TENTAMEN Dum: 9 ug 08 TEN: Dffrnlkvonr, kompl l och Tlors forml Kurskod HF000, HF00, H0, H000, L000 Skrvd: 8:-: Hjälpmdl: Bfog formlld och mnräknr v vlkn p som hls Lärr: Armn Hllovc Dnn nmnslpp får j hålls fr nmnsllfäll un lämns n llsmmns md läsnngr Poängfördlnng och gsgränsr: Tnmn sår v 8 uppgfr á 4p och gr mml poäng Bgsgränsr: För g A, B,, D, E krävs 0, 4, 0, rspkv poäng Komplrng: 0 poäng på nmn gr rä ll komplrng g F Vm som hr rä ll komplrng frmgår v g F på MINA SIDOR Komplrng skr c: vå vckor fr nmn är räd Om komplrng är godkänd rpporrs g E, nnrs rpporrs F Uppgf 4 poäng p Bsäm dn mgnär dln Imw om w p Bsäm ll lösnngr md vsnd på ll kvonn, 00 där är kompl l c p Lös följnd kvon md vsnd på där är kompl l 8 d p Skssr d kompl lpln områd som sår v ll som smdg ssfrr åd olkhr π π och rg 4 Uppgf 4 poäng Bsäm ll lösnngr då 8 4 0 är n lösnng ll kvonn Uppgf 4 poäng p Lös följnd dffrnlkvon Ang lösnngn på plc form p Lös följnd dffrnlkvon Bsäm ävn vnull sngulär lösnngr Vr god vänd
Uppgf 4 4 poäng Bsäm dn lösnng ll följnd dffrnlkvon, > 0 som ssfrr vllkor Uppgf 4 poäng Lös följnd dffrnlkvonr md vsnd på p p 0 c p 4 8 rsonnsfll Uppgf 4 poäng Bsäm lddnngn ndnsånd LR krs om L hnr, R ohm, frd och u vol då 00 mpr och 0 coulom Uppgf 7 poäng poäng Säll upp kvonsssm för ndnsånd nä, md vsnd på srömmrn, och Du hövr n lös ssm! Uppgf 8 poäng Använd susuonn för lös följnd ck-lnjär kvon md vsnd på, där och är rll konsnr Lck ll!
Fc: Uppgf 4 poäng p Bsäm dn mgnär dln Imw om w p Bsäm ll lösnngr md vsnd på ll kvonn, 00 där är kompl l c p Lös följnd kvon md vsnd på där är kompl l 8 d p Skssr d kompl lpln områd som sår v ll som smdg ssfrr åd olkhr π π och rg 4 Lösnng: w Därför Imw Svr : Imw π π kπ 4 00 4 00 k 0,,,, 499 π kπ 4 00 Svr : k 0,,,, 499 c V susurr kvonn 8 och får 8 4 8, Svr c: d Svr d:
Uppgf 4 poäng Bsäm ll lösnngr då 8 4 0 är n lösnng ll kvonn Lösnng: Ekvonn hr rll koffcnr och är n lösnng är också n lösnng ll kvonn och därför är kvonn dlr md 4 4 Polnomdvsonn gr 8 4 / 4 En lösnng ll får v ur 0 / Svr:,, / Uppgf 4 poäng p Lös följnd dffrnlkvon Ang lösnngn på plc form p Lös följnd dffrnlkvon Bsäm ävn vnull sngulär lösnngr Lösnng: Anmärknng: V dlr kvonn md om urck är skl från 0 Susuonn 0, 0 kvonn vsr dn konsn funkonn är också n lösnng En sådn lösnng klls sngulär om dn n kn fås ur dn llmänn lösnngn
d d ln ln ± ± ln ln D Anmärknng: Formln nnhållr också dn konsn lösnngn 0 om D0; llså ngn sngulär lösnng d fll Svr : D är dn llmänn lösnngn på plc form, ng sngulär lösnngr d d d d V dlr kvonn md om urck är skl från 0 Susuonn, 0 kvonn vsr dn konsn funkonn är också n lösnng ll kvonn En sådn lösnng klls sngulär om dn n kn fås ur dn llmänn lösnngn d d d ln ± D d Dn llmänn lösnngn är llså D Anmärknng: Formln nnhållr också dn konsn lösnngn om D0; llså ngn sngulär lösnng d fll Svr : Dn llmänn lösnngn är D, ng sngulär lösnngr
Uppgf 4 4 poäng Bsäm dn lösnng ll följnd dffrnlkvon, > 0 som ssfrr vllkor Lösnng: V nvändr formln P d Q P d d Förs räknr v P d d ln ln ngnd >0 Formln gr ln ln d d 4 Vllkor gr 4 och därför 4 Svr: Uppgf 4 poäng Lös följnd dffrnlkvonr md vsnd på p p 0 c p 4 8 rsonnsfll Svr : Svr : sn cos 0 4 Svr c: Uppgf 4 poäng Bsäm lddnngn ndnsånd LR krs om L hnr, R ohm, frd och U vol då 00 mpr och 0 coulom
Lösnng: Från krsn får v följnd dff kv U R d d L kv V susurr och får U R L fr sus L, R och kv Härv H Prkulärlösnng: p p p A A A Susuon kv gr / p A A A A A Härv: Bgnnls vllkorn: 0 och 00 0 0 0 0 gr och 0 gr / och Allså Svr: Uppgf 7 poäng poäng Säll upp kvonsssm för ndnsånd nä, md vsnd på srömmrn och, Du hövr n lös ssm!
Svr : kv: kv: u L R L kv: 0 R L R Uppgf 8 poäng Använd susuonn för lös följnd ck-lnjär kvon md vsnd på, där och är rll konsnr Lösnng: Susuon kvonn gr Efr mulplkon md for v och frsom ll slu n lnjär DE md vsnd på V nvändr formln d Q d P d P Förs d Pd och därför: d Härv ± Svr: ±