5. Elektrisk ström Introduktion Kontinuitetsekvationen

Transkript

1 5. Elektrsk ström Koppars denstet ρ = 8.96 g/cm 3 samt atommassa m = u. lltså blr koppars atomdenstet ρ a = atomer/cm 3 och antalet elektroner tråden [RMC] N el = N at = π = lltså är för typska strömmar antalet elektroner som förflyttas på 1 sekund mycket mndre än det totala antalet elektroner! Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.1 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund Introdukton 5.2. Kontnutetsekvatonen Httlls har v granskat egenskaper hos statska laddnngsfördelnngar, d.v.s. laddnngar vla. V ska nu undersöka laddnngar lkformg rörelse. V behöver nte begränsa laddnngar tll att vara elektroner, utan de kan också vara negatva eller postva joner. De ledande materal utökas då tll att omfatta t.ex. elektrolyter och jonserade gaser, förutom metaller och legerngar. Laddnngar rörelse utgör en (elektrsk) ström. Strömmen betecknas I och defneras I dq dt, (5.1) där dq är den laddnngsmängd som passerar en yta på tden dt. Enheten: [I] = C/s =, kallas ampère. Exempel : Hur många elektroner passerar per sekund ett tvärsntt av en metalltråd med raden 0,1 mm, som bär en ström på 1 m? Svar: Ne = Q = I t = 1m 1 s = 1 mc, så att N = 6, elektroner. Exempel : Hur mycket är detta jämfört med totala antalet elektroner metallen? nta: tråden har längden 1 cm och består av Cu med en lednngselektron/atom? Svar: Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.2 Betrakta nu en lten tvärsnttsyta d, genom vlken strömmen di går: di = δq δt = qδn δt qnδr d V nförde nummertätheten n = N/V och laddnngarnas hastgheter v. Om v har flera sorters laddnngar måste v summera över dem alla: = qnδv δt = δt = qnδtv d = qnv d δt qnv nd (5.2) Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.4

2 di = ( ) q n v nd = q n v nd (5.3) V dv ρ(r ) t (5.10) Parentesen nnehåller en laddnngs-yttäthet per td, denna betecknas J q n v (5.4) och kallas ström-täthet. Enhet: [J] = /m 2 = C/(m 2 s). Totala strömmen genom en yta är nu I = d J (5.5) V får så att I = V dv ρ(r) t J + ρ(r) t = dv J (5.11) V = 0 (5.12) som kallas kontnutetsekvatonen. Dess fyskalska tolknng är enkel: den säger helt enkelt att laddnngar nte kan skapas ur ntet (eller förntas tll ntet). Ifall det fnns laddnngskällor eller -svalg systemet gäller den nte. Strömtätheten kan relateras tll laddnngstätheten ρ(r) på följande sätt. Strömmen n genom en sluten yta är I = d J = dv J (5.6) V eftersom J d < 0 då laddnngarna strömmar n ytan, d.v.s. mot ytnormalen. Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.5 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.7 Å andra sdan, strömmen kan skrvas Tdsderverngen opererar både på V och ntegranden. Derverngen kan skrvas I = dq dt = d dv ρ(r) (5.7) dt V d V ρ(r ) = dt V dρ(r ) dt (5.8) 5.3. Konduktvtet Exzpermentellt kan man vsa att vd en fxerad temperatur gäller för de flesta metaller att J = g(e)e, (5.13) där g kallas konduktvtet. Enheten: [g] = [J]/[E] = /m 2 / (N/C) = C/(Nm 2 ) = /(Vm), eftersom ϕ = dr E och potentalen mäts enheten V = Nm/C (volt). Kvoten /V har en egen betecknng, S, för semens. Konduktvteten kan alltså anges enheten /(Vm) eller S/m. Ekvatonen ovan går också under namnet Ohms lag. om de ensklda elementens volym förblr konstant. För lnjära sotropska också kallade ohmska meda gäller att g(e) är en materalkonstant, oberoende av E, så att v har Vdare, V dρ(r ) dt = ( dr V dt r ρ(r ) + ρ(r ) ) = t V ρ(r ) t (5.9) Man defnerar också resstvteten J = ge (5.14) om mttpunkten varje element hålls fxerad. η = 1 g (5.15) Detta ssta uttryck motsvarar Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.6 Dess enhet är Vm/ = m/s. Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.8

3 R ϕ B ϕ I (5.20) Följande teckenregler gäller: Ström kan också bäras av postva laddnngsbärare. Exempel är postvt laddade joner en elektrolytvätska eller nne en jonsk delektrsk krstall. I halvledarfysken har tomma elektrontllstånd, s.k. hål, en central roll. Dessa kan behandlas som effektvt sätt postvt laddade laddnngsbärare! Betrakta en rak ledare med längden L och den konstanta tvärsnttsarean. Ledaren har en konstant konduktvtet g. ntag för enkelhetens skull att elfältet E är konstant över ledarens tvärsntt och dess längd. V har då att där ϕ, ϕ B är potentalerna respektve B, och I är den ström som går mellan och B. Resstansen är allmänhet beroende på strömmens styrka, R = R(I), men för lnjära materal är R en konstant. Då v går elfältets rktnng sjunker potentalen, eftersom elfältet utför arbete: postva laddnngar förs från hög potentalenerg tll lägre potentalenerg. Det utförda arbetet har effekten P = d dt (Q ϕ) = I ϕ = IRI = RI2 = ( ϕ)2 R (5.21) Från detta får v ett nytt uttryck för resstansens enhet. [P ] = W = J/s = V = Ω 2 = V 2 /Ω. Detta ger = W/V = V/Ω Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.9 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.11 ϕ = I = dr E = EL (5.16) C d J = J = ge (5.17) V = W/ = J/C = Nm/C Ω = W/ 2 = J/( 2 s) = J/(Cs) = V 2 /W Den energ som förloras går åt tll att värma upp materalet. Detta kallas Joule-uppvärmnng eller Ohmsk uppvärmnng eller ohmsk (energ)förlust. Elmnera E: Resstvteter for några materal vd 20 C: så att I = g ϕ L (5.18) där R nkorporerar ledarens dmensoner och dess resstvtet. ϕ = L g I = ηl I RI, (5.19) Denna storhet kallas resstans och har enheten V/ Ω, som kallas ohm. Resstvtetens enhet Vm/ kan alltså också skrvas Ωm. Notera att den egentlga defnton för resstansen mellan punkterna och B för en allmän ledare är Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.10 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.12

4 Materal Resstvtet, η (Ωm) lumnum Koppar Guld Järn Nckel Slver Znk Wolfram Kol (graft) 10 6 Germanum* Ksel* Trä Gumm Glas Kvarts Kol (damant) *Halvledares resstvteter är extremt känslga tll temperatur och orenheter, så värdena ovan är bara rktgvande! Notera de enorma varatonerna över mer än 20 storleksordngar. Å andra sdan, notera också att trots att t.ex. glas ofta betraktas som en perfekt solator, leder den nog själva verket lte ström. Notera också att samma grundämne kan ha enormt olka resstvtet beroende på krstallstruktur Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund Statonär jämvkt kontnuerlga meda Statonär jämvkt betyder nu att laddnngsfördelnng ρ(r) hålls konstant varje punkt, trots närvaron av strömmande laddnngar. Kontnutetsekvatonen ger så att Men E = ϕ, så att detta ger 0 = J = ge = g E (5.22) E = 0 (5.23) 2 ϕ = 0 (5.24) Systemet beskrvs alltså av Laplace-ekvatonen, trots närvaron av strömmar. Randvllkoren ges av ϕ eller J på gränsytorna mellan ledarna och övrga cke-ledande meda. Vllkoren för gränsytor mellan ledare erhålls på följande sätt. (1) Tllämpnng av J = 0 på en pllerburk på gränsytan mellan ledare 1 och 2 ger genast att Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.15 (se värdena för kol). Exempel : I moderna halvledarkretsar är den vktgaste funktonella komponenten den s.k. MOSFET-transstorn. En av dess avgörande delar är det solerande oxdlagret under styr- gaten, som tlls nylgen bestod alltd av kseldoxd ( kvarts). Vad är läckströmmen genom ett oxdlager av storlek 100 nm 100 nm 10 nm under en operatonscykeltd på 1 ns (motsvarande en typsk processor-klockfrekvens på 1 GHz)? Spännngen över gaten kan antas vara av storleksordnngen 1 V. J 1,n = J 2,n (5.25) Ekvatonen J = 0 är nu vktgare än ekvatonen E = 0, eftersom den senare nte förmår ta strömmen beaktande. Ekvatonen ovan kan ju också skrvas (2) Kurvntegrals-ekvatonen dr E = 0 över gränsytan ger g 1 E 1,n = g 2 E 2,n (5.26) Q = I t = J t = g φ L t = 1 φ η L t = (100nm) Ωm 1V 10nm 1ns = C = elektroner som tdgare. E 1,t = E 2,t (5.27) lltså är läckaget extremt ltet! Dock bör noteras att detta kräver att kvartslagret har perfekt struktur - verklgheten är det nte det, vlket har lett tll att kseldoxden har börjat bytas ut mot andra materal. Betrakta en stuaton där två elektroder är nersänkta ett oändlgt ohmskt medum, som kännetecknas av den konstanta konduktvteten g och resstansen R. Om potentalskllnaden mellan elektroderna är ϕ så gäller ju ϕ = RI, (5.28) Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.14 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.16

5 där I är strömmen mellan elektroderna genom det ohmska medet Uppkomst av elektrostatsk jämvkt Men v har ju att där E är elfältet medet. I = ϕ R d J g d E (5.29) Om v kan dentfera detta elfält med det som en laddnng Q på elektroden ger upphov tll ett omkrnglggande delektrkum, d.v.s. om v kan använda förhållandet så v får v den aktuella stuatonen att d E = Q ε, (5.30) ϕ R = gq ε Elektroderna bldar då en kondensator, med kapactansen gven av ekvatonen (5.31) Q = C ϕ (5.32) Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.17 V ska nu ttta på hur snabbt ett medum uppnår elektrostatsk jämvkt, d.v.s. hur snabbt laddnngsfördelnngen arrangerar sg själv ett stablt tllstånd. Låt medet ha konduktvteten g och permttvteten ε, och låt det vara fyllt med laddnng med fördelnngen ρ(r, t). Vd tden t = 0 släcks det yttre elfältet. Kontnutetsekvatonen: Lösnngen är, för konstanta g, ε: där 0 = ρ t + J = ρ t + g E = ρ t + gρ ε (5.35) ρ(r, t) = ρ(r, 0)e gt/ε (5.36) Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.19 Kombnaton av de två senaste relatonerna ger oss d.v.s. där η är medets resstvtet. ϕ R = gc ϕ ε (5.33) RC = ε = εη, (5.34) g Denna ekvaton relaterar kapactansen och permttvteten för ett delektrkum tll dess resstans och konduktvtet, d.v.s. varje delektrkum har en förmåga att leda ström. lternatvt, ekvatonen relaterar resstansen och konduktvteten för ett resstvt medum tll dess kapactans och permttvtet, d.v.s. varje resstvt medum har en kapactans. t r = ε = εη (5.37) g är laddnngens tdskonstant eller relaxatonstd. Denna är ett mått på hur snabbt fördelnngen av fr laddnng förändras, det här fallet hur snabbt laddnngen sprds ut då det yttre fältet släcks. V såg tdgare att ledare reagerar mycket snabbt på (förändrngar ) yttre elfält. V har då att ju mndre tdskonstant ett medum har desto mera lknar det en ledare. De flesta delektrka har ε = (1 10)ε 0. Ifall de har η < ( ) Ωm kan de anses uppvsa ledar-lkt beteende, för då har de en tdskonstant t r = εη ε 0 Ωm 0, 1 s. I stuatoner där det yttre elfältets styrka eller rktnng bekrvs av en maxmal frekvens f så bör man stället ha att t r 1/f. Obs: Ekvatonen ovan kan nte tllämpas på metaller, eftersom värdet på ε är odefnerat. V kan ju nte utnyttja t.ex. en skvkondensator fylld med metallskt medum för att erhålla C och därefter ε, av uppenbar orsak. Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.18 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.20

6 5.6. Lednngens mkroskopska natur För ledare där enbart elektronerna är laddnngsbärare: Laddnngar en ledare påverkas av kraften qe, så att deras hastghet ändrar enlgt Newtons II lag: m dv = qe (5.38) dt Då strömmen är konstant har också laddnngarna en konstant hastghet, den så kallade drfthastgheten. V måste då ha att laddnngarna också påverkas av en bromsande kraft, som v kan anta är proportonell mot hastgheten: Lösnngen tll denna ekvaton är m dv = qe Gv (5.39) dt v(t) = q G E(1 e Gt/m ) (5.40) eftersom q = e, e > 0. g = ne2 τ (5.47) m J = nev d (5.48) V kan göra följande tolknng för laddnngarnas rörelse ett ledande materal. Efter att laddnngen kollderat med en atom materalet och kommt tll vla accelereras den av elfältet upp tll sn drfthastghet, varefter den gen kollderar materalet. V har då att så att τ kan tolkas som tden mellan kollsoner. v d = qτ m E = qe m τ = F τ = aτ (5.49) m Tdskonstanten är τ = m G (5.41) V defnerar också medelvärdet av den fra vägen (genomsnttlga fra vägen, mean free path) λ för laddnngen, med ekvatonen λ = v T τ (5.50) Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.21 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.23 Vd statonär jämvkt är acceleratonen noll, så att hastgheten då är I början av detta kaptel vsade v att så att och För flera sorters laddnngar: v d = q G E = qτ m E (5.42) J = nqv d (5.43) J = nq2 τ E ge (5.44) m g = nq2 τ m g = (5.45) n q 2 τ m (5.46) där v T är laddnngarnas termska hastghet. För elektroner gäller v T v d. λ 10 8 m vd rumstemperatur, för (elektroner ) metaller och halvledare. För metaller: v d 10 2 m/s, v T 10 6 m/s, τ s. För halvledare: v T 10 5 m/s vd rumstemperatur, τ s. Perfekta ledare har ngen resstans, så dessa måste gälla att η = 0. Men detta betyder att g =, så att τ och λ båda är oändlgt stora. Detta betyder att elektronerna aldrg kollderar med ledaren. Man kan med en kvantmekansk behandlng vsa att elektroner tredmensonella perodska gtter (krstaller med regelbundna atompostoner) rör sg utan att kolldera med materalet de rör sg. Perfekta ledare består alltså av perfekta gtter vd 0 K. Varfrån kommer då ändlga relaxatonstder och en ändlg konduktvtet? De kommer från elektronernas växelverkan med defekter, orenheter och vbratonskvanta (fononer) gtter. För mer om detta, se kursen Fasta tllståndets fysk. Det är också vktgt att veta att begreppen perfekt ledare och elektrsk supraledare nte är samma sak - supraledare har vsserlgen nollresstvtet, men annars beter de sg de flesta hänseenden nte på samma sätt som en klasssk perfekt ledare skulle väntas bete sg. Perfekt ledare är ett nbllat klassskt materal för gränsvärdet η 0, medan supraledare är Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.22 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.24

7 verklga materal vars exstens och egenskaper beror helt på komplcerad kvantmekank. För mer om detta, se kursen Fasta tllståndets fysk. V = V 0 R I (5.52) där V 0 kallas den öppna kretsens spännng och R ntern resstans. Spännngen om batteret ger ut är alltså mndre än den som rapporteras på det, p.g.a. termen R I. Betrakta en krets där en lednng med strömmen I förgrenar sg N st lednngar som bär strömmarna I. Kontnutetsekvatonen tllämpad på en yta som nnesluter lednngarna och går över de olka lednngarnas tvärsnttsytor ger d J = di = I = N =1 d J = N I (5.53) =1 då laddnng nte t.ex. ackumuleras nånstans nne dessa lednngar. Detta ger Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.25 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund Krchhoffs lagar Upp tll nu har v betraktat vad som händer på den mkroskopska nvån ledande materal. I praktken använder man ledare med enkel geometr t.ex. en tråd så att laddnngarna tvngas röra sg en bestämd väg. Dylka system eller nätverk av ledda strömmar bldar en (elektrsk) krets. I dylka fall kan man nöja sg med att undersöka strömmarna lednngarna stället för de ensklda laddnngarna. I allmänhet består kretsen av flera delar eller förgrenngar. Ändamålet med kretsanalys är då att bestämma de strömmar som går genom de olka delarna, förutsatt att egenskaperna hos elementen (resstorer, kondensatorer, batterer,... ) kretsen är gvna. I en sluten passv krets gäller dr E = 0 (5.51) d.v.s. den totala potentalskllnaden är noll. Eftersom potentalen sjunker t.ex. över en resstor måste det då fnnas en källa tll potentalskllnad eller spännngskälla nånstans kretsen. En mycket vanlg sådan är ett batter. Potentalskllnaden eller spännngen som batteret genererar beror det allmänna fallet på strömmen som batteret får att uppkomma kretsen: V = V (I). En enkel approxmaton är Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.26 N I = I (5.54) =1 vd en förgrenngspunkt. Vdare, 0 = dr E = V R j I j (5.55) j där spännngarna V äts upp av potentalskllnaderna R j I j över resstorerna kretsen. V har nu härlett Krchhoffs lagar för kretsar som transporterar statonär ström: I. Den algebraska summan av strömmar som går n en förgrenngspunkt är noll: I = 0 (5.56) II. Den algebraska summan av potentalskllnader runt en sluten krets är noll: V = R j I j (5.57) j Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.28

8 Dessa utgör grunden för elektronken. Nu har de v alltså härlett dem utgående från grundläggande elektrodynamk! För nformaton om hur de används praktken, se kursen elektronk. Eftersom ϕ = RI får v Med hjälp av första ekvatonen får v I = I 1 + I 2 (5.62) ϕ R = ϕ 1 R 1 + ϕ 2 R 2 (5.63) 1 R = 1 R R 2 (5.64) Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.29 Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund Resstorkopplngar V kan nu bestämma resstansen för sammansatta resstorer, d.v.s. resstorer kopplade sere eller parallellt. För två resstorer sere gäller Eftersom ϕ = RI får v ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 (5.58) RI = R 1 I 1 + R 2 I 2 (5.59) I en serekopplng går samma ström genom varje resstor, I = I 1 = I 2, så att R = R 1 + R 2 (5.60) För två resstorer kopplade parallellt gäller Strömmen bevaras, så att ϕ = ϕ 1 = ϕ 2 (5.61) Elektrodynamk, vt 2013, Ka Nordlund 5.30