TENTAMEN Daum: 4 arl 09 TEN: Omfaar: Dfferenalekvaoner, komlea al och Taylors formel Kurskod HF000, HF00, 6H0, 6H000, 6L000 Skrvd: 8:5-:5 Hjälmedel: Bfoga formelblad och mnräknare av vlken y som hels. Lärare: Armn Hallovc Denna enamensla får ej behållas efer enamensllfälle uan lämnas n llsammans med läsnngar. Poängfördelnng och beygsgränser: Tenamen besår av 8 ugfer á 4 och ger mamal oäng. Beygsgränser: För beyg A, B, C, D, E krävs 0, 4, 0, 6 resekve oäng. Komleerng: 0 oäng å enamen ger rä ll komleerng (beyg F). Vem som har rä ll komleerng framgår av beyge F å MINA SIDOR. Komleerng sker c:a vå veckor efer a enamen är räad. Om komleerng är godkänd raoreras beyg E, annars raoreras F. Ugf. (4 oäng) a) () Besäm den magnära delen Im(z) om z = ( ) 4 6. b) () Besäm alla lösnngar med avseende å z ll ekvaonen z =, 50 där z är e komle al. c) () Ra de komlea allane den kurva som defneras av z = z Lednng: Sä z = y och förenkla ekvaonen. Ugf. ( 4 oäng) Besäm alla lösnngar då 5z z 0z = 0. z = är en lösnng ll ekvaonen Var god vänd.
Ugf. ( 4 oäng) a ) () Lös följande dfferenalekvaon (y ) y = (y )( y )( 5). b) () Ange lösnngen å elc form. c) () Besäm även evenuella sngulära lösnngar. Ugf 4. ( 4 oäng) Besäm den lösnng ll följande dfferenalekvaon ( ( =, > 0 som sasferar vllkore ( ) =. Ugf 5. ( 4 oäng) Lös följande dfferenalekvaoner med avseende å y () a) () y 6 y 5y = 0 7 b) () y y 5y = 8 c) () y y = (resonansfall ). Ugf 6. (4 oäng) Besäm srömmen ( nedansående LRC kres om L= henry, R= ohm, C= farad och u( = e vol då (0)=0 amere och ( 0) = amere/s. Var god vänd.
Ugf 7. 7a)( oäng) Säll u e ekvaonssysem med se ekvaoner för nedansående nä, med avseende å srömmarna (, (, (, 4 ( och 5 ( and laddnngen q ( ( den sjäe ekvaonen är e samband mellan q ( och ( ). Du behöver ne lösa syseme! 7b) ( oäng) I ankar A och B fnns 00 ler resekve 00 ler salvaen som nnehåller, 80g, resekve 90 g sal. Tanken A llförs 0 ler vaen er mnu som nnehåller 4 gram sal er ler. Vaen blandas ordenlg och 5 ler förs ll B och därefer 5 ler från B förs ll A och 0 ler rnner u, enlg blden nedan. Lå (,y( beeckna salmängden ( gram) A, B vd dsmomen. Säll u e ekvaonssysem för ( och y( och ange begynnelsevllkor. Du behöver ne lösa syseme! Ugf 8. ( 4 oäng) Använd subsuonen z ( ) = sn( y( )) för a lösa följande (cke-lnjära) ekvaon an( y) y = cos( y) π med avseende å y(), v anar a 0 < y ( ) <. Lycka ll!
Fac: Ugf. (4 oäng) a) () Besäm den magnära delen Im(z) om z = ( ) 4 6. b) () Besäm alla lösnngar med avseende å z ll ekvaonen z =, 50 där z är e komle al. c) () Ra de komlea allane den kurva som defneras av z = z Lednng: Sä z = y och förenkla ekvaonen. 6 a) z = ( ) 4. Efersom ( ) = = =. 6 4 4 6 6 4 = 4 = 4( ) = 4() ( ) = 4, = = = =, 6 7 har v z = ( ) 4 = 4 =. Därför Im(z)=. Svar a: Im(z)=. π π ( kπ ) 4 50 4 50 b) z = e z = e k = 0,,,..., 49 k π ( kπ ) 4 50 Svar b: zk = e k = 0,,,..., 49 c) z y = = y = y z y y = 4 = 4 och - y = 0 = och y = 0 z = z Alernav lösnng: = z = z z = 4 z = z Svar c: Endas en unk z = sasferar ekvaonen (se blden ovan).
Ugf. ( 4 oäng) Besäm alla lösnngar då 5z z 0z = 0. z = är en lösnng ll ekvaonen (Ekvaonen har reella koeffcener och z = är en lösnng ) z = är också en lösnng ll ekvaonen och därför är ekvaonen delbar med ( z z )( z z ) = ( z )( z ) = z 4 = z 4. Polynomdvsonen ger (5z z 0z ) /( z 4) = 5z En lösnng får v ur 5z = 0 z = 5 Svar: z =, z =, z = 5 Ugf. ( 4 oäng) a ) () Lös följande dfferenalekvaon (y ) y = (y )( y )( 5). b) () Ange lösnngen å elc form. c) () Besäm även evenuella sngulära lösnngar. a) (y ) y = (y )( y )( 5). ( Anmärknng: V kan dela ekvaonen med (y )( y ) om urycke är skl från 0. Urycke (y )( y ) är 0 om y = /.Subsuonen y = /, y = 0 ekvaonen vsar a den konsana funkonen y = / är också en lösnng. En sådan lösnng kallas sngulär om den ne kan fås ur den allmänna lösnngen.) Om y / har v y dy dy = 5 = ( 5) d = ( 5) d y y y arcan y = 5 C ( den allmänna lösnngen å mlcform). b) V löser u y och får: arcan y = ( 5 C) y = an( 5 C) y = an( 5 C) ( den allmänna lösnngen å elcform). c) Oavse hur v väljer konsanen C den allmänna lösnngen kan v INTE få den konsana lösnngen y = /. Därför är lösnngen y = / en SINGULÄR lösnng ll ekvaonen.
Ugf 4. ( 4 oäng) Besäm den lösnng ll följande dfferenalekvaon ( ( =, > 0 som sasferar vllkore ( ) =. V använder formeln ( = e P( d ( C Q( e P( d d Förs beräknar v P( d = d = ln = ln ( anagande >0) Formeln ger ( = ln ln e ( C ( ) e d = ( C ( ) d = ( C ( ) d = ( C ln = C ln Vllkore ( ) = ger C 0 = C = och därför ( = ln Svar: ( = ln Ugf 5. ( 4 oäng) Lös följande dfferenalekvaoner med avseende å y () a) () y 6 y 5y = 0 7 b) () y y 5y = 8 c) () y y = (resonansfall ). 5 Svar a: y( ) = C e C e Svar b: y ( ) = C e sn Ce cos Lösnng c: Den karakersska ekvaonen: r r = 0 r( r ) = 0 r = 0, r = och därför har v homogena delen: YH = C Ce Ansas: y = ( A B) y = ( A B) y = (A B) y = A Subsuonen ekvaonen y y = ger A A B =, 8 5
Härav A=, B=0 och därför Svar c: y = C Ce y = Ugf 6. (4 oäng) Besäm srömmen ( nedansående LRC kres om L= henry, R= ohm, C= farad och u( = e vol då (0)=0 amere och ( 0) = amere/s. Från kresen får v följande dff. ekv. d( L R ( q( = U d C V derverar ekvaonen och subsuerar ( = q ( och får L ( R ( ( = U C ( ( ( = e (ekv ) Härav H ( = C e Parkulärlösnng : ( = Ae ( = 4Ae ( = 6Ae C e Subsuon ekv. ger 6Ae ( 4Ae ) Ae 6Ae = e A = ( = e = e Härav: ( = Ce Ce e ( och ( = Ce Ce 8e ) Begynnelse vllkoren: (0)= 0 och ( 0) = ger C C = 0 och C C 8 =. Därför
C = och C = 5. Allså ( = e 5e e Svar: Ugf 7. ( = e 5e e 7a)( oäng) Säll u e ekvaonssysem med se ekvaoner för nedansående nä, med avseende å srömmarna, (, (, ( och ( ) and laddnngen q ( ( den sjäe ( 4 5 q ( och ( ekvaonen är e samband mellan ) Du behöver ne lösa syseme! ). Svar a: ekv: ( = ( ( ekv: ( = 4( 5 ( ekv: L ( R ( R ( L ( = u( ekv4: q( R ( R44 ( R ( = 0 C ekv5: L 5( R44 ( = 0 ekv5: q ( ) ( ) 7b) ( oäng) I ankar A och B fnns 00 ler resekve 00 ler salvaen som nnehåller, 80g, resekve 90 g sal. Tanken A llförs 0 ler vaen er mnu som nnehåller 4 gram sal er ler. Vaen blandas ordenlg och 5 ler förs ll B och därefer 5 ler från B förs ll A och 0 ler rnner u, enlg blden nedan. Lå (,y( beeckna salmängden ( gram) A, B vd dsmomen. Säll u e ekvaonssysem för ( och y( och ange begynnelsevllkor. Du behöver ne lösa syseme!
Svar: y( ( ( = 0 4 5 5 00 00 ( y( y( y ( = 5 5 0 00 00 00 Begynnelsevllkor: ( 0) = 80, y ( 0) = 90 Ugf 8. ( 4 oäng) Använd subsuonen z ( ) = sn( y( )) för a lösa följande (cke-lnjära) ekvaon an( y) y = cos( y) π med avseende å y(), v anar a 0 < y ( ) <. z ( ) = sn( y( )) z = cos( y( )) y Om v mullcerar DE med cos y får v sn y y cos y = (*) Subsuon ekvaonen (*) ger en lnjär DE med avseende å z. z z = (**) P( ) d P( ) d V använder formeln z( ) = e ( C Q( ) e d) och får z ( ) = C Efersom z ( ) = sn( y( )) har v y = arcsn( z( )) dvs y = arcsn( C )
Svar: y = arcsn( C )