KTH/ICT IX50:F7 IX305:F Göra Adero goera@th.e Statiti: Sattigar
Statiti Vi all u tudera obervatioer av toatia variabler. Vad blev det för värde? Dea obervatioer alla ett ticprov (ample). Iom tatitie fi väetlige fyra huvudområde Putattig Itervallattig Hypoteprövig Belutproblem
Statiti Putattig = {,3,,6,5,,6,,,} = attig av? Itervallattig = {,3,,6,5,,6,,,} med 95% aolihet. Hypoteprövig Sticprov E vi hypote a acceptera eller förata med beräad felri. Belutproblem Sticprov + belutregel Beräig av vilet belut (av möjliga) om är loat.
Putattig E ticprov = {,, 3,...} a äga vara e obervatio av motvarade toatia variabler = {,, 3,...}. E attig (etimate) är e futio f() och a e om e obervatio av f(). Eempelvi är aritmetit medelvärde är eobervatio av E attig av e parameter, t.e., äg vara vätevärderitig (vvr) om vätevärdet av attige är lia med parameter. Eempelvi : är evvr attigav μ. E E attig äg vidare vara oitet om avtådet till det rätta värdet går mot 0 då ticprovtorlee väer. Obervera att olia ticprov ger olia putattigar.
Putattig Ma a via att är både vätevärderitig (ubiaed) och oitet (coitet) attig av. För att atta variae aväd Äve dea attig är vvr och ma a via att de oftat är oitet (E[ 4 ] måte eitera). ( ) För att atta tadardavviele aväd oftat. Dea attig är ite vvr. För ticprov törre ä 5 pelar detta ige törre roll (orretioe är midre ä %).
Putattig Vid hadräig av variaattige aväd oftat följade omrivig av de tidigare formel ) ( Det är ticprovvariae om atta här. Dv. de beriver pridige ho ett eilt lumpvärde. ) (
Putattig Eempel: Satta vätevärde och varia utifrå följade ticprov: = {,3,,6,5,,6,,,} Löig Fört attige av vätevärdet: ( 3 6 5 6 ) 0 0 0 0 0 Eligt föregåede ida gäller: 3 6 5 6 0 3 7 0 0 0 0 3 0 0 96 7 9 9 0 0 03 30 3 0
Putattig Variae för är itreat efterom de viar pridige av medelvärdet. är oitet miar med ticprovtorlee. Atag v oberoede med amma fördelig (, ). Då gäller V V V V c ξ c V[ ξ] v oberoede Slutat: attige av V[] a riva
Itervallattig Ett ofideitervall för e parameter är ett itervall och e ofidegrad (aolihet). Kofidegrade ager aolihete för att ofideitervallet täcer det aa värdet för parameter. Olia ticprov ger olia ofideitervall. Om eempelvi ett ofideitervall för har ofidegrade 0.9 ommer i medeltal io ticprov av tio ge ett itervall om täcer.
Itervallattig Ia vi går vidare behöver vi e y defiitio. Atag att E[] = och att Var[] =. Iför E[ ] Då är E[ ] 0 E[] lijär V[ ] V V[ ] V[ ] är e tadardierad v med vätevärde 0 och tadardavviele.
Itervallattig Ett ofideitervall med ofidegrad 95% för baerat på oberoede obervatioer av N(,) all betämma. är oäd atta med är äd Iför u N(0, ) / q Då gäller P(q 0.05 < < q 0.975 ) = 0.95 Pq0.05 q0.975 0.95 / P q0.975 q0.05 0.95 P q0.975 q0.975 0. 95 Då ticprovet betrata byt u mot. Kofideitervallet a därmed riva CI : q0. 975 95%
Itervallattig Då atta med vid ormalfördelig a ma via att de tadardierade toatia variabel är t-fördelad. ξ μ Iför t( ) / I t() alla för atal frihetgrader. t()n(0,) då. t CI : q ( ) ofidegrad För tillräcligt tora ticprov (>50) bruar ma vid hadräig borte frå illadera mella t- och N-fördelig och aväda t() N(0,) Då atta med a det tidigare ofideitervallet riva t(5) N(0,) N CI : q ofidegrad med
Itervallattig Eempel: Ge ett 95% ofideitervall för med följade ticprov = {,3,,6,5,,6,,,} om vi atar ormalfördelig. Löig Vi vet eda tidigare att = 3/0 och = 03/30. För t-fördelige är q 0.975 (0-).6, dv. CI : 3 0.6 03 30 0 3.. 35 3..4 (95%) Atag u att vi vet att fördelige är N(µ,.85). Då aväd vatile för ormalfördelige q 0.975.96, dv. 3 CI : 0.85.96 0 3.. 47 3.. (95%)
Itervallattig Eligt CLT a de giva ofideitervallformlera aväda äve är fördelige är oäd om ticprovet är tillräcligt tort och obervatioera är oberoede. oäd äd t CI : q rad ( ) ofideg N CI : q rad ofideg 0 00 000 q t 0.975 ( ).66.984.9634.95996 q N 0.975