med dödtid geom apassig till det verkliga stegsvaret såsom i fall a) ger K,, T T 5, 35 och L, 38. Figur 5.9 visar stegsvaret för detta system tillsammas med stegsvaret för det verkliga systemet. Apassige är edast margiellt bättre ä de som erhölls med Harriotts modifierade metod. b) Apassat adra ordiges system y(t) t Figur 5.8. Ehetsstegsvare för G (s) (heldrage lije) och G ( ) (streckad lije). s Optimerat adra ordiges system y(t) t Figur 5.9. Ehetsstegsvare för G (s) (heldrage lije) och optimerat adra ordiges system (streckad lije). 5 5

16 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige Idetifierig av uderdämpat system Såsom framgår av figur 5. karakteriseras ett stegsvar av ett uderdämpat system ( ) av oscillatio. Uppebarlige ka svägigaras amplitud och frekves utyttjas för idetifierig av ett adra ordiges uderdämpat system. y max P y ( δ) y y ( δ) t r t δ System med oscillerade stegsvar ka karakteriseras med hjälp av olika parametrar som ka utläsas ur stegsvaret. Ett atal dylika parametrar fis utmärkta i figur 5.. För att uderlätta de verbala parameterdefiitioera eda atar vi att utsigales iitialvärde är oll (dvs vi aväder avvikelsevariabler) samt att stegsvarets slutvärde är positivt. Märk att y och y max ager förädrigar (dvs avvikelser) frå iitialvärdet som rådde före förädrige. Vi defiierar: y Utsigales slutliga värde (>). y max Utsigales största värde, som är lika med första översläges maximivärde. M Maximal relativ översläg, M ( y max y ) / y. P Svägigaras periodtid (speciellt de första mätbara periode). t r t 5 6 Stigtid, som är de tid det tar ia utsigale för första gåge passerar y. Iblad defiierar ma stigtide som de tid det tar att för första gåge komma frå % till 9 % av y. Isvägigstid, som är de tid det tar tills utsigale i fortsättige hålls mella ( ) y och ( ) y, dvs tills ( ) y y( t) ( ) y, t t, gäller. Valigtvis aväds,5 5% eller, %. Utgåede frå de aalytiska lösige av systemets stegsvar ka ma härleda uttryck som relaterar dessa parametrar till parametrara i systemets överförigsfuktio Gs () s Med avädig av beteckige Figur 5.. Stegsvaret för ett uderdämpat system. K s,. (5.36) (5.37)

17 5. Ekla dyamiska system 5.3 System av adra ordige fås för maximala relativa översläge ymax y / M e, (5.38) y för periodtide P, (5.39) och för stigtide tills utsigale passerar y t r arcta( / ). (5.4) Dessa uttryck är exakta. För isvägigstide ka ett exakt allmägiltigt uttryck ite härledas, me approximativt gäller l t, M. (5.4) För idetifierig av systemet är det ormalt eklast att mäta M och P. Systemets relativa dämpig ka då bestämmas ur ekvatioera (5.37) och (5.38), varefter de odämpade egefrekvese fås ur ekvatio (5.39). Stigtide och ekvatio (5.4) ka äve avädas i stället för (5.38) eller (5.39). Systemets förstärkig K bestäms på ormalt sätt eligt ekvatio (5.7). Stegsvaret för ett kraftigt uderdämpat system är i allmähet käsligt för störigar, parametervariatioer och avvikelser frå ideala systematagade. I praktike är t.ex. e stegförädrig ite perfekt, såvida de ite är e börvärdesförädrig, och systemet är ite exakt av adra ordige. Sådaa avvikelser påverkar främst systemets iitialrespos och därmed de första översläge. Ma ka därför få bättre resultat om idetifierige baseras på flera svägigar. Vi beteckar de :te översläges maximivärde med y max, och de :te udersläges miimivärde med y mi,. Dessa är med adra ord stegsvarets :te lokala maximivärde resp. miimivärde. Utgåede frå ekvatio (5.7) ka ma då härleda ymax, k y y ymi, k k k / M R e, (5.4) ymax, y y ymi, där M R k beteckar kvote mella +k:te och :te relativa översläge eller udersläge. Exempel 5.3. Idetifierig av uderdämpat adra ordiges system. Vi skall idetifiera ett uderdämpat adra ordiges system utgåede frå stegsvaret i figur 5.. Tidsaxel i figure går frå till sekuder och utsigalaxel frå till,5. Ur figure erhåller vi ymax y,7,5 M,447 och P 9,75 3,5 6, 5. y,5 Ekvatio (5.37) och (5.38) ka lösas med avseede på, vilket ger l M. () (l M ) Numeriskt får vi, 485. För de odämpade egefrekvese ger ekv. (5.39),998. Förstärkige K ka ite bestämmas, eftersom isigales stegstorlek ite är give. De korrekta värdea, som aväts vid uppritadet av stegsvaret, är, 5 och. 5 7

18 5. Ekla dyamiska system 5.4 System med dödtid 5.4 System med dödtid Med dödtid avses e fördröjig. Utsigale frå ett system beståede ebart av e dödtid L ser exakt ut som isigale, me de är fördröjd med L tidseheter. Om utsigale beteckas y (t) och isigale u (t) gäller således för e re dödtid y( t L) u( t). (5.43) I praktike beror e dödtid ofta på trasportfördröjig. Ett typiskt exempel är ett trasportbad. Äve vid vätske- och gasströmig i e rörledig uppstår dödtider beträffade det strömmade mediets egeskaper såsom temperatur och kocetratio. Mätistrumet ka iblad medföra e dödtid, t.ex. vid aalys av mätsampel. Överförigsfuktioe för e dödtid av storleke L är Ls G( s) e. (5.44) Dea fuktio är i pricip ekel, me som bekat medför dödtider reglertekiska problem. Detta atyds också av att dödtider tillhör gruppe icke-miimumfassystem (se kapitel 8). Därtill ger dödtider ofta, speciellt i kombiatio med adra systemelemet, aalys- och beräkigsmässiga problem. Orsake är att överförigsfuktioera för adra typer av systemelemet är ratioella fuktioer, meda dödtides överförigsfuktio är e irratioell fuktio. Därför har ma ofta aledig att aväda ratioella approximatioer av (5.44). Ekla ratioella approximatioer ka härledas frå Taylorserieutvecklige av 3 Ls e, dvs Ls ( Ls) ( Ls) e Ls. (5.45)! 3! Om edast de två första termera medtas erhålles de ekla me relativt ooggraa approximatioe Ls e Ls. (5.46) Om fler termer medtas fås e bättre approximatio, me haterige av uttrycket blir i praktike också besvärligare är polyomets gradtal stiger. E aa möjlighet är att utyttja omskrivige och serieutvecklige Ls e. (5.47) Ls 3 e ( Ls) ( Ls) Ls! 3! Om edast de två första termera i ämare beaktas fås approximatioe Ls e, (5.48) Ls vilket iebär att dödtide L approximeras som ett första ordiges system med tidskostate L. Om fler termer medtas fås approximatioer med system av högre ordig. Ma ka kombiera dessa två metoder på olika sätt. Ett sätt är att utyttja omskrivige e Ls Ls Ls e (5.49) e 5 8

19 5. Ekla dyamiska system 5.4 System med dödtid samt Taylorserieutveckligara av täljare och ämare. Om edast de två första termera av Taylorseriutveckligara medtas fås Ls Ls e, (5.5) Ls Ls dvs ett propert, me ite strikt propert, första ordiges system, som har gaska speciella egeskaper, vilket framgår av ledet lägst till höger. Padé-approximatioer är e aa typ av approximatioer, som är härledda uder vissa optimerade betigelser. Första ordiges Padé-approximatio är idetisk med (5.5) meda adra ordiges Padé-approximatio är e Ls Ls Ls ( Ls) ( Ls). (5.5) Observera att (5.49) ite erhålls utgåede frå avklippta Taylorserier. Padé-approximatioera det fis också approximatioer av högre ordig är härledda så, att deras frekvessvar (se kapitel 8) likar dödtides frekvessvar (båda har förstärkige vid alla frekveser), meda tidssvare avviker mer. Ytterligare e approximatiosmöjlighet ligger ära till hads. Expoetialfuktioe ämlige defiieras med hjälp av gräsvärdet Om ma utyttjar omskrivige Ls x e ka x x e lim. (5.5) e / e e Ls Ls fås då approximatioe Ls, (5.53) dvs ett :te ordiges system där ma själv ka välja ordige. Ordige ger samma approximatio som (5.48). Högre ordig ger givetvis bättre approximatio. 5.5 System med iverssvar System med iverssvar uppvisar stegsvar vars riktig ädrar e eller flera gåger i börja av stegsvaret. Detta skall ite förväxlas med svägigar för uderdämpade system, vars stegsvar sväger krig det värde utsigale ärmar sig med tide. System med iverssvar tillhör de grupp av system som kallas icke-miimumfassystem (se kapitel 8). Dylika system är ite ovaliga. Ett ekelt exempel är kvicksilvertermometer. Vid höjig av omgiviges temperatur utvidgar sig först glasröret, vilket får kvicksilverpelare att sjuka. Iom kort börjar äve kvicksilvret att utvidga sig (desitete avtar) så att ivåförädrige börjar gå i rätt riktig. Ett aat exempel på samma typ av beteede är vätskeivå i e ågpaa vid ökig av matarvattetillförsel. System med iverssvar är besvärliga att reglera, eftersom ma iblad får vilseledade iformatio. Sådaa system karakteriseras av e överförigsfuktio med (ett eller flera) positiva ollställe, vilket är ekvivalet med egativa tidskostaer i dess täljare. Figur 5. illustrerar stegsvaret för e överförigsfuktio med oll, e eller två egativa täljartidkostater. 5 9

20 5. Ekla dyamiska system 5.5 System med iverssvar G(t) G G G G G G T s T s T s T s T s,5,5 T s T s T s T s T s,5,5 T s T s T s T s T s,5 3 3, t/t Figur 5.. Stegsvar med olika atal egativa täljartidkostater. Såsom de ämda exemple atyder ka system med iverssvar uppstå är ma parallellkopplar två delsystem vars förstärkigar har olika tecke. Övig 5.. K K Två system med överförigsfuktioera G och G parallellkopplas så T s T s att ett system med överförigsfuktioe G G G erhålles. Atag att T T och visa T K att G är ett icke-miimumfassystem om. T K 5.6 System i serie Vid aalys av seriekopplade system är det viktigt att veta om systeme är iterfererade eller icke-iterfererade. I det förra fallet påverkas ett delsystem av efterföljade delsystem i serie, i det seare fallet påverkas varje delsystem edast av tidigare delsystem i serie. Om ma t.ex. seriekopplar två exemplar av lågpassfiltret i exempel 3., så kommer de att iterferera, eftersom de efterföljade kretse belastar de förra. Om ma däremot förser det första filtret med e förstärkare på utgågssida, så att dess utspäig ite påverkas av belastige, kommer de ite att iterferera med varadra. E aalog situatio ka erhållas om ma seriekopplar två vätskebehållare, där utströmige sker med självtryck (jfr exempel 3.5). Om utströmme frå de första behållare rier fritt i i de adra existerar ige iterferes, me om behållara är kopplade så, att utströmme frå de första behållare strömmar geom ett rör till edre dele av de adra behållare, uppstår iterferes pga det mottryck som vätskeivå i de adra behållare utövar på iströmme. Icke-iterfererade delsystem i serie är ekla att hatera. Deras överförigsfuktioer ka härledas var för sig och sammaslås geom multiplikatio såsom visats i avsitt Iterfererade delsystem är besvärligare att hatera, eftersom de eskilda delsystemes egeskaper modifieras av iterferese. I dylika fall måste ma ofta modellera och behadla delsysteme som e helhet. 5

21 5. Ekla dyamiska system 5.6 System i serie Exempel 5.4. Icke-iterfererade vätskebehållare. Vätskebehållare till höger ka beskrivas med modelle (se Exempel 3.5) F d ht ( ) A F() t F() t, () () dt F t h t () där F () t strömmar fritt ut geom självtryck pga vätskeivå h F ht (). Behållares tvärarea A och parameter är kostata. Lijäriserig vid ivå h h samt elimierig av h med hjälp av F ger överförigsfuktioe F () s Gs () F () s Ts, A h T. () De vidståede två seriekopplade vätskebehållara med tvärareora A resp. A har överförigsfuktioera F G () s Ts, G () s (3) Ts h med A h A h T, T. (4) Överförigsfuktio frå F till F är F () s Gs () G() sg() s F () s ( Ts)( T s) F h F (5) Exempel 5.5. Iterfererade vätskebehållare. Vätskebehållara till höger är iterfererade eftersom F beror av både h och h. Därmed påverkar de efterföljade behållare de föregåede. Behållare ummer beskrivs av modelle F h h F F d h ( t) A F() t F() t, dt F() t h() t, () som efter lijäriserig ger överförigsfuktioe F () s G () s F() s Ts, T A h () precis som i fallet med icke-iterfererade behållare. Eftersom (atages h h) F () t h () t h () t (3) blir överförigsfuktioe för behållare dock aorluda. Lijäriserig av modelle för behållare och elimierig av h och h ger efter e del härledigar F () s K F () s Ts, A h K, ( A A ) h G () s A h h T K. (4) För behållare ädras således både förstärkige och tidskostate. Överförigsfuktioe frå F till F ges av samma uttryck (5) som i föregåede exempel (me G är olika). 5