Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att du drar ett kort slumpmässigt ur e kortlek och lägger kortet åt sida. Ata att kortet är e hjärter. Därefter drar du ett kort till. a) Vad är saolikhete att det adra kortet är e dam? b) Age saolikhetera i saolikhetsfördelige för atal damer du får med hjälp av de två korte. (6 poäg) Uppgift : Ata att ehetera A, B, C, D och E i edaståede elektriska system går söder oberoede av varadra och att saolikhete att gå söder är 0. för var och e. Om e ehet går söder så ka strömme ite passera geom ehete. Vad är saolikhete för att strömme passerar geom edaståede system? A B E C D (6 poäg) Uppgift 3: Vissa typer av reservdelar levereras ifrå fabrike i lådor om 0 stycke eheter. När mottagare får leverase vill ha givetvis kotrollera kvalité. Eftersom e totaludersökig är dyrbar så tar ha ett urval. Ha har två urvalsplaer att välja på beskriva uder a) och b). Geomför beräkigara uder atagadet att 0% av ehetera är defekta. a) Ett urval på 5 reservdelar tas ur varje låda. Om ha fier fler ä e felaktig blad de fem udersökta så returerar ha hela låda. Atag att e låda iehåller defekta eheter (0%). Hur stor är chase att just de låda blir accepterad? b) Ha väljer slumpmässigt ut 30 eheter ur leverase och udersöker dessa. Om fler ä tre är defekta så aser ha att hela leverase är udermålig och begär reducerat pris. Hur stor är chase att leverase blir accepterad uta reducerig av priset? (7 poäg) Uppgift : Atal småblåsor i plastmaterial som e fabrik aväder till iredig av bilar, ka beskrivas med hjälp av e Poissofördelig med i geomsitt 0.05 blåsor per kvadratfot. Ata att det går åt 0 kvadratfot plastmaterial för att ireda e bil. a) Vad är saolikhete att e slumpmässigt vald bil ite har ågra småblåsor i iredige? b) Frå fabrike skickas 0 bilar till e återförsäljare. Vad är saolikhete att mist e av bilara har småblåsor i iredige? (6 poäg)
Uppgift 5: Vid e tillverkigsprocess aväds öppa kar som sköljs ur med jäma mellarum med hjälp av destillerat vatte. Vattet spolas i kare automatiskt. Atag att mägde vatte, som spolas i varje kar ka atas vara ormalfördelad med µ 6 liter och σ 0.78 liter. a) Hur stor är saolikhete att ett kar vid e slumpmässigt valt sköljig fylls med midre ä 63 liter vatte. b) Hur stort är ett kar om vattet rier över kate vid 0.5% av alla regörigstillfälle? (6 poäg) Uppgift 6: På dataigejörsprogrammet på e viss högskola aväde studetera datorera till dataspel i geomsitt. timmar/vecka med e stadardavvikelse på.8 timmar/vecka. Ata att ma slumpmässigt väljer ut 36 studeter frå detta program. Vad är saolikhete att dessa studeters sammalagda avädigstid vid datorera var mist 73 timmar/vecka? (6 poäg) Uppgift 7: Nedaståede siffror kommer frå e udersökig som gjordes 97 och avsåg olika variablers iverka på rost på jär. Blad aat udersökte ma sambadet mella följade data Kocetratio 0.0 0.05 0.0 0.95 ph 5. 5.5 6. 7.3 a) Beräka a och b i modelle $y a b x där y är kocetratio och x är ph. b) Tolka a och b i termer av kocetratio och ph. c) Beräka korrelatioe mella kocetratioe och ph-värdet. (7 poäg) Uppgift 8: I USA geomfördes e studie där ma udersökte fettiehållet i e kalorisål korv. Resultatet (i % fett) frå 0 av de slumpmässigt valda korvara blev 5..3.8 7.0 9.8.0 5.5 6.0 0.9 9.5 Fettiehållet i korvara ka atas vara ormalfördelat. Testa på 5%:s sigifikasivå om fettiehållet i geomsitt uderstiger % fett. (6 poäg)
Lösigar till tetame i mat statistik för V, fred de 8/5-0 Uppgift : a) Två situatioer ka uppstå. Det första kortet ka vara hjärter dam eller det första kortet ka vara ågo aa hjärter. Dessa två alterativ skall vägas samma. Alterativ : P(första kortet är hjärter dam första kortet är e hjärter) 3 3 P(adra kortet är e dam) 5 Alterativ : P(första kortet är ite hjärter dam första kortet är e hjärter) 3 P(adra kortet är e dam) 5 Alltså, P(adra kortet är e dam första kortet är e hjärter) 3 3 5 3 5 5 663 3 b) ξ atal damer blad kort Ω { 0,, } A första kortet är e dam B adra kortet är e dam ξ x P(ξ x ) 0 P(A C B C ) 8 5 7 5 56 65 P(A B C ) P(A C 8 B) 3 5 3 3 P(A B) 5 663 88 3 5 96 663 3 Uppgift : A B E C D P(I) P(övre sliga fugerar) P(Atige A eller B eller båda) P(A B) (additiossatse) 0.9 0.9 0.9 0.9 0.99 Fortsättig uppgift på ästa sida
Fortsättig uppgift : P(II) P(edre sliga fugerar) P(Både C och D) P(C D) (oberoede) 0.9 0.9 0.8 P(övre sliga fugerar eller edre sliga fugerar eller båda sligora fugerar) P(Atige I eller II eller båda) P(I II) (additiossatse) 0.99 0.8 0.99 0.8 0.998 P(Systemet fugerar) P[(I II) E] (oberoede) 0.998 0.9 0.8989 Uppgift 3: a) Hypergeometrisk fördelig med N0 5 p0.0 6 6 0 5 P( ξ ) P( ξ 0) P( ξ ) 0 0 5 5 368 80 550 0.753 b) biomialfördelig med 30 p0.0 P( ξ 3) P( ξ 0) P( ξ ) P( ξ ) P( ξ 3) 0. 0 0 0.8 30 0. 0.8 9 0. 0.8 8 0. 3 3 0.8 7 0.7 Uppgift : ξ atal småblåsor ξ är Po(λ 0.05 blåsor/ kvadratfot) Det går åt 0 kvadratfot till e iredig ï λ 0.5 blåsor/ 0 kvadratfot) a) P(ξ 0) e 0.5 0.5 0! 0 0.607 b) Saolikhete för blåsor i iredige p P(ξ > 0) 0.393 η är Bi(, p) (0, 0.393) 0 P(η ) P(η0) 0.393 0 0 0.607 0 0.00679 0.993
Uppgift 5: ξ vattevolym ξ N(6, 0.78) a) P(ξ < 63) P(Z < b) Kalla karets volym för C. P(ξ < C) 0.995 P(Z < 63 6 ) P(Z <.8) P(Z <.8) 0.8997 0.003 0.78 C 6 ) 0.995 0.78 C 6 Tabelle ger att P(Z <.575) 0.995 dvs 0.78 C 6.575 0.78 66.0085 66 liter.575 Uppgift 6: ξ tide per vecka för datorspelade för e studet E(ξ). tim/vecka S(ξ).8 tim/vecka η ξ ξ ξ 3. ξ 36 E(η) E(ξ ) E(ξ ).. E(ξ 36 ) 36. 5. Var(η) Var(ξ ) Var(ξ ).. Var(ξ 36 ) 36.8 6.6 Cetrala gräsvärdessatse säger att η är ugefär ormalfördelade med µ 5. tim/vecka och σ 6.6 (tim/vecka) 73 5. P( η > 73) P(η < 73) P(Z < ) P(Z <.0) 6.6 0.9783 0.07 x Uppgift 7: koefficietera a och b i modelle ŷ ab skattas med hjälp av mista-kvadrat-metode i de logaritmerade modelle ly la x lb x x 6.76 l y -0.6798 ly x -58.955 (l y) 0.99538 a) x ly ( 0.6798) xly 58.955 lb ( x) 6.76 x 5.6953. 063775 b 7.865.76 Fortsättig uppgift 7
Fortsättig uppgift 7: ly x 0.6798 5.6953 l a lb.76-5.036305 a.95 0-7 b) a.95 0-7 är de förvätade kocetratioe är ph-värdet 0. (dea tolkig är ej rimlig eftersom ph 0 ite ligger i det observerade itervallet 5. 7.3.) b 7.865 betyder att är ph-värdet ökar e ehet så ökar kocetratioe i geomsitt 686.5%. c) r x xly x ( x) ( ) ly ly 5.6953 ly ( 0.6798).76 0.99538 0.9985 Uppgift 8: ξ är N(µ; σ) 0 Steg : H 0 : µ H : µ < Steg : α 0.05 5%.83 0-9 df Vi skall välja ut 0 korvar. Eftersom < 30, ξ är ormalfördelad, och σ är okät och måste uppskattas frå urvalet så får vi ett t-test med - 0- frihetsgrader (df). Tabelle för t-fördelige ger det kritiska värdet.83. Steg 3: Välj testvariabel t x µ. s Steg : Urvalet gav 0 x 9 x 99.9 Fortsättig steg uppgift 8 på ästa sida
Fortsättig uppgift 8: x 9 x.9 0 s ( x) x 99.9 9 9 0 7.09 t.9 7.09 0.6 värdet hamar i acceptasområdet. Steg 5: H 0 ka ite förkastas. Udersökige ger ite stöd för påståedet att felhalte skulle uderstiga % fett.