Kaffe 5 kr Bulle 5 kr Kaffe och bulle 8 kr

Transkript

1 Exmpl Som knt gällr tt sts Exmpl Följnd skylt finns på tt cfé Pythgors sts Arn Södrqvist, KH-Syd = 5 Likhtn kn tolks som n mnifsttion v Pythgors Kff 5 kr Bull 5 kr Kff och ull 8 kr Likhtn 5+ 5= 8 gällr int Ändå stämmr skyltn ntglign; mn får viss rtt om mn fstr ordntligt gnom tt t åd n kopp kff och n ull Pythgors sts kn fktiskt hjälp oss! Nu är Pythgors sts i sdvnlig tppning int till någon störr hjälp, mn vi gör n gnrlisring! Knsk tt dt finns tt tl, p, sådnt tt p p p = 8 Dt visr sig tt tt sådnt tl p fktiskt xistrr och tt p = ln, 47 ln 8 ln 5 p p p p Allmänt sägs smndt + = c vr n mnifsttion v Pythgors sts i l -norm Exmpl 3 Låt A och B vr två disjunkt händlsr md snnolikhtrn P(A) rspktiv P(B) Då gällr smndt PA ( B) = PA + PB, dvs här förliggr tt xmpl på Pythgors sts i l -norm Exmpl 4 Låt X och Y vr två orond stokstisk vrilr Vi ildr dn ny stokstisk vriln Z=X+Y Vi kn trkt dtt smnd som n tillämpning v Pythgors sts i l -norm Exmpl 5 Låt σ X och vr stndrdvviklsn för dn stokstisk vriln, X, och låt σ Y vr stndrdvviklsn för n nnn stokstisk vril, Y, där X och Y är orond Låt σ Z vr stndrdvviklsn för dn stokstisk vriln Z=X+Y Då gällr smndt σ + σ = σ, dvs vi hr tt xmpl på Pythgors sts i l -norm X Y Z Exmpl 6 Vrinsrn för d stokstisk vrilrn ovn är smndt ( σ X ) ( σy ) ( σz ) i l -norm σ X, σ Y rspktiv σ Z För dss gällr + =, lltså tt smnd som kn trkts som Pythgors sts

2 Exmpl 7 PA ( B) PA PB = + kn skrivs om som ( PA ( B) ) ( PA ) ( PB ) därmd hr vi tt xmpl på Pythgors sts i l -norm = + och Exmpl 8 Vi väljr tt p sådnt tt p < För och dfinirr vi hlt nklt c så tt p p p c + (c lir dock int ntydigt dfinirt) Därmd lir normn v c, p p p c = + Exmpl 9 v w Vktorrn v och v är ortogonl och v+ v = w Pythgors sts gr v + v = w v Exmpl v = 4 w = = = Pythgors sts gr v + v = + = + = = = 5= w v = 3 Md mtrisformlism kn dtt formulrs 3 v + v = ( 3, 4) = 5 = w 4

3 Exmpl v = 8 w = 3 +8 =, =,5 Md mtrisformlism lir Pythgors sts 3 ( 3 v + v =,8 ) = 5= w 8 v = 3 Mtrisn hr lltså digonllmntn och, mdn motsvrnd ( ) mtris i Exmpl 9 hd ttor som digonllmnt Inom sttistik och snnolikhtstori rukr och i dtt smmnhng nämns viktr (rminologin inom sttistikn och snnolikhtstorin är oft åd suggstiv och ändmålsnlig) Exmpl Pythgors sts kn gnrlisrs till tt högr ntl dimnsionr Rymddigonln i n rätvinklig prllllpipd md sidorn 3 cm, 4 cm och 5 cm hr längdn = 5 7, 7 cm Exmpl 3 Låt i, i =, n vr n styckn prvis ortogonl svktorr, där svktorn i hr normn i Bild vktorn v= α+ + α NN α v = N, där mtrisn α N N Då gällr tt ( α α ) är n digonlmtris N 3

4 Exmpl 4 Låt oss utgå från intrvllt Ω= [ d, ], där < d Vi gör så n indlning v Ω i kvivlnsklssrn [,, ) [ c, ) och [ cd,, ] där lltså < < c< d Vi introducrr vidr dn styckvis konstnt funktionn [ d, ] f där α, x [, ) β, x [ c, ) f( x) =, α, β, γ γ, x [ cd, ], x [ d, ] f ( x ) kn trkts som n vktor ( α, β, γ ) md dlintrvlln [,, ) [ c, ) och [ cd, ] som svktorr Därmd rhålls f [, ) α = α β γ [, c) β γ [ c, d] Dt som åtrstår tt dfinir mtrisns digonllmnt Vi gör så följnd dfinitionr [, ) c, c cd, d c, dvs normns kvdrt är dfinitionsmässigt dtsmm som måttt v motsvrnd dlintrvll, [ ) och [ ] Exmpl 5 Låt Ω= { c,, } Md potnsmängdn till Ω, Ρ ( Ω), mns mängdn v ll dlmängdr till Ω Alltså är Ρ ( Ω) {, { },{ },{ c},{, },{, c},{, c}, Ω} Enligt tt känt fktum från grupptorin är P ( Ω) n lsk grupp md vsnd på mängdoprtionn symmtrisk mängddiffrns, Md hjälp v n lämplig sklärkropp kn mn så åstdkomm tt vktorrum Vi väljr här sklärkroppn och dfinirr för x P ( Ω) [ ] x = och [ ] x = x Vi förutsättr vidr xistnsn v n måttfunktion, m, på P ( Ω) ; måttt kn tx vr tt snnolikhtsmått = = = ildr n s för P ( Ω) D gnrlisrd vktorrn { }, { } och { } 3 c P ( Ω) kn nu trkts som tt inr produktrum gnom dfinitionrn i i = m( i), i =,, 3 i j =, i j Eftrsom svktorrn är prvis ortogonl kn följnd likht nss vr n mnifsttion v Pythgors sts + + = Ω 3 4

5 Dtt är kvivlnt md m( ) + m( ) + m( 3) = m( Ω), där, om mn så vill, vänstr ldt kn skrivs [] [] [] [ ] [] [] 3 3 Mn kn ild sklär produktn mlln två godtycklig vktorr i Ρ ( Ω) vktorrn {, } = [ ] [ ] [ ] och {, c } = [ ] [ ] [ ], tx mlln 3 3 (Dn inär oprtionn i Ρ ( Ω) är ju symmtrisk mängddiffrns, ) { } { } [] [ ] [] [ ] [] [] m( ) c, c, =,, m = m 3 m( 3) Eftrsom m( i ), i =,, 3 är tl och [ ] och [ ] är lmnt i, lir dt nödvändigt tt gör dfinitionrn [ ] m( )[ ],,, 3 i m i i = och m( ) m( ) m( ), i =,, 3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i i i Exmpl 6 Låt f x vr n rllvärd kontinurlig funktion dfinird på tt intrvll, [, ) Mn kn tänk sig intrvllt [, ) indlt i infinitsiml disjunkt dlintrvll, [ x, x+ dx), vrs union lir intrvllt [, ) Dlintrvlln [ x, x+ dx) kn trkts som svktorr Funktionn f ( x ) kn därmd trkts som n vktor uttryckt i dnn s; f ( x) ( f( ), f( x), f( dx) ), där lltså kofficintn för svktorn [ x, x dx) ildn v x Därmd kn vi ild kvdrtn på normn v f( x) ( f( ), f( x), ) + är på följnd sätt [, + dx) f ( ) f( x) = ( f( ) f( x) f ( dx) ) [ x, x+ dx) f ( x) = f( dx) [ dx, ) = ( f ( x) ) d( m( x) ), där d( m( x )) är måttt v dt infinitsiml intrvllt [ x, x dx) Vi sägr tt f ( x ) är n L + norm, där dn tidigr tckningn l rstts v L, för tt indikr tt koordintrn för vktorn f ( x) utgör tt kontinuum 5

6 Dfinitionn [ x, x dx) d( m( x) ) + hr nmmts Vi kn md m vs dt sdvnlig längdmåttt, sådnt tt måttt v tt intrvll I, lir längdn v I, dvs sådnt tt mi = χ Idx, där χ I är krktristisk funktionn på intrvllt I I Vi kn å ndr sidn också vs tt gnrllr mått, vilkt är vnligt inom sttistik och snnolikhtstori Mn nvändr i dtt smmnhng mstdls tt mått sådnt tt för vktorn f( x) = χ, x, gällr tt χ = Mtrisn [, + dx) [ x, x+ dx) [ dx, ) är n digonlmtris dn är lltså n ( ) ( ) -mtris vrs ll lmnt utom digonllmntn är noll För dt sdvnlig måttt, där dt infinitsiml intrvllt [ x, x+ dx) hr måttt dx, kn dnn mtris skrivs dx dvs som n digonlmtris v storlkn ( ) ( ) vrs ll lmnt utom digonllmntn är noll, mdn ll digonllmnt hr värdt dx dx dx Exmpl 7 v = 4 w = v = 3 3 v + v = 3, 4 = 5 = w kn därmd formulrs på följnd sätt 4 v + v = wew = w Likhtn Vi nknytr till Exmpl 3 v + v = ( 3, 4) = 5 = w 4 Vi inför följnd mr kortfttd tckningr w = (3, 4) och E = 6

7 Vi kn nu inför ännu n -mtris, A, sådn tt dt A Därmd xistrr invrsn, A, till A Vi kn så formulr om likhtn ovn ign och därmd rhåll v + v = waa E AA w = w Mn uttryckt ( ) ( = ) = ( ) waa E AA w kn formulrs om på följnd sätt waa E waa waa E A A w wa A A wa Alltså gällr smndt + = wa A A wa v v uttryckt i n ny s, md d ny svktorrn A och A = w, där wa fortfrnd är vktorn w, fst Vi kn låt A = Då lir 6 6 ( A ) = A 6 = Vidr lir A = och 6 Då lir v + v = ( 3, 4) = = (,3) = = w 4 3 Exmpl 8 Vi knytr dnn gång n till Exmpl 5 och uttryckt m( ) [ ] ([] [] []) ( ) [] ( m = m ) + m( ) + m( 3) m( 3) [] Vi inför d kortr tckningrn = [ ] [ ] [ ] och D m( ) m( 3) = m( ) Likhtn ovn kn då skrivs D = m( ) + m( ) + m( 3) 7

8 Vi introducrr nu mtrisn dt är lätt tt vrifir tt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [] B = md invrsn BB = E, där [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] E = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [] [] = B ; Vidr är [ ] [ ] [ ] [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] = B och [ ] [ ] [ ] [] [] [] [ ] [ ] [ ] B = Vi kn då gör följnd omformulring D = BB D BB = B B D B B Vktorn vilds md mtrisn B på vktorn = [ ] [ ] [ ] B och B D B = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [] [] [ ] [ ] [ ] m( ) m( ) [] [] [] = m( 3) [ ] [ ] [ ] m( ) m + m m m + m + m( 3) = m( ) Alltså är B B D B B = m( ) = ([ ] [ ] [ ] ) m( ) [ ] = m + m m m + m + m( 3) [] = m( ) + m( ) + m( ), vilkt nturligtvis också ord vr fllt! 3 [ ] 8

9 Exmpl 9 Vi trktr åtrign dn rllvärd kontinurlig funktionn f ( x ) i Exmpl 6, dfinird på intrvllt [, ) Vi låtr måttt v vrj infinitsimlt dlintrvll, [ x, x+ dx), vr dx Därmd lir dx f ( ) f ( x) = ( f ( ) f ( x) f ( dx) ) dx f ( x) = ( f ( x) ) dx f ( dx) dx Vi inför d mr kortfttd tckningrn ( f ( ) f( x) f( dx) ) f = och D = dx dx dx Md dss tckningr får vi f ( x) fdf f( x) dx = = f( x ) = fdf kn uppftts som dn sklär produktn ff Vi låtr gx vr yttrligr n kontinurlig funktionn dfinird på intrvllt [, ) inför tckningn g = ( g gx g ( dx) ) Vi ildr dn sklär produktn mlln f och g f g = fdg = och dx g( ) = ( f ( ) f ( x) f ( dx) ) dx g( x) = f ( x) g( x) dx g( dx) dx 9

10 En sklär produkt kn trkts ur mång synvinklr Vi sk snr t fst på tt om gx =, så kn f g tolks som sklär produktn v vktorn f md vktorn g ill tt örj md utnyttjr vi dock mtrismultipliktionns ssocitivitt Vi tänkr oss tt vi hr n funktion v två rll vrilr, x och s, gxs (, ) För vrj fixt värd på s lir gxs (, ) n funktion v x Vi kn lltså h synsättt tt vi hr n mängd funktionr v dn nd orond vriln x, mdn vriln s kn nss tillhör n indxmängd För något värd på s ildr vi så sklärproduktn mlln dn tidigr vktorn f och vktorn g s = ( gs (, ) gxs (, ) g ( dxs, )) f g s = fdg = s dx g(, s) = ( f ( ) f ( x) f ( dx) ) dx g( x, s) = f ( x) g( x, s) dx g( dx, s) dx Eftrsom s = ( s ) fdg f Dg kn mtrisn Dg s = g(, s) dx g( x, s) dx g ( dx, s) dx trkts som n mtris som vildr vktorn f på n nnn vktor, nämlign f ( xgxsdx ) (, ), som ju är n funktion v vriln s, och därmd också kn trkts som n vktor i gnrlisrd märkls f ( xgxsdx ) (, ) rukr klls n trnsformtion v f Eftrsom dfinitionsmängdn för f ( xgxsdx ) (, ), dvs dn mängd ur vilkn vriln s tr sin värdn, inglund hövr vr dnsmm som dfinitionsmängdn för funktionn f ( x ), lltså dn mängd ur vilkn vriln x tr sin värdn, så kn vnligtvis int vildningn Dg s trkts som n vildning v n mängd till sig själv

11 Exmpl Vi utgår från två funktionr, f ( x ) md dfinitionsmängdn [, ) och gxs (, ) md dfinitionsmängdn [, ) [ cd, ), där vntullt c=, och d=, I Exmpl 9 visds tt f ( xgxsdx ) (, ), till mängdn [ cd, ) kn trkts som n vildning från mängdn [ ) Vi låtr nu gxs (, ) xs = och [, ) = [, ) och ildr xs f () s = f() x dx Vi slopr krvt tt f ( x ) sk vr kontinurlig och nöjr oss md sådn villkor på f ( x ) tt intgrln lir konvrgnt f () s klls då lplctrnsformtionn, llr, ilnd kortr, lplctrnsformn v f ( x ) x [, ) Exmpl Vi utgår nu från diffrntilkvtionn y ( x) + 9 y( x) = sin x md ivillkort y() = y Mn kn nu rsonr på följnd sätt yx är n funktion v vriln x, dvs yx är n vktor i gnrlisrd märkls Därmd är också y ( x) och ävn y ( x) + 9 y( x) gnrlisrd vktorr Dn givn diffrntilkvtionn y ( x) + 9 y( x) = sin x kn tolks så tt vktorn y ( x) + 9 y( x) är smm vktor som sin x Därmd ör också d sklär produktrn mlln vktorn y ( x) + 9 y( x) och vktorrn gxs (, ) = xs g smm rsultt som d sklär produktrn v vktorn sin x gr md vktorrn gxs (, ) = xs (Dt kn viss tt vktorrn gxs (, ) xs s, är n s för mängdn v kontinurlig funktionr, dvs =, [ ) gnrlisrd vktorr, på intrvllt [ ), ) D sklär produktrn rhållr mn gnom lplctrnsformring v dn givn diffrntilkvtionns åd ld Gnomför mn d räkningr dtt innär rhållr mn sy() s y() + 9() y s = s + För tt visst värd på s hr vi lltså här sklärproduktn md motsvrnd svktor, nvändr dt rhålln smndt på dt sättt tt vi uttryckr lplctrnsformn v dn okänd funktionn yx, dvs yx, som funktion v s och rhållr därmd y ys () = ( s 9)( s ) s + 9 Sdn är dt är gntlign r tt räkn yx ign! xs Vi

12