INTEGRALEKVATIONER v Fredri Seds Krlstds uiversitet, Istitutioe för igejörsvetesp, fysi och teti, 5.
Förord. De srift ygger huvudslige på delr v opediet Itegrl Equtios v Yury V. Shestoplov och Yury G. Sirov (Krlstds uiversitet ), till vile jg fogt ågr eg eepel och evis st e iogrfi över Ivr Fredhol. Srifte är tilloe då jg läste urse Itegrlevtioer för Shestoplov, och ehdlr otrtiospricipe, Neuserier, e lösigsetod för seprl itegrlevtioer, Fredhols teori i Hilertru st Hilert-Schidts teori. Det hr vrit itresst tt studer äet och jg hopps läsre tycer dets. Fredri Seds, Krlstd i pril 5.
Iehåll Förord. Kotrtiospricipe. Volterrs itegrlevtioer v dr slget 3. Picrds sts 3 4. Fredhols itegrlevtioer v dr slget 4 5. Neuserier och resolvet 5 6. Två eepel 8 7. Itegrlevtioer ed degeererde och seprl äror 8. Två et eepel åyo 9. Itegrlevtioer ed degeererde äror st pproitiv lösigr 6. Fredhols resolvet 7. Två eepel för tredje gåge 9. Hilertru och självdjugerde opertorer 3. Fullstädigt otiuerlig itegrlopertorer i Hilertruet 4. Självdjugerde opertorer i Hilertruet 5 5. Fredhols teori i Hilertruet 5 6. Ett ytt eepel 9 7. Itegrlevtioer ed syetris äror. Hilert-Schidts teori 34 8. Ivr Fredhol 39 Littertur och ällor 43
. Kotrtiospricipe. Ett etrist ru R är ett ordt pr (X, ρ), där X är e ägd (vrs eleet lls puter) och ρ: X X e futio, so uppfyller följde villor för ll, y, z X. I: II: ρ ρ III: ρ ( y, ) ( y, ) = = y ( y, ) = ρ( y, ) ( y, ) + ( yz, ) ( z, ) IV: ρ ρ ρ Futioe ρ lls vstådsfutio eller etri. Eligt I är ρ ite egtiv, eligt III är de syetris och villoret IV lls trigelolihete. De två först villore ger tt vstådet ρ(, y) ell puter och y är positivt edst då puter är oli. = E följd { } v puter i ett etrist ru R lls e fudetlföljd o de uppfyller Cuchys overgesriteriu, det vill säg: För vrje ε > fis ett turligt tl N sådt tt ρ(, ) < ε, o N och N. Fudetlföljder lls ocså Cuchyföljder. O vrje fudetlföljd i ett etrist ru R overgerr ot e put i R, är R ett fullstädigt etrist ru. Jg sll ge tre eepel: Ruet ed de eulidis etrie (, ) = = ( ) ρ y y y = är fullstädigt. Ruet C[, ] v otiuerlig futioer på itervllet [, ] ed etrie ρ(f, g) = f ( ) g ( ) är fullstädigt, ty vrje fudetlföljd {f } v otiuerlig futioer overgerr ot e otiuerlig futio i ruet C[, ]. Ruet C [, ] v otiuerlig vetorfutioer f: [, ] ed etrie (, ) = ρ f g f g ( {,, }) är fullstädigt. Noter tt etrie i det tredje eeplet är e oitio v de två först. Låt R vr ett etrist ru. Vrje vildig A: R R lls e otrtio (ordet etyder sdrgig ), o det fis ett tl α < sådt tt ρ(a, Ay) αρ(, y), för ll puter, y R (srivsättet R är e förortig för X och R = (X, ρ) ). Sts : Vrje otrtio är otiuerlig. Bevis: Låt A vr e otrtio i R ed vstådsfutioe ρ. Eligt defiitioe gäller för ll, y R, tt ρ(a, Ay) αρ(, y) för ågot tl α <. Låt ε > och δ = αε. Då gäller tt ρ(a, Ay) < ε ρ(, y) < δ och däred är A otiuerlig.
Sts (Kotrtiospricipe): Vrje otrtio i ett fullstädigt etrist ru R = (X, ρ) hr e och edst e fi put, vilet etyder tt evtioe A = hr e etydig lösig. Bevis: Låt R. Låt = A, = A = A, och llät = A = A. Följde { } är e Cuchyföljd, ty ρ(, ) = ρ(a, A ) αρ(, ) α [ρ(, ) + ρ(, ) + + ρ(, )] α ρ(, )[ + α + α + + α ] α ρ(, )[/( α)]. Eed α <, är dett godtycligt litet för tillräcligt stor. Efterso R är fullstädigt, eisterr li. Vi sätter = li. Eär A är otiuerlig, följer A = A li = li A = li =. + Vi sll u vis tt är etydigt. O A = och Ay = y, följer ρ(, y) αρ(, y), där α <, vilet edför ρ(, y) =, lltså = y.. Volterrs itegrlevtioer v dr slget. I itegrlevtioer v först slget föreoer de oäd futioe r uder itegrltecet, rs är de v dr slget. Vi sll u geerliser otrtiospricipe. Sts 3: O R = (X, ρ) är ett fullstädigt etrist ru och A: R R är e futio såd tt A är e otrtio för ågot, hr evtioe A = e etydig lösig. Bevis: Låt R. Låt följde { } = { A } Sätt = li.. Kovergese följer so i eviset v sts. = Då följer ρ(a A, A ) αρ(a ( ) A, A ( ) ) α ρ(a, ), där α <, ty A är e otrtio. Alltså ( A A A ) li ρ, =, vilet ger A =. O A = och Ay = y, hr vi A = och A y = y. Alltså ρ(, y) = ρ(a, A y) αρ(, y), där α <, och däred ρ(, y) =. Således = y, så är etydigt. Sts 4: Volterrs itegrlevtio v dr slget, f = φ + λ K, y φ y dy, där är K(, y) är e otiuerlig futio i Π = [, ] [, ] för ågot >, så tt det för ll (, y) Π gäller K(, y) M, hr e etydig lösig φ () för ll värde på λ. Bevis: Betrt vildige A: C[, ] C[, ], där Af = g och g = φ + λ Kyf, ydy. Låt f, f C[, ] och = f () f (), då [, ]. Då gäller [ ] λ Af Af = K, y f y f y dy λ M.
Vidre följer A f () A f () λ M /,, A f () A f () λ M /! λ M ( ) /! För ll värde på λ väljs så stort tt λ M ( ) /! <, vilet etyder tt A är e otrtio. Följtlige hr Volterrs itegrlevtio v dr slget e etydig lösig för ll värde på λ. 3. Picrds sts. Sts 5 (Picrds sts): Atg tt futioe f(, y), där (, y) G, uppfyller Lipchitchvilloret f(, y ) f(, y ) M y y. Då fis ett öppet itervll I = ( d, + d), sådt tt egyelsevärdesproleet dy = f y d y = y (, ) hr e etydig lösig y = φ(), där I. Bevis: Efterso f är otiuerlig, gäller f(, y) i ågot oråde G' G, so iehåller (, y ). Välj u tlet d > så tt Md < och (, y) G', o d och y y d. Låt A: C C, där C iehåller ll otiuerlig futioer defiierde på I, vr Aφ = ψ, där ψ( ) y f t, φ( t) dt, för I. = + Vi t, ty fllet < viss logt. Efterso ( ) ψ( ) y = f t, φ( t) dt f t, φ t dt dt = d, gäller A[C] C. Efterso Md <, är A e otrtio, ty o ψ, ψ C, gäller ( ) ψ ψ φ f t, t f t, φ t dt Mdφ φ. Således hr opertorevtioe φ = Aφ och däred itegrlevtioe φ( ) y f t, φ( t) dt = + och det evivlet egyelsevärdesproleet ov etydig lösigr. M visr logt tt sts 3 geerlisers till syste v först ordiges differetilevtioer (eller itegrlevtioer) geo tt helt eelt etrt det etris ruet R +. I
4. Fredhols itegrlevtioer v dr slget. Betrt Fredhols lijär itegrlevtio v dr slget, φ λ φ f = + K, y y dy, där är K(, y) är e otiuerlig futio i vdrte Π = {(, y), y [, ]}, så tt K(, y) M, o (, y) Π. Låt A: C[, ] C[, ] vr Af = g, där Vi hr g = φ + λ Ky, φ ydy. g K y f y dy g K y f y dy = λ (, ) + φ = λ (, ) + φ (, ) = λ (, ) ρ g g K y f y f y dy λ M ( ) f( y) f( y) ρ( f, f), o λ. M ( ) Följtlige är vildige A e otrtio, o λ /[M( )], så för tillräcligt så värde på λ hr Fredhols lijär itegrlevtio v dr slget e etydig lösig. Successiv pproitioer till de lösig hr fore = + f φ λ K, y f y dy. Metode är tilläplig på de icelijär itegrlevtioe f = φ + λ K, y, f y dy, där är K och φ är otiuerlig futioer och K(, y, z ) K(, y, z ) M z z. O λ /[M( )], vi logt vis tt A: C[, ] C[, ] defiierd geo Af = g, där g = φ + λ Ky,, f y dy, är e otrtio, ty för de vildig gäller, so i det lijär fllet, ρ(g, g ) < ρ(f, f ). 3
Betrt e itegrlevtio 5. Neuserier och resolvet. φ λ φ f = K, y y dy. För tt lös evtioe geo etode ed successiv pproitioer och erhåll Neuserie, sriver vi o evtioe till φ = f + λ K, yφ y dy och tr högerledets f() so först pproitio, geo tt sätt φ () = f(). Dett isättes i evtioe och vi erhåller äst pproitio och så vidre. Allät gäller φ = f + λ K, yφ y dy φ+ = f + λ K, yφ y dy. Vi sll vis tt futiosföljde{φ }är overget, e vi ehöver e vitig hjälpsts. Sts 6 (Cuchy-Schwrz olihet): I ett eulidist ru E (ett vetorru ed slärprodut, se def. i p. ) gäller u v u v för ll u, v E. Bevis: O u =, är se lr. Atg u. Låt λ. + = ( + ) ( + ) = + + = u v λu v λu v λu v λ u u λu v v v. Isättig v λ ger u u ( u v) ( u v) ( u v) + v v = + v v ( u v) ( u u)( v v) u v u v. u u u u u u Eär och C[, ] är eulidis ru, gäller Cuchy-Schwrz olihet (so ocså lls Cuchys olihet och Schwrz olihet) äve där och hr då följde utseede: / / i i i i i= i= i= för,. f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d / / för f, g C[, ]. 4
Sts 7: Låt Π = [, ] [, ]. Atg tt är K(, y) är egräsd, så tt K(, y) M för ll (, y) Π och tt det fis e ostt C såd tt (, ) Ky dy C, då [, ]. Då är följde {φ }, där φ+ = f + λ K, yφ y dy och φ() = f(), liforigt overget för ll λ so uppfyller λ < /B, där B = K, y ddy. lösig till itegrlevtioe f = φ λ K, yφ y dy. Bevis: So först pproitio låter vi φ () = f(). De två följde är Då är φ( ) φ ( ) = φ = f + λ Ky, φ ydy= f + λ Kyf, ydy, li e etydig (, ) φ = f + λ K y φ y dy = + λ + λ f K, y f y dy K, t dt K t, y f y dy. Låt K, y = K, t K t, y dt, så erhåller vi geo tt yt itegrtiosordig φ = f + λ K, y f y dy+ λ K, y f y dy. På s sätt låter vi K3, y = K, t K t, y dt och får äst pproitio till Allät gäller 3 φ3 = f + λ K, y f y dy+ λ K, y f y dy+ λ K3, y f y dy. φ λ = f + K, y f y dy, = där K, y = K, y och K, y = K, t K t, y dt, för. 5
Det följer tt K, y = Kr, t K r t, y dt, För tt vis overgese v serie, sriver vi där r {,,, } och {, 3, }. (, ) K y dy C, för ll [, ], och uppsttr C. O vi sätter r = i uttrycet för K (, y) ov, får vi K, y K, t K t, y dt, = {, 3, }. Cuchy-Schwrz olihet ger (, ) (, ) (, ). K y K t dt K t y dt Itegrerig ed vseede på y ger (, ) (, ) = (, ) K y dy B K t dt B C (där B K y ddy), vilet ger C B C och slutlige de ösde uppsttige C B C. O vi låter D = f y dy och tilläpr Cuchy-Schwrz olihet, får vi (, ) (, ) K y f y dy K y dy f y dy D C B. Efterso B = edst då K(, y), och följde {φ } i så fll upperlige är liforigt overget, vi t B >. Då följer λ li φ = f + K, y f y dy f + D C λ B = = = D C D C λ B D C λ = f ( ) + B ( λ B) = f ( ) + B = f ( ) +. λ B λ B Efterso λ B <, är serier overget. Därför är följde {φ } liforigt overget och 6
Stse är visd. ( ) = li = f + K(, y) f φ φ λ = y dy, o [, ]. Approierr vi φ() ed φ (), lir felet ite större ä D C + λ B λ B, ty φ D C ( ) φ ( ) ( λ B) = D C λ λ B D C B ( λ B) = λ λ B λ B = D C. λ B B λ B λ B + + Följde futio Γ lls resolvet eller recipro är: = ( λ) = λ ( Γ y,, K y,. φ = f + λ Γ, y, λ f y dy. ) Vi yter ordig på suerige och itegrerige i uttrycet för φ() ov och får Resolvete uppfyller itegrlevtioe Γ y,, λ = Ky, + λ Kt, Γ ty,, λ dt. = φ y φ y dy. 6. Två eepel. Här följer två eepel. Låt f() =, λ =, [, ] = [, ] och K(, y) = y, så får vi itegrlevtioe Vi otrollerr först o det är säert tt lösigsetode fugerr, erär B och får B = ( y) ddy = = 6> = λ. 6 B Vi hr K (, y) = y och får 7
Slutlige får vi y K ( y) (, = t)( t y) dt = y +. 3 t y K ( y) ( t) ty dt 3 y, = + = + = K (, y ). 3 Däred hr vi e forel för K (, y), älige K Vi får lösige (, y) = ( )/ ( ) (, ) / ( ) (, ) K y, o är udd, K y, o är jät. λ (, ) φ = f + K y f y dy = = (, ) (, ) + K y y+ K y y dy = = y y y 8 4 + 3 y y + y + dy =, 3 3 3 so eelt otrollers. Det dr eeplet är litet epigre. Låt K(, y) = si( y), λ = /(π), [, ] = [, π] och f() = si, så får vi itegrlevtioe Vi erär först B och får π si = φ( ) si( y) φ( y) dy. π π π π π cos( ) B = si y ddy = y ddy = π = < = λ. B π π Här är det lltså ite säert tt följde {φ } overgerr, e de gör det. Vi hr K (, y) = si( y) och får ed hjälp v de trigooetris produtforler 8
(, ) = si( ) si( ) = cos( ) + cos( + ) K y t t y dt y y t dt = Vidre erhålles π t = π [ t ( y) ( + y t) ] = π ( y) t = π cos si cos. π (, ) = π si( ) cos( ) = si( ) + si( + ) t = π [ t ( y) ( y t) ] π ( y) K y t t y dt y y t dt 3 π π = si + cos + = si. Alltså hr vi K 3 (, y) = π K (, y), vilet ger de llä forel t = π K ( + ) π si ( ) π cos, y, för =, = y för =. ( {,, }) Lösige till evtioe lir λ (, ) φ = f + K y f y dy = π ( y) + si + λ si si ydy+ = λ π cos si ( ( λπ ) ) ( y) λπ si si ydy+ π = = π π = π π y si ydy = ( ( λπ ) ) cos( y) si ydy. = Efterso λπ = /, hr de geoetris serie ov su /5. Det återstår tt erä itegrler. π φ( ) = si + π si y si ydy π cos y si ydy = 5 5 π π si + ( + ( y) ) dy ( + ( y) ) π cos cos π si si dy = 5 4 si + ( π cos ) π si = si cos. 5π π 5 5 π 9
Isättig v φ() i itegrlevtioe och otrollräig visr tt det är de rätt lösige, trots tt villoret λ < /B ite är uppfyllt. Eligt sts 7 är villoret tillräcligt, e eeplet visr tt det ite är ödvädigt. Förlrige är, tt i eviset v sts 7 visdes, tt följde {φ } är egräsd v e overget följd och för tt de sere följde sll overger, är villoret λ B < ödvädigt. Lösige är etydig, ty λ /[M( )], där K(, y) M, då, y [, ] (se p. 4). Här hr vi si( y). E itegrlevtio 7. Itegrlevtioer ed degeererde och seprl äror. φ λ (, ) φ f = K y y dy ed de degeererde är (, ) = i i Ky y i= srivs geo tt yt ordig på suerige och itegrerige på fore ( ) ( ) ( y) ( y) dy f i i = φ λ φ i= c = y φ y dy,. () Här t tt futioer i () och i (y) är lijärt oeroede, rs tlet terer () iss. Såd itegrlevtioer ed degeererde och seprl äror är lätt tt lös. Sätt i i so är oet ostter, så får vi φ( ) = f ( ) + λ c ( ) i= i i () och proleet reducers till tt estä de oet c i. Isättig v () i evtio () ger efter osrivig i= i ci i( y) f ( y) + λ c( y) dy =. = Efterso futioer i () är lijärt oeroede, följer härv tt
Med etecigr vi sriv dett so ci i( y) f ( y) + λ c( y) dy =, för i {,,, }. = = i, i = i f y f y dy y y dy i c λ c i i = = f i, där i {,,, }, (3) vilet är ett lijärt evtiossyste v ordig ed vseede på de oet c i. (Noter tt s syste erhålls geo tt ultiplicer () ed (), {,,, }, och sed itegrer över frå till.) Evtiossysteet (3) är evivlet ed itegrlevtioe () i följde eig: Edst då evtiossysteet är etydigt lösrt, är itegrlevtioe etydigt lösr och edst o evtiossysteet sr lösig, sr itegrlevtioe lösig. Deterite v de till systeet (3) hörde trise är D( λ) = λ λ L λ λ λ L λ M M O M λ λ L λ. D(λ) är ett polyo i λ, vrs grd ite överstiger. Lägg äre till tt D() = och därför är D(λ) ite ollpolyoet. Således fis det högst oli tl λ = λ såd tt D( λ ) =. Då λ = λ, hr evtiossysteet och itegrlevtioe ige eller oädligt åg lösigr. O λ λ, är åd etydigt lösr. O vi låter -trise A = [i] och etecr ehetstrise v ordig ed I, så är D(λ) = det(i λa). 8. Två et eepel åyo. Här följer de två eeple ige, so vi sll lös ed de y etode. Låt f() =, λ =, [, ] = [, ] och K(, y) = y, så får vi itegrlevtioe = φ y φ y dy = φ φ y dy+ yφ y dy, so srivs φ() = A + B, där A och B är ostter. Isättig i evtioe ger
A B ( y)( A B) dy A 3B A = + + = B + + 3 A 8 B = A = 3 ( ) = 3B A + = 4 φ 8 4 3 3, B = 3 3 lltså s lösig so förut. O vi vill vet för vil värde på λ evtioe = φ λ y φ y dy är etydigt lösr, vi sriv = = i i = + K, y y y y y, i= där () =, (y) =, () =, (y) = y. Låt trise A = [ i ]. Efterso =, = f yydy y ydy i i i i (i, {, }), följer f f = A = och. 3 3 Vi får D(λ) = det(i λa), där I är ehetstrise v ordig. Itegrlevtioe är etydigt D λ = λ + λ λ λ = + λ. lösr o och edst o D(λ). M får Itegrlevtioe hr e etydig lösig för ll ople λ ±i 3 3. Vi estäer de. Vi vet tt φ( ) = f ( ) + λ c ( ) = + λc c. Det återstår tt lös trisevtioe i= i i λ ( I A) c f c = c f + = λ λ λ c λ λ ed vseede på c och c. Crers regel ger 3 3 c λ D 3 + λ = = = D( λ) D( λ) + λ 6 λ λ, = λ +
c λ D 3 λ 3 3 4 = = = = D( λ) D( λ) + λ + λ, vilet ger 6 λ 4 + 6λ 4λ φ( ) = + λ λ = + λ + λ + λ + λ. Isättig v λ = ger s svr so tidigre. Så till det dr eeplet vi hde förut. Låt K(, y) = si( y), λ = /(π), [, ] = [, π] och f() = si, så får vi itegrlevtioe π si = φ( ) si( y) φ( y) dy. π Med vädig v dditiosforel si( y) = si cos y cos si yhr vi π si = φ( ) si cos yφ( y) dy+ cos si yφ( y) dy, π π vilet ger φ() = Asi + Bcos, där A och B är ostter. Isättig i evtioe ger π si = Asi + Bcos si( y)( Asi y+ Bcos y) dy = π π A B Asi + Bcos si( y) si ydy si( y) cos ydy = π π π π π B ( ( y) ) dy ( y) A Asi + Bcos cos + cos si + si 4π 4π A B = 4 A B A = 5 = Asi + Bcos + cos si A B + B = = 4 φ( ) = si cos, so förut. De llä lösige till 5 5 π si si = φ λ y φ y dy, där λ är e preter, lir so följer: π 5 dy 3
(, ) = si( ) = i i = +, K y y y y y där vi ed hjälp v de trigooetris dditiosforel välj () = si, (y) = cos y, () = cos, (y) = si y. Vi får vidre π i= f = y f y dy = cos ysi ydy = si ydy =, π ( ) f = y f y dy = si y dy = cos y dy = π. π π π π Låt trise A = [ i ]. Efterso π i = i y y dy, följer π y y y A = cos si cos y y y dy = si si cos π π. Låt I vr ehetstrise v ordig. Vi hr λπ D( λ) = det( I λa) = = + ( λπ ) λπ Itegrlevtioe etydigt lösr för ll ople λ ± i π. Vi estäer c och c :. ( I λa) c c f = f λπ λπ c =. c π Crers regel ger c c och vi hr svret λπ D π = = = λπ D( λ) D( λ) + ( λπ ) D λπ π π = = = D( λ) D( λ) + ( λπ ) 4
φ( ) = si + λ c ( ) = si + λc si + λc cos = i= i i ( λπ ) λπ λπ + si cos si cos =. + ( λπ ) + ( λπ ) + ( λπ ) Med λ = /(π) får vi s svr so förut. So vi hr sett, ger de etod etydligt elre eräigr i syerhet o e pretriserd lösig sös o är är seprel. 9. Itegrlevtioer ed degeererde äror st pproitiv lösigr. Atg tt är K(, y) och f() är otiuerlig i Π = [, ] [, ] i e itegrlevtio φ λ K, yφ y dy = f. Då är φ() ocså otiuerlig. Approier itegrlevtioe ov ed e itegrlevtio, so hr e degeererd är. Ersätt itegrle ed e ädlig su, geo tt t.e. väd retgelregel Ky (, ) φ( ydy ) h Ky (, ) φ( y), där h= och y = + h. = De erhåll pproitioe tr fore v e itegrlevtio ed e degeererd är: φ λh K, y φ y = f = Ersätt vriel ov ed ett ädligt tl värde i = + ih (i {,,, }). Då följer φ( i ) = φ(y ), o i =. Vi får ett lijärt evtiossyste ed oet φ i = φ( i ) och de äd tle f i = f( i ) i högerledet:. φi λh K i, y φ = f i = (i {,,, }) Vi fier lösige {φ i } till systeet ed Crers regel geo tt erä deteriter ( D ) ( λ) = (, ) (, ) L (, ) (, ) (, ) L (, ) hλk y hλk y hλk y hλk y hλk y hλk y M M O (, ) (, ) (, ) hλk y hλk y hλk y L och så vidre. Då är 5
( D ) i λ φ i = (i {,,, }). D ( λ) För tt reostruer de pproitiv lösige φ geo tt väd de estäd {φi}, väd själv itegrlevtioe: ~ φ φ λ φ ( ) = h K(, y ) + f = ~ Fredhol visde tt ( φ ) φ ( ) då, där φ ( ) är de et lösige. ~. Fredhols resolvet. Vi hr red ät (p. 5) tt resolvete Γ(, y, λ) v itegrlevtioe φ λ K, yφ y dy = f uppfyller itegrlevtioe Γ y,, λ = Ky, + λ Kt, Γ ty,, λ dt. Geo tt lös de sistäd evtioe ed de esriv pproitiv etode och låt, får vi resolvete so e vot ell två potesserier där (,, λ) Γ y (,, λ) Dy D( λ) = = (,, λ) Dy =, D( λ) ( ) = B =! ( ) cλ,! ( y), λ, (, ) = (, ), Ky (, ) Ky (, ) L Ky (, ) Ky (, y) Ky (, y) L Ky (, y ), y B y K y B = L M M O M (, ) (, ) L (, ) Ky y Ky y Ky y. dy Ldy 6
c c =, = L (, ) (, ) L (, ) (, ) (, ) L (, ) Ky y Ky y Ky y Ky y Ky y Ky y M M O M (, ) (, ) L (, ) Ky y Ky y Ky y dy Ldy D(λ) lls Fredhols deterit och D(, y, λ) lls Fredhols först uderdeterit. O itegrle (, ) Ky ddy är egräsd, overgerr serie ( ) D( λ) = =! c λ för Fredhols deterit för ll λ, så tt D(λ) är e hel futio v λ. Därför D(λ) defiiers i hel det ople plet λ, uto ollställe till D(λ), där resolvete hr poler. Vi dr slutste tt för ll ople λ, so ite sfller ed poler till resolvete, är itegrlevtioe φ λ K, yφ y dy = f etydigt lösr och lösige är (se p. 5) φ = f + λ Γ, y, λ f y dy. Efterso D(λ) är ett polyo i λ, är itegrlevtioe etydigt lösr för ll λ, edst då D(λ) är ett ostt polyo, ty rs hr D(λ) ist ett oplet ollställe, eligt lgers fudetlsts. E etydig lösig för ll λ räver således c = för ll >. För prtis eräigr v resolvete väd följde reursiosforler: B, y = K, y, c =, c = B y, y dy (o ), (, ) = (, ) (, ) (, ) B y cky KtB tydt(o ). 7
. Två eepel för tredje gåge. Vi sll u erä resolvete till de et itegrlevtioer. Låt lltså [, ] = [, ] och K(, y) = y, så får vi itegrlevtioe f = φ λ y φ y dy. Vi erär resolvete och löser evtioe ed λ so preter för ll futioer f(). Sed sätter vi i f() = och jäför ed tidigre resultt. Vi hr BB(, y) = y och c =. Vidre får vi c = y y dy =, y B ( y) (, = t)( t y) dt = + y +, 3 c y y = + y + dy =, 3 6 t y B ( y) ( y) ( t), = ty dt 6 + + = 3 y ( y) =, 6 vilet edför B(, y) för och c = för 3. Alltså följer ( ) Dy (,, λ) = B (, y) λ = B(, y) λb(, y) =! = y y λ + y +, 3 ( ) λ D( λ) = cλ = c cλ + cλ = +.! = Vi u erä resolvete och lösige (,, λ) Γ y (,, λ) Dy y+ λ 6+ 6y y 4 = = D( λ) + λ λ φ( ) = f ( ) + y+ λ( + y y ) f y d + λ 6 6 4 y, so gäller o λ. Isättig v f() = ger 8
λ φ( ) = + y+ λ( + y y ) ydy = + λ 6 6 4 λ λ + ( y y ) dy + ( y + y y y) dy = + λ + λ 6 6 4 λ λ + 6λ 4λ + ( ) ( ) 6 4 + = + λ + λ + λ + λ, vilet är dets so tidigre. Nu till det dr et eeplet. Låt K(, y) = si( y) och [, ] = [, π], så får vi itegrlevtioe π f = φ λ si y φ y dy. Vi erär först resolvete och löser evtioe för ll futioer f(). Sed sätter vi i f() = si och jäför ed tidigre resultt. Vi hr c = och B(, y) = si( y). Vidre får vi c = si y y dy =, π (, ) si si B y = t t y dt = π π ( ( y) ( y t) ) dt π ( y) cos + cos + = cos, c = πcos y y dy = π, π (, ) = π si( ) si( ) πcos( ) B y y t t y dt = π π si y π si y + si + y t dt =, vilet edför B(, y) för och c = för 3. Alltså följer π ( λ) = λ = ( ) λπ ( ) Dy,, B y, B y, si y cos y, D( λ) = c λ + c λ = + ( λπ). Däred får vi resolvete och lösige 9
(,, λ) Γ y ( λ) Dy,, si y λπ cos y = = D( λ) + ( λπ ) π λ φ( ) = f ( ) + si( y) λπ cos ( y) f y dy, + ( λπ ) so gäller då λ ± i/π. Isättig v f() = si ger π λ φ( ) = si + ( y) λπ ( y) ydy = + ( λπ ) si cos si π λ λπ si + ( y) ydy ( y) + ( λπ ) si si = + ( λπ ) cos si ydy π λ si + + ( y) dy + ( λπ ) cos cos π λπ + ( y) dy = + ( λπ ) si si λπ ( λπ ) si λπ cos si cos si =, + ( λπ ) + ( λπ ) + ( λπ ) vilet är s lösig so tidigre. Lösigsetode ed resolvet är ite elre för de vld evtioer, e vill h lösige för ll futioer f(), de vr tt föredr. Kär ehöver ite heller vr seprel ed de etod.. Hilertru och självdjugerde opertorer. Ett reellt vetorru R ed e slärprodut (ire produt), so uppfyller följde villor för ll, y, z R och ll λ, lls ett eulidist ru. I: (, y) = (y, ), II: ( + y, z) = (, z) + (y, z), III: (λ, y) = λ(, y), IV: (, ), V: (, ) = =, I ett oplet eulidist ru K uppfyller slärprodute villoret ( y, ) ( y, ) = st villore II V ov för ll, y, z K och ll λ, λy = λ, y.. I ett oplet eulidist ru gäller således Nore i ett eulidist ru defiiers so ( ) O, y R och R = i stället för (, y). eller R = π =,., sriver oft slärprodute v och y so y
Ett Hilertru H är ett eulidist ru, där följde två villor är uppfylld: I: För vrje fis det e ägd A H, där vetorer i A är lijärt oeroede och A iehåller eleet. II: H ett fullstädigt etrist ru ed vstådsfutioe ρ(f, g) = f g. Det först villoret ieär tt diesioe v H är oädlig. Efterso ll Hilertru är isoorf, li gär tl o Hilertruet so o ett Hilertru. I Hilertruet H defiiers de djugerde opertor A * till opertor A so (A, y) = (, A * y), för ll, y H. De självdjugerde opertor A = A * defiiers so (A, y) = (, Ay), för ll, y H. 3. Fullstädigt otiuerlig itegrlopertorer i Hilertruet. Betrt e itegrlevtio v dr slget, φ = f + K, yφ y dy. () Atg tt K(, y) är e Hilert-Schidt-är, vilet ieär e vdrtist itegrerr futio i vdrte Π = [, ] [, ], så tt itegrle (, ) Ky ddy är egräsd, och f L [, ], vilet ieär tt itegrle f d är egräsd. Defiier e lijär Fredholopertor A orrespoderde till itegrlevtioe () so Aφ = K, y φ y dy. O K(, y) är e Hilert-Schidt-är, lls opertor A e Hilert-Schidt-opertor. Itegrlevtioe () srivs so e lijär opertorevtio φ = Aφ() + f, där f, φ L [, ].
För tt få ett fullstädigt ru, väder i Hilertruet ite Ries itegrl, ut Leesgues, so ts ågorlud äd, liso åtteori. Någr defiitioer sll doc ges: O e egesp P gäller för ll E \ A, och A hr åttet oll, säger vi tt P gäller för äst ll E, eller tt P gäller äst överllt i E. O Leesgues ått väds, so här, hr vrje uppräelig eller ädlig ägd A åttet oll, e det fis äve överuppräelig ägder ed åttet oll. Låt A vr e egräsd lijär opertor i ett orert ru X. Då defiiers ore A v opertor A so A = if{m A < M, X}. E följd { } i ett fullstädigt, orert ru R overgerr svgt till eleetet, o det gäller tt f( ) f(), då, där f: R R är lijär. Dett edför då, tt orer v är liforigt egräsde: M. I ett Hilertru är e opertor A fullstädigt otiuerlig, o opertor A vildr vrje svgt overget följd till e följd, so är overget i opertorore. Vi sll red ut de ågot förvirrde teriologi. Ett egevärde (lls äve rteristist värde) till e opertor A är ett tl λ sådt tt (A λi) = för ågo vetor, där I är ehetsopertor. Vetor är då e egevetor tillhörde λ. Opertor R λ = (A λi) lls resolvete till A. De rteristis värde till itegrlevtioe φ λ K, y φ y dy = f () är de tl λ för vil resolvete Γ(, y, λ) ite eisterr och övrig värde lls reguljär värde. O opertor A defiiers so Aφ = K, y φ y dy, är () evivlet ed opertorevtioe (I λa)φ = f och Γ(, y, λ) = (I λa). Iverse v ett rteristist värde till () är ett egevärde till A, ty o λ, följer ( I λa) φ = λ A I φ = A I φ =. λ λ Mägde v ll λ för vil opertor A λi ite hr e ivers lls spetru till A. De tl so ite tillhör spetru lls reguljär värde. Mägde v ll egevärde till A lls putspetru till A. I ett ädligt ru sfller spetru ed putspetru, e i det llä fllet spetru äve iehåll dr puter. Sts 8: O K(, y) är e Hilert-Schidt-är, φ L [, ] och Aφ = K, y φ y dy, defiiers på så sätt e fullstädigt otiuerlig opertor A i L [, ], vrs or uppstts till A K, y ddy.
Bevis: Efterso K(, y) är e Hilert-Schidt-är, fis det e ostt C såd tt (, ) Ky dy C äst överllt i [, ], vilet etyder tt K(, y) L so e futio v y för äst ll [, ]. Då är futioe ψ = K, y φ y dy defiierd äst överllt i [, ]. Vi sll u vis tt ψ() L [, ]. Med hjälp v Cuchy-Schwrz olihet får vi = = ψ Ky, φ ydy Ky, dy φ y dy φ Ky, dy. Låt u opertor A defiiers so Aφ = ψ. Då följer, o vi itegrerr över, Aφ = ψ d φ K, y ddy, vilet dels visr tt ψ L [, ], ty ψ är egräsd, och dels ger e uppsttig v ore v opertor A: L [, ] L [, ]. Vi sll u vis tt A är fullstädigt otiuerlig. O e följd {A } v fullstädigt otiuerlig opertorer i ett fullstädigt, orert ru overgerr i opertorore till e opertor A, är A fullstädigt otiuerlig. Vi ostruerr därför e såd följd {A } på L (Π), so overgerr i ore till opertor A. Låt {ψ } vr ett ortoorert syste i L [, ]. Då ildr {ψ ()ψ ()}ett ortoorert syste för L (Π). Följtlige gäller Geo tt sätt (, ) = Ky ψ ψ y, =. N (, ) = KN y ψ ψ y, = defiiers e opertor A N, so hr e degeererd är och därför vildr L [, ] i ett ru v ädlig diesio geerert v ett ädligt syste { ψ } N=. Därför är A N v ädlig diesio och således fullstädigt otiuerlig. Lägg u äre till tt K N (, y) är e prtilsu v Fourierserie för K(, y), så tt li K, y K, y ddy =. N N 3
Uppsttr vi ore v opertor A A N so vi tidigre uppsttde ore v A, så får vi A AN K, y K N, y ddy, då N. Alltså gäller A N A, då N, och däred är A fullstädigt otiuerlig. 4. Självdjugerde opertorer i Hilertruet. Vi sll vis ågr egesper hos e självdjugerd opertor A i Hilertruet H. Sts 9: All egevärde till e självdjugerd opertor A i H är reell. Bevis: Låt λ vr ett egevärde till e självdjugerd opertor A, dvs A = λ, H,. λ, = λ, = A, = A, =, λ = λ, λ = λ λ. Då följer Sts : Egevetorer till e självdjugerd opertor A tillhörde oli egevärde är ortogol. Bevis: Låt λ och μ vr två sild egevärde till e självdjugerd opertor A ed tillhörde egevetorer och y, lltså, y H \ {}, A = λ och Ay = μy. Då följer λ(, y) = (λ, y) = (A, y) = (, Ay) = (, μy) = μ(, y), so ger (λ μ)(, y) = och däred (, y) =. 5. Fredhols teori i Hilertruet. Ned sll vi vis Fredhols ll teore för itegrlopertorer i Hilertruet. Vi tr itegrlopertor = (, ) φ Aφ K y y dy (se p. 3), tr tt är K(, y) uppfyller Hilert-Schidt-villoret tt (, ) Ky ddyär egräsd och sriver itegrlevtioe φ = K, yφ y dy+ f på opertorfore φ = Aφ() + f, eller Tφ = f, T = I A (). 4
Tillhörde hooge itegrlevtio är Tφ = () och de djugerde evtioer är T * ψ = g, T * = I A * (3), T * ψ = (4). Vi sll etrt evtioer () (4) i Hilertruet H = L [, ]. Lägg äre till tt de ses so opertorevtioer i H ed e godtyclig självdjugerd opertor A. Följde tre stser v Fredhol fstställer förhållde ell dess fyr evtioers lösigr. Sts : De ihooge evtioe Tφ = f är lösr o och edst o f är ortogol ot vrje lösig till de djugerde evtioe T * ψ =. Sts (Fredhols ltertiv): Eder hr de ihooge evtioe Tφ = f e etydig lösig för vrje f H, eller så hr de hooge evtioe Tφ = e lösig sild frå. Sts 3: De hooge evtioer Tφ = och T * ψ = hr s ädlig tl lijärt oeroede lösigr. För tt evis Fredhols stser, sll vi väd dels defiitioe v uderru i Hilertruet H: M är ett lijärt uderru v H, o M är slute och f, g H edför αf + βg M, där α och β är godtyclig tl dels följde två egesper hos Hilertruet, där de först är, tt o h H, ildr ägde h = {f H (f, h) = } (ortogol opleetet) ett lijärt uderru v H, och de dr är, tt o M är ett lijärt uderru v H, vrje f H srivs etydigt so f = h + h', där h M och h' M, där M är det ortogol opleetet till M. Le : Värdeägde V(T) = {y H y = T, H} är slute. Bevis: Atg tt y V(T) och y y. Vi åste vis tt y V(T), vilet etyder y = T. Vi sll u evis det sere. Efterso T defiiers so I A, fis det vetorer H såd tt y = T = A. () Vi sll etrt ollruet N(T) = {y H Ty = }, so är ett slutet, lijärt uderru v H. M t tt vetorer är ortogol ot N(T), dvs N(T), rs sriv = h + h' och ersätt ed h = h' ed h' N(T). Vi ocså t tt orer är egräsde. Ett tgde o otstse edför älige, tt det fis e oegräsd delföljd { }, där. Geo tt divider ed får vi frå () A. Efterso A är e fullstädigt otiuerlig opertor, vi t tt 5
A är e overget delföljd, so eepelvis overgerr ot e vetor z H. Då är upperlige z = och Tz =, dvs z N(T). Eellertid tog vi N(T) och då gäller äve z N(T). Alltså z N(T) N(T) = {}. Me z =, så därför är följde { } egräsd. Därför iehåller följde {A } e overget delföljd och då åste äve följde { } iehåll e overget delföljd på grud v (). Vi sriver gräsvärdet v { } so. Eligt () följer u y = T och let är vist. Le : Ruet H är de diret, ortogol su v de slut uderrue N(T * ) och V(T * ), det vill säg N(T) V(T * ) = H och äve N(T * ) V(T) = H. Bevis: De slut uderrue N(T) och V(T * ) är ortogol, ty o h N(T), följer (h, T * ) = (Th, ) = (, ) = för ll H. Det återstår tt vis tt N(T) V(T * ) = {}. Atg tt z V(T * ). Då följer (Tz, ) = (z, T * ) = för ll H, vilet edför z N(T). Alltså hr vi N(T) V(T * ) N(T) N(T) = {} och let är vist. Fredhols först sts (r ) följer v le, ty N(T * ) = V(T * ), dvs f N(T * ) o och edst o f V(T * ) och då fis det e vetor φ såd tt Tφ = f. Låt H = V(T ) för ll. Då gäller H H H H, () ll delägder i edj är slut och T(H ) = H +. Le 3: Det fis ett turligt tl j så tt H = H + för ll j. Bevis: Atg otstse. Då är ll H oli, och tt ostruer e ortoorerd följd { }, såd tt H och är ortogol ot H +. Låt l >. Då följer (ty T = I A) A l A = + ( l + T T l ). Således är A l A, ty l + T T l H +. Därför iehåller följde {A } ige overget delföljd, e A är e fullstädigt otiuerlig opertor. Alltså e otsägelse. Le 4: O N(T) = {}, är V(T) = H. Bevis: O N(T) = {}, är T ijetiv. O då V(T) H, estår edj () (se le 3 ov), v oli uderru, vilet otsäger le 3. Därför är V(T) = H. På lide sätt vi vis tt V(T * ) = H, o N(T * ) = {}. Le 5: O V(T)= H, är N(T) = {}. Bevis: Efterso V(T) = H, följer N(T * ) = {}, eligt le 3. Då följer V(T * ) = H, eligt le 4, och N(T) = {}, eligt le. 6
Le 4 och le 5 ger stg Fredhols ltertiv (sts ). M jäför Fredhols ltertiv ed följde äd ft frå lijär lger. Atg tt vi hr ett lijärt evtiossyste A =. Då fis fyr fll eroede på o trise är sigulär och på o trisevtioe är hooge: = Tell. Evtiossysteet A =. det A = det A Systeet hr oädligt =. åg lösigr. Systeet hr oädligt Systeet hr e etydig åg lösigr eller lösig. sr lösig. Låt oss u vis Fredhols tredje sts (r 3). Atg tt N(T) är ett uderru v oädlig diesio. Då iehåller dett ru e oädlig ortoorerd följd { } såd tt A = och A l A =, o l. Därför iehåller följde {A } ige overget delföljd, vilet otsäger tt A är e fullstädigt otiuerlig opertor. Alltså är ruet N(T) ädligt. Låt u μ = di N(T ) och ν = di N(T * ) och tg tt μ < ν. Låt {φ,, φ μ } vr e ortoorerd s i N(T) och {ψ,, ψ ν } e ortoorerd s i N(T * ). Låt μ S = T +,φj ψ j. j= Opertor S är su v T och e opertor v ädlig diesio, så därför gäller ll resultt visde ov för T äve för S. Låt oss vis tt de hooge evtioe S = r hr lösige =. Atg lltså tt μ T +,φj ψ j j= =. () Eligt le är vetorer ψ j ortogol ot ll vetorer på fore T. Då edför () tt T = st (, φ j ) = för j {,, μ}. Å e sid ser vi tt är e lijäroitio v vetorer ψ j. Å dr sid ser vi tt åste vr ortogol ot dess vetorer. Därför är ollvetor och evtioe S = hr r lösige =. Eligt Fredhols ltertiv fis då e vetor y såd tt μ Ty + y,φj ψ j = ψ j= μ+. Vi erär de ire produte v de lihets åd sidor och ψ μ+ och får μ ( Ty, ψμ+ + y, φj ψ j, ψμ+ = ψμ, ψ j= + μ+ Här är (Ty, ψ μ+ ) =, eed Ty V(T) och V(T) är ortogol ot N(T * ). Således hr vi ). 7
μ + y,φ j =. j= De otsägelse eror på tt vi tog μ < ν. Därför är μ ν. Ersätt u T ed T *, så får vi på s sätt μ ν. Alltså är μ = ν och Fredhols tredje sts (r 3) är visd. För tt sftt, visr Fredhols tre stser tt tlet λ = tige är e reguljär put eller ett egevärde ed ädlig ultiplicitet till opertor A, där φ = Aφ() + f. All resultt vi erhållit ov för de evtio (dvs för opertor A I) gäller äve för evtioe λφ = Aφ() + f (dvs för opertor A λi, där λ ). Det följer, tt i dett fll ed e fullstädigt otiuerlig opertor, är ett godtycligt tl, silt frå oll, eder e reguljär put eller ett egevärde ed ädlig ultiplicitet. Således hr e fullstädigt otiuerlig opertor edst ett putspetru. Pute är ett udtg och tillhör lltid spetru till e fullstädigt otiuerlig opertor i ett Hilertru, e ehöver ite vr ett egevärde. 6. Ett ytt eepel. Med e syetris är K es tt Ky Ky, =,, vilet i ett reellt vetorru etyder K(, y) = K(y, ). Itegrlevtioer ed såd äror sll studers i äst pitel, e vi sll red u ge ett eepel. Kär är i eeplet äve degeererd. Vi väder först de llä etode. Låt K(, y) = /y + y/ och [, ] = [, ], så får vi itegrlevtioe y φ( ) = f ( ) λ + φ( ydy ). y Vi hr c = och B(, y) = /y + y/. Vi får c y y = + y y dy =, y B (, y) = + y t + t t + y y t dt = y + y y t y 7 y t y dt y y + + + = +, y 3y c B y y y 7 = + y y 3y (, y) dy =, 3 y t t y ty 7 = + 3 y t + + y t 3ty dt = y y y 7 t y t y 7 + y y t t y y y dt 3 + + + =, 3 3 vilet edför B(, y) för och c = för 3. Vi erär deteriter. 8
y y y 7 Dy (,, λ) = B( y, ) λb( y, ) = + λ + = y y 3y 6 + 6y λ 6 + 6y 3 y 4, 6y λ λ D( λ) = c c λ + c λ = λ λ = 6 6 6 och får resolvete (,, λ) Γ y (,, λ) Dy = = D( λ) ( 6 λ λ ) 6 + 6y λ 6 + 6y 3 y 4 y och lösige Γ (,, ) φ = f + λ y λ f y dy = ( λ)( 6 6y ) λ( 3 y 4) λ + + = f ( ) + f ( y) dy λ, 6 λ y so gäller för λ 6± 4. Atg u tt vi vill lös itegrlevtioe φ y y ( ) = + φ ydy. Isättig v f() = / och λ = i de llä lösige ov ger φ( ) = 7 ( 3 + 7) = 7 3 y + 4 4 dy = + dy = y 7 3 y 3 7. Efterso är är degeererd, får vi φ y φ( ) = + y dy + yφ y dy, so srivs φ() = A/ + B, där A och B är ostter. Isättig i evtioe ger A A B Bdy ( A By ) dy A B y A B + = + + + + = + + + + 7 3 9
A = + A+ A = + B B 7B 3 A = = B 3 7 φ ( ) = 3 7 och de etod är elre, då evtioe är seprel. Vi sll u lös s itegrlevtio ed Neuserie och etoder frå lijär lger. Vi hr K (, y) = K(, y) = /y + y/ och får vidre Atg u tt så får vi K t t y y 7 y, = + + dt = + + +. t y t y 3y ( y) K ( y) y c, = + + + dy y y K (, y) t t y c = + + + + dy dt t y t y + c d = + y + + 7 3 + = + c 7 + = + 3 d 7 c + = 3 + c d+ = + d där c d y c + + 7 3 = = = = d y y + + Dett syste v differesevtioer löss ed lijär lger. Låt 7 3 A = 7, så följer 3 c d = A c. d Vi sriv A = PDP, där D är e digoltris eståede v egevärde till A. M får 4 4 två egevärde till A ed ultiplicitete, älige μ = + 6 och μ = 6. Däred hr vi D = dig(μ, μ, μ, μ ) och D ( = dig μ, μ, μ, μ ). Vi estäer egevetorer v och v till μ st egevetorer v 3 och v 4 till μ och får P = (v, v, v 3, v 4 ), det vill säg 3
4 8 4 6 P = 4 4 P och =. 4 3 3 8 4 4 4 4 Däred får vi A = PD PP. Uträt lir dett A = 4 α 8 β 4 α 6 β, β α 4 β α 4 6 där α = μ + μ β μ, = μ Vi får vidre K (, y) (, ) (, ) 8 (, ) + hy (, ), vilet ger y 4 4 = α + α + 6 β + 8 βy = y y μ gy μ, där gy hy = y y = + + 4 + och y 6y 8 y y = + 4 +. y 6y 8 (, ) = (, ) + (, ) λ K y λ μ g y λ μ h y ( λμ) = = ( λμ ) λ (, ) gy, hy, λgy, hy + = +, μ μ λμ λμ = där de geoetris serier overgerr för λ < μ = 6+ 4. Villoret ed de tidigre etode vr λ 6± 4. Dess två värde på λ är de rteristis värde till itegrlevtioe och är rötter till evtioe ( λμ )( λμ ) =. Vi hr = + Γ (,, ) = + (, ) φ f λ y λ f y dy f λ K y f y dy gy, hy, = f ( ) + λ + f ( y) dy λμ λμ och efter förelig får vi s svr so tidigre. = = 4 6 3
För tt yt till tidigre pitel, defiierr vi opertor A so Aφ y y ( ) = + φ ydy och får opertorevtioe (I λa)φ = f. Eligt Fredhols ltertiv är de etydigt lösr för ll f, edst o de hooge evtioe (I λa)φ = r hr lösige φ =. Dett är fllet då λ är ett reguljärt värde till itegrlevtioe y φ λ φ y ( ) + ( ydy ) = f( ), () vilet etyder tt /λ ite är ett egevärde till A. So syes hr opertor A s egevärde so trise A ov, dvs μ och μ. Mägde {, 6 4, 6 4} + är således spetru till opertor A. För tt estä lösigr till evtioe y ψ( ) λ + ψ( ydy ) = () y utyttjr vi tt evtioe är seprel och får ψ() = c / + c för ostter c och c. Isättig i evtio () och idetifierig v oefficieter leder till trisevtioe λ λ 7 3 λ λ c = c, so hr dr lösigr ä de trivil o λ {/μ, /μ }. Geo tt estä egevetorer till trise, får vi e lösig ψ () till () för λ = /μ och e lösig ψ () för λ = /μ. Uträt lir dett (där lösigr ultiplicers ed ostter) 4 4 ψ ψ = +, =. 4 4 Eligt sts v Fredhol är evtioe () lösr edst för de f so är ortogol ot vrje lösig till otsvrde djugerde, hooge evtio. I fllet ed syetris är är de djugerde evtioe des, så då λ = /μ är () lösr för vrje f so är ortogol ot ψ och då λ = /μ är () lösr för vrje f so är ortogol ot ψ. Vi etrtr först evtioe μ y y φ( ) + φ( ydy ) = f( ) (3) och tr tt (f, ψ ) =, dvs 3
f ( ) ψ ( ) d =. Då följer φ() = f() + c / + c, för oet ostter c och c. Efterso ψ och ψ är ortogol, vi sätt c / + c = ψ () + ψ (). Isättig i (3) ger lihete y + ψ + ψ( y) ψ( y) dy ψ y μ y + = μ y + f y dy Efterso ψ är e lösig till () ed λ = /μ för ll, följer ( f y y ) dy f ( ) + ψ + f μ y y + ψ =. (4) Multiplitio ed ψ () och itegrtio över ger, ty (ψ, ψ ) = och (f, ψ ) =, y + ( ) y f y + ψ y dyψ d =. De ire itegrle är dels ortogol ot ψ, dels e lijäroitio v ψ () och ψ (), och således li ed cψ (), där c är e godtyclig ostt. O vi sätter = c/μ, får vi ägge led i (4) li ed f(). Däred är φ() = f() + ψ () + ψ (), där och är godtyclig ostter, lösige till (3), o (f, ψ ) =. Alogt löser vi evtioe μ y y φ( ) + φ( ydy ) = f( ) och får s lösig, e u är villoret (f, ψ ) =. För tt återo till opertor A, är lltså ψ och ψ egevetorer (egefutioer) till A tillhörde egevärde μ och μ. 7. Itegrlevtioer ed syetris äror. Hilert-Schidts teori. Sts 4 (Hilert-Schidts sts): E fullstädigt otiuerlig, självdjugerd opertor A i Hilertruet H hr ett ortoorert syste v egevetorer {ψ } tillhörde egevärde λ, sådt tt vrje eleet ξ H etydigt srivs ξ = c ψ + ξ, där vetor ξ N( A), dvs Aξ =. Vidre gäller, o {ψ } är ett oädligt syste, Aξ = λ c ψ och λ då. 33
Beviset v Hilert-Schidts sts uteläs. Med e Hilert-Schidt-opertor A es, so sgts tidigre, e opertor Aφ = K, y φ y dy, () där K(, y) är e Hilert-Schidt-är, lltså e vdrtist itegrerr futio i vdrte Π = [, ] [, ], så tt itegrle (, ) Ky ddy är egräsd. Med e syetris är K es so sgt tt Ky (, ) Ky (, ) =. Sts 5. Låt A vr e Hilert-Schidt-opertor ed är K(, y). Då är de djugerde opertor A * till A e opertor ed de djugerde är K * (, y) = Ky (, ). Bevis: Geo tt väd Fuiis sts och yt itegrtiosordig, erhåller vi (, ) (, ) (, ) Af g = K y f y dy g d = K y f y g dyd = K(, y) g( ) d f ( y) dy = f ( y) K(, y) g( ) d dy, vilet visr stse. Av sts 5 följer tt itegrlopertor A i () är självdjugerd i Hilertruet L [, ], dvs A = A *, o och edst o A hr e syetris är. Då är därför egevärde till A reell eligt sts 9 och egefutioer tillhörde oli egevärde är ortogol eligt sts. Sts 6: Låt λ, λ, vr egevärde till itegrlopertor A ed tillhörde egefutioer φ, φ,, tg tt A hr e syetris är och låt h L [, ]. O K(, y) är e Hilert- Schidt-är, hr futioe = = (, ) f Ah K y h y dy e solut och liforigt otiuerlig Fourierserie i det ortogol systeet φ, φ,, =, = (, φ ) f fφ f f =. Se A. N. Kologorov & S. V. Foi, Eleets of the Theory of Fuctios d Fuctiol Alysis, II, 59. 34
Fourieroefficieter f till futioe f är sopplde ed Fourieroefficieter h till futioe h geo förhålldet så tt ( φ ) f = h λ, h = f,, f ( ) = h ( ) λφ, f = ( f, φ), h = ( h, φ) = (). Bevis: O vi sätter h() = K(, y) i (), erhåller vi K ( y) ( y) ( ) ( y) K( y), ( ), = λω φ, ω =, φ = och ω (y) är Fourieroefficieter till är K(, y). Låt oss erä ω (y). Vi väder forel för Fourieroefficieter, ω = φ = y K, y d K y, φ d, efterso är är syetris. Lägg äre till tt φ (y) uppfyller evtioe λφ = K, yφ y dy. Geo tt yt plts på och y, får vi så tt Således hr vi och llät λφ y = K y, φ d, ω ( y) λ φ ( y) =. (, ) = K y λφ φ y = (, ) = φ K y λφ y =, 35
vilet är e ilijär serie för är K (, y). För är K(, y) är de ilijär serie (, ) = φ Ky λφ y =. De serie ehöver ite vr liforigt overget, e overgerr lltid i L -ore. Vi tilläp Hilert-Schidts sts på syetris itegrlopertorer. Sts 7 : Itegrlevtioe φ λ K, y φ y dy = f (), där är är e syetris Hilert-Schidt-är och φ L [, ], hr e etydig lösig för vrje f, edst o λ = eller o /λ ite är ett egevärde till opertor A, defiierd so Aφ = K, yφ y dy. ξ = c ψ + ξ, O /λ är ett egevärde till A, är itegrlevtioe lösr edst o f är ortogol ot vrje egefutio till A tillhörde egevärdet /λ, och hr i så fll oädligt åg lösigr. Bevis: Eligt sts 8 är A e fullstädigt otiuerlig opertor i Hilertruet H = L [, ] och eligt Hilert-Schidts sts (r 4) hr A ett ortoorert syste v egevetorer (egefutioer) {ψ } tillhörde egevärde λ, så tt vrje eleet ξ H srivs där ξ' N(A), dvs Aξ' =. Sriv () på opertorfore φ = λaφ + f, (). Låt f = ψ + f, Af =, och sätt i i (), så får vi so håller edst o φ = ψ + φ, Aφ =, ψ + φ = λ λ ψ + ψ + f, f = φ, ( λλ) =, {,, K}, 36
det vill säg då f = φ, =, o λλ, λλ =, o λλ =. Dett ger ett tillräcligt och ödvädigt villor för lösrhete hos opertorevtioe (). För de där λλ = är oefficieter godtyclig tl. O λ = /λ, följer dels tt λ är ett rteristist värde till itegrlevtioe, dels åste vi h = och däred (f, ψ ) =. Följdsts: O /λ är ett egevärde till opertor A ov, är lösige till () r φ( ) = f ( ) + ψ ( ), där ψ = = λ ( ) K( y) ψ ( y), dy, r är tlet lijärt oeroede egefutioer till A och är godtyclig ostter. Bevis: Tlet r är ädligt eligt Fredhols sts (r 3). Frå sts 7 får vi φ( ) = f ( ) + λ λ ψ ( ) r = (3). Låt M = { λ = /λ}. Då är godtycligt för M. Låt S = {,, r}\ M. Isättig v (3) i () ger därför S λψ = K(, y) f ( y) + λ λψ ( y) dy S (4). Låt P = {ψ M} och låt ψ P. Multiplitio v (4) ed ψ() och itegrtio över ger tt höger led är ortogolt ot ψ. Dett gäller för ll ψ P. Låt T = {ψ S}. Efterso väster led är e lijäroitio v eleete i T, åste äve höger led vr det. Vrje sådt högerled är ortogolt ot P. Därför är oefficieter i väster led godtyclig äve för S, och följdstse är visd. Sts 7 är lltså ett specilfll v Fredhols sts (r ). Följdstse stäer ju r ed eeplet i p. 6. Egevärde μ och μ till opertor A i p. 6 är ocså reell och de tillhörde egefutioer ψ och ψ är ortogol. Det sist pitlet hdlr o Ivr Fredhol, so vi hr sett är ett stort io teori för itegrlevtioer. 37
38
8. Ivr Fredhol. Ludvig Oscr Fredhol vr e ffärs- och idustri, so iförde de först eletris gtuelysige i Stochol och sere lev de förste verställde diretöre i ASEA. H gifte sig ed Cthri Puli Steerg i Arog 86. Ders so Eri Ivr Fredhol föddes i Stochol de 7 pril 866. Efter studetee vr Ivr Fredhol elev vid Teologis istitutet i Stochol, e red följde år, 886, lev h studet vid Uppsl uiversitet. So ylive gister återväde Fredhol 888 till hestde, för tt fortsätt studier vid Stochols högsol. Mtetie o fräst, e h fortstte äve si studier i fysi uder Kut Ågströs ledig, vil doc vröts, e i Fredhols licetitee frå Uppsl 893 igår fysi. Bld Göst Mittg-Lefflers elever vid Stochols högsol frå de tid ärs Edvrd Phrgé, Ivr Bediso, Helge vo Koch, och frå Fild Erst Lidelöf. Fredhol hde eellertid ett särsilt strt itresse för teoretis fysi, vilet ärs i hs först tetis vhdlig, srive jule 889. Där ges ett eepel på e potesserie, vrs overgescirel är turlig gräs för de futio serie represeterr. Sere överfördes studiet v de serie på ett prole rörde väreledigsevtioe, vilet löstes ed hjälp v e sts v Soj Kovlevsi, so då vr professor vid högsol. Red vid de tid tycs Fredhol h tjästgjort vid livförsärigsolg. Tidvis verr h h vsett tt li lärre och geogic provår 896. Det e v de stor proleoråde Fredhol sulle o tt äg sig åt ehdls i dotorsvhdlige, so vetilerdes i Uppsl 898 och pulicerdes två år sere i Act Mthetic. Avhdlige hdlr o elstis rfter och det gällde då tt fi tt fi e särsild sorts sigulär itegrler. Avhdlige ileds ed e härledig v hooge sigulär lösigr till e lijär differetilevtio v fore d f,, y z u =, där f(ξ, η, ζ) är ett hooget polyo. Med hjälp v dess sigulär lösigr studerdes sed elsticitetsteoris rdvärdesprole. I ett först utst till dotorsvhdlige srev Fredhol: Jg hr försöt utvidg Neus etod för tt vis eistese v e lösig till jävitsevtioer, e ut tt lycs evis overgese v de erhåll serier. Med te hs sere tetis vershet är dett itresst. Året efter disputtioe fortstte Fredhol studiet v differetilevtioe ov. Dett år utädes h till docet vid Stochols högsol, och tillrigde våre i Pris tillss ed Erst Lidelöf. Där följde h Poicrés, Picrds och Hdrds föreläsigr och gjorde visit hos de förstäde. De 9 j 899 sriver h, tt h uder de sist tide ice sett eller hört ycet, e tt h frför llt fudert över tetis prole. I hs efterläde ppper fis ocså e redogörelse för hs först upptäct på itegrlevtioers oråde dterd Pris, våre 899. Oedelrt efter oste till Sverige srev h de 8 ugusti s år ett rev till Mittg-Leffler, där h eddelr si upptäct: Frställige ygger äst helt på Åe Pleijel, Ivr Fredhol, Nordis tetis tidsrift, r 4 (953), s. 64 75, och ll citt är därifrå, dett frå s. 67, de följde två frå s. 68 och sed frå s. 68 f. och s. 7 f. 39
Jg är för ärvrde sysselstt ed ågr udersöigr, so äro f gs stor etydelse för ll ed Dirichlets prole log uppgifter io de tetis fysie. So viss resultt äfve frå tetis syput äro f itresse er jg här tt få eddel ågr f de. Låt f(, y) vr e otiuerlig futio f de reell vriler, y defiierd t. e. för såd och y so ligg ell och. Det prole, so jg då ehdlr är i si elste for följde. Att fi e futio ϕ() so stisfierr itegrlevtioe ϕ + λ f, yϕ y dy = ψ, där λ är e riträr preter och ψ() e gifve futio. M evis tt lösige till de evtio i llähet eisterr och tt de är li ed vote ell tväe estädigt overgerde potesserier i λ. Dess potesserier u frställs uder e tälige elegt for. Näre är till e. ett uttryc f följde for där λ D = f( ) d d L! K K = ( K ) f =, (, ), (, ), K (, ) (, ), (, ), K (, ) f f f f f f LLLLLLLLLLLLL K ( f,, f,, f, ). Kovergese eviss ed hjälp f e deteritsts, so jg ej sett förd ågostädes och so lyder på följde sätt K LLL K < + + K+ + + K+ L + + K +. Är f det störst solut eloppet f f(, y) så är eligt deteritstse tydlige oefficiete för λ idre ä f! e lies för te rote ur de är li ed oll och således serie D e hel futio. Det fll då f(, y) lir oädlig hr jg äu ej fullstädigt lycts tt ehdl. De i Pris 899 edsriv tecigr o upptäcte iehåller ett evis för deteritstse utfört ed differetillyl. Fredhol äde till stse red 896, e då h 9 pulicerde sitt först rete o itegrlevtioer, visste h, tt de evists först gåge v Hdrd 893. Avhdlige frå 9 ofttr sju sidor och iehåller red det väsetlig v teori för Fredhols evtio. Däri igår ltertivstse och tilläpige på det (tvådiesioell) 4
potetilteoretis prole, so vr dess utgågsput. Frställige är ycet ocetrerd, och tre år sere pulicerdes det slutgiltig retet i Act Mthetic. Teori är u opletterd och logi ed ädlig evtiossyste hr gjorts fullstädig geo ifördet v uderdeteriter v högre ordig. Dessuto ehdls fllet då är f(, y) lir oädlig på digole = y, vilet är vitigt för tilläpigr och särsilt för Dirichlets prole i tre diesioer. Vid de först sdivis tetierogresse i Stochol 99 erättde Fredhol o de tegåg so lett hoo till upptäcte. H frhåller Neus etod so de lösigsetod för Dirichlets prole, so hde syts hoo läpligst för lläre prole. Så äer h ett rete v Poicré, där dee gjort troligt tt Neuserie är e eroorf futio v λ, och fortsätter: Då jg fuderde över dess resultt frågde jg ig o det ftu tt ϕ är e eroorf futio v λ ite åste vr e följd v de lieär fore v de evtio so defiierde ϕ. Det förhållde tt utveclige v ϕ overgerde för ll värde på λ i fllet ed Volterrs evtio gv ett strt stöd åt te tt teorie för futiolevtioe II [Fredhols evtio] orde vr ett gräsfll v de vlig teorie för lieär evtiossyste. Sed jg e gåg fått de idé, uderlättdes i udersöigr ycet geo i olleg Helge vo Kochs rete o oädlig deteriter. Vid återoste frå Pris hde Fredhol livit ues i civildeprteetet, där h 95 lev yrådiretör. Sed h lät de tjäst s år, lev h livförsärigsolget Sdis turie. H ostruerde där e llät väd forel för återöpsvärdet. Fredhols itresse för fysi hr red frhållits h söte ite de ledig professure i re teti i Lud 95 e året efter utädes h till professor i rtioell ei och tetis fysi vid Stochols högsol, vrifrå h sed sulle ver. Fredhols teori o itegrlevtioer lev st äd. Våre 9 hölls det först föredrget i utldet v Eri Holgre vid ett seiriu i Göttige lett v Hilert, so gest d tt få lå Fredhols uppsts och sed lät Holgre föreläs e gåg till. Efter ågr få år hde Hilerts elever srivit är ett dussi dotorsvhdligr o itegrlevtioer. Vid Prisogresse 9 vr Fredhols teori eellertid äu oäd. H deltog där ed tve och höll ett föredrg, där h härledde de grudläggde forler. Dett pulicerde h ldrig, e Hilert återupptäcte sere forler och pulicerde de 94. I si efterläde ppper föregriper Fredhol fler gåger de sere utveclige. De efter Picrd uppllde sigulär itegrlevtioe ed är e y fis ehdld där lågt i de studerdes v Picrd 9 och 9. Frå 9 fier de sts ed vile Hilert sere studerde äror so är oädlig på defiitiosvdrtes digol, e evis ss so oft vid Fredhols udersöigr frå dess år. Höstterie 96 vr Fredhol tjästledig för tt sriv e läroo o itegrlevtioer, e vstod, då h erfor tt Hilert ocså höll på ed e och det året efter o e rd såd öcer. Utst till oe fis eellertid evrde. I Frrie hde Fredhol strt stöd v Poicré. År 98 tilldeldes h Poceletpriset v Frs vetespsdeie ett pris utläigr säll fic. S år hölls de först föreläsige i Sverige över Fredhols teori o itegrlevtioer och dess fysilis tillläpigr. Följde år lev Fredhol hedersdotor i Leipzig. De 3 j 9 gifte sig Fredhol ed Ages Mri Liljeld i S:t Oli. Ders äldste so Begt Ivr föddes året därpå. Efter 9 itresserde sig Fredhol ycet för tt lös differetilevtioer ed ueris etoder och h ostruerde ocså e såd si. M vet tt de uder oli egyelsevillor ude rit vcr och et itegrlurvor. Ivr Fredhol vled de 7 ugusti 97. 4
Littertur och ällor. Otryct teril. Yury V. Shestoplov & Yury G. Sirov, Itegrl Equtios. (Krlstds uiversitet ). Dett fis äve på iteretdresse http://www.igvet.u.se/~youri/itegrop.pdf Joh Byströ vid Luleå teis uiversitet hr srivit ett opediu på sves o itegrlevtioer, so i srivde stud fis på dresse http://www.s.luth.se/~joh/pplth/chp8.pdf Uiversity of St Adrews i Sottld hr e iogrfi över Ivr Fredhol på dresse http://www-history.cs.st-drews.c.u/history/mtheticis/fredhol.htl Tryct teril. R. Court & D. Hilert, Methods of Mtheticl Physics. Vol.. [Tys origilupplg uto i Berli 94.] Itersciece. New Yor & Lodo 953. Lrs Gårdig, Mteti och tetier. Mtetie i Sverige före 95. Lud 994. Lrs Hörder, Futiollys i Ntiolecylopedi, d 7, Högäs 99, s. 99. A. N. Kologorov & S. V. Foi, Eleets of the Theory of Fuctios d Fuctiol Alysis. [Rys origilets två delr uto 954 och 96.] Dover. Mieol, N. Y. 999. Åe Pleijel, Ivr Fredhol, Nordis tetis tidsrift, r 4 (953), s. 64 75. Wlter Rudi, Priciples of Mtheticl Alysis. [953] 3d ed. McGrw-Hill. Hurg, Lodo, Pris etc. 976. Artilr o Fredhol fis äve i uppslgsver, där de äldre Nordis filjeo och Sves uppslgso hr lägre rtilr ä Ntiolecylopedi. 4